新基本不等式的证明ppt.ppt

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1、基本不等式的证明基本不等式的证明 无锡辅仁高中无锡辅仁高中 魏魏 民民问问 题题 情情 境境 1 1 对任意实数对任意实数x、y，有，有 恒成立，即恒成立，即 .探究：探究：1.分别用分别用 代替上面不等式中的代替上面不等式中的x、y，会得到什么式子会得到什么式子？2.对上述实数对上述实数a、b，须有何限制条件？，须有何限制条件？3.上述不等关系中，何时取到上述不等关系中，何时取到“=”？问问 题题 情情 境境 2 2 如图如图,AB为半圆的直径为半圆的直径,C为圆周上一动点为圆周上一动点,H为垂足为垂足.设设AH=a,HB=b,半弦半弦CH不大于半径不大于半径COOHBCA把把 称为称为a,

2、b的算术平均数，的算术平均数，把把 称为称为a,b的几何平均数的几何平均数.探究：探究：1试指出图中哪些线段的长度分别等于试指出图中哪些线段的长度分别等于a,b的算术平均数的算术平均数 和几何平均数？和几何平均数？2能否比较出两者的大小关系？能否比较出两者的大小关系？（二）发现基本不等式（二）发现基本不等式（二）发现基本不等式（二）发现基本不等式数：数：形：半弦不大于半径形：半弦不大于半径（三）构建基本不等式（三）构建基本不等式如果如果 ，那么，那么 （当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=”）.这个不等式称为基本不等式这个不等式称为基本不等式.刚刚才才，我我们们从从数数和和形形两两个个角角度度

3、找找到到也也证证明了基本不等式明了基本不等式.那那么么,这这个个基基本本不不等等式式还还有有其其他他哪哪些些证证明明方法呢方法呢?（四）基本不等式的证明（比较法）（四）基本不等式的证明（比较法）（四）基本不等式的证明（比较法）（四）基本不等式的证明（比较法）证明不等式本质上就是比较大小，证明不等式本质上就是比较大小，那么比较大小最常用的方法是什么呢？那么比较大小最常用的方法是什么呢？比较法，作差比较法，作差(或作商或作商)（三）基本不等式的证明（比较法）（三）基本不等式的证明（比较法）（三）基本不等式的证明（比较法）（三）基本不等式的证明（比较法）说明：比较法证明不等式的步骤：说明：比较法证明

4、不等式的步骤：作差（或作商）作差（或作商），变形：变形：通分、通分、因式分解、配方等因式分解、配方等，判断差式的符号判断差式的符号，结论结论.(当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”).基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）求证求证:刚刚才才在在做做差差后后的的配配方方变变形形是是不不少少同同学学没没有有想想到到的的，确实有些不等式的证明用比较法还是很困难的确实有些不等式的证明用比较法还是很困难的例如例如,请看请看基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）要证要证 ，只

5、要证只要证 ，只要证只要证 ，只要证只要证 ，因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,只要证只要证 .当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”.基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）要证要证 ,只要证只要证 ,只要证只要证 ,只要证只要证 .因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”.基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）条件条件难入手难入手结论结论显

6、然成立显然成立结论结论变形变形再变再变简单点简单点再简单点再简单点再变再变基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）基本不等式的证明（分析法）条件条件难入手难入手结论结论不不过过，有有的的同同学学觉觉得得还还是是习习惯惯于于传传统统的的从已知条件出发推导出要证的结论从已知条件出发推导出要证的结论.基本不等式的证明（综合法）基本不等式的证明（综合法）基本不等式的证明（综合法）基本不等式的证明（综合法）(当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”).证明：证明：综合法：综合法：从从已已知知或或事事实实出出发发，根根据据不不等等式式的的性性质质推推导导出出要要证证的的不

7、等式不等式.基本不等式的证明（综合法）基本不等式的证明（综合法）基本不等式的证明（综合法）基本不等式的证明（综合法）分分析析法法的的优优点点是是利利于于思思考考，因因为为它它方方向向明确，易于明确，易于发现思路发现思路.综综合合法法的的优优点点是是易易于于表表述述，条条理理清清楚楚，形式简洁形式简洁.证证明明不不等等式式时时常常常常用用分分析析法法寻寻找找解解题题思思路，再用综合法写出证明过程路，再用综合法写出证明过程（五）基本不等式的简单应用（五）基本不等式的简单应用如果如果 ，那么，那么 （当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=”）.这个不等式称为基本不等式这个不等式称为基本不等式.基本不等

8、式的变式：基本不等式的变式：（五）基本不等式的简单应用（五）基本不等式的简单应用（五）基本不等式的简单应用（五）基本不等式的简单应用 例例 证明下列不等式证明下列不等式 （1）(a0)；思考思考1：第（第（1）题若将）题若将a0 改为改为a0)；(a1).思考思考2：第（第（2）题若将）题若将 a 1改为改为a 1，求求 的取值范围的取值范围.课课 堂堂 小小 结结在应用基本不等式时，要注意哪些问题在应用基本不等式时，要注意哪些问题?不等式的证明有哪几种常用的方法呢？不等式的证明有哪几种常用的方法呢？基本不等式成立的条件是基本不等式成立的条件是a0，b0，及当且仅当及当且仅当a=b时等号成立时等号成立比较法比较法，分析法分析法，综合法综合法课后作业课后作业课题：多角度探究基本不等式课题：多角度探究基本不等式课后请大家按照教学案提供的材料课后请大家按照教学案提供的材料从代数、几何、三角、向量等方面多从代数、几何、三角、向量等方面多角度探究基本不等式角度探究基本不等式.