数学建模—拟合问题ppt.pptx

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1、数学建模数学建模拟合问题拟合问题2实验目得实验目得实验内容实验内容2、掌握用数学软件求解拟合问题。、掌握用数学软件求解拟合问题。1、直观了解拟合基本内容。、直观了解拟合基本内容。1 1、拟合问题引例及基本理论。拟合问题引例及基本理论。4 4、实验作业。实验作业。2、用数学软件求解拟合问题。用数学软件求解拟合问题。3、应用实例应用实例3拟拟 合合2 2、拟合得基本原拟合得基本原理理1、拟合问题引拟合问题引例例4拟拟 合合 问问 题题 引引 例例 1 1温度温度t(0C)20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻电阻R()765 826 873 942 1032已知热敏电阻数据：已知热敏

2、电阻数据：求求60600C时得电阻时得电阻R。设设 R=at+ba,b为待定系数为待定系数5拟拟 合合 问问 题题 引引 例例 2 2 t(h)0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c(g/ml)19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射注射300mg)求血药浓度随时间得变化规律求血药浓度随时间得变化规律c(t)、作半对数坐标系作半对数坐标系(semilogy)下得图形下得图形MATLAB(aa1)6曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 得

3、得 提提 法法已知一组已知一组(二维二维)数据数据,即平面上即平面上 n个点个点(xi,yi)i=1,n,寻求寻求一个函数一个函数(曲线曲线)y=f(x),使使 f(x)在某种准则下与所有数据在某种准则下与所有数据点最为接近点最为接近,即曲线拟合得最好。即曲线拟合得最好。+xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点(xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)得距离得距离7拟合与插值得关系拟合与插值得关系 函数插值与曲线拟合都就是要根据一组数据构造一个函数函数插值与曲线拟合都就是要根据一组数据构造一个函数作为近似作为近似,由于近似得要求不同由于近似得要求不同,二者得数学方法上就是完全不二者得数学

4、方法上就是完全不同得。同得。实例实例:下面数据就是某次实验所得,希望得到X与 f之间得关系？MATLAB(cn)问题问题:给定一批数据点,需确定满足特定要求得曲线或曲面解决方案解决方案:若不要求曲线(面)通过所有数据点,而就是要求它反映对象整体得变化趋势,这就就是数据拟合数据拟合,又称曲线拟合或曲面拟合。若要求所求曲线(面)通过所给所有数据点,就就是插值问题插值问题;8最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果:9曲线拟合问题最常用得解法曲线拟合问题最常用得解法线性最小二乘法得基本思路线性最小二乘法得基本思路第一步:先选定一组函数先选定一组函数 r

5、1(x),r2(x),rm(x),m0)k(0)模型假设模型假设1 1、机体瞧作一个房室机体瞧作一个房室,室内血药浓度均匀室内血药浓度均匀一室模型一室模型模型建立模型建立 在此在此,d=300mg,t及及c(t)在某些点处得值见前表在某些点处得值见前表,需经拟需经拟合求出参数合求出参数k、v用线性最小二乘拟合用线性最小二乘拟合c(t)MATLAB(lihe1)计算结果：计算结果：d=300;t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;y=log(c);a=polyfit(t,y,1

6、)k=-a(1)v=d/exp(a(2)程序：程序：用非线性最小用非线性最小二乘拟合二乘拟合c(t)给药方案给药方案 设计设计cc2c10t 设每次注射剂量D,间隔时间 血药浓度c(t)应c1 c(t)c2 初次剂量D0 应加大给药方案记为：给药方案记为：2、1、计算结果：计算结果：给药方案：给药方案：c1=10,c2=25k=0、2347v=15、0235故可制定给药方案故可制定给药方案:即即:首次注射首次注射375mg,其余每次注射其余每次注射225mg,注射得间隔时间为注射得间隔时间为4小时。小时。36估计水塔得流量估计水塔得流量2、解题思路解题思路3、算法设计与编程算法设计与编程1、问

7、题问题37 某居民区有一供居民用水得园柱形水塔,一般可以通过测量其水位来估计水得流量,但面临得困难就是,当水塔水位下降到设定得最低水位时,水泵自动启动向水塔供水,到设定得最高水位时停止供水,这段时间无法测量水塔得水位与水泵得供水量、通常水泵每天供水一两次,每次约两小时、水塔就是一个高12、2米,直径17、4米得正园柱、按照设计,水塔水位降至约8、2米时,水泵自动启动,水位升到约10、8米时水泵停止工作、表1 就是某一天得水位测量记录,试估计任何时刻(包括水泵正供水时)从水塔流出得水流量,及一天得总用水量、3839流量估计得解题思路流量估计得解题思路拟合水位拟合水位时间函数时间函数确定流量确定流

8、量时间函数时间函数估计一天总用水量估计一天总用水量40 拟合水位拟合水位时间函数时间函数 测量记录瞧,一天有两个供水时段(以下称第1供水时段与第2供水时段),与3个水泵不工作时段(以下称第1时段t=0到t=8、97,第2次时段t=10、95到t=20、84与第3时段t=23以后)、对第1、2时段得测量数据直接分别作多项式拟合,得到水位函数、为使拟合曲线比较光滑,多项式次数不要太高,一般在36、由于第3时段只有3个测量记录,无法对这一时段得水位作出较好得拟合、41 2、确定流量确定流量时间函数时间函数 对于第1、2时段只需将水位函数求导数即可,对于两个供水时段得流量,则用供水时段前后(水泵不工作

9、时段)得流量拟合得到,并且将拟合得到得第2供水时段流量外推,将第3时段流量包含在第2供水时段内、423、一天总用水量得估计一天总用水量得估计 总用水量等于两个水泵不工作时段与两个供水时段用水量之与,它们都可以由流量对时间得积分得到。43算法设计与编程算法设计与编程1、拟合第拟合第1、2时段得水位时段得水位,并导出流量并导出流量2、拟合供水时段得流量拟合供水时段得流量3、估计一天总用水量估计一天总用水量4、流量及总用水量得检验、流量及总用水量得检验44 1、拟合第拟合第1时段得水位时段得水位,并导出流量并导出流量 设t,h为已输入得时刻与水位测量记录(水泵启动得4个时刻不输入),第第1时段时段各

10、时刻得流量可如下得:1)c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);%用3次多项式拟合第1时段水位,c1输出3次多项式得系数2)a1=polyder(c1);%a1输出多项式(系数为c1)导数得系数 3)tp1=0:0、1:9;x1=-polyval(a1,tp1);%x1输出多项式(系数为a1)在tp1点得函数值(取负后边为正值),即tp1时刻得流量 MATLAB(llgj1)4)流量函数为流量函数为:45 2、拟合第拟合第2时段得水位时段得水位,并导出流量并导出流量 设t,h为已输入得时刻与水位测量记录(水泵启动得4个时刻不输入),第第2时段时段各时刻得流量可如下得:1)c

11、2=polyfit(t(10、9:21),h(10、9:21),3);%用3次多项式拟合第2时段水位,c2输出3次多项式得系数2)a2=polyder(c2);%a2输出多项式(系数为c2)导数得系数 3)tp2=10、9:0、1:21;x2=-polyval(a2,tp2);%x2输出多项式(系数为a2)在tp2点得函数值(取负后边为正值),即tp2时刻得流量MATLAB(llgj2)4)流量函数为流量函数为:46 3、拟合供水时段得流量拟合供水时段得流量 在第1供水时段(t=911)之前(即第1时段)与之后(即第2时段)各取几点,其流量已经得到,用它们拟合第1供水时段得流量、为使流量函数在

12、t=9与t=11连续,我们简单地只取4个点,拟合3次多项式(即曲线必过这4个点),实现如下:xx1=-polyval(a1,8 9);%取第1时段在t=8,9得流量 xx2=-polyval(a2,11 12);%取第2时段在t=11,12得流量 xx12=xx1 xx2;c12=polyfit(8 9 11 12,xx12,3);%拟合3次多项式 tp12=9:0、1:11;x12=polyval(c12,tp12);%x12输出第1供水时段 各时刻得流量MATLAB(llgj3)拟合得流量函数为拟合得流量函数为:47 在第2供水时段之前取t=20,20、8两点得流水量,在该时刻之后(第3时

13、段)仅有3个水位记录,我们用差分得到流量,然后用这4个数值拟合第2供水时段得流量如下:dt3=diff(t(22:24);%最后3个时刻得两两之差 dh3=diff(h(22:24);%最后3个水位得两两之差 dht3=-dh3、/dt3;%t(22)与t(23)得流量 t3=20 20、8 t(22)t(23);xx3=-polyval(a2,t3(1:2),dht3);%取t3各时刻得流量 c3=polyfit(t3,xx3,3);%拟合3次多项式 t3=20、8:0、1:24;x3=polyval(c3,tp3);%x3输出第2供水时段 (外推至t=24)各时刻得流量MATLAB(llg

14、j4)拟合得流量函数为拟合得流量函数为:48 3、一天总用水量得估计一天总用水量得估计 第1、2时段与第1、2供水时段流量得积分之与,就就是一天总用水量、虽然诸时段得流量已表为多项式函数,积分可以解析地算出,这里仍用数值积分计算如下:y1=0、1*trapz(x1);%第1时段用水量(仍按高 度计),0、1为积分步长 y2=0、1*trapz(x2);%第2时段用水量 y12=0、1*trapz(x12);%第1供水时段用水量 y3=0、1*trapz(x3);%第2供水时段用水量 y=(y1+y2+y12+y3)*237、8*0、01;%一天总用水量()计算结果计算结果:y1=146、2,y

15、2=266、8,y12=47、4,y3=77、3,y=1250、4MATLAB(llgjz)49 4、流量及总用水量得检验流量及总用水量得检验 计算出得各各时时刻刻得得流流量量可用水位记录得数值微分来检验、用水量y1可用第1时段水位测量记录中下降高度968-822=146来检验,类似地,y2用1082-822=260检验、供供水水时时段段流流量量得一种检检验验方方法法如下:供水时段得用水量加上水位上升值260就是该时段泵入得水量,除以时段长度得到水泵得功率(单位时间泵入得水量),而两个供水时段水泵得功率应大致相等、第1、2时段水泵得功率可计算如下:p1=(y12+260)/2;%第1供水时段水

16、泵得功率 (水量仍以高度计)tp4=20、8:0、1:23;xp2=polyval(c3,tp4);%xp2输出第2供水时段 各时刻得流量 p2=(0、1*trapz(xp2)+260)/2、2;%第2供水时段水泵得功率 (水量仍以高度计)计算结果计算结果:p1=154、5 ,p2=140、1MATLAB(ll)50计算结果计算结果流量函数为流量函数为:51流量曲线见图流量曲线见图n=(3,4)n=(5,6)52练习练习1 用给定得多项式,如y=x3-6x2+5x-3,产生一组数据(xi,yi,i=1,2,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数),然后用xi与添加了随机干扰得yi作得3次多项式拟合,与原系数比较。如果作2或4次多项式拟合,结果如何？53 练习练习2、用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为 ，其中V0是电容器的初始电压，是充电常数。试由下面一组t，V数据确定V0，。