考点16空间几何体（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考）(教师版）.pdf

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1、考 点 1 6 空 间 几 何 体(核 心 考 点 讲 与 练)-考 点 考 向 空 间 几 何 体 的 表 面 积、体 积 1.空 间 几 何 体 的 结 构 特 征(1)多 面 体 的 结 构 特 征 名 称 棱 柱 棱 锥 棱 台 图 形 D，A BAA HDSA B底 面 互 相 平 行 且 全 等 多 边 形 互 相 平 行 且 相 似 侧 棱 平 行 且 相 等 相 交 于 一 点,但 不 一 定 相 等 延 长 线 交 于 一 点 侧 面 形 状 平 行 四 边 形 三 角 形 梯 形(2)旋 转 体 的 结 构 特 征 名 称 圆 柱 圆 锥 圆 台 球 图 形 1 a最 母

2、线 互 相 平 行 且 相 等，垂 直 于 底 面 相 交 于 一 点 延 长 线 交 于 一 点 X轴 截 面 全 等 的 矩 形 全 等 的 等 腰 三 角 形 全 等 的 等 腰 梯 形 圆 侧 面 展 开 图 2矩 形 扇 形 扇 环 X.圆 柱、圆 锥、圆 台 的 侧 面 展 开 图 及 侧 面 积 公 式 圆 柱 圆 锥 圆 台侧 面 展 开 图 E.2 y z _.圜/J A/2宣 小 侧 面 积 公 式 S 圆 柱=2 货 r l S 附 律 恻=n r l S 加 台 蒯=n（力+目）13.空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积 公 式 名 称 几 何 体 表 面 积

3、 体 积 柱 体（棱 柱 和 圆 柱）S 表 面 积=S i则+2 S 底 V=S 底 h锥 体（棱 锥 和 圆 锥）S 表 面 枳=Sffj+S底 O台 体（棱 台 和 圆 台）S 表 面 积=S（PJ+S 上+S 下，=；（S 上+5 下+后 南 方 球 S=4 31.求 解 几 何 体 表 面 积 的 类 型 及 求 法 2.求 体 积 的 常 用 方 法 求 多 面 体 只 需 将 它 们 沿 着 棱“剪 开”展 成 平 面 图 形，利 用 求 平 面 图 形 面 积 的 方 法 求 多 的 表 面 积 面 体 的 表 面 积 求 旋 转 体 可 以 从 旋 转 体 的 形 成 过 程

4、 及 其 几 何 特 征 入 手，将 其 展 开 后 求 表 面 积，但 要 的 表 面 积 搞 清 它 们 的 底 面 半 径、母 线 长 与 对 应 侧 面 展 开 图 中 的 边 长 关 系 求 不 规 则 几 何 体 的 通 常 将 所 给 几 何 体 分 割 成 基 本 的 柱 体、锥 体、台 体，先 求 出 这 些 基 本 的 柱 体、锥 体、台 体 的 表 面 积，再 通 过 求 和 或 作 差，求 出 所 给 几 何 体 的 表 面 积 表 面 积 直 接 法 对 于 规 则 的 几 何 体，利 用 相 关 公 式 直 接 计 算割 补 法 首 先 把 不 规 则 的 几 何

5、体 分 割 成 规 则 的 几 何 体，然 后 进 行 体 积 计 算；或 者 把 不 规 则 的 几 何 体 补 成 规 则 的 几 何 体，不 熟 悉 的 几 何 体 补 成 熟 悉 的 几 何 体，便 于 计 算 选 择 合 适 的 底 面 来 求 几 何 体 体 积，常 用 于 求 三 棱 锥 的 体 积，即 利 用 三 棱 锥 的 任 等 体 积 法 一 个 面 可 作 为 三 棱 锥 的 底 面 进 行 等 体 积 变 换 3.几 何 体 的 外 接 球：一 个 多 面 体 的 顶 点 都 在 球 面 上 即 为 球 的 外 接 问 题，解 决 这 类 问 题 的 关 键 是 抓

6、住 外 接 球 的 特 点，即 球 心 到 多 面 体 的 顶 点 的 距 离 等 于 球 的 半 径.几 何 体 的 内 切 球：求 解 多 面 体 的 内 切 球 问 题，一 般 是 将 多 面 体 分 割 为 以 内 切 球 球 心 为 顶 点，多 面 体 的 各 侧 面 为 底 面 的 棱 锥，利 用 多 面 体 的 体 积 等 于 各 分 割 棱 锥 的 体 积 之 和 求 内 切 球 的 半 径.4.截 面 问 题：在 高 考 立 体 几 何 考 点 中 涉 及 到 空 间 几 何 体 的 截 面 的 地 方 较 多，如:判 断 截 面 的 形 状、计 算 出 空 间 儿 何 体

7、的 截 面 周 长 或 面 积、或 者 求 与 之 相 关 的 体 积 问 题、以 及 最 值 问 题 都 在 考 察 之 列，但 是 要 顺 利 地 解 决 前 面 所 提 到 的 诸 多 问 题，关 键 是 根 据 题 意 作 出 截 面，并 判 断 其 形 状.空 间 几 何 体 的 表 面 积 一、单 选 题 1.（2022海 南 海 口 模 拟 预 测）己 知 圆 柱 的 侧 面 积 等 于 上、下 底 面 积 之 和，圆 柱 的 体 积 与 表 面 积 的 数 值 相 同,则 该 圆 柱 的 高 为（）A.8 B.4 C.2 D.1【答 案】B【分 析】根 据 已 知 条 件 及

8、圆 柱 的 侧 面 积、表 面 积 和 体 积 公 式 即 可 求 解.【详 解】设 底 面 圆 的 半 径 为，高 为，则 山 题 意 可 知,2nrh=2兀/nrh=271r2+2nrh解 得/?=r=4.所 以 该 圆 柱 的 高 为 4.故 选：B.2.（2022福 建.模 拟 预 测）已 知 某 圆 台 的 高 为 正，上 底 面 半 径 为 近，下 底 面 半 径 为 2及，则 其 侧 面 展 开 图 的 面 积 为（）A.9万 B.6M兀 c.9岳 D.8叵 兀【答 案】C【分 析】可 得 展 开 图 为 圆 环 的 一 部 分，求 出 小 圆 和 大 圆 半 径 即 可 求 出

9、.【详 解】易 知 母 线 长 为，（爆 丫+（2夜-夜=3,且 上 底 面 圆 周 为 2 0 万，下 底 面 圆 周 为 4&兀，易 知 展 开 图 为 圆 环 的 一 部 分，圆 环 所 在 的 小 圆 半 径 为 3,则 大 圆 半 径 为 6,所 以 面 积 S=,x 6 x 4夜;7-1*3*2 0万=9丘.2 2故 选：C.2九 3.（2021湖 北 省 黄 石 市 高 三 上 学 期 9月 调 研）已 知 圆 锥 的 母 线 长 为 3亚，其 侧 面 展 开 图 是 一 个 圆 心 角 为 彳 的 扇 形，则 该 圆 锥 的 底 面 面 积 是（）.A.兀 B.2K C.3 7

10、t D.4K【答 案】B【分 析】先 求 圆 锥 的 底 面 半 径，由 此 即 可 计 算 出 圆 锥 的 底 面 面 积.【详 解】设 圆 锥 的 底 面 半 径 为，271r 2万 则 1 万=3-，解 得 r=J 5所 以 圆 锥 的 底 面 面 积 为 万 x（、历=2.故 选：B二、多 选 题 4.（2022山 东 聊 城 二 模）用 与 母 线 不 垂 直 的 两 个 平 行 平 面 截 一 个 圆 柱，若 两 个 截 面 都 是 椭 圆 形 状，则 称 夹 在 这 两 个 平 行 平 面 之 间 的 几 何 体 为 斜 圆 柱.这 两 个 截 面 称 为 斜 圆 柱 的 底 面

11、，两 底 面 之 间 的 距 离 称 为 斜 圆 柱 的 高，斜 圆 柱 的 体 积 等 于 底 面 积 乘 以 高.椭 圆 的 面 积 等 于 长 半 轴 与 短 半 轴 长 之 积 的 万 倍，已 知 某 圆 柱 的 底 面 半 径 为 2,用 与 母 线 成 45。角 的 两 个 平 行 平 面 去 截 该 圆 柱，得 到 一 个 高 为 6 的 斜 圆 柱，对 于 这 个 斜 圆 柱，下 列 选 项 正 确 的 是（）A.底 面 桶 圆 的 离 心 率 为 正 2B.侧 面 积 为 240JIC.在 该 斜 圆 柱 内 半 径 最 大 的 球 的 表 面 积 为 367D.底 面 积

12、为 4血 兀【答 案】ABD【分 析】不 妨 过 斜 圆 柱 的 最 高 点。和 最 低 点 B 作 平 行 于 圆 柱 底 面 的 截 面 圆，夹 在 它 们 之 间 的 是 圆 柱，作 出 过 斜 圆 柱 底 面 椭 圆 长 轴 的 截 面，截 斜 圆 柱 得 平 行 四 边 形，截 圆 柱 得 矩 形，如 图，由 此 截 面 可 得 椭 圆 面 与 圆 柱 底 面 间 所 成 的 二 面 角 的 平 面 角，从 而 求 得 椭 圆 长 短 轴 之 间 的 关 系，得 离 心 率，并 求 得 椭 圆 的 长 短 轴 长，得 椭 圆 面 积，利 用 椭 圆 的 侧 面 积 公 式 可 求 得

13、 斜 椭 圆 的 侧 面 积，由 斜 圆 柱 的 高 比 圆 柱 的 底 面 直 径 大，可 知 斜 圆 柱 内 半 径 最 大 的 球 的 直 径 与 圆 柱 底 面 直 径 相 等，从 而 得 其 表 面 积，从 而 可 关 键 各 选 项.【详 解】不 妨 过 斜 圆 柱 的 最 高 点。和 最 低 点 B 作 平 行 于 圆 柱 底 面 的 截 面 圆，夹 在 它 们 之 间 的 是 圆 柱，如 图,矩 形 ABCD是 圆 柱 的 轴 截 面，平 行 四 边 形 BFDE是 斜 圆 柱 的 过 底 面 椭 圆 的 长 轴 的 截 面，山 圆 柱 的 性 质 知 ZABF=45,则 5尸

14、=血 45，设 椭 圆 的 长 轴 长 为 射，短 轴 长 为 处，则 2=0-2匕，a=J%，c=-Ja2 b2 a2 a）2=a 所 以 离 心 率 为 e=f=走，A 正 确；a 2E G L B F,垂 足 为 G,则 EG=6,易 知 NBG=45,BE=6旧 又 C=A尸=钻=4,所 以 斜 圆 柱 侧 面 积 为 S=2允 x2x（4+6夜）一 2乃 x2x4=24r,B 正 确:26=4,b=2,2a=4五，a=2 0，椭 圆 面 积 为 nab=4&兀，D 正 确；山 于 斜 圆 锥 的 两 个 底 面 的 距 离 为 6,而 圆 柱 的 底 面 直 径 为 4,所 以 斜

15、圆 柱 内 半 径 最 大 的 球 的 半 径 为 2,球 表 面 积 为 47rx2?=16打,C 错.故 选：ABD.RB5.（2022河 北 模 拟 预 测）已 知 正 四 棱 台 ABCO-A4GR（上 下 底 面 都 是 正 方 形 的 四 棱 台）.下 底 面 ABC。边 长 为 2,上 底 面 边 长 为 1,侧 棱 长 为 五，则（）A.它 的 表 面 积 为 5+3将B.它 的 外 接 球 的 表 面 积 为 逑 万 3C.侧 棱 与 下 底 面 所 成 的 角 为 60D.它 的 体 积 比 棱 长 为 近 的 正 方 体 的 体 积 大【答 案】ACD【分 析】分 别 求

16、 得 上、下 底 面 面 积，再 求 得 侧 面 等 腰 梯 形 4 8 4 A 的 面 积，即 可 判 断 A 的 正 误；如 图 作 辅 助 线，可 求 得 各 个 长 度，根 据 三 角 函 数 的 定 义，可 判 断 C 的 正 误；求 得 G Q 的 长，分 析 可 得。2即 为 正 四 棱 台 4 B C D-A 4 G A 外 接 球 的 球 心，且 外 接 球 半 径/?=友，代 入 表 面 积 公 式，可 判 断 B 的 正 误；分 别 求 得 正 四 棱 台 的 体 积 匕 和 正 方 体 的 体 积 匕，利 用 作 商 法 比 大 小，即 可 判 断 D 的 正 误，即

17、可 得 答 案.【详 解】由 题 意 得：上 底 面 A B C Q 的 面 积，=1x1=1,下 底 面 4 2 8 的 面 积 52=22=4,侧 面 A 8 8 H 为 等 腰 梯 形，过 A、片 分 别 做 A B 的 垂 线，垂 足 为 E、F,如 图 所 示 所 以 EF=A A=1,则 AE=BF=g,所 以 B F=J BB：-BF2=且,所 以 梯 形 A%A 的 面 积 为 邑=g x(1+2)x,=乎，所 以 正 四 棱 台 ABC。-A B C Q 的 表 面 积 5=工+S2+4 X S3=5+35，故 A 正 确;连 接 A G，B Q,且 交 于 点。一 连 接

18、A C、8。交 于 点。厂 连 接 O R,则。2垂 直 底 面 ABCD,过 A 作 A G，/!。?于 G,则 A G，底 面 4 8 C O,则 四 边 形 AGOzOi为 矩 形，由 题 意 得 A G=J AB：+B。=6 所 以 A O=，同 理 AC=2 0,4?2=0，乂 4。1=GO,，所 以 AG=，也 在 即 州 G A 中，cs“AG=9=工 1 V2 2所 以 N A 4 G=60。，即 侧 棱 与 卜 底 面 所 成 的 角 为 60。，故 C 正 确 所 以 AG L-A G?邛.连 接 G Q，在 放 AC。?中，c d o Q；+C Q：=近,所 以 点。2到

19、 A、B、a D、A、G、。的 距 离 相 等，均 为 收，所 以 点。2即 为 正 四 棱 台 ABCD-AtBtCD,外 接 球 的 球 心，且 外 接 球 半 径 式=应，所 以 外 接 球 的 表 面 积 S=4 x(五 丫=8万，故 B 错 误；正 四 棱 台 的 体 积 匕=；*($+52+店 互 卜 002=；x(l+4+疝 可 x g=平，棱 长 为 a 的 正 方 体 的 体 积 匕=(0=2&,7A/6所 以 乂 T _ 7&_ 廊、，所 以 乂 匕，所 以 正 四 棱 台 A 8 C O-A 4 G A 的 体 积 比 棱 长 为 正 的 正 方 体 的 体 积 大，故

20、D 正 确：故 选：ACD【点 睛】解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 棱 台 的 表 面 积、体 积 的 求 法 及 公 式，并 灵 活 应 用，难 点 在 于 求 各 个 棱 长 及 确 定。2为 外 接 球 的 球 心，考 查 分 析 理 解，数 形 结 合 的 能 力，属 中 档 题.三、填 空 题 6.(2021贵 州 省 贵 阳 市 五 校 高 三 上 学 期 联 合 考 试)学 生 到 工 厂 参 加 劳 动 实 践，用 薄 铁 皮 制 作 一 个 圆 柱 体，圆 柱 体 的 全 面 积 为 8乃，则 该 圆 柱 体 的 外 接 球 的 表 面 积 的 最 小 值 是.【答

21、案】8(为“【分 析】设 圆 柱 底 面 圆 半 径 为，结 合 已 知 表 示 出 圆 柱 的 高 伉 再 利 用 球 及 其 内 接 圆 柱 的 特 征 求 出 球 的 表 面 积 与，的 函 数 关 系 结 合 基 本 不 等 式 即 可 得 解.4【详 解】设 圆 柱 底 面 圆 半 径 为 一，高 为 儿 则 有 2万 产+2万 用=8万，整 理 得 二 一 一 r(0r2),r由 球 及 其 内 接 圆 柱 的 结 构 特 征 知，球 心 是 圆 柱 两 底 面 圆 圆 心 的 中 点，设 球 半 径 为 七 于 是 得 K=72+(g)2=产+(2,2=:72+之 一 2 2 2

22、序 2：-2=2右 一 2,当 且 仅 当:=*,即 厂=空&空 时 取“=”，5因 此，球 的 表 面 积 为 S=4万 R2 28(逐 1)，所 以 该 圆 柱 体 的 外 接 球 的 表 面 积 的 最 小 值 是 8(6-1)%.故 答 案 为：8(、后 1)%7.(2022.广 东 广 州 二 模)在 梯 形 A8CQ 中，A B/CD,AB=2,AD=CD=CB=,将 AC。沿 4c 折 起，连 接 B D,得 到 三 棱 锥。-A 8 C,则 三 棱 锥。-A 8 C 体 积 的 最 大 值 为.此 时 该 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为.【答 案】且 5万 12

23、【分 析】注 意 到 三 棱 锥 D-A 8 C 体 积 最 大 时，平 面 AC J_平 面 A 8 C,可 知 以 8 为 顶 点 时，B C 为 三 棱 锥 的 高，然 后 利 用 正 余 弦 定 理 可 得 各 棱 长 可 得 体 积；利 用 球 心 到 平 面 A C O 的 距 离、ACD外 接 圆 半 径 和 球 的 半 径 满 足 勾 股 定 理 可 得 球 半 径，然 后 可 得 表 面 积.【详 解】过 点 C 作 C E L A B,垂 足 为 E,.ABC。为 等 腰 梯 形，48=2,8=1:.BE=,:.B=-2 3由 余 弦 定 理 得 A C2=AB-+BC2-

24、2AB BCcos5=3,即 AC=石 AB2=BC2+AC2.-.BCrAC易 知，当 平 面 AC。_L平 面 A B C 时，三 棱 锥 A B C 体 积 最 大,此 时，平 面 A C。易 知，Z D=yS A C O=ADCDsin-=-V 1 G I 6丹-ABC=X-x l=五 记。为 外 接 球 球 心，半 径 为 R平 面 ACO,OB=OC.0 到 平 面 A C D 的 距 离 d=12AC又 AC。的 外 接 圆 半 径=、.2万 2sin 3.R2=r2+d2=54S=4/rR2=5/r故 答 案 为：,571121.（2022辽 宁 沈 阳 二 模）现 有 一 个

25、 侧 面 展 开 图 为 半 圆 形 的 圆 锥，其 内 部 放 有 一 个 小 球，当 小 球 体 积 最 大 时,该 圆 锥 与 小 球 的 体 积 之 比 是（）A.9:4 B.9:5 C.3:2 D.3:1【答 案】A【分 析】根 据 圆 锥 侧 面 展 开 图 为 半 圆，求 得 母 线 与 底 面 半 径 的 关 系，利 用 当 小 球 是 圆 锥 的 内 切 球 时，小 球 体 积 最 大，求 得 小 球 的 半 径，可 得 答 案.【详 解】由 圆 锥 侧 面 展 开 图 为 半 圆，设 圆 锥 母 线 为/,底 面 半 径 为 七 则 2;rR=R,所 以 1=2 R,可 知

26、 圆 锥 轴 截 面 为 正 三 角 形，圆 锥 高 为&R,又 由 当 小 球 是 圆 锥 的 内 切 球 时，小 球 体 积 最 大，轴 截 面 如 图 示：设 此 时 小 球 半 径 为 r,则 有（g R-r sin 3 0=r,即 3故/%半 R 兀 R，%=9.（百 尺）=坐 1“,所 以%:%=弓 配：竽%内=%4，故 选：A2.（2021重 庆 市 巴 蜀 中 学 高 三 上 学 期 高 考 适 应 性 月 考）在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABC。-4 4 G A 中，点 七，F，G,分 别 为 棱 A B，BC,G 2，4。的 中 点，若 平 面 c/平 面 EFG”

27、,且 平 面 a 与 棱 人 珞，B C，8乃 分 别 交 于 点 p,Q,S,其 中 点。是 棱 B G 的 中 点，则 三 棱 锥 4-P Q S 的 体 积 为（）1 c l 1A.1 B.C.-D.一 2 3 6【答 案】D【分 析】根 据 已 知 条 件 结 合 面 面 平 行 的 性 质 定 理 可 确 定 出 Q S/M r,P Q/G H,根 据 点。的 位 置 可 确 定 出 P,S 的 位 置，由 此 可 计 算 出 二 棱 锥 B厂 P Q S 的 体 积.【详 解】如 图 所 示，取 AA，CC1的 中 点 N,连 接 N H,N E,M G,M F,由 正 方 体 结

28、 构 特 点 可 知：N E I/GM,H G/EF,H N/I MF,所 以 H,G,A m,N 六 点 共 面，又 因 为 平 面 a/平 面 E F G H,所 以 平 面 P Q S/平 面 H G M F E N，又 平 面 B B.C.C 平 面 PQS=QS,平 面 B B g C A 平 面 H G M F E N=M F，所 以 Q S/M F,由 M,E,Q 为 所 在 边 中 点 可 知 S 为 中 点，同 理 可 知：P 为 AB 1 的 中 点，所 以 4 P=4 Q=4 s=1,且 g p,B.Q,4 s 两 两 垂 直，所 以 三 棱 锥 与 一 P Q S 的

29、体 积 为 V=!x l x L x l x l=，3 2 6故 选：D.3.（2021广 东 省 广 州 市 荔 湾 区 高 三 上 学 期 调 研）若 圆 台 的 下 底 面 半 径 为 4,上 底 面 半 径 为 1,母 线 长 为 5,则 其 体 积 为（）A.15万 B.217r C.287r D.637r【答 案】C【分 析】画 出 圆 台 的 轴 截 面，即 可 求 出 圆 台 的 高，从 而 根 据 公 式 求 出 圆 台 的 体 积；【详 解】解：圆 台 的 轴 截 面 如 图 所 示：则 圆 台 的 高 力=、52（4 一=4,所 以 圆 台 的 体 积 V=；乃 力（r+

30、R?+=g 万 x 4 x（F+4?+1 x 4）=284故 选：C二、多 选 题 4.（2022海 南 海 口 模 拟 预 测）如 图，在 长 方 体 A8C-A4C|R中，M=2AB=2AD,E,F 分 别 是 棱 c q 的 中 点，则（）A./是 等 边 三 角 形 C.4 尸 1 平 面 8。尸【答 案】ACB.直 线 4 E 与 B尸 是 异 面 直 线 D.三 棱 锥 A-A 8 O 与 三 棱 锥 A-F O B 的 体 积 相 等【分 析】A 选 项 可 根 据 儿 何 关 系 求 三 角 形 的 各 个 边 长 进 行 判 断；B 选 项 证 点 A，E,B,F 四 点 共

31、 面 得 出 矛 盾；C 选 项 证 4 尸，。尸，A F L 5 F 线 线 垂 直，可 得 线 面 垂 直；D 选 项 点 A 与 点 尸 到 平 面 A O B 的 距 离 不 相 等，即 是 高 不 相 等，体 积 也 不 会 相 等.【详 解】对 于 A,设 A 8=l,则 BD=BF=DF=K 故 A B O 尸 是 等 边 三 角 形，A 正 确；对 于 B,连 接 瓦、D,C,如 图 所 示：易 知 E尸，EF,故 点 A，E,B,尸 共 面，B 错 误；对 于 C,设 A B=1,则 DF=2,灯=6，所 以 4 犷=。尸+A 尸 所 以 A F L Q F,同 理 可 知

32、又 因 为 D F c B F=F,所 以 A/工 平 面 8。尺 故 C 正 确；对 于 D,三 棱 锥 A,-ABD与 三 楂 锥 A-F D B 有 公 共 的 面 A.DB,若 要 它 们 的 体 积 相 等，则 点 A 与 点 尸 到 平 面 的 距 离 相 等，这 显 然 不 成 立，故 D 错 误.故 选：AC.5.（2022.福 建 模 拟 预 测）已 知 三 棱 锥 P-A 8 C外 接 球 的 球 心 为。，外 接 球 的 半 径 为 4，A8=AC=4,PB=PC,BC=m（用 为 正 数），则 下 列 命 题 是 真 命 题 的 是（）A.若 机=4 0,则 三 棱 锥

33、 P-A B C的 体 积 的 最 大 值 为 斗 士 谑 3B.若 P,O,A不 共 线，则 平 面 尸。4 J_平 面 ABCC.存 在 唯 一 一 点 P,使 得 OPL平 面 ABCD.?的 最 大 值 为 4 0【答 案】AB【分 析】由 根=4 0 可 求 得 球 心。到 平 面 ABC的 距 离，由 此 可 得 三 棱 锥 高 的 最 大 值，由 棱 锥 体 积 公 式 可 知 A 正 确；设 BC的 中 点 为 H,可 证 得 BC_L平 面 9 4,山 外 接 球 性 质 可 知 Ow平 面 尸 曲，由 面 面 垂 直 判 定 可 知 B正 确；设 直 线 O P与 球 的

34、另 一 交 点 为 痣，可 知。弓，平 面 A B C,知 C 错 误；由 O,4 8,C 四 点 共 面 可 求 得 NBAC,由 此 可 得 B C,知 D 错 误.【详 解】对 于 A,若 机=4 0,则 A戌+AC?=,.AB1AC,则 AABC外 接 圆 的 半 径 r=2及，球 心。到 平 面 A B C 的 距 离 d=（2可=2&，三 棱 锥 高 的 最 大 值 为 4+2&,体 积 的 最 大 值 为 g x g x 42 X（4+2吟=32+：,A 正 确；对 于 B,设 BC的 中 点 为，连 接 OB,OC,O”,P 4,A/,则 尸 _L3C,A H VBC,OHLB

35、C,又 P H C A H=H,PH C O H=H,，,4，匚 平 面/7/4，,0，匚 平 面/7/0,.BCJ-平 面 P/M，BC_L平 面 尸”O,又 平 面 PHAD平 面=.P,O,H,A四 点 共 面，平 面 0 4,又 B C u平 面 ABC,，平 面 PQ4 _L平 面 ABC,B正 确；对 于 C,设 直 线 O P与 球 的 另 一 交 点 为 玲，若 O P,平 面 A B C,则。6 匚 平 而 ABC,C 错 误;对 于 D,当 加 最 大 时，O,A B,C四 点 共 面,.O B=OC=AB=AC=OA=4,:.B A C=,BC=m=4 y/i,D 错 误

36、.故 选：AB.三、解 答 题 6.（2022辽 宁 沈 阳 二 模）如 图，在 四 棱 锥 产 一 A8CZ）中，P4_L平 面 ABCD,A D C D,且 A=1,8=2,BC=5,PA=2.(1)求 证：A B 1 P C；(2)在 线 段 上 是 否 存 在 一 点 M,使 二 面 角 例-A C-。的 余 弦 值 为 逅？若 存 在，求 三 棱 锥 M-A B C体 积;6若 不 存 在，请 说 明 理 由.【答 案】(1)证 明 见 解 析(2)存 在，|【分 析】(1)证 明 A C L A B,结 合 R 4J_他，证 明 平 面 以 C,根 据 线 面 垂 直 的 性 质

37、定 理 即 可 证 明 结 论;(2)建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 得 相 关 点 的 坐 标，设 丽=2而，求 出 平 面 MAC的 一 个 法 向 量，结 合 平 面 4。法 向 量 以 及 条 件 可 推 出 4=；即 M为 尸。中 点，即 可 求 得 答 案.(1)因 为 A P J _ 8,AD=,C D=2,所 以 AC=x/,又 因 为 B C=5,且 A)BC,AB=1(5-1)2+2。=2小,所 以 AfiZ+AC?=B C 2,所 以 AC_LA8,又 因 为 R4_L平 面 A 8 C Q,且 A 8 i平 面 A 8C,所 以 抬 _L43,又 因 为 R 4

38、 n A C=A,P A u平 面/C,A C u平 面 B 4 C,所 以/W L平 面 以 C,又 因 为 P C u平 面 附 C,所 以 AB_LPC.在 8 c 上 取 点 E,使 C E=4)=1,则 故 以 A为 原 点，以 4 g,而，而 分 别 为 x 轴，y轴，z轴 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，pMAy则 A(0,0,0),P(0,0,2),0(0,1,0),C(2,l,0),设 两=APD=2(0,1,-2)=(0,2,-2 2),(0 2 l),在 平 面 MAC 中，AC=(2,l,0),AM=AP+PAI=(0,0,2)+(0,2,-2 2)=(

39、0,2,2-2 A),/、A C n i=2x+y=0设 平 面 MAC的 个 法 向 量 为 玩=(x,y,z),贝 叫 丁 萩 _】c 八，AM.m=+(2-24)z=0令 z=X,则 y=2/l-2,x=l-A,所 以 而=(1一 4 2 4-2,；1),可 取 平 面 AC。法 向 量 为 元=（0,0,1）,所 以 18s伍 雄/=莉 冬+5 邛 即 6/1 2 3-1 0 2+5=6A2,1 1 _ 7 3 12 T，又。在 线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 上，可 得 O Q=二 A 8,即 可 得 R=0 4s in 23解 得 2=g,所 以“为 2。中 点,所 以 三

40、 棱 锥-A C 5 的 高 力 为 1,Vw.4 C fi=i 5 c s./l=|x f l x 2 V 5 x x l=|.与 球 有 关 的 内 切、外 接 问 题 1.（2021河 南 省 联 考 高 三 核 心 模 拟 卷）在 三 棱 锥 P A 6 C 中，P A=P C=A B=A C=l,PB=B C=母，则 三 棱 锥 P-A B C 的 外 接 球 的 表 面 积 为.7万【答 案】3【分 析】根 据 题 设 长 度 关 系，可 证 明 AB1_平 面 P A C,由 正 弦 定 理 可 得 P4C的 外 接 圆 半 径 为 V 3+以利 用 球 的 表 面 积 公 式

41、即 得 解【详 解】在 AABC 中，A B A C-1,B C=V2 所 以 AB2+AC2=8C2,所 以 ABLAC,在 PAB中，A B=P A 1，PB=C.，所 以 452+融 2=p2,所 以 9 _LQ4.又 B4nAe=A，PA,ACu 平 面 PAC，所 以 A 3,平 面 PAC,在 R4c 中，必=PC=AC=1,1 1 _ 百 所 以 PAC的 外 接 圆 半 径 为 了 7=T，sin 3不 妨 设 A P A C 的 外 接 圆 圆 心 为 Q，三 棱 锥 P-A B C 的 外 接 球 球 心 为。连 接。4,03,0。，由 于。4=0 5,故。在 线 段 A

42、B 的 垂 直 平 分 线 匕 即 2 2故 三 棱 链 P-A B C 的 外 接 球 半 径 R=外 接 球 的 表 面 积 为 4灯 相=上 31兀 故 答 案 为：-32.（2021江 西 省 临 川 一 中、临 川 一 中 实 验 学 校 高 三 第 一 次 月 考）如 图，在 底 面 边 长 为 4,高 为 6的 正 四 棱 柱 中，大 球 与 该 正 四 棱 柱 的 五 个 面 均 相 切，小 球 在 大 球 上 方 且 与 该 正 四 棱 柱 的 三 个 面 相 切，也 与 大 球 相 切,则 小 球 的 半 径 为.【答 案】5-V15【分 析】结 合 图 形，由 题 意 可

43、 知 大 球 的 半 径 为 R=2,设 小 球 的 半 径 为 r,利 用 已 知 条 件，结 合 勾 股 定 理,推 出 结 果 即 可.【详 解】解：由 题 意 可 知 大 球 的 半 径 为 R=2,设 小 球 的 半 径 为 r,如 图，设 大 圆 的 圆 心 为 0,小 圆 的 圆 心 为 C,E 为 小 圆 与 上 底 面 的 切 点，作 8 _ L C E 交 于 点。，由 题 意 可 知，OD=2 0-B，C D-4-r,CO=2+r,所 以(2+r=(4-r+(2&-0 厂 产，即 产 一 i()r+io=o,re(0,2),解 得 r=2 西 5-4，2故 答 案 为：5

44、-V15.3.（2022.天 津 南 开 中 学 模 拟 预 测）棱 长 为 2 6 的 正 四 面 体 内 切 一 球，然 后 在 正 四 面 体 和 该 球 形 成 的 空 隙 处 各 放 入 一 个 小 球，则 这 些 球 的 最 大 半 径 为（）A.亚 B.C.D.2 4 6【答 案】C【分 析】先 求 出 正 四 面 体 的 体 积 及 表 面 积，利 用 匕 一 58+%TCD求 出 内 切 球 的 半 径,再 通 过 鬻=器 求 出 空 隙 处 球 的 最 大 半 径 即 可【详 解】如 图，山 题 意 知 球 和 正 四 面 体 A-8CD 的 三 个 侧 面 以 及 内 切

45、 球 都 相 切 时 半 径 最 大，设 内 切 球 球 心 为。，半 径 为 R,空 隙 处 的 最 大 球 球 心 为。一 半 径 为 小 G 为 BCD的 中 心，易 知 A G L 面 BCD,E 为 中 点，球。和 球。|分 别 与 面 ACO 相 切 于 尸 和 H.易 得 BE=&2国-(可=3，8 G=|B E=2,AG=42 商-2、=2 0,由 A-BCD=V()-BCD+O-ABC+O-ABD+O-A C D，可 得 心 3匕-BCOq+q a q+q2 ABCD 丁 t,ABC T 6 B D u M D又 匕 rn=-x2/2xlx2x2x=2/6，3 v 2 V、2

46、S AH n L r D n=S Anr=S A A i n iU n=S ACn=x 23 x 2/3 x=35/3 AA C 2、2 故 R=，AOl=AG-GOl=2 y/2-2 x.-r=y/2-r,A0=AG-GO=2/2-=,又 由 A A Q 和 A A O F相 似，可 得%=笑，即 行 方=君，解 得 厂=也，即 球 的 最 大 半 径 为 也.AO Or-4 42 2故 选：C.色 亘 金 柱 锥 台 的 轴 截 面 问 题 一、单 选 题 1.（2022山 东 模 拟 预 测）几 何 原 本 是 古 希 腊 数 学 家 欧 几 里 得 的 一 部 不 朽 之 作，其 第

47、十 一 卷 中 称 轴 截 面 为 等 腰 直 角 三 角 形 的 圆 锥 为 直 角 圆 锥.若 一 个 直 角 圆 锥 的 侧 面 积 为 36及 万，则 它 的 体 积 为（）A.18&乃 B.727r C.64近 兀 D.2167r【答 案】B【分 析】由 题 意 知 直 角 圆 锥 的 底 面 圆 半 径 为，等 于 高 儿 再 由 直 角 圆 锥 的 侧 面 积 求 出 底 面 圆 的 半 径，即 可 求出 其 体 积.【详 解】设 该 直 角 圆 锥 的 底 面 圆 半 径 为，高 为/?,母 线 长 为/,因 为 直 角 圆 锥 的 轴 截 面 为 等 腰 直 角 三 角 形，

48、所 以/l=r,/=因 为 直 角 圆 锥 的 侧 面 积 为 36岳，所 以 兀 rl=Ji兀 y=36收 兀，解 得 r=6,所 以 该 直 角 圆 锥 的 体 积 为$=*x 6 3=72乃.故 选：B.二、多 选 题 2.（2021 广 东 中 山 模 拟 预 测）正 四 棱 锥 尸-8 的 所 有 棱 长 为 2,用 垂 直 于 侧 棱 PC的 平 面 a 截 该 四 棱 锥,则（）A.截 面 可 以 是 三 角 形 B.%与 底 面 ABC 所 成 的 角 为 60C.与 底 面 4 3。所 成 的 角 为 45D.当 平 面 a 经 过 侧 棱 P C中 点 时，截 面 分 四

49、棱 锥 得 到 的 上 下 两 部 分 几 何 体 体 积 之 比 为 3：1【答 案】ACD【分 析】对 于 A：取 PC的 中 点 E,连 结 BE、D E、8 D可 以 证 明 PCJL面 B O E,即 可 判 断 A；对 于 B、C：作 为 与 底 血 ABC。所 成 的 角.即 可 求 得；对 于 D：分 别 求 出 上 下 两 部 分 几 何 体 的 体 积，即 可 判 断.【详 解】对 于 A:取 尸 C的 中 点 E,连 结 BE、D E、BD.因 为 正 四 棱 锥 P 8 的 所 有 棱 长 为 2,所 以 尸 BC、APBC为 正 三 角 形，所 以 7，。瓦/，3瓦

50、又 D E c B E=E,则 PC L 面 B D E,即 B D E 为 截 面.故 A 正 确；对 于 B、C:过 尸 作 PO_L底 面 ABC。于 O,则。为 4 c 中 点.则 NR4O即 为 H L与 底 面 ABCD所 成 的 角.因 为 正 四 棱 锥 P-A B C D的 所 有 棱 长 为 2,所 以 AP=2,A0=gAC=g/T Z=&.所 以 cosNPAO=4 2=E，所 以 N H O=45.故 B错 误，C 正 确；AP 2对 于 D:由 A 的 推 导 过 程 可 知：平 面 a 经 过 侧 棱 P C 中 点 时，平 面 a 即 为 平 面 BDE.此 时