湖南省永州市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷.pdf

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1、湖 南 省 永 州 市 2021-2022学 年 高 一 下 学 期 数 学 期 末 考 试 试 卷 阅 卷 人、单 选 题（共 8 题；共 16分）得 分 1.（2分）复 数 2 i的 共 辗 复 数 是（）A.2+i B.2-i C.-2+i【答 案】A【解 析】【解 答】复 数 2-i的 共 聊 复 数 是 2 4-io故 答 案 为：AD.2 i【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 复 数 与 共 扼 复 数 的 关 系，进 而 求 出 复 数 z 的 共 辄 复 数。2.(2 分)己 知 五=(1,-1),方=(2,4),RiJa-(a+b)=()A.-1 B.0 C.1 D.2

2、【答 案】B【解 析】【解 答】因 为 万=(1,1)，b=(2,4),所 以 互+3=(1,-1)+(2,4)=(3,3),所 以 五 0+B)=3 X 1+3 X(-1)=0。故 答 案 为：B【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 向 量 的 坐 标 运 算 和 数 量 积 的 坐 标 表 示，进 而 得 出+1）的 值。3.（2分）ABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,若.=鱼，4=：,sinB=*，则 b=（）A.等 B.V2 C.V3 D.2V3【答 案】A【解 析】【解 答】因 为 a=/，sinB=卓，由 正 弦 定 理 亮=岛，4 3 olll/

3、i olllO即 普=9，解 得 力=学。2 3 故 答 案 为：A【分 析 1 利 用 已 知 条 件 结 合 正 弦 定 理，进 而 得 出 边 b 的 值。4.(2分)已 知 某 平 面 图 形 用 斜 二 测 画 法 画 出 的 直 观 图 为 如 图 所 示 的 三 角 形，其 中 4B=/C=2,则 该 平 面 图 形 的 面 积 为()A.V3 B.2【答 案】D【解 析】【解 答】作 出 原 图 形 如 下 图 所 示:C.2V3 D.4则/B=2,A C=4,所 以 该 平 面 图 形 的 面 积 为;T B,T C u B x Z x d u d。故 答 案 为：D.【分

4、析】利 用 已 知 条 件 结 合 斜 二 测 画 直 观 图 的 方 法 和 三 角 形 的 面 积 公 式，进 而 得 出 该 平 面 图 形 的 面 积。5.(2 分)在 力 BC中，BC=4,AC=5,AC BC=10,则 AB=()A.25/5 B.V21 C.5 D.V41【答 案】B【解 析】【解 答】在 AZBC中，BC=4,AC=5,AC BC(-C4)(-Cfi)CA CB 20cosC=10,所 以 cosC=I，所 以 4B=y/AC2+BC2-2AC-BCcosC=25+16-2 x 4 x 5 x 1故 答 案 为：B.c【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 相

5、 反 向 量 的 定 义 以 及 数 量 积 的 定 义，再 结 合 余 弦 定 理 求 出 A B的 长。6.（2 分）已 知 一 组 数 据 为 30,40,50,50,55,60,70,80,9 0,则 其 极 差、第 5 0百 分 位 数 和 众 数 的 大 小 关 系 是（）A.极 差 第 5 0百 分 位 数 众 数 B.众 数 第 5 0百 分 位 数 极 差 C.极 差 众 数 第 5 0百 分 位 数 D.极 差=第 5 0百 分 位 数=众 数【答 案】A【解 析】【解 答】极 差 为 90-3 0=60,因 为 9 X 50%=4.5,所 以 第 5 个 数 5 5即 为

6、 第 5 0百 分 位 数，又 众 数 为 50,所 以 它 们 大 小 关 系 是 极 差 第 5 0百 分 位 数 众 数。故 选：A.【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 极 差 公 式、众 数 公 式 和 百 分 位 数 求 解 方 法，进 而 结 合 比 较 法 得 出 数 据 的 极 差、第 5 0百 分 位 数 和 众 数 的 大 小 关 系。7.（2分）九 章 算 术 中，将 底 面 为 矩 形 且 有 一 侧 棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 锥 称 为 阳 马.如 图 所 示，在 四 棱 柱 4BCD-4/心。1中，棱 锥&ABC。即 为 阳 马，已 知=2/B=2B

7、C=2,则 阳 马 4 BCD的 表 面 积 为（）A.2+V5【答 案】BB.3+V5 C.3+2V5 D.4+2通【解 析】【解 答】由 题 意 知：1平 面 4BC0,BC u平 面/BCD,1 BC,又 AB IBC,AiA,4Bu 平 面 力 i/lB,AAOABA,：.BC：ArB,:.BCLArB-,同 理 可 得：CD 1 ArD-,则 44D,&4B,AAiBC,4 0。均 为 直 角 三 角 形，1 1 1 1 SfAD=2441=2 x 2 x 1=1,SL A1AB=2A AI-1 B=2X2X1=1,S&A1BC=3BC，x 1 x V22+l2=空 S”c=CD-A

8、1D=1 x 1 x V22+l2=孚 SM ABCD=4B-BC=1x1=1,阳 马/-ABCD的 表 面 积 s=1+1+亨+空+1=3+遥。故 答 案 为：B.【分 析】由 题 意 知：A 4 1 平 面 ABC0,再 利 用 线 面 垂 直 的 定 义 证 出 线 线 垂 直，所 以 再 利 用 1 BC结 合 线 线 垂 直 证 出 线 面 垂 直，所 以 B C，平 面&A B,再 利 用 线 面 垂 直 的 定 义 证 出 线 线 垂 直，所 以 BCJ.A1B,同 理 可 得：CD L ArD,则 三 角 形&4D,&4B,&BC,&D C 均 为 直 角 三 角 形，再 利

9、用 三 角 形 的 面 积 公 式 和 四 棱 锥 的 表 面 积 公 式，进 而 得 出 阳 马 A-A B C O 的 表 面 积。8.（2 分）已 知 荏 J.尼，点 P是 边 BC上 的 一 点，|而|=3,AP AC=2 AP AB=1，则|四+尼+而|的 最 小 值 为（）A.2/2 B.2V3 C.4 D.16【答 案】C【解 析】【解 答】在 4 人。中，AB L A C,设 zG4P=a,a e（0,刍，B A P=-a,因 为 扉=2，所 以|而|元|cosa=2-因 为|而|=3,所 以 I 前 1=无 念，因 为 方 而=1）所 以|而|而|=3|而|3（-。）=1,所

10、 以|丽|=再 为，因 为 4 1 前，所 以 荏 前=0，所 以|荏+而+而 广 AB2+AC2+AP2+2AB-AC+2AB-AP+2AC-AP1 4=-y-+-y+9+0+2+49sinza 9coszasiMa+cos2a 4sin2a+4cos2a-1-5-F 159sinza 9cosacos2a 4sin2a 5=5-F-F R+159sinza 9cosza，、c cos2a 4sin2a,5,.r“+3+1 5=16，当 且 仅 当 笆 篡=也 学，即 tana=g 时 取 等 号，9sm 4 a 9cos 4 a 2所 以|近+近+而|2的 最 小 值 为 16,所 以|前

11、+AC+而 I的 最 小 值 为 4。故 答 案 为：C【分 析】在 A A B C 中，AB 1 A C,设 NC4P=a,a e(0,J),则 NBAP=-a,再 利 用 已 知 条 件 结 合 数 量 积 的 定 义 发、得 出 I 前 I=和 I万 I=短，再 利 用 数 量 积 为 0 两 向 量 垂 直 的 等 价 关 系，所 以 丽 尼=0,再 利 用 数 量 积 求 向 量 的 模 的 公 式 结 合 数 量 积 的 运 算 法 则 和 数 量 积 的 定 义，再 结 合 均 值 不 等 式 求 最 值 的 方 法，进 而 得 出|而+而+而|的 最 小 值。阅 卷 入 一 二

12、、多 选 题(共 4 题；共 8 分)得 分 9.(2分)若 复 数 Zi=2i 3,Z2=l-i,其 中 i是 虚 数 单 位，则 下 列 说 法 正 确 的 是()A.zi在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 第 三 象 限 B.若 Zi+a(aCR)是 纯 虚 数，那 么 a=3C.Z=-1+5iD.若 Z1、Z2在 复 平 面 内 对 应 的 向 量 分 别 为 瓦 入 赤(。为 坐 标 原 点)，则 I万 1=2花【答 案】B,C【解 析】【解 答】对 于 A 选 项，zi在 复 平 面 内 对 应 的 点(-3,2)位 于 第 二 象 限，A 错;对 于 B 选 项，Zi+a

13、=(a 3)+2i(a C R)为 纯 虚 数，则 a 3=0,可 得 a=3,B 对;对 于 C 选 项，Zi Z2=(-3+2i)-(1-i)=-1+5i,C 对；对 于 D 选 项，由 已 知 可 得 函=(一 3,2).OB=(1,一 1),则 而=而 一 6 5=(4,-3),所 以，AB=/(3)2+42=5 D 错.故 答 案 为：BC.【分 析 1 利 用 已 知 条 件 结 合 复 数 的 几 何 意 义、复 数 的 运 算 法 则、复 数 为 纯 虚 数 的 判 断 方 法，复 数 求 模 公 式，进 而 找 出 正 确 的 选 项。10.(2分)在 下 列 关 于 概 率

14、 的 命 题 中，正 确 的 有()A.若 事 件 A,B满 足 P(4)+P(B)=1,则 A,B为 对 立 事 件 B.若 事 件 A 与 B 是 互 斥 事 件，则 A 与 耳 也 是 互 斥 事 件 C.若 事 件 A 与 B 是 相 互 独 立 事 件，则 A 与 3 也 是 相 互 独 立 事 件 D.若 事 件 A,B 满 足 p(A)=g,p(B)=W，p(AB)=I，则 A,B相 互 独 立【答 案】C,D【解 析】【解 答】对 于 A：若 事 件 A、B 不 互 斥，但 是 恰 好 P(A)=0,5,P(B)=0.5,满 足 P(Z)+P(B)=1,但 是 A,B 不 是

15、对 立 事 件.故 A 错 误；对 于 B：由 互 斥 事 件 的 定 义 可 知，事 件 A、B 互 斥，但 是 A 与 耳 也 是 互 斥 事 件 不 成 立.故 B 错 误；对 于 C：由 相 互 独 立 事 件 的 性 质 可 知：若 事 件 A 与 B 是 相 互 独 立 事 件，则 A 与 岳 也 是 相 互 独 立 事 件.故 C 正 确；对 于 D：因 为 事 件 A,B 满 足 P(4)=得，P(B)=%,P(A B)=/,所 以 P(AB)=P(4)P(B),所 以 A,B相 互 独 立.故 答 案 为：CD【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 对 立 事 件、互 斥

16、事 件、独 立 事 件 的 定 义，进 而 找 出 正 确 的 选 项。11.(2 分)ABC的 内 角 A,B,C的 对 边 分 别 为 a,b,c,下 列 说 法 正 确 的 是()A.若 二=&,则 4=cos4 smB 4B.若 sin2A=s in 2 B,则 此 三 角 形 为 等 腰 三 角 形 C.若 a=l,b=2,4=30。，则 解 此 三 角 形 必 有 两 解 D.若 ABC是 锐 角 三 角 形，贝 ijsinA+sinB CO ST!+cosB【答 案】A,D【解 析】【解 答】由 正 弦 定 理 可 知 急=磊，又 瀛=磊，所 以 晟=急，可 得 tanA=l,因

17、为 A（0,兀），所 以 4=今，A 正 确;因 为 2A 6（0,2兀），2B（0,2兀），且 角 2A,2B最 多 有 一 个 大 于 兀，所 以 由 sin2/=sin2B可 知，T T2A=2B或 24+2B=n,即 4=B或 4+B=于 所 以 ABC为 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形，故 B 错 误；由 正 弦 定 理 可 得$皿 8=姆 吧=1，因 为 B e（0,兀），所 以 B=看 故 此 三 角 形 有 唯 一 解，C 错 a 1 乙 误；因 为 ABC是 锐 角 三 角 形，所 以 A+B%,即 A B 0,又 丁=5也“在（0,刍 上 单 调 递 增，所 以

18、 sinA s in g B）=c o s B,同 理 sinB s in g 4）=cosA,所 以 sinA+sinB cosA+cosB,D 正 确.故 答 案 为：AD【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 正 弦 定 理、解 三 角 形 的 方 法、正 弦 函 数 的 单 调 性、诱 导 公 式 以 及 三 角 形 的 形 状 的 判 断 方 法，进 而 找 出 说 法 正 确 的 选 项。12.（2分）如 图，在 棱 长 为 a的 正 方 体 ABCD-力 iB iQ D i中，点 P为 线 段 C上 的 动 点，则（）A.三 棱 锥 P-&B D 的 体 积 为 定 值 B.过

19、 P作 直 线 4/A Z%,则 C.过 A,P,小 三 点 的 平 面 截 此 正 方 体 所 得 的 截 面 图 形 可 能 为 五 边 形 D.三 棱 锥 P-a O D i的 外 接 球 的 半 径 的 取 值 范 围 是 竽，学【答 案】A,B,D【解 析】【解 答】对 于 A,连 接 A,AXB,BD，5则 BiC 4 D,因 为 a。u平 面&B。，B iC C平 面 A/D,所 以 平 面 BiC 平 面 4遇 0,所 以 动 点 P到 平 面&B D的 距 离 为 定 值，因 为 力 1BC的 面 积 为 定 值，所 以 三 棱 锥 P-4窗。的 体 积 为 定 值，所 以

20、A 正 确,对 于 B,连 接 AD】，则 正 方 体 的 性 质 可 知/A J.4 D,A D 1J.4B 1，因 为 41。0 4出=&,所 以 也 J _ 平 面&DCB1，因 为 DP u平 面 AiDCBi，所 以 力 1 DP,因 为/4。1，所 以/1 D P,所 以 B 正 确，对 于 C,当 点 P为 BiC的 中 点 时，过 A,P,Di三 点 的 平 面 为 平 面 A BC 15，5当 点 P从&C的 中 点 向 当 运 动 时,截 面 过 平 面 ADD14,A A B,BCCrBx,4遇 1 6。1，点 P从 当。的 中 点 向 C运 动 时，截 面 过 平 面

21、4 0 D i，ABCD,BCC1B1,DCgDi，则 过 A,P,小 三 点 的 平 面 与 正 方 体 最 多 与 正 方 体 的 四 个 面 相 交，所 以 截 面 最 多 为 四 边 形，所 以 C 错 误，对 于 D,连 接&D,ADV交 于 点 E,可 得 E为 4。的 中 点,5所 以 在 A a D D i 中，E到 各 顶 点 的 距 离 相 等,过 E作 EP 1平 面 41。1交 BiC于 F,则 球 心 0一 定 在 尸 上，且 0为=0P,5设 半 径 为 丁，则 题 意 可 得 力 1。=&a,AE-a,EF-a,E0-当 点 P与 严 重 合 时 I a-lr2

22、id2-r 得 r=1a，2 4当 点 P与 当 或 C重 合 时，A A E 0m A B#。,所 以 丁=J(Q)2+(4a)2=苧 Q，此 时 r最 大，所 以 三 棱 锥 P-4 Z W 1 的 外 接 球 的 半 径 的 取 值 范 围 是 竽，挈,故 答 案 为：ABD12a，所 以 D 正 确,【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 正 方 体 的 结 构 特 征、三 棱 锥 的 体 积 公 式，进 而 得 出 三 棱 锥 P-&B。的 体 积 为 定 值；再 利 用 已 知 条 件 结 合 线 线 平 行 的 判 断 方 法，进 而 得 出 过 P作 直 线/AD1，则 当

23、点P为 BiC的 中 点 时，过 A,P,Di三 点 的 平 面 为 平 面 力 BC/i，当 点 P从 BiC的 中 点 向 当 运 动 时，截 面 过 平 面 ADD14,AAtBtB,BCC1B1,点 P从 C的 中 点 向 C运 动 时，截 面 过 平 面 4DD14,ABCD,B C C B，DCJD、,则 过 A,P,三 点 的 平 面 与 正 方 体 最 多 与 正 方 体 的 四 个 面 相 交，所 以 截 面 最 多 为 四 边 形；连 接&D,ADV交 于 点 E,可 得 E为&D 的 中 点，所 以 在&DD1中，E到 各 顶 点 的 距 离 相 等，过 E作 EF 1平

24、 面 交 BiC于 F,则 球 心。一 定 在 EF上，且。&=0 P,设 半 径 为 r,则 题 意 结 合 中 点 的 性 质 可 得 为 D,AXE,EF,E。与 a 的 关 系 式，当 点 P与 F重 合 时，得=a,当 点 P与/或 C重 合 时，4速。丝 4819。结 合 勾 股 定 理 得 出 的 最 大 值，从 而 得 出 三 棱 锥 P-A.DDr的 外 接 球 的 半 径 的 取 值 范 围，进 而 找 出 正 确 的 选 项。阅 卷 入-三、填 空 题（共 4 题；共 4 分）得 分 13.（1分）在 中 国 共 产 主 义 青 年 团 建 团 100周 年 之 际，某

25、高 中 学 校 计 划 选 派 60名 团 员 参 加“文 明 劝 导”志 愿 活 动，高 一、高 二、高 三 年 级 的 团 员 人 数 分 别 为 100,200,300,若 按 分 层 抽 样 的 方 法 选 派，则 高 一 年 级 需 要 选 派 的 人 数 为【答 案】10【解 析】【解 答】依 题 意 可 知 高 一 年 级 需 要 选 派 的 人 数 为 询 工 黑 反 而 x 60=10人。故 答 案 为：10【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 分 层 抽 样 的 方 法，进 而 求 出 高 一 年 级 需 要 选 派 的 人 数。14.（1分）在 直 角 三 角 形 A

26、BC中，AB=BC=也 48=90。，将 此 三 角 形 绕 直 线 AC旋 转 一 周，所 得 几 何 体 的 体 积 为【答 案】冬【解 析】【解 答】将 三 角 形 绕 直 线 AC旋 转 一 周 得 到 的 几 何 体 是 两 个 同 底 圆 锥 的 组 合 体，在 直 角 三 角 形 ABC中，AC=2,所 以 圆 锥 底 面 圆 的 半 径 为 1,两 个 圆 锥 的 高 的 和 为 AC=2,所 以 几 何 体 的 体 积 为：兀 X 仔 x 2=竽。故 答 案 为：竽。【分 析】将 三 角 形 绕 直 线 4c旋 转 一 周 得 到 的 几 何 体 是 两 个 同 底 圆 锥

27、的 组 合 体，在 直 角 三 角 形 ABC中，AC=2,进 而 得 出 圆 锥 底 面 圆 的 半 径 和 两 个 圆 锥 的 高 的 和，再 利 用 圆 锥 的 体 积 公 式，进 而 得 出 所 得 几 何 体 的 体 积。15.（1 分）定 义 平 面 非 零 向 量 之 间 的 一 种 运 算 记 方*B=WcosO+BsinO（其 中。是 非 零 向 量 为，b的 夹 角）.若 瓦，否 均 为 单 位 向 量，且 瓦 石=会 则 河*（国 百）|=.【答 案】孚【解 析】【解 答】.,限 m=同 底 I COS。=:,且 同 I=I 同=1,二 cos。=*,又 因 为。（0,n

28、）则。=*|占*（瓯）|=|e7cos60+V3eJsin60|1 一 3 一=loei+7e2 l=2 J1（_（蓝+3 名）212故 答 案 为：孚。【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 单 位 向 量 的 定 义，再 利 用 数 量 积 求 模 公 式，再 利 用 数 量 积 的 运 算 法 则 和 数 量 积 的 定 义，进 而 得 出|*（遍 右）1的 值。16.（1 分）在 ABC中，角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,若 siMB siMC=sinAsinC,则 2tcm+J T；的 最 小 值 为.2 tanc-【答 案】2V2【解 析】【解 答】Vsin2

29、F sin2c=sinAsinC,b2 c2=ac，b2=c2+Q C，又 因 为 房=a2+c2-2accosB，/.c2+ac=a2+c2 2accosB,即 c=a 2ccosB,/.sinC=sin/-2sinCcosB=sin（B+C）2sinCcosF=sinFcosC sinCcosF=sin（B C）,：.C=B-C 或 C+B-C=兀（舍 去），BtanC=t a n 0，2 t o nf+彘 2 2 2ta靖 福=20,当 且 仅 当=即 C=。B=3时 取 等 号。2 tanc 4 Z故 答 案 为：2企。【分 析】利 用 已 知 条 件 结 合 正 弦 定 理 和 余

30、弦 定 理，再 结 合 三 角 形 内 角 和 为 180度 的 性 质 和 两 角 和 与 两 角 差 的 正 弦 公 式，进 而 得 出（？=?所 以 tanC=tan50,再 利 用 均 值 不 等 式 求 最 值 的 方 法 得 出 2 ta n+的 最 小 值。2 tanC阅 卷 入 四、解 答 题（共 6 题；共 6 5分）得 分 17.（10分）在 平 行 四 边 形/BCD中，E为 CO中 点，记 荏=苍，AD=b.（1）（5 分）试 用 落 3表 示 荏;（2）（5 分）若=60。，|而|=6，AD=3，求 荏 与 丽 的 夹 角.【答 案】（1）解：由 题 可 知 荏=而+

31、屁=而+4沆=而+：而=石+（2）解：因 为 前=近+方=3-品 记 而 与 屁 的 夹 角 为。,则 cos。AE-BEAEXJE（5+f）-（b-|）AE x BE吟-回 AExBE所 以 荏 与 丽 的 夹 角 为 90.【解 析】【分 析】（1）利 用 已 知 条 件 结 合 平 面 向 量 基 本 定 理，进 而 用 乙 另 表 示 荏。（2）利 用 已 知 条 件 结 合 三 角 形 法 则 和 平 面 向 量 基 本 定 理，再 利 用 数 量 积 求 向 量 的 夹 角 公 式，进 而得 出 荏 与 丽 的 夹 角。18.（15分）中 国 神 舟 十 三 号 载 人 飞 船 于

32、 2022年 4 月 16日 圆 满 完 成 飞 行 任 务，神 州 十 三 号 的 成 功 又 一 次 激 发 了 广 大 中 学 生 对 于 航 天 的 极 大 兴 趣.某 校 举 行 了 一 次 主 题 为“航 天 梦，强 国 梦”的 知 识 竞 赛 活 动，用 简 单 随 机 抽 样 的 方 法，在 全 校 选 取 100名 同 学，按 年 龄 大 小 分 为 大 龄 组 甲 和 小 龄 组 乙 两 组，每 组 各 50人，所 有 学 生 竞 赛 成 绩 均 在 60100之 间，甲 组 竞 赛 成 绩 的 频 率 分 布 表 和 乙 组 竞 赛 成 绩 的 频 率 分 布 直 方 图

33、，如 下 图 所 示.组 号 组 频 数 频 率 第 一 组 60,70)5 0.1第 二 组 70,80)a b第 三 组 80,90)15 0.3第 四 组 90,100 10 0.2（2）（5 分）若 以 平 均 分 为 依 据 确 定 小 组 成 绩 的 优 劣，你 认 为 哪 个 小 组 成 绩 更 优？请 说 明 理 由（同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 作 代 表）；（3）（5 分）若 成 绩 不 低 于 90分 的 同 学 称 为“航 天 追 梦 者”，以 选 取 的 100名 同 学 作 为 样 本，试 估 计 该 校 2000名 学 生 中“航

34、 天 追 梦 者”的 人 数.【答 案】（1）解：由 甲 组 的 频 率 分 布 表 可 知 a=50-5-15-10=20,b=第=0.4,n由 乙 组 的 频 率 分 布 直 方 图 可 知 1 一 为，即 甲 组 成 绩 更 优.（3）解：由 频 率 分 布 表 可 知，甲 组 中“航 天 追 梦 者”的 人 数 为 10,乙 组 中“航 天 追 梦 者”的 人 数 为 50 x 0.1=5,甲、乙 两 组 中“航 天 追 梦 者”的 频 率 与 肆=0.15，甲、乙 组 中“航 天 追 梦 者”的 人 数 为 2000 X 0.15=300.【解 析】【分 析】（1）利 用 已 知 条

35、 件 结 合 频 率 分 布 直 方 图 各 小 组 的 频 率 等 于 各 小 组 的 矩 形 的 面 积，再 结 合 频 率 等 于 频 数 除 以 样 本 容 量 的 公 式，再 结 合 频 率 之 和 等 于，进 而 得 出 a,b,x 的 值。（2）利 用 已 知 条 件 结 合 频 率 分 布 直 方 图 求 平 均 数 的 公 式，再 结 合 比 较 法，进 而 判 断 出 甲 组 成 绩 更 优。（3）利 用 已 知 条 件 结 合 频 率 分 布 直 方 图 各 小 组 的 频 率 等 于 各 小 组 的 矩 形 的 面 积，再 结 合 频 率 等 于 频 数 除 以 样 本

36、 容 量 的 公 式，进 而 估 计 出 该 校 2000名 学 生 中“航 天 追 梦 者”的 人 数。19.（10分）如 图 1,在 边 长 为 28 的 菱 形 ZBCO中，乙 4BC=60。，0为 线 段 CO的 中 点；将 44。沿 40折 起 到/40D1的 位 置，使 得 平 面 4。久 J平 面 ABCO,连 接。记，D Q 如 图 2.（1）（5 分）证 明：0 4 1 B C；（2）（5 分）求 点。到 平 面 的 距 离.【答 案】（1）证 明：在 图 1中 连 接 AC,AD=CD,AADC=AABC=6044CD为 等 边 三 角 形 又。为 的 中 点 AO 1 即

37、/。1。5 在 图 2 中，平 面 AO。11平 面 ABCO,交 线 为 40,0%u平 面 40心 ODi L平 面 力 BCO BC u平 面 4BC0 A ODi 1 BC（2）解：在 图 2 中，连 接 BO,ODil平 面 ZBCO,AB u平 面 ABC。001 1 AB 又：AB 1 40,OD Q A0=0A B，平 面 40Div ADr u平 面 4。1，则 4B 1 也即 zL4B0,44BD 均 为 直 角 三 角 形 在 Rt44D0中，。4=，4。2一。2=3,设 点。到 平 面 ABD1的 距 离 为 d 1 1故 卜。1-480 W,AABO，。1。=3 2

38、2V5 x 3 x V5 31 1 1 O-ABD Y g S 4BDi.d=g x 2 x 2v3 x 2V3 x d=2d3D1-ABO=，。-A B%二 d=2即 点。到 平 面 A B%的 距 离 为 楙【解 析】【分 析】（1）在 图 1中 连 接 A C,利 用 4D=CD,LADC=Z.ABC=60,所 以 44co为 等 边 三 角 形，再 利 用。为 CD的 中 点，再 结 合 等 边 三 角 形 三 线 合 一，所 以 4。L C D,即/OJLODi，在 图 2中，平 面 力。5 _ 1 _平 面 4BC0结 合 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 证 出 线 面 垂 直

39、，所 以。Di 1平 面 4BC0,再 利 用 线 面 垂 直 的 定 义 证 出 线 线 垂 直，从 而 证 出 0。1 1 BC。（2）在 图 2 中，连 接 B0,0。11平 面 480）,再 结 合 线 面 垂 直 的 定 义 证 出 线 线 垂 直，所 以 0Di_LA B,再 利 用 J.4。结 合 线 线 垂 直 证 出 线 面 垂 直，所 以 平 面 4 0 5，再 利 用 线 面 垂 直 的 定 义 证 出 线 线 垂 直，则 4BJ.45，即 4480,44BD1均 为 直 角 三 角 形，在 R M 4。中 结 合 勾 股 定 理 得 出 OA的 长，设 点。到 平 面

40、ABD1的 距 离 为 d,再 利 用 三 棱 锥 的 体 积 公 式 结 合 等 体 积 法 得 出。到 平 面 4BQ1的 距 离。20.（10分）某 品 牌 电 脑 售 后 保 修 期 为 一 年，根 据 1000台 电 脑 的 维 修 记 录 资 料（保 修 期 内 所 有 电 脑 维 修 次 数 均 不 超 2 次），这 1000台 电 脑 在 保 修 期 内 需 要 维 修 1次 的 有 300台，需 要 维 修 2 次 的 占 20%,以 这 1000台 电 脑 维 修 次 数 的 频 率 代 替 1台 电 脑 维 修 次 数 的 概 率.（1）（5 分）求 1台 电 脑 保 修

41、 期 内 不 需 要 维 修 的 概 率；（2）（5 分）若 某 人 购 买 2 台 这 个 品 牌 的 电 脑，2 台 电 脑 在 保 修 期 内 是 否 需 要 维 修 互 不 影 响，如 果 2 台 电 脑 保 修 期 内 需 要 维 修 的 次 数 总 和 不 超 过 2 次 的 概 率 大 于 0.8,则 认 为 该 品 牌 电 脑“值 得 信 赖”，请 判 断 该 品 牌 电 脑 是 否“值 得 信 赖”，并 说 明 理 由.【答 案】（1）解：由 题 意 可 知 该 品 牌 电 脑 保 修 期 内 维 修 1次 的 概 率 为：=0.3，该 品 牌 电 脑 保 修 期 内 维 修

42、 2 次 的 概 率 为：20%=0.2,该 品 牌 电 脑 一 年 不 需 要 维 修 的 概 率 为：1 0.3-0.2=0.5.（2）解：品 牌 4 表 示 第 1台 电 脑 在 保 修 期 内 维 修 i次 的 事 件（i=0,1,2）品 牌 学 表 示 第 2 台 电 脑 在 保 修 期 内 维 修 1次 的 事 件（j=0,1,2）P(&)=0.5,P(4)=0.3,P(A2)=0.2P(B0)=0.5,P(Bi)=0.3,P(fi2)=0.24 与 鸟 相 互 独 立,A0Bj,A i B j,色 昌 都 互 斥 2 台 电 脑 保 修 期 内 需 要 维 修 的 次 数 总 和

43、 为。的 概 率：Po=P G M o)=P(A0)x P(B0)=0.5 x 0.5=0.252 台 电 脑 保 修 期 内 需 要 维 修 的 次 数 总 和 为 1的 概 率：Pi=P(A()Bi+力 向)=P(A0B+P(4 B o)=0.5 x 0.3 x 2=0.32 台 电 脑 保 修 期 内 需 要 维 修 的 次 数 总 和 为 2 的 概 率：P2=P(AOB2+A2B0+&B 1)=P(A0B2)+P(A2B0)+P O M D=0.5 x 0.2 x 2+0.3 x 0.3=0.292 台 电 脑 保 修 期 内 需 要 维 修 的 次 数 总 和 不 超 过 2 次

44、的 概 率 P=Po+P1+P2=0.25+0.3+0.29=0,84 0,8所 以 认 为 该 品 牌“值 得 信 赖【解 析】【分 析】(1)利 用 已 知 条 件 结 合 频 率 等 于 频 数 除 以 样 本 容 量 的 公 式 和 对 立 事 件 求 概 率 公 式，进 而 得 出 1台 电 脑 保 修 期 内 不 需 要 维 修 的 概 率。(2)利 用 已 知 条 件 结 合 独 立 事 件 乘 法 求 概 率 公 式 和 互 斥 事 件 加 法 求 概 率 公 式，进 而 得 出 认 为 该 品 牌“值 得 信 赖”。21.(1 0分)如 图 所 示，在 四 棱 锥 P-A B

45、 C D中，己 知 底 面/B C D是 边 长 为 6 的 菱 形，ABC=120,PA=P C,乙 PBD=LPDB=60,E为 线 段 4 B上 的 点，且 第=4.(1)(5 分)证 明：平 面 P 4C，平 面 PBD；(2)(5 分)F为 线 段 PD上 的 一 点，且 EF 平 面 P B C,求 需 的 值 及 直 线 E尸 与 平 面 4B C 0的 夹 角.【答 案】(1)证 明：设 4 c与 BD相 交 于。点，连 接 P。，四 边 形 2BCD为 菱 形，二 AC 1 BD,PA=PC,AC 1 PO,又 BD C P。=0,BD,PO u平 面 PBD,则 4C 1平

46、 面 PBD,AC u平 面 PAC,平 面 P4c 1平 面 PBD.(2)解：在 线 段 PD上 作 F点，过 F点 作 FG/)C,交 PC于 G,连 接 EF,BG,-FG/DC,：.FG/AB,则 FG E B,故 E,F,G,B 四 点 共 面,EF 平 面 PBC,E F u平 面 E F G B,平 面 EFGB C平 面 PBC=BG,EF/BG,故 四 边 形 EFGB为 平 行 四 边 形，则 EB=FG,.BE _ 1.FG _ 1,AE2 网-4 3 F G M P D C,=:在 APB。中，Z.PBD=Z.PDB=60,PO BD,在(1)知 A C _L P O

47、,又 4CClB0=0,AC,BD平 面 4BCD,PO _ L 平 面 4BCD,过 F作 F H 1 B O,交 BO于 H 点，故 F Q H p。且 假=周|=|,.在 APB。中，PO=V27 FH=2A/3-连 接 E H,在 4 B E4中，EH=y/BH2+BE2-2 BH BEcosEBH=g=23,v FH 1平 面/B C D,贝 此 FEH为 直 线 EF与 平 面 4BCD的 夹 角，在 R ta E F H中，FH=EH=2V3.N尸 EH=45。,直 线 E尸 与 平 面 ZBC。的 夹 角 为 45。.【解 析】【分 析】设 4 c与 BC相 交 于。点，连 接

48、 P 0,再 利 用 四 边 形 4BCD为 菱 形，所 以 1B D,再 利 用 24=PC结 合 等 腰 三 角 形 三 线 合 一，所 以/C JL P。，再 利 用 线 线 垂 直 证 出 线 面 垂 直，则 A C，平 面 P B D,再 利 用 线 面 垂 直 证 出 面 面 垂 直，从 而 证 出 平 面 2 4 c J L平 面 PBD。（2）在 线 段 PC上 作 F点，过 户 点 作 FG D C,交 PC于 G,连 接 EF,B G,再 利 用 FG 九 结 合 平 行 的 传 递 性，得 出 FG/1 B,进 而 得 出 FG E B,故 E,F,G,B 四 点 共 面

49、，再 利 用 EF 平 面 PBC结 合 线 面 平 行 的 性 质 定 理 证 出 线 线 平 行，所 以 EF B G,故 四 边 形 EFGB为 平 行 四 边 形，则 EB=F G,再 利 用 黑=/，所 以 等=/，再 利 用 P F G-A P C C结 合 对 应 边 成 比 例，进 而 得 出 黑 的 值，在 4|L L/C D r U|PBD中，zPBD=zPDB=60。结 合 等 腰 三 角 形 三 线 合 一，所 以 PO _ L B D,在（1）知 4C _ L PO结 合 线 线 垂 直 证 出 线 面 垂 直，所 以 P。！平 面 4 B C 0,过 产 作 F H

50、 J.B。，交 BD于 H 点,故 尸。”PCO结 合 对 应 边 成 比 例，得 出 周|的 值，在 A P B。中，仍。|=旧，进 而 得 出|FH|的 值，连 接 E H,在 小 BEH中 结 合 余 弦 定 理 得 出 E H的 长，再 利 用 1平 面 4 B C O,则 NFEH为 直 线 EF与 平 面 4BCD的 夹 角，在 R M E F H中，FH=EH=2 V 3,进 而 得 出 NFE”的 值，从 而 得 出 直 线 EF与 平 面 ABCD的 夹 角。22.（10分）如 图，设 ABC中 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,。为 BC的 中 点，已