考点15数列综合问题（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考）(教师版）.pdf

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1、考 点 1 5 数 列 综 合 问 题（核 心 考 点 讲 与 练）考 点 考 向 数 列 应 用 题 常 见 模 型（1）等 差 模 型：如 果 后 一 个 量 比 前 一 个 量 增 加（或 减 少）的 是 同 一 个 固 定 值，该 模 型 是 等 差 模 型，增 加（或 减 少）的 量 就 是 公 差.（2）等 比 模 型：如 果 后 一 个 量 与 前 一 个 量 的 比 是 同 一 个 固 定 的 非 零 常 数，该 模 型 是 等 比 模 型，这 个 固 定 的 数 就 是 公 比.（3）递 推 数 列 模 型：如 果 题 目 中 给 出 的 前 后 两 项 之 间 的 关 系

2、不 固 定，随 项 的 变 化 而 变 化，应 考 虑&与 a+“或 者 相 邻 三 项 等）之 间 的 递 推 关 系，或 者$与$+或 者 相 邻 三 项 等）之 间 的 递 推 关 系.1.数 列 的 应 用，解 题 的 关 键 是 通 过 找 到 图 形 之 间 的 关 系，得 到 等 比 数 列，求 数 列 通 项 公 式 常 用 的 方 法：（1）由。“与 S”的 关 系 求 通 项 公 式；（2）累 加 法；（3）累 乘 法；（4）两 边 取 到 数，构 造 新 数 列 法.2.等 差、等 比 数 列 的 综 合 问 题 的 分 析，应 重 点 分 析 等 差、等 比 数 列 的

3、 通 项 及 前 项 和；分 析 等 差、等 比 数 列 项 之 间 的 关 系.往 往 用 到 转 化 与 化 归 的 思 想 方 法.3.数 列 与 函 数 常 常 以 函 数 的 解 析 式 为 载 体，转 化 为 数 列 问 题，常 用 的 数 学 思 想 方 法 有“函 数 与 方 程”“等 价 转 化”等.4.数 列 与 不 等 式 问 题 要 抓 住 一 个 中 心 函 数，两 个 密 切 联 系：一 是 数 列 和 函 数 之 间 的 密 切 联 系，数 列 的 通 项 公 式 是 数 列 问 题 的 核 心，函 数 的 解 析 式 是 研 究 函 数 问 题 的 基 础；二

4、是 方 程、不 等 式 与 函 数 的 联 系，利 用 它 们 之 间 的 对 应 关 系 进 行 灵 活 的 处 理.5.新 定 义 型 问 题 是 指 在 问 题 中 定 义 了 初 中 数 学 中 没 有 学 过 的 一 些 概 念、新 运 算、新 符 号，要 求 学 生 读 懂 题 意 并 结 合 已 有 知 识 进 行 理 解，而 后 根 据 新 定 义 进 行 运 算、推 理、迁 移 的 一 种 题 型.它 一 般 分 为 三 种 类 型:（1）定 义 新 运 算；（2）定 义 初、高 中 知 识 衔 接 新 知 识;（3）定 义 新 概 念.这 类 试 题 考 查 考 生 对 新

5、 定 义 的 理 解 和 认 识，以 及 灵 活 运 用 知 识 的 能 力，解 题 时 需 要 将“新 定 义 的 知 识 与 已 学 知 识 联 系 起 来，利 用 已 有 的 知 识 经 验 来 解 决 问 题.6.数 列 与 函 数、不 等 式 综 合 问 题 的 求 解 策 略：1、已 知 数 列 的 条 件，解 决 函 数 问 题，解 决 此 类 问 题 一 把 要 利 用 数 列 的 通 项 公 式，前 项 和 公 式，求 和 方 法等 对 于 式 子 化 简 变 形，注 意 数 列 与 函 数 的 不 同，数 列 只 能 看 作 是 自 变 量 为 正 整 数 的 一 类 函

6、数，在 解 决 问 题 时 要 注 意 这 一 特 殊 性；2、解 决 数 列 与 不 等 式 的 综 合 问 题 时，若 是 证 明 题 中，则 要 灵 活 选 择 不 等 式 的 证 明 方 法，如 比 较 法、综 合 法、分 析 法、放 缩 法 等，若 是 含 参 数 的 不 等 式 恒 成 立 问 题，则 可 分 离 参 数，转 化 为 研 究 最 值 问 题 来 解 决.一、单 选 题 1.（2022.山 东 青 岛.一 模）我 国 古 代 数 学 著 作 九 章 算 术 中 有 如 下 问 题：“今 有 人 持 金 出 五 关，前 关 二 税 一，次 关 三 而 税 一，次 关 四

7、 而 税 一，次 关 五 而 税 一，次 关 六 而 税 一，并 五 关 所 税，适 重 一 斤.问 本 持 金 几 何？”其 意 思 为“今 有 人 持 金 出 五 关，第 1关 收 税 金 为 持 金 的 第 2 关 收 税 金 为 剩 余 金 的：，第 3 关 收 税 金 为 剩 余 金 的 J,第 4 关 收 税 金 为 剩 余 金 的!，第 5 关 收 税 金 为 剩 余 金 的。，5 关 所 收 税 金 之 和 恰 好 重 1斤.问 4 5 6/、10JI+1,X 1,、原 来 持 金 多 少？记 这 个 人 原 来 持 金 为。斤，设/X=,八，则 f a=（）A.-5 B.7

8、C.13 D.26【答 案】C【分 析】根 据 题 意 求 得 每 次 收 的 税 金，结 合 题 意 得 到。+工。+。+7。+7。=1，求 得。的 值,2 2x3 3x4 4x5 5x6代 入 函 数 的 解 析 式，即 可 求 解.【详 解】由 题 意 知：这 个 人 原 来 持 金 为 a 斤，第 1关 收 税 金 为：以 斤；第 2 关 收 税 金 为 1 斤；2 3 2 2x3笫 3 关 收 税 金 为!=J r。斤，4 2 6 3x4以 此 类 推 可 得 的，第 4 关 收 税 金 为 二 二 七 斤，第 5 关 收 税 金 为“斤，4x5 5x6rrK11 1 1 1 1所

9、以 一。+-a-a+-。=1,2 2x3 3x4 4x5 5x61 1 1 1 1 1 1 1 1 八 1、,门 6即 0-+，a=,解 得=，2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 5/、10 x4-1,x 1 6 6又 由“X=（八，所 以 f（）=10 x、+l=13.l-5x,0 xl 5 5故 选：c.2.（2021.广 东 佛 山.二 模）科 技 创 新 离 不 开 科 研 经 费 的 支 撑，在 一 定 程 度 上，研 发 投 入 被 视 为 衡 量“创 新 力”的 重 要 指 标.“十 三 五”时 期 我 国 科 技 实 力 和 创 新 能 力 大 幅 提 升,2020年 我

10、国 全 社 会 研 发 经 费 投 入 达 到 了 24426亿 元，总 量 稳 居 世 界 第 二，其 中 基 础 研 究 经 费 投 入 占 研 发 经 费 投 入 的 比 重 是 6.16%.“十 四 五”规 划 纲 要 草 案 提 出，全 社 会 研 发 经 费 投 入 年 均 增 长 要 大 于 7%,到 2025年 基 础 研 究 经 费 占 比 要 达 到 8%以 上，请 估 计 2025年 我 国 基 础 研 究 经 费 为（）A.1500亿 元 左 右 B.1800亿 元 左 右 C.2200亿 元 左 右 D.2800亿 元 左 右【答 案】D【分 析】由 题 意 可 知，

11、2025年 我 国 全 社 会 研 发 经 费 投 入 不 得 低 于 24426x（1+7%y,再 根 据 2025年 基 础 研 究 经 费 占 比 要 达 到 8%以 上，即 可 求 出 2025年 我 国 基 础 研 究 经 费 的 最 低 值，从 而 选 出 正 确 选 项.【详 解】由 题 意 可 知，2025年 我 国 全 社 会 研 发 经 费 投 入 不 得 低 于 24426x（1+7%）5 R 34258.7亿 元，乂 因 为 2025年 基 础 研 究 经 费 占 比 要 达 到 8%以 上，所 以 2025年 我 国 基 础 研 究 经 费 不 得 低 于 34258

12、.7X8%2740.7亿 元 故 选：D3.（2022.湖 南.一 模）在 流 行 病 学 中，基 本 传 染 数 R。是 指 在 没 有 外 力 介 入，同 时 所 有 人 都 没 有 免 疫 力 的 情 况 下，一 个 感 染 者 平 均 传 染 的 人 数.R。一 般 由 疾 病 的 感 染 周 期、感 染 者 与 其 他 人 的 接 触 频 率、每 次 接 触 过 程 中 传 染 的 概 率 决 定.对 于 R 0 1,而 且 死 亡 率 较 高 的 传 染 病，一 般 要 隔 离 感 染 者，以 控 制 传 染 源，切 断 传 播 途 径.假 设 某 种 传 染 病 的 基 本 传

13、染 数 R。=3,平 均 感 染 周 期 为 7 天（初 始 感 染 者 传 染 R。个 人 为 第 一 轮 传 染,经 过 一 个 周 期 后 这 R。个 人 每 人 再 传 染 R（,个 人 为 第 二 轮 传 染）那 么 感 染 人 数 由 1个 初 始 感 染 者 增 加 到 1000人 大 约 需 要 的 天 数 为（参 考 数 据：36=729,4=1 0 2 4）（）A.35 B.42 C.49 D.56【答 案】B【分 析】根 据 题 意 列 出 方 程，利 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式 计 算 轮 传 染 后 感 染 的 总 人 数，得 到 指 数 方 程，求 得

14、近 似 解，然 后 可 得 需 要 的 天 数.【详 解】感 染 人 数 由 1个 初 始 感 染 者 增 加 到 1000人 大 约 需 要 轮 传 染，则 每 轮 新 增 感 染 人 数 为&,经 过 轮 传 染，总 共 感 染 人 数 为:1+9+引+.+%,=1 1 一%R。=3,当 感 染 人 数 增 加 到 1000人 时,1.3十 1-=1000,化 简 得 3=667,由 3,=243,3,=7 2 9,故 得 之 6,又 二 平 均 感 染 周 期 为 7 天,所 以 感 染 人 数 由 1个 初 始 感 染 者 增 加 到 1000人 大 约 需 要 6x7=4 2大，故

15、选：B【点 睛】等 比 数 列 基 本 量 的 求 解 是 等 比 数 列 中 的 类 基 本 问 题，解 决 这 类 问 题 的 关 键 在 于 熟 练 掌 握 等 比 数 列 的 有 关 公 式 并 能 灵 活 运 用，尤 其 需 要 注 意 的 是，在 使 用 等 比 数 列 的 前 项 和 公 式 时，应 该 要 分 类 讨 论，有 时 还 应 善 于 运 用 整 体 代 换 思 想 简 化 运 算 过 程.4.(2022 陕 西 西 安 一 模(理)2020年 底，国 务 院 扶 贫 办 确 定 的 贫 困 县 全 部 脱 贫 摘 帽 脱 贫 攻 坚 取 得 重 大 胜 利！为 进

16、步 巩 固 脱 贫 攻 坚 成 果，接 续 实 施 乡 村 振 兴 战 略，某 企 业 响 应 政 府 号 召，积 极 参 与 帮 扶 活 动.该 企 业 2021年 初 有 资 金 5 0 0万 元，资 金 年 平 均 增 长 率 可 达 到 2 0%.每 年 年 底 扣 除 下 一 年 必 须 的 消 费 资 金 后，剩 余 资 金 全 部 投 入 再 生 产 为 了 实 现 5 年 后 投 入 再 生 产 的 资 金 达 到 800万 元 的 目 标，每 年 应 扣 除 的 消 费 资 金 至 多 为()(单 位：万 元，结 果 精 确 到 万 元)(参 考 数 据：1.2、2.07,1

17、.25=2.49)A.83 B.60 C.50 D.44【答 案】B【分 析】由 题 可 知 5 年 后 投 入 再 生 产 的 资 金 为：500(1+20%)5-(1+20%)4x-(1+20%yx-(l+20%)2x-(l+20%)x-x=8 0 0,即 求.【详 解】设 每 年 应 扣 除 的 消 费 资 金 为 x 万 元，则 1年 后 投 入 再 生 产 的 资 金 为：500(1+20%)-%,2 年 后 投 入 再 生 产 的 资 金 为：500(1+20%)-x(l+20%)-x=500(1+20%)2-(1+20%)x-x,L5 年 后 投 入 再 生 产 的 资 金 为：

18、500(1+20%)5-(1+20%)4x-(l+20%)3X-(1+20%)2x-(l+20%)x-x=800i n5!,.-x=500 xl.25 800,1.2-1；X a 60.故 选：B二、双 空 题 5.（2022.湖 北.一 模）2022年 北 京 冬 奥 会 开 幕 式 中，当 雪 花 这 个 节 目 开 始 后，一 片 巨 大 的“雪 花”呈 现 在 舞 台 中 央，十 分 壮 观.理 论 上，一 片 雪 花 的 周 长 可 以 无 限 长，围 成 雪 花 的 曲 线 称 作“雪 花 曲 线”，又 称“科 赫 曲 线”，是 瑞 典 数 学 家 科 赫 在 1904年 研 究

19、的 一 种 分 形 曲 线.如 图 是“雪 花 曲 线”的 一 种 形 成 过 程：从 一 个 正 三 角 形 开 始，把 每 条 边 分 成 三 等 份，然 后 以 各 边 的 中 间 一 段 为 底 边 分 别 向 外 作 正 三 角 形，再 去 掉 底 边，重 复 进 行 这 一 过 程 若 第 1个 图 中 的 三 角 形 的 周 长 为 1,则 第 个 图 形 的 周 长 为；若 第 1个 图 中 的 三 角 形 的 面 积 为 1,则 第 个 图 形 的 面 积 为.r/安】8 3 TI r?A J-x-5 5【分 析】由 图 形 之 间 的 边 长 的 关 系，得 到 周 长 是

20、 等 比 数 列，再 按 照 等 比 数 列 通 项 公 式 可 得 解：由 图 形 之 间 的 面 积 关 系 及 累 加 法，结 合 等 比 数 列 求 和 可 得 解.【详 解】记 第 八 个 图 形 为 与，三 角 形 边 长 为 与，边 数，周 长 为 4,面 积 为 S,怖 4 条 边，边 长 4；6 有 4=4e 条 边，边 长 电=/；乙 有 4=如 4 条 边，边 长 q；L分 析 可 知。“=,即 a=：b.=46,i，即 b.=b 4-当 第 1个 图 中 的 三 角 形 的 周 长 为 1时，即=1,=3所 以 L,=她=（gJx3x4T=J由 图 形 可 知 P是 在

21、 每 条 边 上 生 成 一 个 小 三 角 形，即 S=S_,+b,l x-a,2即 S”-S-i 为“_|,S.1-S_2=-x_,2 bn_2,L,S2-St=-xa22-b.利 用 累 加 法 可 得 Sn St=-a2 也 _1+a”_：-bn_2-+-a22.仇）数 列 q 是 以 g 为 公 比 的 等 比 数 列，数 列 是 以 4 为 公 比 的 等 比 数 列，故 a；丸 一 是 以，为 公 比 的 等 比 数 列,2=好 4 有 4=3 条 边,故 答 案 为:r-l-ri【点 睛】关 键 点 睛：本 题 考 查 数 列 的 应 用，解 题 的 关 键 是 通 过 找 到

22、 图 形 之 间 的 关 系，得 到 等 比 数 列，求 数 列 通 项 公 式 常 用 的 方 法：（1）由 a,与 S,的 关 系 求 通 项 公 式；（2）累 加 法；（3）累 乘 法；（4）两 边 取 到 数，构 造 新 数 列 法.三、填 空 题 6.（2021辽 宁 铁 岭 一 模）赵 先 生 准 备 通 过 某 银 行 贷 款 5000元，然 后 通 过 分 期 付 款 的 方 式 还 款.银 行 与 赵 先 生 约 定：每 个 月 还 款 一 次，分 12次 还 清 所 有 欠 款，且 每 个 月 还 款 的 钱 数 都 相 等，贷 款 的 月 利 率 为 0.5%,（1+0.

23、5%）”则 赵 先 生 每 个 月 所 要 还 款 的 钱 数 为 _ 元.（精 确 到 0.01元，参 考 数 据 F 217.213）（1+0.5%）-1【答 案】430.33【分 析】本 题 首 先 可 设 每 一 期 所 还 款 数 为 工 元，然 用 结 合 题 意 列 出 每 期 所 还 款 本 金，并 根 据 贷 款 5（）0（）元 列 出 方 程，最 后 借 助 等 比 数 列 前 项 和 公 式 进 行 计 算 即 可 得 出 结 果.【详 解】设 每 一 期 所 还 款 数 为 x 元，因 为 贷 款 的 月 利 率 为 0.5%,Y X X X所 以 每 期 所 还 款

24、本 金 依 次 为 牙 而 可、硒 为、L、迹 殛,X X X T X|J1|-+-0-.-5-1-(-1-+-0-.-5-%-)-7-(-1-+-0-.-5-%-)-T+L 4-(-1-+-0-.-5-%-)-pr=5000-1-7+-7+L H-jy1+0.5(1+0.5%)(1+0.5%)(1+0.5%)=5000,(1+0.5%)+(1+0.5%)+.+(1+0.5%)+1(1+0.5%)2=5000,（1+0.5%）-1x-i-2-=5000,0.5%（1+0.5%）5000 x0.5%x（l+0.5%）2 一，x=-%-L”430.33，小 明 每 个 月 所 要 还 款 约 43

25、0.33元，（1+0.5%）-1故 答 案 为：430.33.四、解 答 题 7.（2020 河 南 一 模（理）市 民 小 张 计 划 贷 款 6 0万 元 用 于 购 买 一 套 商 品 住 房，银 行 给 小 张 提 供 了 两 种 贷 款 方 式.等 额 本 金：每 月 的 还 款 额 呈 递 减 趋 势，且 从 第 二 个 还 款 月 开 始，每 月 还 款 额 与 上 月 还 款 额 的 差 均 相 同；等 额 本 息：每 个 月 的 还 款 额 均 相 同.银 行 规 定，在 贷 款 到 账 日 的 次 月 当 天 开 始 首 次 还 款（若 2019年 7月 7 日 贷 款 到

26、 账，则 2019年 8 月 7 日 首 次 还 款）.己 知 小 张 该 笔 贷 款 年 限 为 20年，月 利 率 为 0.004.（1）若 小 张 采 取 等 额 本 金 的 还 款 方 式，现 已 得 知 第 一 个 还 款 月 应 还 4900元，最 后 一 个 还 款 月 应 还 2510元,试 计 算 小 张 该 笔 贷 款 的 总 利 息；（2）若 小 张 采 取 等 额 本 息 的 还 款 方 式，银 行 规 定，每 月 还 款 额 不 得 超 过 家 庭 平 均 月 收 入 的 一 半，己 知 小 张 家 庭 平 均 月 收 入 为 1 万 元，判 断 小 张 该 笔 贷

27、款 是 否 能 够 获 批（不 考 虑 其 他 因 素）；（3）对 比 两 种 还 款 方 式，从 经 济 利 益 的 角 度 来 考 虑，小 张 应 选 择 哪 种 还 款 方 式.参 考 数 据：1.00424屋 2.61.【答 案】（1）289200元；（2）能 够 获 批；（3）应 选 择 等 额 本 金 还 款 方 式【解 析】（1）由 题 意 可 知，等 额 本 金 还 款 方 式 中，每 月 的 还 款 额 构 成 一 个 等 差 数 列，即 可 由 等 差 数 列 的 前 n项 和 公 式 求 得 其 还 款 总 额，减 去 本 金 即 为 还 款 的 利 息；（2）根 据 题

28、 意，采 取 等 额 本 息 的 还 款 方 式，每 月 还 款 额 为 一 等 比 数 列，设 小 张 每 月 还 款 额 为 x 元，由 等 比 数 列 求 和 公 式 及 参 考 数 据，即 可 求 得 其 还 款 额，与 收 入 的 一 半 比 较 即 可 判 断：（3）计 算 出 等 额 本 息 还 款 方 式 时 所 付 出 的 总 利 息，两 个 利 息 比 较 即 可 判 断.【详 解】（1）由 题 意 可 知，等 额 本 金 还 款 方 式 中，每 月 的 还 款 额 构 成 一 个 等 差 数 列，记 为 可,S,表 示 数 列 4 的 前 项 和，则=4900,240=2

29、510,贝 I j s”o=120X(4900+2510)=889200,故 小 张 该 笔 贷 款 的 总 利 息 为 889200-600000=289200元.(2)设 小 张 每 月 还 款 额 为 x 元，采 取 等 额 本 息 的 还 款 方 式，每 月 还 款 额 为 一 等 比 数 列，则 x+x(1+0.004)+x(l+0.004)2+x(1+0.004)”9=600000 x(l+O.OO4)240,(004、所 以 x=600000 X 1.OO4240,I 1-1.004 JHn600000 xl.00424 x 0.004 600000 x2.61x0.004即 x

30、=-4-*3891,1.004-*-1 2.61-13891 289200,所 以 从 经 济 利 益 的 角 度 来 考 虑，小 张 应 选 择 等 额 本 金 还 款 方 式.【点 睛】本 题 考 查 了 等 差 数 列 与 等 比 数 列 求 和 公 式 的 综 合 应 用，数 列 在 实 际 问 题 中 的 应 用，理 解 题 意 是 解 决 问 题 的 关 犍，属 于 中 档 题.8.(2022 全 国 模 拟 预 测)在 一 个 传 染 病 流 行 的 群 体 中，通 常 有 3 类 人 群：类 别 特 征 S 类(Susceptible)易 感 染 者，体 内 缺 乏 有 关 抗

31、 体，与/类 人 群 接 触 后 易 变 为/类 人 群./类 Infectious)感 染 者，可 以 接 触 S 类 人 群，并 把 传 染 病 传 染 给 5 类 人 群；康 复 后 成 为 R 类 人 群.R 类(Recovered)康 复 者，自 愈 或 者 经 治 疗 后 康 复 且 体 内 存 在 相 关 抗 体 的/类 人 群；若 抗 体 存 在 时 间 有 限，可 能 重 新 转 化 为 S 类 人 群.在 一 个 600人 的 封 闭 环 境 中，设 第 天 S 类，I类,R 类 人 群 人 数 分 别 为/，R”.其 中 第 1天$=540,4=60,R=0.为 了 简

32、化 模 型，我 们 约 定 各 类 人 群 每 天 转 化 的 比 例 参 数 恒 定：S 类 类 占 当 天 S 类 比 例/类-R 类 占 当 天/类 比 例 R 类-S 类 占 当 天 R 类 比 例 ay 已 知 对 于 传 染 病 人 有 八 六，=!，y=o.求 人，R“；15 6(2)已 知 对 于 传 染 病 8 有 a=1 6 1,y=.3 1U OU(I)证 明：存 在 常 数 p,q,使 得 吟+(-存 是 等 比 数 列;(I I)已 知 防 止 传 染 病 大 规 模 传 播 的 关 键 途 径 至 少 包 含：控 制 感 染 人 数；保 护 易 感 人 群.请 选

33、择 一 项,通 过 相 关 计 算 说 明：实 际 生 活 中，相 较 于 传 染 病 A 需 要 投 入 更 大 力 量 防 控 传 染 病 B.5 id【答 案】(1)4=86；/?=600+300 x(|)-900 x(-)1；6 15【分 析】根 据 条 件 可 得 5向=小 I 4 5“+%,R,=6 0 0-S,-/,进 而 可 得 加 再 通 过 构 造 数 列 1J O14 14 S/-360 x(&T,可 得/“=360 x(21)-300 x弓 严，即 求;15 15 o47/2+12P=-4 1 1 Q-+54(2)由 题 可 得 双 川+/用 一 9=电 格 白(600

34、-5一/.)+旨+初“4,进 而 可 得 二 八，即 得；再 5 60 5 1()_-600p+60qq-p+54结 合 传 染 病 A 和 传 染 病 B 的 I.及 传 染 病 A 和 传 染 病 B 的 S,分 析 即 得 结 论.14 1 5(1)由 题 可 知 S,*产 束 5,/,1+1=-5=600-5,-/,15 15 6所 以 乙=3+丸=86,O14V S,1+1=-S,S,=540,二 S“是 以 540为 首 项，以/为 公 比 的 等 比 数 列，14A S=540 x(,所 以 加 4 5,+九 4/+36 X(拎 I,1 5 o o 15配 凑 得 到/向-360

35、 x(当-360 x(当 I,又 4=&),15 o 15所 以/,-360 x()T 是 首 项 为 _300,公 比 为 1 的 等 比 数 列，13 O14 5 14 5360 x(/尸=-300 x(I)-1,Bp/=360 x()-300 x(；严，5 14所 以 4=600-S-1=600+300 x(-)-900X.6 154 1 I Q(2)(I)由 题 可 知,5,M 1=-S+-R,I+I=-S,R=6m-S-I,5 oO 5 10所 以 PS.、+*g=p g S+白(600 一 S 一/“)+：S”+2 In-q5 60 5 10=占 1(47P+12)5.+(-p+5

36、4)/-(-6(X)/;+6()g),ol)对 比 系 数 得 到 4 7+12P=-，-p+54_-6 0 0 p+60qq-p+5 4解 得(p=3,(p=4=2 0 0/=240.因 此 我 们 有：17 3S“+/“-200 是 首 项 为 1 4 8 0,公 比 为)的 等 比 数 列；4S,+/“-2 4 0 是 首 项 为 1 9 8 0,公 比 为 之 的 等 比 数 列.原 命 题 得 证.17(II)由 上 可 知 3s“+/“=2 0 0+1 4 8 0 X(/T,4 S+/=240+1 9 8 0 x(-)-,6S 17解 得 S=40+1980X(-)-,-1480

37、x()-,6 2017 sI=80+5920 x(5 j 5940 x(尹,选 择：对 比 传 染 病 A 和 传 染 病 8 的/“可 知，当 时 间 足 够 长 时 传 染 病 A 的/类 人 群 将 趋 向 于 0,传 染 病 8的/类 人 群 将 趋 向 于 8 0.为 了 控 制 感 染 人 数，相 较 于 传 染 病 A 需 要 投 入 更 大 力 量 防 控 传 染 病 民 选 择：对 比 传 染 病 A 和 传 染 病 8 的 S,可 知，当 时 间 足 够 长 时 传 染 病 A 的 S 类 人 群 将 趋 向 于 0,传 染 病 B的 S 类 人 群 将 趋 向 于 4 0

38、.为 了 保 护 易 感 人 群，相 较 于 传 染 病 4 需 要 投 入 更 大 力 量 防 控 传 染 病 8.14 14 S【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 第 一 问 的 关 键 是 构 造 数 列 360 x(刍 尸,进 而 可 得/=3 6 0 瑞 严-3 0 0 x(1，15 15 o第 二 问 中 关 键 是 通 过 应 1”+g-4=矶 上+六(6 0 0-/.)+2+丸-4 对 比 系 数 找 出 关 系 式，即 得.3 oU 3 1()皆 亘 豆 等 差 数 列、等 比 数 列 的 综 合 1.(2 0 2 1黑 龙 江 省 大 庆 第 一 中 学 高 三 第 三

39、次 模 拟)在 各 项 不 为 零 的 等 差 数 列 4 中，2 a 2017 2018+2 a 2019=0 9 数 列 勿 是 等 比 数 列,且%8 二%oi89 则 lo g2(2017.zo ig)的 值 为()A.1 B.2 C.4 D.8【答 案】C【分 析】根 据 等 差 数 列 的 性 质 可 知 20l7+2019=2 a 2018，代 入 方 程 可 求 出 2018，再 根 据 等 比 数 列 的 性 质“2017 也 019=。2018 即 可 代 入 lOgZ（%1 7 也 O19）求 解【详 解】因 为 等 差 数 列 风 中 2017+f l2019=2a20

40、18，所 以 2 a 2017 一 OlJ+2/019=44018 一 i J=。因 为 各 项 不 为 零，所 以“201 8=4，因 为 数 列 也 是 等 比 数 列，所 以 心 7 也 0 1 9=%。/=1 6所 以 k g（%V 7 也”9）=log?1 6=4,故 选 C.2.（2020贵 州 省 遵 义 航 天 高 级 中 学 高 三（最 后 一 卷）己 知 等 比 数 列 q 中，若 q=2,且 4%,%,2%成 等 差 数 列，则 为=（）A.2 B.2 或 32 C.2 或-32 D.-1【答 案】B【分 析】根 据 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 通 项 公 式

41、 及 性 质，列 出 方 程 可 得 q 的 值，可 得%的 值.【详 解】解：设 等 比 数 列 为 的 公 比 为 q（q*0）,4 4,。3,2。2成 等 差 数 列，/.2 a 3=2 a 2+4 q,0,A q2-q-2=G,解 得：q=2 或 q=-l,a5=a,q4,a$=2 或 3 2,故 选 B.【点 睛】本 题 主 要 考 查 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 定 义 及 性 质，熟 悉 其 性 质 是 解 题 的 关 键.可 言 数 列 与 函 数 1.（2019河 南 省 八 市 重 点 高 中 联 盟“领 军 考 试”高 三 压 轴）已 知 函 数/（另=+4+

42、8（。0加 0）有 两 个 不 同 的 零 点 玉，弓，-2和 玉，/三 个 数 适 当 排 序 后 既 可 成 为 等 差 数 列，也 可 成 为 等 比 数 列，则 函 数/（4）的 解 析 式 为()A.f(x)=-5x-4 B./(X)=J C2+5X+4c./(x)=xa-5x+4 D./(X)=X*+5X-4【答 案】c【分 析】由 函 数 零 点 的 定 义 和 韦 达 定 理，得$+f=r 马 玉 马=8,再 由 _2和 玉，三 三 个 数 适 当 排 序 后 既 可 成 为 等 差 数 列，也 可 成 为 等 比 数 列，得 4=三 十 曰)，不 醒=4,解 得 玉=1，马=

43、4,进 而 可 求 解 得 值，得 出 函 数 的 解 析 式.【详 解】由 题 意，函 数 司=式+(+。(4 0)有 两 个 不 同 的 零 点 不，三，可 得 玉 十 4=乜 玉 巧=8,则 另 0-4 0,又 由-2和 玉，弓 三 个 数 适 当 排 序 后 既 可 成 为 等 差 数 列，也 可 成 为 等 比 数 列，不 妨 设 马 不，则 诩=吃+(-2),凝 巧=4,解 得 马=1,4=4，所 以-3=巧+4=5,力=巧 勺=4,所 以 故 选 c2.(2020上 海 市 建 平 中 学 高 三 月 考)已 知 数 列%满 足 o,a,M=+tan(n e N),若 存 在 实

44、 数 t,使%单 调 递 增，则。的 取 值 范 围 是 A.(0,1)B,(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答 案】A【分 析】由 a“单 调 递 增，可 得 可+i 4 恒 成 立，则 fa“+l(wN*),分 析，4+1 和 f 4+1 可 排 除 错 误 选 项.【详 解】由%单 调 递 增，可 得 an+i=-4+tan a,由 q=a 0,可 得 a“0,所 以 f a“+1(eN*).=1 时，可 得 fa+l-D=2 时，可 得,_/+柩+1，即.若 a=l,式 不 成 立，不 合 题 意:若。1,式 等 价 为，3或 X-3.试 题 分 析：（/）由 等 差 数 列 儿

45、 满 足 加=（n=l,S5=15.求 出 数 列 公 差 后，可 得 数 列 的 通 项 公 式，结 合 数 阵 中 从 第 三 行 开 始 每 行 中 的 数 按 从 左 到 右 的 顺 序 均 构 成 公 比 为 正 数 的 等 比 数 列，且 公 比 相 等，“9=16,可 求 出 公 比，进 而 求 出 的。的 值；（11）由（1）求 出 S,的 表 达 式，利 用 裂 项 相 消 法 求 出 7；的 表 达 式，进 而 将 不 等 式 恒 成 立 问 题，转 化 为 最 值 问 题，利 用 导 数 法，可 得 答 案.试 题 解 析：（1）设 等 差 数 列%的 公 差 为 小；4

46、=1,邑=15，S5=5+10 0，/=与,，3 2=6，g 2.1+2+3+.+9-45故/是 数 阵 中 第 10行 的 第 5个 数.故，)=4/=10 x2*=160（2）昂=1+2+.十 以=华 工，-2-+-2-X+2(B+1)(M+2)(n4-2)(+3)-2(2+1)2”(B+1)(2W+1)：令 呼 赢 西（”亚 则（斗 麻 w当 21时,/r（X）0恒 成 立，设 g（那）=-碗+产-3，冽 吧 群 耳 障 黑 解 册（、（一/+2加,W5,eN,（、2.（2022河 南 省 创 新 发 展 联 盟 高 三 联 考）已 知 数 列 4 满 足,且 数 列 见 是 单 调 递

47、 增 数 列，贝 V 的 取 值 范 围 是（）A.弓 与 B.（*+8）C,（5,+oo）D.（1,4【答 案】A【分 析】根 据 递 增 数 列 可 得 关 于 f的 不 等 式 组，从 而 可 求 其 取 值 范 围.【详 解】由 题 意 可 得 r-l0,9 9 19t,解 得:/-52+2X5?,故 选:A.列 新 定 义 1.（2020广 东 省 广 州、深 圳 市 学 调 联 盟 高 三 下 学 期 第 二 次 调 研）对 于 实 数 x,表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数,已 知 正 数 列 满 足 S八=，其 中 S 为 数 列,1 的 前 项 的 和，则+*+/-=

48、_.2%A”近【答 案】20【分 析】先 由 数 列.，邑 的 关 系 求 出 或，再 利 用 放 缩 法 和 裂 项 相 消 求 得 前 项 和 S 的 值，可 得 答 案.【详 解】由 题 可 知 K 0,当 启 1时，咯 化 简 可 得 际-电=1，当=L#=W=1Z 1 T l所 以 数 列 耳 是 以 首 项 和 公 差 都 是 1 等 差 数 列，即 应,的 二 R 日 又”1时,的 一 病 二 而 言 赤 嗫 2比 五-S i i+毋-1-2（屈-1）20另 一 方 面 s V1+2（亚 一 再）4+（应-1）-1+2（7121-1）-21所 以 2 0 V s21B|l 5-2

49、 0故 答 案 为 202.（2022辽 宁 省 六 校 高 三 上 学 期 期 初 联 考）意 大 利 著 名 数 学 家 斐 波 那 契 在 研 究 兔 子 繁 殖 问 题 时，发 现 有 这 样 一 列 数：1,1,2,3,5,，其 中 从 第 三 项 起，每 个 数 等 于 它 前 面 两 个 数 的 和，后 来 人 们 把 这 样 的 一 列 数 组 成 的 数 列 q 称 为“斐 波 那 契 数 列”，记 S“为 数 列 q 的 前 项 和，则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.&=8C.+a3+a5+-+2019=a2020B.Sg=542 2 2D 4+%+.+%019&2

50、0192020【答 案】ACD【分 析】由 题 意 可 得 数 列 a,J满 足 递 推 关 系 4=1,七=1,a“=a”_2+a“_（N 3）,依 次 判 断 四 个 选 项,即 可 得 正 确 答 案.【详 解】对 于 A,写 出 数 列 的 前 6 项 为 1,1,2,3,5,8,故 A 正 确;对 于 B,S9=1+1+2+3+5+8+13+21+34=8 8,故 B 错 误;对 于 C，由。1=4，。3=一%，%=。6 一。4，。2019=。2020 一。2018，可 得:4+。3+5-%0 1 9=。2+。4 _白 2+&-以 4+8+L+%0 2 0 一 018=2020，故