专题08 立体几何垂直平行的证明（解析版）-2023年高考数学复习大题全题型专练（新高考用）.pdf

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1、专 题 8 立 体 几 何 平 行 垂 直 的 证 明 一、解 答 题 1.(2022.全 国.高 考 真 题(理)如 图，四 面 体 43co 中，A D CD,A D-CD,ZADB=Z B D C,E 为 A C 的 中 点.证 明：平 面 B E D _L平 面 AC。；(2)设 A3=5r)=2,NAa?=6()。，点 尸 在 B O 上，当 的 面 积 最 小 时，求 C F 与 平 面 所 成 的 角 的 正 弦 值.【答 案】(1)证 明 过 程 见 解 析(2)C F 与 平 面 9 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 生 巨 7【解 析】【分 析】(1)根 据 已 知 关

2、系 证 明 A B D g a C B D,得 到 AB=C B,结 合 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 得 到 垂 直 关 系，结 合 面 面 垂 宜 的 判 定 定 理 即 可 证 明；(2)根 据 勾 股 定 理 逆 用 得 到 B E L D E,从 而 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，结 合 线 面 角 的 运 算 法 则 进 行 计 算 即 可.(I)因 为 4 O=C O,E 为 A C 的 中 点 所 以 月 C L O E；在 A A B D 和 K B D 中，因 为 4。=CD,ZADB=NCDB,DB=DB,所 以 AfiZ左 所 以 AB=C 8,又 因 为

3、E 为 A C 的 中 点，所 以 AC_L8E；又 因 为 DE,BE u 平 面 B E D，D E c B E=E,所 以 AC J平 面 BE。，因 为 A C u 平 面 AC),所 以 平 面 3E)J_平 面 ACZX(2)连 接 E F,由(1)知，4c_L平 面 8Z,因 为 E F u 平 面 B，所 以 A C _ L E F,所 以 SAAFcugACEF,当 EF_LBZ50寸，E F 最 小，即 AFC的 面 积 最 小.因 为 讯 注 CBD,所 以 C8=AB=2,又 因 为 NACB=60,所 以 AABC是 等 边 三 角 形，因 为 E 为 AC的 中 点

4、,所 以 AE=EC=1,BE=6,因 为 A D L C Z),所 以 OE=l 4 C=l,2在 AZ)E3 中，DE?+BE2=BD)，所 以 5E_LE.以 E 为 坐 标 原 点 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 E-型，则 4(1,0,0),川 0,后,0),。(0,0,1),所 以 而=(-1,0,1),丽=卜 1,万 0),设 平 面 ABQ的 一 个 法 向 量 为 7=(x,y,z),n AD=-x+z=0n AB=-x+6 y=0取 y=6，则=(3,省,3),又 因 为 C(-1,O,O)L,所 以/设 c尸 与 平 面 曲 所 成 的 角 的 正

5、 弦 值 为 6 4 所 以 sin。=卜 o s,方，=所 以 C F与 平 面 9 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 生 叵.72.(2022全 国 高 考 真 题)如 图，PO是 三 棱 锥 P-A B C的 高，PA=P B,A B 1 A C,E 是 PB的 中 点.2 证 明：O E 平 面 P A C；(2)若 NABO=NCBO=30。，PO=3,P4=5,求 二 面 角 C A B 的 正 弦 值.【答 案】(1)证 明 见 解 析【解 析】【分 析】(1)连 接 8。并 延 长 交 A C 于 点。，连 接 0 4、P D,根 据 三 角 形 全 等 得 到 04=0 3

6、,再 根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到 A O=。，即 可 得 到。为 班 的 中 点 从 而 得 到 0E/PD，即 可 得 证；(2)过 点 A 作 4z OP,如 图 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，利 用 空 间 向 量 法 求 出:面 角 的 余 弦 值,再 根 据 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 计 算 可 得：(1)证 明：连 接 8。并 延 长 交 A C 于 点 连 接。4、PD,因 为 P 0 是 三 棱 锥 尸 一 A B C 的 高，所 以 平 面 ABC,AO,BOu平 面 ABC,所 以 P 0 L A 0、POLBO,又 PA=P B

7、,所 以 PQ4 三 PQB,即 04=0 8,所 以 N04B=NOBA,又 A 5 _ L A C,即 N8AC=90。，所 以 NOAB+NOAO=90。，NOBA+NODA=90,所 以 N 8 A=NOA。所 以 A O=。，即 A 0=D 0=0 8,所 以。为 8。的 中 点，又 E 为 PB的 中 点，所 以 OE/PD,又 OE(Z平 面 P A C,尸 D u 平 面 PAC,所 以 0E 平 面 PAC 解：过 点 A 作 上/OP,如 图 建 立 平 面 直 角 坐 标 系,因 为 PO=3,AP=5,所 以。4=JAP2-/3。？=4,又 NOa4=NO8C=30。，

8、所 以 3 3=20L4=8,则 AD=4,AB=,所 以 AC=所 以 0 0 6,2,0),网 4 6,0,0),4 2 6,2,3),则 AE=,通=(4 6 0,0),AC=(0,12,0),设 平 面 的 法 向 量 为 3=（苍 y,z）,则,万 AE=36 x+y+z=0 2，令 z=2,则 丁=-3,工=0,万 丽=4瓜=0所 以 3=(0,-3,2)；设 平 面 AEC的 法 向 量 为 加=（a,0,c）,m AE-3 6。+Z?+c=0则 _ 2ni-AC=l2b=0令 a=8,则 c=-6,Z?=0,所 以 加=(0,0,-6)；所 以 Cs/(-,-力-丽 nvn=-

9、12=45/3设 二 面 角 C-A-8 为 e,由 图 可 知 二 面 角 C-他-8 为 钝 二 面 角,所 以 cos6=-,所 以 sin6=Jl-c o s?，=工 13 13故 湎 角 C-A E-8的 正 弦 值 为*3.（2022全 国 高 考 真 题（理）在 四 棱 锥 尸-ABCD中，底 面 ABCD,CD/AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.4 证 明：B D 1 P A；(2)求 P D与 平 面 Q43所 成 的 角 的 正 弦 值.【答 案】(D证 明 见 解 析：手.【解 析】【分 析】(1)作 于 E,C F 1.A S于 尸，利 用 勾 股 定 理

10、 证 明 AD_L%，根 据 线 面 垂 直 的 性 质 可 得 从 而 可 得 8。1 平 面 P A D,再 根 据 线 面 垂 直 的 性 质 即 可 得 证；(2)以 点。为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 向 量 法 即 可 得 出 答 案.(1)证 明：在 四 边 形 ABCO中，作 力 ELAB 丁 E,C F 1 A B T F,因 为 C A8,A。=8=C8=1,A8=2,所 以 四 边 形 A8CD为 等 腰 梯 形，所 以 AE=BF=g,J?I_故。=:BD 7 DE?+B E。=后 所 以 A)2+B)2=AB2，所 以 AQ J_BO，因 为

11、P D L平 面 ABC。，8。u 平 面 ABC。，所 以 叨 又 P Z)cA D=O,所 以 8。_L平 面 PAO,又 因 P 4 u平 面 上 4 0，所 以 89_LP A；(2)解：如 图，以 点。为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 A(1,O,O),3(O,4,O),P(O,O,K),则 丽 6),丽=(o,-6,6),而=(o,o,G 设 平 面 的 法 向 量”=(x,y,z),n-AP=-x+/3z=0-/l 则 有 一 厂 厂，可 取 力=G,L I,无 8P=-岛+己=0 则。呻 研=摘 当，所 以 与 平 面 Q 48所 成 角 的 正 弦 值 为*

12、.4.(2022青 海 海 东 市 第 一 中 学 模 拟 预 测(理)如 图，在 三 棱 柱 A B C-A q G 中,AC=AA=2AB=2AC=2BC,ZBA4,=60.6pGwA Ai(1)证 明：平 面 ABC_L平 面 A448.(2)设 P 是 棱 c q 的 中 点，求 A C 与 平 面 摩 所 成 角 的 正 弦 值.【答 案】(D证 明 见 解 析 4【解 析】【分 析】(1)设 AB=2,由 余 弦 定 理 求 出 A S=2百，从 而 由 勾 股 定 理 得 到 A B，AB,B V B C,进 而 证 明 出 线 面 垂 直，面 面 垂 直；(2)建 立 空 间

13、直 角 坐 标 系，利 用 空 间 向 量 求 解 线 面 角 的 正 弦 值.(1)设 AB=2.在 四 边 形 44田 8 中，.A4,=2AB,=60,连 接，由 余 弦 定 理 得 4 笈=A4：+A 8 2-2 A V 4 5 COS6()O=12,即 A B=2/5,/4 加+AB2=AA；,X V A,B2+BC2=/C2,：.A.B1BC,A B c B C=B,A B _L 平 面 A B C,；A f u 平 面 平 面 ABC J.平 面 AA A B.(2)取 AB 中 点 O,连 接 CO,V AC=BC,：.CD AB,由(i)易 知 C_L平 面 且 cn=g.如

14、 图，以 8 为 原 点，分 别 以 射 线 84,B A 为 x,y轴 的 正 半 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 a xyz,则 42,0,0),4(0,26,0)，C(l,o,6),B,(-2,273,0),(-L 2 g,P(0,G,石).艰=(-2,0,0),肝=(0苜,扬，万,A B-0设 平 面 必 4 的 法 向 量 为 3=(尤 y,z),则 2 J,万 A 尸=。f-2x=0得 陶 尹 后 二。令 i 则 取=(。仙，髭=(T0,扬，同 衣 叶 留 p 系 当 A C 与 平 面 PBX所 成 角 的 正 弦 值 为 逅.45.(2022.青 海 海 东 市 第 一

15、 中 学 模 拟 预 测(文)如 图，在 四 棱 锥 P-4 5 C 3 中，平 面 PC。，平 面 ABC。，APC)为 等 边 三 角 形，CD=2AB=2,AD=&，ABAD=ZADC=90,M是 棱 P C 上 一 点.若 M C=2 M P,求 证：平 面 M B。.(2)若 M C=M P,求 点 P 到 平 面 瓦 加 的 距 离.【答 案】(1)证 明 见 解 析 座 3【解 析】【分 析】(1)连 接 A C,记 A C 与 即 的 交 点 为 耳，连 接 先 证 明 AP MH,再 由 线 面 平 行 的 判 8定 定 理 即 可 证 明.（2）由 等 体 积 法 匕 即

16、可 求 出 点 尸 到 平 面 及 W 的 距 离.(1)连 接 A C,记 A C 与 3。的 交 点 为 H,连 接 山/E4)=ZADC=90。，得 AB/CD,-=又 丝=!，则 处=也，CD HC 2 M C 2 HC M CAP/MH,又 u 平 面 M B D,PA U 平 面 M B D.AP 平 面 3所 以 在 等 边 中，B M 边 上 的 高 为/?=万，所 以 ABM D的 面 积 为=、6、3=空，i s o i v i i j 2 2 4易 知 三 棱 锥 B-P D M 的 体 积 为 a w=-x-xlxx/2=,3 2 6又 因 为 V B_DMP=Vp-B

17、MD,所 以 点 尸 到 平 面 B D M 的 距 离 为 d=誓 皿=芈.,BMD 36.（2021上 海 市 建 平 中 学 模 拟 预 测）如 图，三 棱 锥 P A B C,侧 棱 R4=2,底 面 三 角 形 ABC为 正 三 角 形，边 长 为 2,顶 点 P 在 平 面 A 8 C 上 的 射 影 为,有 4 5 J L D 3,且。3=1.求 证：AC7/平 面 尸）3；（2）求 二 面 角 P-AB-C 的 余 弦 值.【答 案】（I）证 明 见 解 析:一 里 7【解 析】【分 析】（1）证 明 D 8/A C,原 题 即 得 证：（2）以。为 原 点，A D方 向 直

18、线 为 工 轴，为 轴，DP为 z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 向 量 法 求 解.（1）解：因 为 A_L8，且 8=1,AB=2,所 以 AO=6，所 以 NOB4=60。.因 为 AABC为 正 三 角 形，所 以 NC48=60。，又 由 已 知 可 知 ACBO为 平 面 四 边 形，所 以 D B/A C.因 为 AC3.（2）解：由 点 尸 在 平 面 A B C上.的 射 影 为。可 得 P Z U平 面 AC3O,所 以 PZ）_LZM,P D 1D B.如 图，以。为 原 点，A。方 向 直 线 为 X轴，为 y 轴，OP为 Z轴，建 立 空 间 直 角

19、坐 标 系,则 山 己 知 可 知 B（0,1,。），A（-场,0,0）,P（0,0,1）,C（-G,2,。）.平 面 ABC的 法 向 量 7=(0,0,1),所 以 忌=(_ 6 _ 1,0),而=(0,-1,1)，设=（x，兀 z）为 平 面 R4B的 一 个 法 向 量，则 m BA=0_，得 m-BP=0由，y/3x _ V=0.1 1，令 x=1,则 y=_乖,z=-3一 y+z=0所 以 平 面 以 8 的 一 个 法 向 量=（1，-瓜-也）,所 以 T-cos=-7x1 7由 图 象 知 二 面 角 P-AB-C是 钝 二 面 角,所 以 二 面 角 尸-AB-C的 余 弦

20、值 为-叵 7107.(2022内 蒙 古 赤 峰 红 旗 中 学 松 山 分 校 模 拟 预 测(理)如 图，在 四 棱 锥 尸 一 A 8C O中，底 面 ABCD为 正 方 形，P)_L底 面 ABC。，M 为 线 段 P C的 中 点，PD=AD,N 为 线 段 BC上 的 动 点.(1)证 明：平 面 平 面 PBC(2)当 点 N在 线 段 B C的 何 位 置 时，平 面 M NQ与 平 面 出 B所 成 锐 二 面 角 的 大 小 为 30。？指 出 点 N 的 位 置，并 说 明 理 由.【答 案】(1)证 明 见 解 析(2)点 N 在 线 段 8 c 的 中 点【解 析】

21、【分 析】(1)由 P O L底 面 A 8 C O,可 得 P O L B C,而 C D J _ B C,可 证 得 BC 平 面 PC D,从 而 得 BCJ.DM,而。M _ L P C,所 以 ZW _L平 面 P B C,再 由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 结 论，(2)设 P=AD=1,以。为 原 点，以 DA.QCOP所 在 的 直 线 分 别 为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，然 后 利 用 空 间 向 量 求 解 即 可(1)证 明：因 为 PDJ_底 面 A8CD,8 C u底 面 4BC。，所 以 P_LBC,因 为 CJ_BC,CD

22、CPD=D,所 以 BC_L平 面 PC。，因 为 D W u平 面 PC),所 以 8C 1.O W,因 为 四 边 形 A8CD为 正 方 形，P D=A D，所 以 PO=CD,因 为 在 P D C中，PD=C D,例 为 线 段 P C的 中 点，所 以 DW J 尸 C,因 为 P C cB C=C,所 以。0_L平 面 P8C,因 为 D M u 平 面 D M N,所 以 平 面 M N D JL平 面 PBC,(2)当 点 N在 线 段 B C的 中 点 时，平 面 A/N。与 平 面 B 48所 成 锐 二 面 角 的 大 小 为 30。，理 由 如 卜:因 为 PZ5_L

23、 底 面 A8CZ),D A Q C u 平 面 43C。，所 以 PO_LD4,POJ,C,因 为 D 4 J.O C,所 以 ZHZ)C,DP两 两 垂 直，所 以 以。为 原 点，以 DADGOP所 在 的 直 线 分 别 为 x，z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，如 图 所 示,设 即=仞=1,则。(0,0,0),41,0,0),5(1,1,0),P(0,0,1),C(0,l,0),M 0,1,1 j,设 N(/l,l,O)(O 2 1),则 Z/5=(-1,0,1)./!/?=(0,1,0),D N=(2,1,0),设 正=(x,y,z)为 平 面 2 4 8的 法 向 量，

24、则 i fi-AP=-x 4-z=0th-AB=y=0令 x=l,则 4=(1,0,1),设 百=(a,A,c)为 平 面 M V D的 法 向 量，则/?D N=Aa+h=0-1 1n-DM=h+c=02 2令 a=l,则 3=(1,A,%),因 为 平 面 M N D 与 平 面 PAB所 成 锐 二 面 角 的 大 小 为 30,12所 以 W 砌=葡=后 端 r 邛，化 简 得 4义 2_4/1+1=0,得 为=；，所 以 当 点 N 在 线 段 8 c 的 中 点 时，平 面 M N D 与 平 面 以 8 所 成 锐 二 面 角 的 大 小 为 30。8.(2022四 川 成 都

25、七 中 模 拟 预 测(理)如 图 1,在 边 上 为 4 的 菱 形 A 8C D中，ZDAB=60,点 M,N 分 别 是 边 BC,CO的 中 点，A C c B D=O,A C c M N=G.沿 M N将 C M V翻 折 到 APMN的 位 置，连 接 R4,PB,P D,得 到 如 图 2 所 示 的 五 棱 锥(1)在 翻 折 过 程 中 是 否 总 有 平 面 尸 8。L 平 面 P A G?证 明 你 的 结 论；(2)当 四 棱 锥 P-M V D B体 积 最 大 时，求 直 线 尸 8和 平 面 所 成 角 的 正 弦 值；(3)在(2)的 条 件 下，在 线 段 P

26、A上 是 否 存 在 一 点。，使 得 二 面 角 Q-M V-P 余 弦 值 的 绝 对 值 为 回？若 存 在，试 确 定 点。的 位 置；若 不 存 在，请 说 明 理 由.10【答 案】(1)在 翻 折 过 程 中 总 有 平 面 平 面 P A G,证 明 见 解 析 叵 10(3)。存 在 且。为 线 段 出 的 中 点【解 析】【分 析】(1)证 明 出 8。，平 面 P 4 G,进 而 证 明 面 面 垂 直；(2)找 到 当 PGJ 平 面 时，四 棱 锥 P-M N D B 体 枳 最 大，直 线 尸 B和 平 面 所 成 角 的 为 NPBG,求 出 PG=g，BG=y/

27、l,山 勾 股 定 理 得：PB=JPG?+BG?=M，从 而 求 出/P 3 G 的 正 弦 值；(3)建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 空 间 向 量 和 二 面 角 的 大 小，列 出 方 程，确 定 点 Q的 位 置(1)在 翻 折 过 程 中 总 有 平 面 _L平 面 PAG,证 明 如 下：点，N 分 别 是 边 CO,C 8的 中 点，又 ND4B=60。，且 ABWN是 等 边 三 角 形，：G是 MN的 中 点，A M N VPG,菱 形 ABCO的 对 角 线 互 相 垂 直，二 5O LA C,.,用 N L A C,：A C cPG=G,ACu平 面 PAG

28、,P G u平 面 PAG，.,.MN，平 面 P A G,，BOJ_平 面 以 G,/3 u平 面 尸 应)，；.平 面 尸 平 面 PAG.(2)由 题 意 知，四 边 形 MND3为 等 腰 梯 形，且)8=4,M N=2,OG=g,所 以 等 腰 梯 形 M N D B 的 面 积 S=(2+4*&=3 6,2要 使 得 四 棱 锥 P-M N D B 体 积 最 大，只 要 点 尸 到 平 面 M N D B 的 距 离 最 大 即 可,当 PG J_平 面 MNDB时，点 尸 到 平 面 MNDB的 距 离 的 最 大 值 为 6,此 时 四 棱 锥 尸-体 积 的 最 大 值 为

29、 V=g x 3 6 x G=3,直 线 PB和 平 面 M N D B 所 成 角 的 为 NPBG,连 接 B G,在 直 角 三 角 形 APB G中，PG=,BG=J 7,由 勾 股 定 理 得：PBA PG+BG。=河 sin/PBG=a=*=PB M 10(3)假 设 符 合 题 意 的 点。存 在.以 G为 坐 标 原 点，GA,GM,GP所 在 直 线 分 别 为 x轴、轴、z轴，建 立 如 图 所 示 空 间 直 14角 坐 标 系,则 A（36,0,0）,M（0,1,0）,（0-1,0）,尸（0,0,6）,由（2）知，AGA.PG,又 A G L M N,且 M N cPG

30、=G,MN u 平 面 PMN,P G u 平 面 尸 MV,A G _L平 面 尸 MV,u故 平 面 P M V的 个 法 向 量 为 4=（1,0,0）,设 而=/l而（0W/IW1）,AP=（-3X/3,O,73）,而=（-3疯 0,网，故（3同-2）,0,网，A W=（0,2,0）,Q M=（3/3（A-l）,l,-2）,平 面 Q M N 的 一 个 法 向 量 为 2=(&,2/2)，则,NM=0,%QM-0,即！2、3x/3（/l-l）x2+y2-/32z2=0,y2=。，令 Z2=i,所 以，_ 2%3（A-1）研 舟 卜 寻 产 小（小），则 平 面 QMN的 一 个 法

31、向 量 3=(40,3(/1-1),设 二 面 角 Q-M V-P 的 平 面 角 为，,则|cos0=指 揩=-I.解 得：2，|,|，分+9（.7）2 1 0 2故 符 合 题 意 的 点 Q存 在 且。为 线 段 P 4的 中 点.9.（2022全 国 模 拟 预 测）在 四 棱 锥 P-A B C O中，以 _L平 面 ABC。，四 边 形 AfiCO是 矩 形,AB=AP=；A D,E,F分 别 是 4P,8 c 的 中 点.P 求 证：E尸 平 面 PCD；（2）求 二 面 角 C-E 尸 的 余 弦 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析 力 3次 10【解 析】【分 析】（1）

32、根 据 平 行 四 边 形，可 得 线 线 平 行，进 而 可 证 明 线 面 平 行.（2）根 据 空 间 向 量，计 算 法 向 量，利 用 法 向 量 的 夹 角 求 二 面 角.（1）证 明：取 OP的 中 点 G,连 接 EG,CG,又 E是”的 中 点，所 以 EG A,且 2因 为 四 边 形 A8CQ是 矩 形，所 以 8c=4）且 8 C V/A O,所 以 EG=g 8 C,且 EGUBC.因 为 F 是 BC的 中 点，所 以 CF=g B C,所 以 EG=C尸 且 E G/C F,所 以 四 边 形 EFCG是 平 行 四 边 形，故 EFIICG.因 为 E F U

33、平 面 PCD,CGu 平 面 PCD,所 以 所 平 面 PCO.16因 为 A4_L平 面 A 8 C,四 边 形 A 8 C D是 矩 形，所 以 A B,A D,A P两 两 垂 直,以 点 A 为 坐 标 原 点,直 线 A 8,AD,AP分 别 为 x 轴，轴，z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系（如 设 4B=AP=Ar=2,2所 以 AB=AP=2,A D=BC=4.因 为 E,F 分 别 为 AP,8 c 的 中 点,所 以 C(2,4,0),0(0,4,0),(0,0,1),尸(2,2,0)所 以 加=(2,2,1),D F=(2,-2,0),CF=(O,-2,O).设

34、 平 面 C尸 的 一 个 法 向 量 为 加=（%,%,z j,由 24+2 y-Z|=0,-2 y)=0.令 X 1=l,则 Z=2,必=0,所 以 仇=(1,0,2).设 平 血 EF的 一 个 法 向 量 为 n=（x2,y2,z2）,!1-2X2+2y2-z2=0,2X2-2y2-0.令 工 2=1，则%=1，Z 2=4,所 以 元=（1,1,4）.9 3西 所 以 cos（而=innH-H-75x718-io由 图 知 二 面 角 C-E F D 为 锐 角,所 以 二 面 角 C-E F-O 的 余 弦 值 为 叵.1010.(2022内 蒙 古 乌 兰 浩 特 一 中 模 拟

35、预 测(文)如 图 在 梯 形 中，BC/AD,AB=A D=2BC=2,N43C=T2万，E 为 中 点，以 BE为 折 痕 将 回 折 起，使 点 A 到 达 点 P 的 位 置，连 接 PD.P C,(1)证 明：平 面 尸 ED_L平 面 B C D E；(2)当 PC=2时，求 点。到 平 面 尸 E B 的 距 离.【答 案】(1)证 明 见 解 析 直 2【解 析】【分 析】(1)首 先 根 据 题 意 易 证 BE_LD.B E Y P E,从 而 得 到 BE 1 平 面 的，再 根 据 面 面 垂 直 的 判 定 即 可 证 明 平 面 阻)，平 面 BCDE.(2)利 用

36、 三 棱 锥 等 体 积 转 换 求 解 即 可.(1)在 梯 形 A B C O 中，NA2C=4，所 以=在 A A B E 中，AB=2,A=l,所 以 BE=护+f-2x2xlxg=6,TT所 以 AE2+8E 2=A 3 2,即=梯 形 4 3 8 为 直 角 梯 形.因 为 8_LED，BE 工 PE,P E R E D=E,所 以 8E_L平 面 产 田，又 因 为 BE u 平 面 B C D E,所 以 平 面 PED _L平 面 B C D E.(2)因 为 平 面 尸 ED _L平 面 8CDE=,CD A.E D,所 以 C)L平 面 PED,又 P)u平 面 的,所

37、以 COJLPD,18所 以 叨=/2-（6=1,即 V P E D 为 等 边 三 角 形.取 的 中 点 尸，连 接 P尸，如 图 所 示：因 为 PE=PD,F 为 E D 中 点,所 以 PFJ_D.因 为 平 面 组 _L平 面 8cDE=,PF L E D,所 以 P尸 _L平 面 EBC。,因 为 尸=理,T,设。到 平 面 PEB的 距 离 为 h,因 为%一 南=%一 的，所 以 B x h=L 叵 速,解 得 仁 3 2 3 2 2 2即 点 D 到 平 面 PE3的 距 离 为.211.（2022.全 国 南 京 外 国 语 学 校 模 拟 预 测）如 图，在 三 棱 台

38、 A B C-A B 中，A B 1 A C,AB=A C=4,A A=A g=2,侧 棱 A A，平 面 A B C,点。是 棱 C G 的 中 点.（1）证 明：平 面 B B C，平 面 AB。；（2）求 二 面 角 C-B。-A 的 正 弦 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析 誓【解 析】【分 析】（1）先 根 据 线 面 垂 直 的 性 质 与 判 定 证 明 A C L B B,再 根 据 勾 股 定 理 证 明 A旦 1.B旦，进 而 根 据 线 面 垂 直 得 到 B 4，平 面 A 8 C,从 而 根 据 面 面 垂 宜 的 判 定 证 明 即 可(2)A 为 坐 标 原

39、 点，AB,AC,A A 的 所 在 的 直 线 分 别 为 x,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，再 分 别 求 解 平 面 的 一 个 法 向 量，进 而 得 到 面 面 角 的 正 弦 即 可(1)证 明：因 为 平 面 ABC,A C u 平 面 A B C,所 以 AA_LAC,又 43_LAC,A A n A B=A,4人，ABi 平 面 所 以 A C L 平 面 AB8M.又 BB u 平 面 ABBtAt,所 以 AC 1.又 因 为 4 4=逝 2+22=2&,*=J(4-2)2+2?=20,所 以 AB?=AB：+BB；,所 以 A4 1 BB、.又 A 4 n

40、A e=A,AB,A C u 平 面 AB。，所 以 84_1_平 面 AC,因 为 8线=平 面 B 4 C,所 以 平 面 B B Q，平 面 48c.(2)以 A 为 坐 标 原 点，AB,AC,A 4 的 所 在 的 直 线 分 别 为 x,九 z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，如 图 所 示.因 为 AB=A C=4,AA=4 耳=A G=2,所 以 A（0,0,0）,3（4,0,0）,C（0,4,0）,C,（0,2,2）,0（0,3,1）.设 平 面 的,个 法 向 量 为=（再,y,zj,设 平 面 C8。的 一 个 法 向 量 为%=（%，为，22），且 丽=（4,0,

41、0）,而=（0,3,1）,方=（4,y o）,C D=（O,-lJ）,因 为 怨 3 一：所 以“,八 令 乂=1,则 玉=0,4=-3,所 以）=（0,1,-3）.A D n=0,3y+4=0,又 因 喘 晨 所 以 二 葭 令 匕 则”口,所 以 履 卬).所 以 8侬 兄=山”=1-3 而 同 同 6 I，.设 二 面 角 的 大 小 为 6,则 sin20所 以 二 面 角 C-8。-A的 正 弦 值 为 叵.1512.(2022青 海 模 拟 预 测(理)如 图，在 四 棱 锥 A-BCQE中，底 面 BCQE为 矩 形，M 为 CD中 点，连 接 8例，C E 交 于 点、F,G

42、为 ABE的 重 心.(1)证 明：GF 平 面 ABC(2)已 知 平 面 ABC_L8CQE,平 面 AC)_L平 面 BCQE,BC=3,CD=6,当 平 面 GCE与 平 面 ACE所 成 锐 二 面 角 为 60。时，求 G 到 平 面 AOE的 距 离.【答 案】(I)证 明 见 解 析 G【解 析】(1)延 长 反；交/1 8于，连 接 NC,EG因 为 G 为 4 8 E 的 重 心，所 以 点 N 为 A 8的 中 点，且 二 7=2,GNEF BF因 为 C M B E，故 K M F S.E B F 所 以 而=方=2 故 9=，故 G F U N C,CF GN而 N

43、C u平 面 A8C,GFU平 面 A8C,故 GF 平 面 ABC；(2)由 题 意 知，平 面 A8C_L平 面 8 C D E,平 面 A8Cf 平 面 8CDE=BC,D C L B C,O C u平 面 8COE,故 0 c _L平 面 ABC,A C u平 面 ABC,则 D C A.A C，同 理 B C L A C,又 3C n OC=c,BC,DC u 平 面 BCDE,所 以 AC _ L平 面 BCDE,以 C为 原 点，以 CBCD CA所 在 直 线 分 别 为 x,y,z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系,A设 点 G 到 平 面 B C D E 的 距 离 为

44、 W 0),则 A(0,0,308(3,0,0),E3,6,0),G(2,2,0,0(0,6,0),故 前=(2,2j),分=(3,6,0),而=(0,6,-3r),DE=(3,0,0),设 平 面 G C E 的 法 向 量 为 帆=(X,y,zJ,则 m CG=0m-CE=Q2%+2y+/Z=03%+6%=0即 2 2取 y=1,则，Z=一 小=-2,即 帆=(-2,1,-),河.A D=0设 平 面 4 O E 的 法 向 量 为=(孙%*2)，贝 人 反 方 后 _ 0，即 取 zz=2,则 必=，则 3=(0,2),4,m-n I+J 1 广 所 以 8 s 60 V 解 得 产=3

45、=2 6,5+尸”+4又 丽=(2,-4,2如，-3fz2=0区=0故 点 G 到 平 面 A D E 的 距 离 为 d=*川=1=6.n 413.(2022 北 京 市 第 九 中 学 模 拟 预 测)如 图，在 四 棱 锥 尸-ABC。中，底 面 ABC。是 边 长 为 2 的 正 方 形，以 8 为 正 三 角 形，且 侧 面 物 底 面 A8C。，“为 P D 的 中 点.22 求 证：P B/平 面 ACM；(2)求 直 线 BM与 平 面 巾。所 成 角 的 正 弦 值;(3)求 二 面 角 C-E 1-O 的 余 弦 值.【答 案】(1)证 明 见 解 析；【解 析】【分 析】

46、(1)连 接 BnAC=N,连 M N,证 明 P 8/M N,再 利 用 线 面 平 行 的 判 定 推 理 作 答.(2)(3)取 AB中 点 0,连 P。，证 明 P0_L平 面 A B C D,以 点。为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，借 助 空 间 向 量 求 线 面 角 的 正 弦，二 面 角 的 余 弦 作 答.(1)连 接 8 n A C=N,连 M N,如 图，正 方 形 A8CD中，N为 8。的 中 点，而 M为 的 中 点，则 必 M V,而 M V u平 面 A C M,户 8 z平 面 ACM,所 以 P8 平 面 ACM.(2)取 AB中 点。，连 P

47、 O,如 图，正 中，POLAB,z因 侧 面 PAB_L底 面 4?C),侧 面 P A B c 底 面=P O u 侧 面 F 4 5,则 PO_L平 面 ABCD,在 平 面 A B C D 内 过。作 Oy AB,则 射 线 03,Oy,O尸 两 两 垂 直，以 点。为 原 点，射 线 OB,Oy,OP分 别 为 x,y,z轴 非 负 半 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，1 行 则 8(1,0,0),A(-1,0,0),。(一 1,2,0),P(0,0,百),M(-彳,1,邛),C(l,2,0)，2 2布=(0,2,0),丽=(1,0,扬,8而=(-|,1,孚，一 in-AD=

48、2y.=0 _ _设 平 面 尸 4。的 法 向 量 2=(%,y,zj,则 一.厂，令 4=1,得 而=(一 6,0,1),m AP=%+/3Z=0设 直 线 B M 与 平 面 P A D 所 成 角 为。，则 sin0=|cos 质 BM)|=|竺 吧=巫=旦、mBM 2x2 2所 以 直 线 B M 与 平 面 R 4 D 所 成 角 的 正 弦 值 是 也.2L111U 由(2)知，AC=(2,2,0),设 平 面 CPA的 法 向 量 n=(%,%*2)，则 n-AC=2X2+2y2=0万 AP=x2 4-A/3Z2=0，令 z2=i,得=（一 G,G,i）,于 是 得 cos 根

49、 一,一=?m n-=4=竽，显 然 二 面 角。-24-大 小 为 锐 角,mn 2xV7 7所 以 二 面 角 C-F 4-。的 余 弦 值 为 2 包.714.(2022.浙 江 三 模)如 图，四 面 体 A B C D 的 棱 A B i 平 面 见 8=而，23AB=AC=AD=3,cos ZBAC=cos N5 A o=24(1)证 明：平 面 A8C_L平 面 4 步；(2)若 平 面 A 8C与 平 面 a 所 成 锐 二 面 角 的 正 切 值 为 线 段 CD与 平 面 a 相 交，求 平 面 ACD与 平 面 a 所 成 锐 二 面 角 的 正 切 值.【答 案】(1)

50、证 明 见 解 析 逅 6【解 析】【分 析】(1)作 CM J.A 8于 M,通 过 余 弦 定 理 解 三 角 形 得 到 C M，M D,即 可 证 得 C M 平 面 ABD,即 可 证 得 平 血 ABC 平 面 ABD；(2)作。于 G,C M L a于 H,求 出 C”=l,例=2,M G=1,DG=2,延 长 DC,G”交 于 点 M 连 接 V,作 G K,4 V 于 K,平 面 ACD与 平 面 a 所 成 锐 二 面 角 即 N D K G,通 过 解 三 角 形 计 算 出 tan Z D K G 即 可.(1)则 AD?=池+。知 2，D M AB.又 仞+M C 2