第01讲 数列的概念与简单表示法 (精讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习.pdf

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1、第 01讲 数 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法（精 讲）目 录 第 一 部 分：知 识 点 精 准 记 忆 第 二 部 分：课 前 自 我 评 估 测 试 第 三 部 分：典 型 例 题 剖 析 题 型 一：利 用。.与 S”的 关 系 求 通 项 公 式 角 度 1:利 用。“替 换 一-角 度 2：利 用 s s“T替 换 角 度 3：作 差 法 求 通 项 题 型 二：利 用 递 推 关 系 求 通 项 公 式 角 度 1：累 加 法 角 度 2：累 乘 法 角 度 3：构 造 法 角 度 4：倒 数 法 题 型 三：数 列 的 性 质 及 其 应 用 角 度 1：数 列 的 周

2、 期 性 角 度 2：数 列 的 单 调 性 角 度 3：数 列 的 最 值 第 四 部 分：高 考 真 题 感 悟第 一 部 分：知 识 点 精 准 记 忆 1、数 列 的 有 关 概 念 概 念 含 义 数 列 按 照 一 定 顺 序 排 列 的 一 列 数 数 列 的 项 数 列 中 的 每 一 个 数 数 列 的 通 项 数 列 4 的 第 项 a.通 项 公 式 如 果 数 列 4 的 第 项。“与 序 号 之 间 的 关 系 能 用 公 式%=/()表 示，这 个 公 式 叫 做 数 列 的 通 项 公 式 前 n 项 和 数 列 4 中,S“=4+4+L+a,i+a”叫 做 数

3、列 的 前 项 和 2、数 列 的 表 示 方 法(1)列 表 法 列 出 表 格 来 表 示 序 号 与 项 的 关 系.(2)图 象 法 数 列 的 图 象 是 一 系 列 孤 立 的 点(,4).(3)公 式 法 通 项 公 式 法：把 数 列 的 通 项 用 公 式 表 示 的 方 法，如-1.递 推 公 式 法：使 用 初 始 值 q 和。,用=/(4)或 为,4 和 4 M=/(4，。,1)(22)来 表 示 数 列 的 方 法.3、”“与 S”的 关 系,、S,=1若 数 列 4 的 前 项 和 为 s“，则 q=J 4、数 列 的 分 类 分 类 标 准 类 型 满 足 条 件

4、 项 数 有 穷 数 列 项 数 有 限 无 穷 数 列 项 数 无 限 项 与 项 间 递 增 数 列 4+1 之 an其 中 eN+的 大 小 关 递 减 数 列%4 4系 常 数 列 an+=Cln第 二 部 分：课 前 自 我 评 估 测 试 2 31.（2022四 川 绵 阳 高 一 期 中）数 列 1,-葭 j,4一 L 的 一 个 通 项 公 式”=（)A.(-1 V V 7 2 n-lB.(-尸 n2 一 1C.”肃 2/z-l【答 案】B当”=1时，代 入 A 为-1,C为-g,均 不 满 足 题 意:7当=2时，代 入 D为：，不 满 足 题 意 B对=1,2,3,4,均

5、满 足 故 选：B.2.（2022四 川 省 泸 县 第 二 中 学 模 拟 预 测（理）已 知 数 列/满 足 a“+a“=2（N）,。2=3,则=()A.30 B.31 C.32 D.33【答 案】B解：因 为 a“+i-a“=2(e N),所 以 4-4=2,2,-a2=22,a4-a3=23,a5-4=24,因 为 生=3,所 以%=4+2?=7,%=%+2,=15,%=%+24=31；故 选：B3.(2022海 南 华 侨 中 学 高 二 期 中)数 列 4 中，an+an+i=all+2,4=2,生=5,则 4=()A.-3 B.11 C.-5 D.12【答 案】D解：因 为+，*

6、=%+2，4=2,a2=5,所 以 3=4+。2=7,%=3+。2=12;故 选：D4.（2022甘 肃 酒 泉,高 二 期 中（理）已 知 4=1,=!+（2）,则%=_.an-O【答 案】-#1.6由 已 知,可 q得“2=11+1 1 3,1 5 t 1 8=2,a3=l+=,a4=l+=-,%=1+=T.4 a2 2 a3 3 a4 5Q故 答 案 为：.5.（2022 全 国 高 二 课 时 练 习）已 知 数 列 为 的 通 项 公 式 为。“=+3，从 第 项 起 各 n项 均 大 于 10.【答 案】916令+1 0,即 2-10+1 6 0,解 得：8,n又“e N*,.从

7、第 9项 起，各 项 均 大 于 10.故 答 案 为：9.6.（2022浙 江 模 拟 预 测）古 希 腊 著 名 科 学 家 毕 达 哥 拉 斯 把 1,3,6,10,15,21，.这 些 数 量 的（石 子），排 成 一 个 个 如 图 一 样 的 等 边 三 角 形，从 第 二 行 起 每 一 行 都 比 前 一 行 多 1个 石 子，像 这 样 的 数 称 为 三 角 形 数.那 么 把 三 角 形 数 从 小 到 大 排 列，第 1 0个 三 角 形 数 是 解 析：根 据 题 意，三 角 形 数 的 每 一 项 都 是 数 列 处 的 前 项 的 和，即 cin l+2+3+Mj

8、0 55故 答 案 为：55第 三 部 分：典 型 例 题 剖 析 题 型 一：利 用 与 S”的 关 系 求 通 项 公 式角 度 1：利 用。“替 换 S,F t例 题 1.（2022 河 南 河 南 一 模（理）已 知 数 列 q 的 前 项 和 是 S“，且 25“=+，求%的 通 项 公 式；【答 案】4=几;当=1 时，4=*=1；当 时，a=S-S+“一（T）Y-1）=,显 然 4=E=1 满 足 上 式，n n n-2例 题 2.（2022 广 东 茂 名 高 二 期 中）已 知 数 列。,的 前 项 和 为 S,且 3%=2s“+1.求 数 列 叫 的 通 项 公 式；【答

9、案】。=3T当=1 时，3al=2+1,解 得：4=1,当 2 2时,“2S-2 S 3a-3%+1=匈-3%,得=3%,因 为 4=1,可 得 4,工。，所 以 2=3,an-所 以 数 列,是 以 1 为 首 项，3 为 公 比 的 等 比 数 列，所 以。,=3，例 题 3.（2022 黑 龙 江 哈 尔 滨 三 中 高 二 阶 段 练 习）已 知 数 列 为 的 前 项 和 为 S,且 S“=2a“-1.求%的 通 项 公 式；【答 案】2小 令 w=1 得 E=q=2q-1,二 4=1,当 2 2 时，S-=24,-1,则 a=Sn-S_,=2an-2an_t,整 理 得 见=2%_

10、,二.9=2,二 数 列%是 首 项 为 L 公 比 为 2 的 等 比 数 列，二 4=2 小；an-例 题 4.（2022 安 徽 师 范 大 学 附 属 中 学 模 拟 预 测（文）已 知 正 项 数 列 4 的 前 项 和 为 S“,且 满 足 2S=a：+q,（w N，）.求 a,的 通 项 公 式；【答 案】=；由 题 意，当“2 2 时，2S,i则 2。“=4：-_|2+-1可 得 4+q_|=（q+。“一 1）3-q,-i），由 数 列 是 正 项 数 列 可 知，又 2H=裙+4，得=1,所 以 数 列 4 是 首 项 为 1,公 差 为 1 的 等 差 数 列，所 以 4“

11、=1+（-1）=；方 法 总 结 已 知 S“求 4 的 流 程 先 令”=1利 用 q=E 求 出 力;当 心 2时，用-1替 换 S,中 的 得 到 一 个 新 的 关 系 式(S,i)，利 用%=S“-Si(n 2)便 可 求 出 当 2 2时。”的 表 达 式；注 意 检 验 n=1时 的 表 达 式 是 否 可 以 与 n 2时 的 表 达 式 合 并.角 度 2:利 用 s“-S“T替 换 明 例 题 1.(2022 黑 龙 江 大 庆 实 验 中 学 模 拟 预 测(理)已 知 正 项 数 列(满 足 4=1,前 项 和 S,满 足/=底+卮(2 2,e N*)求 数 列 a 的

12、 通 项 公 式；【答 案】。“=2-1；解：4,=底+瓦(N2,eN*)s“-S“_|=+Js“_二 底-6 二=i，凡 是 以 1 为 首 项，1 为 公 差 的 等 差 数 数 列，ys,=n,即 S,=n2,当 2 2 时,4=S”-S,T=2-1,当=1时，q=l 也 成 立，/.an=2-1.2.(2022 辽 宁 沈 阳 市 第 八 十 三 中 学 高 二 开 学 考 试)已 知 数 列 仅“的 前 项 和 为 S“，且 满 足 4+2S“S“T=0(22),%=求 S.；(2)求 数 列%的 通 项 公 式.【答 案】5“=；2n1,n=2%=2且 G N*2小-1)当 应 2

13、 时，由+2S S/=0 得 S 一 i=-2SnSn/,所 以=2,3”一 11 1 11 1 1又 丁=一=2,所 以 丁 是 首 项 为 2,公 差 为 2 的 等 差 数 列.可 得 不=2，所 以 S=-.5 a 3 J 2n（2）由 可 得，当 2 2时“=S 一 刀 片 2(一 1)当=1 时，u/=g,不 符 合 的 2 n(n-l)=112(一 1),n 2且 e N-方 法 总 结：已 知 4 与 5,-s”的 关 系；或 4 与 1+6 1 的 关 系，用 S-S.T替 换 题 目 中 的 与（注 意 记 忆 这 两 个 常 考 模 型）角 度 3：作 差 法 求 通 项

14、 例 题 1.（2022 广 东 高 二 阶 段 练 习）设 数 列%满 足 4+4%+（3-2）a.=3.求 也 的 通 项 公 式;3【答 案】“一 解：数 列 q 满 足 4+4/+(3-2)%=3”,当 九 二 1时，得=3,2 2 时，%+4%+（3-5）%_I=3（-1）,两 式 相 减 得：（3-2）=3,3a=-,3/1-2当=1时，4=3,上 式 也 成 立.3.”不;例 题 2.（2022 江 西 抚 州 高 二 阶 段 练 习（理）已 知 数 列 a,J满 足 e+2%+3%+nan=5n求%的 通 项 公 式；【答 案】a=-n解：对 任 意 的 wN*,4+2/+3%

15、+=5，当 n=1时，则 4=5,当 2 2 时，由 4+2%+3%+4=5 可 得 4+羽+=5（-1）,上 述 两 个 等 式 作 差 可 得=5,：.a=-,n4=5满 足 4=*,因 此，对 任 意 的“e N n n例 题 3.(2022 四 川 成 都 外 国 语 学 校 高 一 期 中(文)已 知 数 列 4 是 等 比 数 列，且 的=4,%=3 2,数 列,满 足:对 于 任 意“，有 3+o A+。也=(_)2向+2.求 数 列 也 的 通 项 公 式；【答 案】b“=解：设 数 列%的 公 比 为，a2=4,a5=32,则 2a$=%/=32,q3=8,q=1,q=2,所

16、 以 数 列 也,的 通 项 公 式 4=2”，afy+a2b2+.+anbn=(-l)-2,+l+2,当 2 2时，cify+02bl+.+。“一 也=(-2)2+2,两 式 相 减 得：岫,=(n-l)-2向+2-(-2)2-2=2,即=(2)，又：岫=2,即=1满 足 上 式，所 以 2=;方 法 总 结：已 知 等 式 中 左 侧 含 有：内，作 差 法(类 似 S,-S,i)(注 意 记 忆 该 模 型)1=1同 类 题 型 归 类 练 1.(2022全 国 模 拟 预 测(理)已 知 数 列 q 的 前 项 和 为 若 4=2,a,M=S,，则 4。;()A.2 B.298 C.2

17、 D.2100【答 案】C当 心 2时，由=S“，可 得：%=S“T，两 式 相 减 得：所 以 4+1=24“，n 2,当”=1 时，/=H=a=2,故 数 列%是 从 第 二 项 开 始 的，公 比 是 2 的 等 比 数 列，所 以 400=2和故 选：c2.（2022陕 西 宝 鸡 中 学 模 拟 预 测（理）已 知 数 列%中，对 任 意 wN*,4+/+,+=3”-1,贝 U a；+a；+a：+a：=（）A.（3 1）2 B.；（3 T）C.9-l D.g（9-l）【答 案】D4+a,+/+,+a”=3-1（J）,+a-+4-+an+i=3W 1 1（2）,得=3向 3=2x3,a

18、=2x3i（N2）.当=1时，=3,-1=2,符 合 上 式，/.a=2x3，/.Q：=4 X9T,2二 a：=4,=9,呢.；是 以 4 为 首 项，9 为 公 比 的 等 比 数 列，W+诏+a：=4x！9）=l（9n-l）-故 选：D.3.（2022四 川 省 成 都 市 新 都 一 中 高 一 期 中（理）已 知 数 列 4 的 前 项 和 为 S“=/+4-3,则 q 的 通 项 公 式 为【答 案】=2,二 12n+3,/7 2当=1 时，ax=S,=I2+4xl-3=2,当 之 2时，an=Sn-Sn_l=n2+4n-3-（n-y+4（n-l）-3|=2n+3,另=1时，2x14

19、-3=5,此 式 不 满 足 i，1.f 2,n=1所 以,的 通 项 公 式 为 a“=12+3 w2.f 2,n=1故 答 案 为：4=。q K2n+3,n 24.（2022辽 宁 沈 阳 二 中 高 二 期 中）已 知 数 列 叫 满 足 3-2+3-22+341+4,=2,wN*,则 数 列 4 的 通 项 公 式 为.当=1 时，4=2.当“2 2时，3-%+3-%2+34-+4,=2,32q+313利+*=2-.一 3x，得 4=-2T（？2）.f 2,n=1,因 为=2 不 满 足 上 式，所 以%=1 2,7 2 2 2f 2,=1,故 答 案 为：4=r.M?5.（2022山

20、 东 聊 城 三 模）设 数 列 4 的 前 项 和 为 S“，且 满 足 5,=2”“一 2.求 数 列%的 通 项 公 式；【答 案】4=2；山 S,=2%-2 得，当=1 时，St=2at-2,解 得 q=2.当 n2 时,S_,=2a_,-2,从 而 an=2a-2a_,即 an=2 4T，因 此 数 列 q 是 等 比 数 列，其 首 项 和 公 比 都 等 于 2,所 以 4=2”.6.（2022全 国 高 三 专 题 练 习（理）已 知 正 项 数 列 应 的 首 项 为 1,其 前“项 和 为 S”,满 足 4=底+厩 7（心 2）.求 证：数 列 为 等 差 数 列，并 求

21、数 列 4 的 通 项 公 式；【答 案】证 明 见 解 析，%=2-1 4=+J S“T（2 2）S“-S“_、=+J S i，1 a.0.S“0（”），/.（向+反）（底-卮）=疯+卮，-Si=1（2 2）,又 M=I,二 底 是 以 1 为 首 项，1 为 公 差 的 等 差 数 列；所 以 7=l+（-l）xl=，,S“=2,当=1 时，4=E=1,当 N 2 时，a=5-S.I=2n-l,当=1时，上 式 也 符 合，所 以 a“=2-l.7.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）设 数 列 4 的 前 项 和 为 5，。向=S,S向,=1.求 证：数 列,是 等 差 数 列；

22、【答 案】(1)证 明 见 解 析；(1)Q-5s+l=+1=5+l-s,S,=l o,则 S,产 0,所 以 一 安 言,有 一 一 一 9=1，所 以 数 列,5 I是 以 1为 首 项，1为 公 差 的 等 差 数 列.，+1，3“题 型 二：利 用 递 推 关 系 求 通 项 公 式 角 度 1:累 加 法 累 加 法(叠 加 法)(记 忆 累 积 法 模 型)若 数 列 册 满 足 d-册=f(n)(e N*),则 称 数 列 册 为“变 差 数 列，求 变 差 数 列,的 通 项 时，利 用 恒 等 式 a“=q+(a2-)+(%-h(a a-)=q+/+/+/(3)H-h/(_

23、1)(2)求 通 项 公 式 的 方 法 称 为 累 加 法。具 体 步 骤：。2-。1=/(Da3-a2=f(2)。4一。3=/区,-%=/(”1)将 上 述-1个 式 子 相 加(左 边 加 左 边，右 边 加 右 边)得：(4。)+(。3 一”2)+(%一%)1-an-)=/(0+/(2)+/(3)H-整 理 得:a-a,=/(l)+/(2)+/(3)+-+/(n-l)例 题 1.(2022 宁 夏 平 罗 中 学 高 一 期 中(理)已 知 数 列 仅“中，4=1,当 2 2 时,%-加=n.求 数 列 an 的 通 项 公 式；【答 案】4=田 誓 解：因 为 q=1,当 IN 2

24、时,4-,所 以 2-4=2,%-。2=3,L,an-an_x=nf%=q+%+%+。”a,=1,+_ 2+=n(l+n)n2+/122例 题 2.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）设 数 列 q 满 足=1,则 数 列 q 的 通 项 公 式.【答 案】氏=2（1-口（工）当 22 时，aH-an_f=,an_f-an_2 L a2ai=将 上 式 累 加 得：4,一=5+*+,+/，2又=1时，q=l也 适 合，4=2 一 击=2（1一 具 故 答 案 为：a“=2（l（eN*）例 题 3.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 在 数 列%中，q=3,a“=a,i+

25、2T（之 2）.求 数 列 4 的 通 项 公 式；【答 案】（1）=2+1；（2）解：（1）因 为%=a,i+2 T（N2）,所 以 q a“T=2T（2 2）当 2 2时，“I）+（生%）+（为-生）+（可 a,1）=2,+2+2”所 以 氏 _。=2 二 2二）,（“2 2）,所 以 4=2+1,（2 2）,又 当”=1 时 q=3,满 足 条 件，1 2所 以“=2+1；角 度 2：累 乘 法 累 乘 法（叠 乘 法）（记 忆 累 乘 法 模 型）若 数 列 册 满 足 况=/（）（“eN*）,则 称 数 列 a,为“变 比 数 列，求 变 比 数 列 册 的%通 项 时，利 用/=4

26、-a/（1）（2 2）求 通 项%4 由%公 式 的 方 法 称 为 累 乘 法。具 体 步 骤：幺=/(2)%幺=八 3)%1）%将 上 述-1个 式 子 相 乘（左 边 乘 左 边，右 边 乘 右 边）得:&=/(1)./(2)/(3)/(-1)1 2。3-1整 理 得：2/-/(n-1)%例 题 1.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)在 数 列 但“中，4=1,%(之 2),求 数 列%的 通 项 公 式.【答 案】=-n因 为“尸 1,a”=fl-，a“T(22),所 以 殳,I nJ a.n所 以 吐 2 1.1 4T%一 2%4 q n n-n-2 3 2 n又 因 为

27、当”=1时，ai=l,符 合 上 式，所 以“=Ln例 题 2.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)若 数 列%满 足=1,an=n(an+l-a),eN,求 数 列%通 项 公 式.【答 案】册=,4=(4向-4)，-二.%X&a an 2 3 4 n X X X-=X-X X x-4 a2 a3%-1 2 3 1 例 题 3.（2022蜥 江 咛 波 市 北 仑 中 学 高 二 开 学 考 试）已 知 数 列 见 满 足：4=J,。向=宇 凡,4 4/2n wN*）且 其 前 项 和 为 S“.求 明 与 S,；77【答 案】（1）an=-3+4 4)+1%H+1解：(1)由 得

28、当 心 2 时,j Y I又 a=W也 满 足 上 式，故 4=不（）.c1 2 3 ns,r+不+不+/1 o 1 2 n-n4”42 43 4 4+i相 减 得,3 c _ 1 1 1 1 n广 二+不+不+不 一 产 s 3+4 4)角 度 3：构 造 法 用“待 定 系 数 法”构 造 等 比 数 列 形 如。“+1=3“+（匕 P为 常 数，kpfO）的 数 列，可 用“待 定 系 数 法”将 原 等 式 变 形 为 为 向+,=&（%+?）（其 中：?=不、），由 此 构 造 出 新 的 等 比 数 列 4+”?,先 求 出 k-斯+厨 的 通 项，从 而 求 出 数 列 6,的

29、通 项 公 式.标 准 模 型：即+=&”+p（%，。为 常 数，切 片 0）或%“T+（太。为 常 数，k p i例 题 1.（2022 陕 西 绥 德 中 学 高 一 阶 段 练 习）已 知 数 列%满 足 6=1,%”=2a“+l（N*）.（D 写 出 该 数 列 的 前 5项；求 数 列%的 通 项 公 式；【答 案】1=1,4=3,%=7,%=15,a5=31。=2-1=1,/.4=2q+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31.(2)由-=2a“+l得：/+1=2(%+1),又 q+l=2,数 歹,+1 是 以 2 为 首 项，2 为 公 比 的

30、 等 比 数 列，.。,+1=2”，例 题 2.(2022 海 南 模 拟 预 测)设 数 列%的 前 n 项 和 为 S,=4,2S“=。,川+2-4.求 数 列 叫 的 通 项 公 式；【答 案】。,=3+1解：因 为 数 列 4 的 前 项 和 为 3，4=4,2S“=a,m+2-4,当“2 2 时，2s“_1=”“+2-6,两 式 相 减 可 得 2%=2S-2s.i=。+|+2-4-(%+2-6)=a,-a+2,即%=3”“一 2,可 得%-1=3 0-1),即 为=3,a-%1 1 0-1 C当”=1时，2=生+2-4,所 以 生=10,所 以:=7 丁=3,q 1 4 1所 以

31、数 列%-1 是 以 3 为 首 项，3 为 公 比 的 等 比 数 列，所 以 4-1=3,即 勺=3+1,所 以 数 列,的 通 项 公 式 可=3+1.例 题 3.(2022 河 南 沈 丘 县 第 一 高 级 中 学 高 二 期 末(理)已 知 数 列/的 前 项 和 S,=2,+-3.求 乩 的 通 项 公 式；【答 案】=2T+1,S“=2a“+-3.当”=1 时，=2(?1+1-3,可 得 q=2.当 22 时，Si=2%+(-1)-3.一 得 a“=2a“_1-1,则 4,T=2(%T),而 即 1=1不 为 零，故”,-1 是 首 项 为 1,公 比 为 2 的 等 比 数

32、列，则 a,-l=2T.数 列,的 通 项 公 式 为 a“=2i+l,eN*.角 度 4：倒 数 法 用“倒 数 变 换 法”构 造 等 差 数 列类 型 1：形 如 册+|=上-4为 常 数，Pq*O）的 数 列，通 过 两 边 取“倒”，变 形 pa“+q为 一 匚=，+“，即：从 而 构 造 出 新 的 等 差 数 列 先 求 出 1 4 的 通 项，即 可 求 得 册.ka,类 型 2：形 如。用=（P M 为 常 数，声 0,攵。0）的 数 列，通 过 两 P 4+q边 取“倒”，变 形 为 一 L=：+4,可 通 过 换 元：2=,化 简 为：%=?+?（此%k a”k a k

33、k类 型 符 构 造 法 类 型 1：用“待 定 系 数 法”构 造 等 比 数 列：形 如%+|=如“+（上。为 常 数，粒#0）的 数 列，可 用“待 定 系 数 法”将 原 等 式 变 形 为%+i+?=%3“+M（其 中：?=占）,k-由 此 构 造 出 新 的 等 比 数 列 册+加,先 求 出“+，的 通 项，从 而 求 出 数 列,的 通 项 公 式.）例 题 1.（2022 辽 宁 高 二 期 中）已 知 数 列 4,满 足 4=2,4=.（1）证 明：数 列 工 为 等 差 数 列.求 明.2【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）q=一.n 证 明:-4=2 a 小 工.

34、4,+2 2a,2 an1 1 _ 11二 丁 5，即,是 首 项 为=；，公 差 为 d 的 等 差 数 列.4 2 2 由 上 述 可 知;=1+（T）=g,an a Z2凡=一 n例 题 2.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列 a,J中，a,=1,。向=，（%）,“十。证 明：数 列,+4 是 等 比 数 列 a 2j【答 案】证 明 见 解 析因 为 4+i 2 所 以 5 个 n e N,即 1=3+l(/c N%C ln1 1 c,1 1、所 以+T=3(+-)+i 2 a 21 1 3V+-=-%2 23是 以|为 首 项，3 为 公 比 的 等 比 数

35、列.同 类 题 型 归 类 练 1.（2022四 川 省 泸 县 第 二 中 学 模 拟 预 测（文）已 知 数 列 为 满 足 4 m-4=2,q=l,则%=()A.30 B.31 C.22 D.23【答 案】B因 为 数 列 4 满 足 向 一 4=2，弓=1,所 以 a?-4=2、a3-a2=22,a4-a3=2 a5-a4=24,所 以(4)+(4%)+(%6)+(5%)=2,+2+2,+24,所 以%=1+21+22+23+24=31,故 选：B2.(2022陕 西 长 安 一 中 高 一 阶 段 练 习)已 知 数 列%满 足。e-4,=2(旷)，q=3,则 舁 的 最 小 值 为

36、()2nA.0 B.25/3-1 C.-D.34【答 案】C由 数 列 an 满 足 一%=2，且=3,可 得=q+(4-4)+(a3 一/)1*-)=3+2 1+2+3+(1)=3&+2 x-1-)-(-1-+-1-)=m(n-1)n4-3,2则=-1)+。=2 5+。-1),2n 2 n 2 n因 为 函 数 y=x+在(0,。1上 单 调 递 减，在 省,+8)上 单 调 递 增，X所 以 当=1 时，#7=(；当=2时，-=7；当=3时，卢=。，2x1 2 2x2 4 2x3 2所 以 舁 的 最 小 值 为.2 4故 选；c.3.(2022浙 江,杭 州 市 富 阳 区 实 验 中

37、学 高 二 阶 段 练 习)已 知 4=2,a“*1=a,则%OK=n()A.504 B.1008 C.2016 D.4032【答 案】D,c+1 全 组*_+l由 4=2,4,+1=-4,可 得：-1-,n a n,2016 2015”2 2016 2015 2 c/inon故 出。16=3,产“丁 2=4032,“2015 2014”i 2015 2014 1故 选：D.4.(2022福 建 省 永 春 第 一 中 学 高 二 期 末)若 数 列 q 满 足(n-1)4=(N+1)4I(N2)，4=2,则 4=()A.2 B.6 C.12 D.20【答 案】D/、/凡+1由(T)a,=(+

38、l)4i 得=行，n-I%a,3 3 4 5/z+1/八 a”6-x x-=2x x-x x x-=/?(+1)(/?2),a a2%1 2 3 n-.“=4(4+1)=20.故 选：D5.(2022全 国 高 二)已 知 数 列 4 满 足(+2)。的=(+l)a“，且 2=g，则 4,=()H-1 1 7?-1A.-B.-C.-n+1 2/?-1 2n-l【答 案】D数 列 伍“满 足 5+2)%=(+l)a“，且 外=g，.1%_+11 2 an+21D.十 1a2 _ 2ax 3累 乘 可 得:a“%/_ 一 1 一 2 2“_ 2%H+l n n-3可 得：4=2 1 1/?+1故

39、选：D.6.（2022浙 江 模 拟 预 测）数 列 也 满 足%a,=l,则 下 列 结 论 错 误 的 是（）2 1 1-A.一=一+B.2”是 等 比 数 列 即）3 4 7C.（2-1）%=1 D.3a5 7=4 9【答 案】D由 4+1a a,八 E 且 4=1 则 不 T,%1+2”,0,L,以 此 类 推 可 知，对 任 意 的 w N，,”“0,1 1+24 1 c 1 1 c 1,所 以，-=-=1+2,所 以-=2,且 一=1,见 3 4。+1 6所 以，数 列 是 等 差 数 列，且 该 数 列 的 首 项 为 1,公 差 为 2,所 以，=l+2（n-l）=2n-l,则

40、（2-1）q=1,其 中”N*,C 对;2=F=2?=4,所 以，数 列 2”是 等 比 数 列，B 对;2 1 1由 等 差 中 项 的 性 质 可 得=+，A 对:a0 a3 a l由 上 可 知 4=e 1则 3a5an=3 x2x5-1x-2x17-11 1 199 4499=2x49-1=97所 以，3 5。17 W。4 9，D 铅.故 选：D.7.（2022全 国 高 二 专 题 练 习）已 知 数 列%满 足 4=1,=渣 二，（eN*）,则 满 足 4,的”的 最 大 取 值 为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答 案】Ca 1,1 1 1 1解：因 为。用=广=，所 以

41、丁=4+广，所 以-=4,又 一=1,4,+1%a。用 a q数 列 L 是 以 1 为 首 项，4 为 公 差 的 等 差 数 列.所 以；=1+4（-1）=4-3,所 以 可=_,由/上，即 1，即 0 4 一 3 0,*.P 勺+1若 p=l,求 数 列 4 的 通 项 公 式；【答 案】勺=,C（-N*）（2）6,10（1）由 题 意，4“=一 七，得：=n,运 用 累 加 法：阳+1 4用%1 1 1 1 1 1,c”（+1）-1-1-4-=1+2+=-,%4 4 a2%4 21 _+1 _ n2+n+2p4+i 2+q 22 2,”+i T+27p an-一+2，P-1 2、2an

42、=：-,=1 时，也 成 立，/.cin=-；n 一+2 n-+2+29.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列%中，q=1,前 n 项 和 S o=工 一”.（I）求 生,附（口）求%的 通 项 公 式.答 案（1昭 尸 6年 n(n+1)an-2(1油 S、=：a、得 3(q+a尸 4 a:解 得 a、=3%=33A 2由 鸟=g a 彳 导 3(q+a：+a；5 a；，解 得 a；=二(生+q)=63 2(2油 题 设 知，q=l当 n l时，有 q=S“-S z=a”一 a z3 3整 理 得 小=片 4Tn-1z p e 1 3 4 n n+1-tAEa1=L a2

43、=Ta1!a3=-a;-a1!,1=7.=-a,1 2 n-2 n-1将 以 上，r&等 式 两 端 分 别 相 乘，整 理 得 a小 吗 工 综 上,4 的 通 项 公 式 为&=当 辿 10.(2022全 国 高 二)已 知 数 列 4 的 前 八 项 和 S=2,数 列 出 中=1且 满 足 葭=“+l(eN*).求 4、2 的 通 项 公 式；【答 案】4=2-1,b=2n-l.(1)当“2 2(5 寸，a,=S“S“T=A?_(_ J=2 _ 当”=1时,a,=5,=2x1-1,满 足 上 式/.an=2n-l%+1=2(+1)且 4=1,数 列 也+1 是 首 项 为 2,公 比

44、为 2 的 等 比 数 列.”,+1=2,h=2-l题 型 三：数 列 的 性 质 及 其 应 用 角 度 L 数 列 的 周 期 性 例 题 1.(2022 全 国 高 二 课 时 练 习)在 数 列 4 中，若 4=3,%=6,at2=a+l-则 的 以 等 于()A.6 B.-6 C.3 D.3【答 案】B解：因 为 4=3,%=6,all+2=an+l-an,所 以 为=%一%=3,4=ihai=-3-a5=a4 a3=6,=a5 a4=3 f a7=ah a5=3,/=%4=6,所 以 a+6=an,所 以 脸=&3蚪 5=%=-6；故 选：B例 题 2.（2021 全 国 高 二

45、课 时 练 习）已 知 数 列 伍”满 足”用 2a(0a 2an-l(-an D则。2016的 值 为（)5737A.IB.C.【答 案】C计 算 得。2=2 q-1=2 x-l=,a j 2a2-l=2 x y-l=1-,。k 2%=2,X,3 _=67，as2a.1=2 x 1=,4 7 7观 察 归 纳 得：数 列 是 以 3 为 周 期 的 周 期 数 列，又 因 为 2 016=672x3,一 3所 以 a20i6=a3=-7故 选：C.例 题 3.（2021 河 南 信 阳 高 三 阶 段 练 习（文）在 数 列/中，a,=2,a7,+1则 021=(A-1 2B.-3C-3D.

46、2D-71-屋)【答 案】D1+212-3,=3 1+3 24=2,a2%=2,故 数 列%是 以 4 为 周 期 的 周 期 数 列,1 3202=八-故 选 故 例 题 4.（2022 全 国 高 二 课 时 练 习）已 知 数 列%,满 足。,用=匚 丁，若 4=g,则 4。=A.g B.2【答 案】A1 口 1由=1-,且 4=-2C.1 D.-1出=一=一=2 1 1 1 1 1则-4 1 1，%1-=-1,4=7-=1/1 I-Cl-y 1-2-。3-（一）2所 以 4,+3=4（e N*）,即 数 列%是 以 3 为 周 期 的 周 期 数 列 所 以 4。=4=；故 选：A例

47、题 5.（2020 江 西 南 昌 十 中 高 三 阶 段 练 习（文）数 列%,满 足 4=2,4*=1（eN+）,贝！）“2。21=（）A.2 B.1 C.2 D.g【答 案】B1 1由 4=2,+（=-川：a2=-1,a3=,a4-2,a,=-1l-an 2,4“是 周 期 为 3 且 6=2,a2=-l,%=g 的 周 期 数 列，而 2021=3x673+2,a2O2i=a2=-1.故 选：B.方 法 总 结：利 用 数 列 周 期 性 解 题 的 方 法（试 探+找 规 律）先 利 用 所 给 数 列 的 递 推 公 式,结 合 数 列 的 首 项,求 出 数 列 的 前 几 项,

48、通 过 前 几 项 观 察 发 现 数 列 的 周 期 性,并 确 定 数 列 的 周 期,然 后 再 解 决 相 关 的 问 题.角 度 2：数 列 的 单 调 性 例 题 1.（2022 陕 西 长 安 一 中 高 二 期 末（文）若%=加 3,则 凡 与。用 的 大 小 关 系+2是（）A.a a+lB.an 0,即 4 4+1故 选：B例 题 2.（2022 吉 林 长 春 吉 大 附 中 实 验 学 校 高 二 期 末）已 知 数 列 bn 的 通 项 公 式 为 沏-3（wM）,且 数 列,是 递 增 数 列，则 实 数 力 的 取 值 范 围 是（）A.（f,2）B.C.（-oo

49、,3）D.（Y,3【答 案】C22n+l,即 是 2 小 于 2+l的 最 小 值，21,函 数/（x）=（3a）x3 在 1,7）上 为 增 函 数，可 得 3。0,可 得”3,且 有 为 6，即 7（3-。）-3=18-74“0,解 得。2.综 上 所 述，2a3.故 选：C.例 题 4.（2022辽 宁 建 平 县 实 验 中 学 高 二 期 中）已 知 数 列 4 满 足 4,若 V eN*,。向 4,恒 成 立，则”的 取 值 范 围 是（）D.【答 案】A因 为“向 4,恒 成 立，所 以 数 列%是 递 减 数 歹 U，l-5a0所 以，,0 5l-5a0即 0a2a2+3 故

50、选：A.方 法 总 结：判 断 数 列 单 调 性 的 方 法（1）利 用 数 列 所 对 应 的 函 数 的 单 调 性 确 定 数 列 的 单 调 性（注 意 数 列 中 只 能 取 整 数）.对 数 列 的 相 邻 两 项 作 差（作 商），即 通 过 判 断%-%的 符 号,来 确 定 数 列 的 单 调 性，作 商 需 满 足“，产 o（G N*）.角 度 3：数 列 的 最 值 例 题 1.（2022 四 川 什 那 中 学 高 一 阶 段 练 习）已 知 在 数 列 中，a,=-2 2+25+3O（wN*）,则 数 列 中 最 大 项 的 值 是（）A.107 B.108 C.1