湖南省张家界市普通高中2021-2022学年高一下学期数学期末联考试卷.pdf

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1、湖 南 省 张 家 界 市 普 通 高 中 2021-2022学 年 高 一 下 学 期 数 学 期 末 联 考 试 卷 阅 卷 人-、单 选 题（共 8 题；共 16分）得 分 L（2分）复 数 l 3i的 虚 部 是（）A.-1 B.1 C.-3 D.3【答 案】C【解 析】【解 答】由 复 数 的 概 念 可 知，l-3 i的 虚 部 是-3。故 答 案 为：C.【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 复 数 的 虚 部 的 定 义，进 而 得 出 复 数 1-3i的 虚 部。2.（2 分）能 反 映 一 组 数 据 的 离 散 程 度 的 是（）.A.众 数 B.平 均 数 C.中

2、位 数 D.方 差【答 案】D【解 析】【解 答】众 数 代 表 一 组 数 据 的 一 般 水 平，平 均 数 表 示 一 组 数 据 的 集 中 趋 势，中 位 数 可 将 数 值 集 合 划 分 为 相 等 的 上 下 两 部 分，方 差 能 反 映 一 组 数 据 的 离 散 程 度，综 上 所 述，能 反 映 一 组 数 据 的 离 散 程 度 的 是 方 差，故 答 案 为：D.【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 方 差 与 数 据 的 离 散 程 度 的 判 断 方 法，进 而 找 出 正 确 的 选 项。3.（2分）在 掷 一 枚 硬 币 的 试 验 中，共 掷 了 10

3、0次，“正 面 朝 上”的 频 率 为 0.4 9,则“正 面 朝 下”的 次 数 为（）A.0.49 B.49 C.0.51 D.51【答 案】D【解 析】【解 答】由 题 意 知“正 面 朝 上”的 次 数 为 0.49 x 100=49,故“正 面 朝 下”的 次 数 为 100 49=5 1。故 答 案 为：D.【分 析】利 用 一 种 痛 苦 结 合 频 率 等 于 频 数 除 以 样 本 容 量 的 公 式 得 出“正 面 朝 上 的 次 数，再 利 用 对 立 事 件 的 定 义，进 而 得 出“正 面 朝 下”的 次 数。4.（2分）已 知 向 量 万=（一 1,2）,3=（2

4、,-4），贝 伊 与 石（）A.平 行 且 同 向 B.平 行 且 反 向 C.垂 直 D.不 垂 直 也 不 平 行【答 案】B【解 析】【解 答】根 据 题 意 可 知，b=-2a 即 工 1平 行 且 反 向。故 答 案 为：B.【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 向 量 共 线 的 坐 标 表 示 和 反 向 向 量 的 定 义，进 而 找 出 女 力 平 行 且 反 向。5.（2分）下 列 命 题 错 误 的 是（）A.过 平 面 外 一 点，有 且 只 有 一 条 直 线 与 这 个 平 面 垂 直 B.过 平 面 外 一 点，有 且 只 有 一 条 直 线 与 这 个 平

5、面 平 行 C.过 直 线 外 一 点，有 且 只 有 一 个 平 面 与 这 条 直 线 垂 直 D.过 直 线 外 一 点，有 且 只 有 一 条 直 线 与 这 条 直 线 平 行【答 案】B【解 析】【解 答】对 于 A,根 据 线 面 垂 直 的 定 义，可 得 经 过 平 面 外 一 点 作 已 知 平 面 的 垂 线，有 且 仅 有 一 条，A 符 合 题 意；对 于 B,过 平 面 外 一 点 可 以 作 一 个 平 面 与 已 知 平 面 平 行，在 这 个 平 行 平 面 内 的 经 过 已 知 点 作 直 线，它 就 和 已 经 平 面 平 行，故 过 平 面 外 一 点

6、 有 无 数 条 直 线 与 这 个 平 面 平 行，B 不 正 确；对 于 C,由 直 线 与 平 面 垂 直 的 性 质 知：过 直 线 外 一 点 只 能 作 一 个 平 面 与 这 条 直 线 垂 直，C 符 合 题 意；对 于 D,由 平 行 公 理 得：过 直 线 外 一 点，有 且 只 有 一 条 直 线 与 这 条 直 线 平 行，D 符 合 题 意.故 答 案 为：B.【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 线 面 垂 直 的 判 定 定 理、线 面 平 行 的 判 定 定 理、线 线 平 行 的 判 断 方 法，进 而 找 出 命 题 错 误 的 选 项。6.（2分）已

7、知 立 与 万 均 为 单 位 向 量，且 行 与 石 的 夹 角 为 120。，则 砥+山=（）A.2 B.V3 C.V2 D.1【答 案】D【解 析】【解 答】因 为 立 与 了 均 为 单 位 向 量，且 有 与 方 的 夹 角 为 120。，所 以 口+瓦=J 伍+3）2=a2+b2+2a-b=V1+1 1=1故 答 案 为：D.【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 单 位 向 量 的 定 义 和 数 量 积 求 向 量 的 模 公 式，再 利 用 数 量 积 的 运 算 法 则 和 数 量 积 的 定 义，进 而 得 出 向+&的 值。7.（2分）九 章 算 术 中，将 底 面

8、为 长 方 形 且 有 一 条 侧 棱 与 底 面 垂 直 的 四 棱 锥 称 之 为 阳 马.已 知 在 阳 马 P-ABCD中，侧 棱 P4 _ L 底 面 A B C D,且 PA=AB=AD=1,则 直 线 PD与 平 面 PAC所 成 角 的 正 弦 值 等 于（）【答 案】A【解 析】【解 答】如 图，在 正 方 形 ABCD中，连 接 B D交 A C于 O,则。0 1 4 C,连 接 PO.因 为 24 1平 面 ABCD,D O u平 面 A B C D,所 以 PA J L D。，而 PO n AC=。，贝 5。_ L平 面 P A C,于 是 ZDP。是 因 为 PA=A

9、D=1,易 知 PA：A D,所 以 PD=W+1 2=或,易 得 D O=，之+1 2=竽,所以 sinNDPO=嚣=；，即 直 线 P D与 平 面 PAC所 成 角 的 正 弦 值 为 标 故 答 案 为：A.【分 析】在 正 方 形 ABCD中，连 接 B D交 A C于 O,D O L A C,连 接 P 0,利 用 PA _ 1 _ 平 面 ABCD结 合 线 面 垂 直 的 定 义 证 出 线 线 垂 直，所 以 PA_LD。，再 利 用 线 线 垂 直 证 出 线 面 垂 直，则。_ L平 面 P A C,于 是 4D P0是 直 线 P D与 平 面 PAC所 成 的 角，利

10、 用 PA=AD=1,易 知 PA D A D,再 结 合 勾 股 定 理 得 出 P D的 长，再 结 合 中 点 的 性 质 和 勾 股 定 理 得 出 D O的 长，再 利 用 正 弦 函 数 的 定 义 得 出 直 线 PD与 平 面 PAC所 成 角 的 正 弦 值。8.（2 分）如 图，在 梯 形 ABCD 中，AD/BC,AD=|,BC=9,AB=5,cosB=|,若 M,N 是 线 段 B C上 的 动 点，且|而|=1，则 两 而 的 最 小 值 为（）【答 案】C【解 析】【解 答】如 图，以 点 B为 原 点，BC所 在 的 直 线 为 轴，建 立 如 图 所 示 的 平

11、 面 直 角 坐 标 系,1 o。(9,0)，/.cosB=-ATtof=Dr，xA=yAA=4,.4(3,4),D(1,4),设 MQ,0),则 N(x+1,0),其 中 0W xW 8,DM=(%-1,-4),前=(久-彳，-4),:.DM-D W=(x 覆%1)+16=x2 8%+=(x-4)2+苧,x=4时，DM-而 取 得 最 小 值 竽。故 答 案 为：C.【分 析】以 点 B为 原 点，BC所 在 的 直 线 为 x轴，建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系，再 利 用 4D BC,A D=l，BC=9,AB=5,cosB=|,得 出 点 C 的 坐 标，再 结

12、合 余 弦 函 数 的 定 义 和 代 入 法 得 出 点 A的 坐 标，以 及 点 D 的 坐 标，设 M（x,0）,则 NQ+1,0）,其 中 0 W x W 8,再 利 用 向 量 的 坐 标 表 示 求 出 向 量 的 坐 标，再 结 合 数 量 积 的 坐 标 表 示 和 二 次 函 数 的 图 象 求 最 值 的 方 法，进 而 得 出 两 而 的 最 小 值。阅 卷 入 二、多 选 题（共 4 题；共 8 分）得 分 9.（2分）下 列 关 于 向 量 的 命 题 中 为 真 命 题 的 是（）A.若 向=向，则 展 B.AB+BA=0C.右 TH=小 n=k 则 血=k|a+b

13、|a|+|h|【答 案】B,C,D【解 析】【解 答】易 知 B,C,D符 合 题 意，对 A,两 个 向 量 的 模 相 等，但 两 个 向 量 的 方 向 不 一 定 相 同，则 A 不 符 合 题 意.故 答 案 为：BCD.【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 向 量 的 模 求 解 方 法 和 性 质、向 量 相 等 的 判 断 方 法、三 角 形 法 则、相 反 向 量 的 定 义，进 而 找 出 真 命 题 的 选 项。10.（2 分）某 城 市 为 了 解 游 客 人 数 的 变 化 规 律，提 高 旅 游 服 务 质 量，收 集 并 整 理 了 2014年 1月 至 20

14、16年 12月 期 间 月 接 待 游 客 量 的 数 据，绘 制 了 下 面 的 折 线 图.月 接 待 游 客 量/万 人 次 2014 年 2015 年 2016 年 根 据 该 折 线 图，下 列 结 论 正 确 的 有（）.A.月 接 待 游 客 量 逐 月 增 加 B.年 接 待 游 客 量 逐 年 增 加 C.各 年 的 月 接 待 游 客 量 高 峰 期 大 致 在 7-8 月 D.各 年 1月 至 6 月 的 月 接 待 游 客 量 相 对 于 7 月 至 12月，波 动 性 更 小，变 化 比 较 平 稳【答 案】B,C,D【解 析】【解 答】对 于 A,由 折 线 图 的

15、 变 化 趋 势 可 得，月 接 待 游 客 量 有 增 有 减，A 不 符 合 题 意；对 于 B,由 折 线 图 的 变 化 趋 势 可 得，年 接 待 游 客 量 逐 年 增 加，B符 合 题 意；对 于 C,由 折 线 图 可 得，各 年 的 月 接 待 游 客 量 高 峰 期 大 致 在 7,8 月，C 符 合 题 意；对 于 D,由 折 线 图 可 得，各 年 1月 至 6 月 的 月 接 待 游 客 量 相 对 于 7 月 至 12月，波 动 性 更 小，变 化 比 较 平 稳，D 符 合 题 意.故 答 案 为：BCD.【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 折 线 图 中

16、的 数 据，再 结 合 统 计 的 知 识 和 方 差 与 稳 定 性 的 关 系，进 而 找 出 正 确 的 选 项。1 1.（2 分）从 甲 袋 中 摸 出 一 个 红 球 的 概 率 是|,从 乙 袋 中 摸 出 一 个 红 球 的 概 率 是|,从 两 袋 各 摸 出 一 个 球，下 列 结 论 正 确 的 是（）A.2 个 球 都 是 红 球 的 概 率 为:B.2 个 球 不 都 是 红 球 的 概 率 为 IC.至 少 有 1个 红 球 的 概 率 为|D.2 个 球 中 恰 有 1个 红 球 的 概 率 为【答 案】A,C,D【解 析】【解 答】解：设“从 甲 袋 中 摸 出

17、一 个 红 球”为 事 件 公，“从 乙 袋 中 模 出 一 个 红 球”为 事 件，则 p(&)=1,P(A2)=.，且 4,A2 独 立；在 A 中，2 个 球 都 是 红 球 为 4送 2，其 概 率 为|x|=1,A 符 合 题 意；在 B 中，“2 个 球 不 都 是 红 球”是“2 个 球 都 是 红 球”的 对 立 事 件，其 概 率 为 援，B 不 符 合 题 意;6在 C 中，2 个 球 中 至 少 有 1个 红 球 的 概 率 为 1 P(4)P(3)=1|*2=|,C 符 合 题 意；2 个 球 中 恰 有 1个 红 球 的 概 率 为 故 答 案 为：ACD.1-2=1

18、-2X2-3+1-2X1-3【分 析】设“从 甲 袋 中 摸 出 一 个 红 球”为 事 件 4,“从 乙 袋 中 模 出 一 个 红 球”为 事 件 A2,则 P(4)=省，可.4II1-2A2独 立；再 根 据 相 互 独 立 事 件 的 概 率 乘 法 公 式 一 一 判 断 即 12.(2分)如 图，在 正 方 体 4B C D-&B iC iD i中，E 是 棱 DDi的 中 点，F 在 侧 面 CDDiG上 运 动，且 满 足 平 面 A R E.则 下 列 命 题 中 正 确 的 有()A.侧 面 CDDiG上 存 在 点 F,使 得 B/1 C DB.直 线 B F 与 直 线

19、 C D所 成 角 可 能 为 60。C.三 棱 锥 Ai-BEF的 体 积 为 定 值 D.设 正 方 体 棱 长 为 1,则 过 点 E,F,A 的 平 面 截 正 方 体 所 得 的 截 面 面 积 最 大 值 为 空【答 案】A,C【解 析】【解 答】分 别 取 CQ,GD1的 中 点 K,H,连 接 BiK,BiH,H K、EK,则 BiK&E,又 AiB/JHK,BK CHK=K,&B n/i E=4 i，则 平 面 为 KH 平 面&BE,则 当 点 F落 在 线 段 KH上 时，B iF u平 面 B iK H,则 B/平 面&BE,即 满 足 题 意 的 点 尸 在 侧 面

20、CDDiQ上 的 轨 迹 为 线 段 KH.对 于 A,在 正 方 体 ABCD A iB iC iQ中，有 CD L 平 面 BBGC又 HK n 平 面 CDDC=K所 以 F=K时，BiF u 平 面 B B i J C,所 以 B/1 C D,A 符 合 题 意；对 于 B,CDJ/H K,.直 线 B iF与 直 线 CDi所 成 角 为 乙 当 尸。1或 其 补 角 当 点 F在 线 段 KH上 运 动 变 化 到 端 点 K或 H时，直 线 B.F与 直 线 CD,所 成 角 取 得 最 小 值 此 时 直 线 与 直 线 CDi所 成 角 为 4B1KH（或 NBiHK）,又

21、cs出 KH=联*=噜 4 KH（0,9。）ZXzj|AXA7 JLU L:乙 BiKH 60,B 不 符 合 题 意；对 于 C,由 平 行 关 系 可 知 三 棱 锥 A rB E F的 体 积 即 三 棱 锥 产-&B E的 体 积，因 为 所 以 F 到 平 面&B E的 距 离 不 变，又 SA BE为 定 值，三 棱 锥 F-&B E的 体 积 为 定 值,即 三 棱 锥 Ai-BEF的 体 积，C 符 合 题 意；对 于 D,正 方 体 棱 长 为 1,当 F为 CiE与 HK交 点 时，过 点 E,F,A的 平 面 交 BBi于 BBi的 中 点 M,连 接 MQ,AM.AE,

22、Q E,过 点 E,F,A的 平 面 截 正 方 体 所 得 截 面 为 菱 形 AMQE,又 菱 形 AMCiE对 角 线 AG=遍，ME=/，则 截 面 4M G E的 面 积 为:力 G.ME=；x 遮 x 声=坐 孚，D 不 符 合 题 意.故 答 案 为：AC.【分 析】分 别 取 C G，的 小 的 中 点 K,H,连 接 为 K,BiH,H K、E K,再 利 用 中 点 作 中 位 线 的 方 法 和 中 位 线 的 性 质，则 BiK/止，再 利 用/7K结 合 线 线 平 行 证 出 线 面 平 行，则 平 面 BiKH 平 面 AXB E,则 当 点 F落 在 线 段 K

23、H上 时，则 为 尸 平 面&B E,即 满 足 题 意 的 点 F在 侧 面 C。上 的 轨 迹 为 线 段 KH。在 正 方 体 ABC。一 4遇 停 1。1中，有 C D 工 平 面 BBiSC,所 以 F=K时 结 合 线 面 垂 直 的 定 义，进 而 证 出 线 线 垂 直，所 以 B iF lC O；利 用 C D J/H K,得 出 直 线 B F 与 直 线 CDi所 成 角 为 NB1FQ或 其 补 角，所 以 当 点 F在 线 段 KH上 运 动 变 化 到 端 点 K或，时，直 线 B F 与 直 线 CDi所 成 角 取 得 最 小 值，此 时 直 线 与 直 线 C

24、 D 所 成 角 为 NB/H（或 NB/K）,再 利 用 余 弦 定 理 结 合 比 较 法 和 余 弦 函 数 的 图 象，进 而 得 出 NBiKH 60；由 平 行 关 系 可 知 三 棱 锥 A.-BEF的 体 积 即 三 棱 锥 F-ArBE的 体 积，再 利 用/Y K,所 以 F 到 平 面 的 距 离 不 变，再 利 用 为 定 值 结 合 三 棱 锥 的 体 积 公 式 得 出 三 棱 锥 F-4 1 B E的 体 积 为 定 值，即 三 棱 锥 Ai-BEF的 体 积 为 定 值；利 用 正 方 体 棱 长 为 1,当 F为 CiE与 HK交 点 时,过 点 E,F,A的

25、 平 面 交 8%于 SB1的 中 点 M,连 接 MC】，AM.AE.CXE,过 点 E,F,4的 平 面 截 正 方 体 所 得 截 面 为 菱 形 A M Q E,再 利 用 菱 形 4M QE对 角 线 4G=遍，ME=近，结 合 比 较 法 得 出 截 面 4M Q E的 面 积 大 于 空，进 而 找 出 命 题 正 确 的 选 项。阅 卷 入 三、填 空 题（共 4题；共 5分）得 分 13.（1 分）i+i2+i3+i4=.【答 案】0【解 析】【解 答】W：i+i2+i3+i4=i-l+i2-i+i2i2=i-1-i+l=O.故 答 案 为：0.【分 析】直 接 利 用 虚

26、数 单 位 i的 运 算 性 质 化 简 求 值.14.（1 分）某 射 击 运 动 员 平 时 训 练 成 绩 的 统 计 结 果 如 下：命 中 环 数 6 7 8 9 10频 率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2视 频 率 为 概 率，如 果 这 名 运 动 员 只 射 击 一 次，则 他 命 中 的 环 数 小 于 9 环 的 概 率 为【答 案】0.6【解 析】【解 答】由 题 意，小 于 9 环 的 概 率 为 0.1+0.2+0.3=0.6。故 答 案 为：0.6。【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 互 斥 事 件 加 法 求 概 率 公 式，进 而 得 出 这 名

27、运 动 员 命 中 的 环 数 小 于 9 环 的 概 率。15.（1 分）如 图 所 示 是 古 希 腊 数 学 家 阿 基 米 德 的 墓 碑 上 刻 着 的 一 个 圆 柱，圆 柱 内 有 一 个 内 切 球，这 个 球 的 直 径 恰 好 与 圆 柱 的 高 相 等，相 传 这 个 图 形 表 达 了 阿 基 米 德 最 引 以 为 荣 的 发 现.设 圆 柱 的 体 积 与 球 的 体 积 之 比 为 m,圆 柱 的 表 面 积 与 球 的 表 面 积 之 比 为 n,则 与=.【答 案】17172.27 3【解 析】【解 答】设 球 的 半 径 为 r,则 圆 柱 的 底 面 半

28、径 为 r,高 为 2 r,于 是 爪=7=2，n=2nr2+2nr-2r 3 川 dW 贝=1。故 答 案 为：1。【分 析】设 球 的 半 径 为 丁，则 圆 柱 的 底 面 半 径 为 丁，再 利 用 已 知 条 件 得 出 高 为 2丁，再 利 用 圆 柱 的 体 积公 式 和 球 的 体 积 公 式，进 而 得 出 m,n 的 值，从 而 得 出 与 的 值。16.（2 分）已 知 锐 角 ABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,asin”一=bsinZ,c=2,则 B；ABC面 积 的 取 值 范 围 为.【答 案】半（:，2V3）【解 析】【解 答】由

29、题 意，asing 务=bsinA n acos=bsin4，由 正 弦 定 理 可 得 sinAcos=sinBsinA,易 知 sin/A 0,贝 kos=sinB=cos=2sin5cos授，因 为 0 c B e 兀，所 以 sin3=，则 B=*r（0 C 5 1 Tb e易 知 A+C=*，而 该 三 角 形 是 锐 角 三 角 形，则 2 兀 今 看。去 因 为 康=与 兀 C 25iHc,c=2,所 以 SM B C=*acsinB=sinB=*c2 sinB_ 1.sinA V3 _ 闻 nA _.sin（/C）_-（竽 cosC+%inC）_ 3 J 3,由 c-2*S E

30、 C*2-sinC-sinC-sinC-2tanC+2 tanCe（孚，+oo）,于 是 彘 e（0,遮）=舒 忑+会（空，2K），即 该 三 角 形 面 积 的 取 值 范 围 是（堂,2 V5）。故 答 案 为：不 除 2回【分 析】由 题 意 结 合 诱 导 公 式 和 正 弦 定 理 以 及 二 倍 角 的 正 弦 公 式，再 结 合 三 角 形 中 角 B 的 取 值 范 围，进 而 得 出 角 B 的 值，再 利 用 三 角 形 内 角 和 为 180度 的 性 质，进 而 得 出 A+C=|兀，而 该 三 角 形 是 锐 角 三 角 形，进 而 得 出 角 C 的 取 值 范 围

31、，再 利 用 已 知 条 件 结 合 正 弦 定 理 和 三 角 形 的 面 积 公 式 以 及 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 得 出 SA.BC=+再 利 用 角 C 的 取 值 范 围 和 构 造 法 以 及 正 切 函 数 的 力 以 2tanC 2图 象，进 而 得 出 该 三 角 形 面 积 的 取 值 范 围。阅 卷 人 四、解 答 题（共 6 题；共 6 5分）得 分 17.（10 分）已 知 向 量 2=（1,2）,向 量 B=（x,1）.（1）（5 分）当 方 1 石 时，求 实 数 x 的 值；（2）（5 分）当=3时，求 向 量 方 与 向 量 B的 夹 角

32、.【答 案】（1）解：当 最 时，1-%+2-1=0,解 得：x=-2.)T T(2)解：当=3时，a=(3,1),即:，b夹 角 为 仇 贝!cos=-：&ab3+2 _&帚 同 一 区 9 e 0,兀,.当 x=3时，向 量 联 与 向 量 W的 夹 角 为 不【解 析】【分 析】（1）利 用 已 知 条 件 结 合 数 量 积 为 0 两 向 量 垂 直 的 等 价 关 系，再 结 合 数 量 积 的 坐 标 表 示，进 而 得 出 实 数 X 的 值。（2）利 用 已 知 条 件 结 合 数 量 积 求 向 量 夹 角 公 式 和 向 量 夹 角 的 取 值 范 围，进 而 得 出 向

33、 量 2与 向 量 B的 夹 角。18.（10分）已 知 复 数 z=（小-瓶）+3）i（m w R）在 复 平 面 内 对 应 的 点 为 Z.（1）（5分）若 m=2,求 z z（2为 z 的 共 粗 复 数）；（2）（5分）若 点 Z 在 直 线 y=%上，求|z|.【答 案】（1）解：若 巾=2,此 时 z=2+5i,z=2-5i.A z-z=（2+50（2-5i）=4+25=29.（2）解：若 点 Z 在 直 线 y=%上，则 m+3=m2-m,即 m?2m-3=0,解 得：m=1 或 m=3,止 匕 时 z=2 4-2i或 z=6+6i.A z 2V或|z|=62.【解 析】【分

34、析】（1）利 用 已 知 条 件 结 合 m 的 值 和 复 数 与 共 胡 复 数 的 关 系，再 利 用 复 数 的 乘 法 运 算 法 则，进 而 得 出 复 数 z z o（2）利 用 已 知 条 件 结 合 复 数 的 几 何 意 义，进 而 得 出 复 数 对 应 的 点 的 坐 标，再 利 用 代 入 法 得 出 实 数 m的 值，进 而 得 出 复 数 z,再 利 用 复 数 求 模 公 式 得 出 复 数 z 的 模。19.（10分）在 ABC中，角 A,B,C,所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,已 知 a=2显，c=g,C=45.（1）（5 分）求 sia4的 值；（

35、2）（5分）求 b 的 值.【答 案】（1）解：由 正 弦 定 理 可 得 煮=备，则 sinA=逊=2 浸=亚 里 c J13 13（2）解：由 余 弦 定 理 可 得 COSC=。2甘 2 c2=时 产 H 42ab 2x242b 2整 理 得：反 4b 5=0，解 得：b=5,b=1（舍）*,*/7 5.【解 析】【分 析】（1）利 用 已 知 条 件 结 合 正 弦 定 理 得 出 角 A 的 正 弦 值。（2）利 用 已 知 条 件 结 合 余 弦 定 理 以 及 三 角 形 边 的 取 值 范 围，进 而 得 出 满 足 要 求 的 边 b 的 值。20.（10分）设 甲、乙、丙

36、三 个 乒 乓 球 协 会 的 运 动 员 人 数 分 别 为 27,9,18.现 采 用 分 层 随 机 抽 样 的 方 法 从 这 三 个 协 会 中 抽 取 6 名 运 动 员 组 队 参 加 比 赛.（1）（5 分）求 从 这 三 个 协 会 中 分 别 抽 取 的 运 动 员 的 人 数；（2）（5 分）将 抽 取 的 6 名 运 动 员 进 行 编 号，编 号 分 别 为 A”A2,A3,AA,A5,A6,现 从 这 6 名 运 动 员 中 随 机 抽 取 2 人 参 加 双 打 比 赛.用 所 给 编 号 列 出 所 有 可 能 的 结 果；设 事 件 A 为“编 号 为 A3和

37、 A6的 两 名 运 动 员 中 至 少 有 1人 被 抽 到”，求 事 件 A 发 生 的 概 率.【答 案】（1）解：由 题 意，甲、乙、丙 三 个 乒 乓 球 协 会 共 有 运 动 员 27+9+18=54人 抽 样 比 为 息=春 从 这 三 个 协 会 中 抽 取 的 运 动 员 的 人 数 分 别 为 3,1,2.（2）解：由 题 意，从 这 6 名 运 动 员 中 随 机 抽 取 2 人 参 加 双 打 比 赛 所 有 可 能 结 果 为 A1，A2 f&,A3,4，1，&，Ai9 4，&,4，42，4）9 42，&，4，人 6卜“3，44卜 43，-&，44，4 5 b 44

38、，4 6 b 45，4 共 15种;编 号 为 A3和 A6的 两 名 运 动 员 中 至 少 有 1人 被 抽 到 所 有 可 能 结 果 为 4,&，41，6卜“2，4，“2，46卜 4，4）9 伊 3，4，43，6）9“4，4，“5,”6卜 共 9 种 事 件 A 发 生 的 概 率 为 基=等【解 析】【分 析】（1）利 用 已 知 条 件 结 合 分 层 抽 样 的 方 法，进 而 求 出 从 这 三 个 协 会 中 分 别 抽 取 的 运 动 员 的 人 数。（2）利 用 已 知 条 件 结 合 列 举 法，从 而 用 所 给 编 号 列 出 所 有 可 能 的 结 果。利 用 已

39、 知 条 件 结 合 古 典 概 型 求 概 率 公 式，进 而 得 出 事 件 A 发 生 的 概 率。21.（15分）某 市 工 会 组 织 举 行“红 心 向 党”职 工 歌 咏 比 赛，分 初 赛、复 赛 和 决 赛 三 个 环 节，初 赛 全 市 职 工 踊 跃 参 与，通 过 各 单 位 的 初 选，最 终 有 2000名 选 手 进 入 复 赛，经 统 计，其 年 龄 的 频 率 分 布 直 方图 如 右 图 所 本.（1）（5分）求 直 方 图 中 x 的 值，并 估 计 复 赛 选 手 年 龄 的 平 均 值（同 一 组 中 的 数 据 用 该 区 间 的 中 点 值 作 代

40、 表，结 果 保 留 一 位 小 数）；（2）（5 分）根 据 频 率 分 布 直 方 图 估 计 复 赛 选 手 年 龄 的 第 75百 分 位 数；（3）（5分）决 赛 由 8名 专 业 评 审、10名 媒 体 评 审 和 12名 大 众 评 审 分 别 打 分，打 分 均 采 用 10分 制.已 知 某 选 手 专 业 得 分 的 平 均 数 和 方 差 分 别 为 制=8.4,Si=0.015,媒 体 得 分 的 平 均 数 和 方 差 分 别 为 为=8.8,Sj=0.054,大 众 得 分 的 平 均 数 和 方 差 分 别 为 元 3=9.4,sj=0.064,将 这 30名 评

41、 审 的 平 均 分 作 为 最 终 得 分，请 估 计 该 选 手 的 最 终 得 分 和 方 差（结 果 保 留 三 位 小 数）.附:方 差 S2=一 目 2 V X?-X2.【答 案】（1）解：由 题 意，（0.01+0.015+0.020+2%+0.030+0.035+0.040）X 5=1解 得 x=0.025,x=(22.5 x 0.010+27.5 X 0.025+32.5 X 0.035+37.5 X 0.040+42.5 X 0,030+47.5 x 0.025+52.5 x 0.020+57.5 X 0.015)x 5-39.6(岁)；(2)解：通 过 计 算 知 第 7

42、5百 分 位 数 落 在 45,50)区 间 内，设 为 3则(0.010+0.025+0.035+0.040+0.030)x 5+(t-45)x 0.025=0.75,解 得 t=47,即 第 75百 分 位 数 为 47；(3)解：由 S2=：S”设 该 名 选 手 最 终 的 平 均 分 为 最 终 方 差 为 铲，则 歹=o-r lU-r 1Z(8.4 x 8+8.8 x 10+9.4 x 12)8.933(分)，S2=308S+(制 一 刃 2】+10 附+叵 2-y)2+12 S!+(%3-y)21=8(0.015+(8.4-8.933)2+100.054 4-(8.8-8.933

43、)2+I20.0 6 4 4-(9.4-8.933)2 0.216估 计 该 选 手 最 终 得 分 为 8.933分，其 得 分 方 差 为 0.216.【解 析】【分 析】（1）利 用 已 知 条 件 结 合 频 率 分 布 直 方 图 各 小 组 的 矩 形 的 面 积 等 于 各 小 组 的 频 率，再结 合 频 率 之 和 等 于 1,进 而 得 出 实 数 X的 值，再 利 用 频 率 分 布 直 方 图 求 平 均 数 的 公 式，进 而 估 计 出 复 赛 选 手 年 龄 的 平 均 值。（2）利 用 已 知 条 件 结 合 频 率 分 布 直 方 图 求 百 分 位 数 的

44、方 法，进 而 根 据 频 率 分 布 直 方 图 估 计 复 赛 选 手 年 龄 的 第 7 5百 分 位 数。（3）利 用 已 知 条 件 结 合 平 均 数 公 式 和 方 差 公 式，进 而 估 计 出 该 选 手 的 最 终 得 分 和 方 差。22.（10 分）如 图，在 四 棱 锥 P-A B C。中，P4_L 底 面 ABCD,AD L A B,AB|DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点 E 为 棱 P C的 中 点.（1）（5 分）证 明：BE 平 面 PAD；（2）（5 分）若 F 为 棱 PC上 一 点，满 足 求 三 棱 锥 F-ABD的 侧 面 FBD与 底 面

45、ABCD所 成 二 面 角 的 余 弦 值.【答 案】（1）证 明：取 P D的 中 点 Q,连 接 AQ,EQ,1贝 U E Q|D C,且 EQ=OC.又 AB D C,KAB=DC,EQ|A B,且 EQ=AB,.四 边 形 ABEQ 是 平 行 四 边 形，BE|4Q,B E。平 面 PAD,AQ u平 面 PAD,:.BE|平 面 PAD.(2)解：F 为 棱 PC上 靠 近 P 点 的 四 等 分 点，理 由 如 下：分 别 取 AD,A C中 点 M,E，连 接 ME,BE,易 知 四 边 形 力 BEM为 正 方 形，连 接 B M,交 AE于 点 F,，则 B F，4C.1

46、T T 1.5LAF=FE,AF=A C，：PF=：PC，FF|PA,：.FF ABCD,FF 1 AC 4 4BF n FF=F,：.AC _ L平 面 BFF，,:.BF 1 AC.过 F 作 F,G _LBD于 点 G,连 接 FG,v FF A B C D，:F F 1 FG n F F=F,BC J平 面 FFG,F G 1 B D,二 z F G F即 为 所 求 二 面 角 的 平 面 角.易 知：，=,P A=|,设 A C与 B D交 于 点 0,贝 必 40B 女。，罂=需=器=易 得：4 0=孳，BO=B D=亭 设 点 A 到 B D的 距 离 为 d,在 中，由 4

47、0 48 7m 45。=凯 8。也 得：d=等 由 野=好=工 得:FG=d=&0A 4 4 10在 F F Z 中，tan zF G F=牛=3的，co s/F G F=4=缥.三 棱 锥 F-ABD的 侧 面 FBD与 底 面 ABCD所 成 二 面 角 的 余 弦 值 为 缕.【解 析】【分 析】（1）取 P D的 中 点 Q,连 接 AQ,E Q,再 利 用 中 点 作 中 位 线 的 方 法 和 中 位 线 的 性 质，贝 IJEQIIOC,且 E Q=a D C,再 利 用/B D C,且 AB=DC结 合 平 行 和 相 等 的 传 递 性，所 以 EQ|A B,且 E Q=4

48、B,所 以 四 边 形 ABEQ是 平 行 四 边 形，所 以 B E IIA Q,再 利 用 线 线 平 行 证 出 线 面 平 行，从 而 证 出 直 线 8E|平 面 PAD。（2）F 为 棱 P C上 靠 近 P 点 的 四 等 分 点，理 由 如 下：分 别 取 AD,A C中 点 M,E,连 接 ME,B E,易 知 四 边 形 ABEM为 正 方 形,连 接 B M,交 4 E 于 点 尸，则 B P l A C,再 利 用 易 尸=尸 形 得 出 AF AC 再 结 合 赢=!而，得 出“I I P 4 所 以 F F 1底 面 ABCD，所 以 F F J_ 4 C，再 利

49、用 线 线 垂 直 证 出 线 面 垂 直，所 以 AC，平 面 B F F,再 结 合 线 面 垂 直 的 定 义 证 出 线 线 垂 直，所 以 B F _ L 4 C,过 F作 F,G IB D于 点 G,连 接 F G,再 利 用 F F l底 面 A B C D结 合 线 面 垂 直 的 定 义 证 出 线 线 垂 直，所 以 F F I B D,再 利 用 线 线 垂 直 证 出 线 面 垂 直，所 以 B D 1平 面 F F G,再 利 用 线 面 垂 直 的 定 义 证 出 线 线 垂 直，所 以 F G 1 B D,所 以 NFGF，即 为 所 求 二 面 角 的 平 面

50、角，易 知 FF，的 长，设 A C与 B D交 于 点 O,贝 ijAAOB A C 0 D,再 利 用 两 三 角 形 相 似 对 应 边 成 比 例，易 得 4。，8。的 长，设 点 A 到 B D的 距 离 为 d,在 4BC中 结 合 等 面 积 法 和 三 角 形 的 面 积 公 式 得 出 d 的 值，再 利 用 对 应 边 成 比 例，进 而 得 出 F,G的 长，在 FFG中 结 合 正 切 函 数 的 定 义，进 而 得 出 tan/F G F 的 值，再 利 用 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式，进 而 得 出 三 棱 锥 F-ABD的 侧 面 FBD与 底 面