第三章-静态场及其边值问题的解优秀文档.ppt
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1、第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院1第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 恒定磁场分析恒定磁场分析 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 镜像法镜像法 分离变量法分离变量法 静态电磁场:静态电磁场:场量
2、不随时间变化,包括:场量不随时间变化,包括:静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下,电场和磁场相互关联,构成统一的电磁场时变情况下,电场和磁场相互关联,构成统一的电磁场 静态情况下,电场和磁场由各自的源激发,且相互独立静态情况下,电场和磁场由各自的源激发,且相互独立 2第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院3.1 静电场分析静电场分析 本节内容本节内容 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 电位函数电位函数 导体系统的电容与
3、部分电容导体系统的电容与部分电容 静电场的能量静电场的能量 静电力静电力3第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院2.边界条件边界条件微分形式:微分形式:本构关系:本构关系:1.基本方程基本方程积分形式积分形式:或或或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷,即若分界面上不存在面电荷,即 ,则,则4第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁
4、场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院介质介质2 2介质介质1 1 在静电平衡的情况下,导体内部的电场为在静电平衡的情况下,导体内部的电场为0,则导体表面的,则导体表面的边界条件为边界条件为 或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件5第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示,静电场可以用一个标量函数的梯度来表示,标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或
5、简称电位。1.电位函数的定义电位函数的定义 电位函数电位函数6第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院2.电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷,由对于连续的体分布电荷,由同理得,面电荷的电位:同理得,面电荷的电位:故得故得点电荷的电位:点电荷的电位:线电荷的电位:线电荷的电位:7第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院3.3.电位差电
6、位差电位差电位差两端点乘两端点乘 ,则有,则有将将上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分,得沿任意路径进行积分,得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功,电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功,电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。电位差也称为电压,可用电位差也称为电压,可用U 表示。表示。电位差有确定值,只与首尾两点位置有关,与积分路径无关。电位差有确定值,只与首尾两点位置有关,与积分路径无关。P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功
7、的功8第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院 静电位不惟一,可以相差一个常数,即静电位不惟一,可以相差一个常数,即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值(电位差电位差)两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域,通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域,通常取无 限远作电位参考点。限远作电位参考点。同一个
8、问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4.电位参考点电位参考点 为为使使空空间间各各点点电电位位具具有有确确定定值值,可可以以选选定定空空间间某某一一点点作作为为参参考考点点,且且令令参参考考点点的的电电位位为为零零,由由于于空空间间各各点点与与参参考考点点的的电电位位差差为为确确定值,所以该点的电位也就具有确定值,即定值,所以该点的电位也就具有确定值,即9第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院 求电偶极子的电位求电偶极子的电位.解解 在球坐标系中在球坐
9、标系中用二项式展开,由于,得用二项式展开,由于,得代入上式,得代入上式,得 表示电偶极矩,方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩,方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子电偶极子zodq10第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院将将 和和 代入上式,代入上式,解得解得E 线方程为线方程为 由球坐标系中的梯度公式,可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式,可得到电偶极子的远区电场强度等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程:
10、等位线方程等位线方程:11第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院 解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点,而任意点为坐标原点,而任意点P 的的位置矢量为位置矢量为r,则,则若选择点若选择点O为电位参考点,即为电位参考点,即 ,则,则 在球坐标系中,取极轴与在球坐标系中,取极轴与 的方向的方向一致,即一致,即 ,则有,则有 在圆柱坐标系中,取在圆柱坐标系中,取 与与x 轴方向一致,即轴方向一致,即 ,而,而 ,故,故 例例3.1.2 求均匀
11、电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。12第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院xyzL-L 解解 采用圆柱坐标系,令线电荷与采用圆柱坐标系,令线电荷与 z 轴相重合,中点位于坐轴相重合,中点位于坐标原点。由于轴对称性,电位与标原点。由于轴对称性,电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ,它,它到点到点 的距离的距离 ,则则 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。13第第
12、3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院 在上式中若令在上式中若令 ,则可得到无限长直线电荷的电位。当,则可得到无限长直线电荷的电位。当 时,上式可写为时,上式可写为 当当 时,上式变为无穷大,这是因为电荷不是分布在有限区域时,上式变为无穷大,这是因为电荷不是分布在有限区域内,而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一内,而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数,则有个任意常数,则有并选择有限远处为电位参考点。例如,选择并选择有限远处为电位
13、参考点。例如,选择=a 的点为电位参的点为电位参考点,则有考点,则有14第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院在均匀介质中,有在均匀介质中,有5.电位的微分方程电位的微分方程在无源区域,在无源区域,标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程15第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院6.6.静电位的边界条件静电位的边界条件静电位的边界
14、条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是是介介质质分分界界面面两两侧侧紧紧贴贴界界面面的的相相邻邻两两点点,其其电电位位分分别为别为1和和2。当两点间距离当两点间距离l0时时导体表面上电位的边界条件:导体表面上电位的边界条件:由由 和和媒质媒质2媒质媒质1 若介质分界面上无自由电荷,即若介质分界面上无自由电荷,即常数,常数,16第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x=0 和和 x=a
15、处,处,在两板之间的在两板之间的 x=b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布,如图所示。的均匀电荷分布,如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。求两导体平板之间的电位和电场。解解 在两块无限大接地导体平板之间,除在两块无限大接地导体平板之间,除 x=b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外,其余空间均无电荷分布,故电位函数满足一维拉普拉荷分布外,其余空间均无电荷分布,故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程方程的解为方程的解为obaxy两两块块无限大平行板无限大平行板17第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电
16、磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院利用边界条件,有利用边界条件,有 处,处,最后得最后得 处,处,处,处,所以所以由此解得由此解得18第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院电容器广泛应用于电子设备的电路中:电容器广泛应用于电子设备的电路中:3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 在电子电路中,利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中,利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。路、选频等作用。通过电容、电感通过电容
17、、电感、电阻的排布,可组合成各种功能的复杂电阻的排布,可组合成各种功能的复杂 电路。电路。在电力系统中,可利用电容器来改善系统的功率因数,以在电力系统中,可利用电容器来改善系统的功率因数,以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。减少电能的损失和提高电气设备的利用率。19第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院 电容是导体系统的一种基本属性,是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性,是描述导体系统 储存电荷能储存电荷能力的物理量。力的物理量。孤立导体的电容定义为所带
18、电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值,即的比值,即1.电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷(两个带等量异号电荷(q)的的 导体组成的电容器,其电容导体组成的电容器,其电容为为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关,而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关,而与导体的带电量和电位无关。20第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院(1)假定两导
19、体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和q;计算电容的方法一计算电容的方法一:(4)求比值求比值 ,即得出所求电容。,即得出所求电容。(3)由由 ,求出两导体间的电位差;,求出两导体间的电位差;(2)计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E;计算电容的方法二计算电容的方法二:(1)假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U;(4)由由 得到得到 ;(2)计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布;(3)由由 得到得到E;(5)由由 ,求出导体的电荷,求出导体的电荷q;(6)求比值求比值 ,即得出所求电容。,即得出所求电容。21第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁
20、场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院 解:解:设内导体的设内导体的电荷为电荷为q,则由高斯定理可求得内外导体间,则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场同心导体间的电压同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当 时,时,例例 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b,其间,其间填充介电常数为填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容22第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁
21、场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院 例例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线,导线半径为如图所示的平行双线传输线,导线半径为a,两导线,两导线的轴线距离为的轴线距离为D,且,且D a,求传输线单位长度的电容。,求传输线单位长度的电容。解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ,故,故可近似地认为电荷分别均匀分布在两可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理,可得到两导线之间的平面上任一点理,可得到两导线之间的
22、平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为两导线间的电位差两导线间的电位差故单位长度的电容为故单位长度的电容为23第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院 例例3.1.6 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a,外导体半径为,外导体半径为b,内外导体,内外导体间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质,的均匀介质,求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电位差内外导体间的电位差 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体
23、单位长度带电量分别为 和和 ,应,应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为同同轴线轴线24第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院 2.部份电容部份电容在多导体系统中,任何两个导体间的电压都要受到其余导体在多导体系统中,任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上上的的电电荷荷的的影影响响。因因此此,研研究究多多导导体体系系统统时时,必必须须把把电电容容的的 概念加以推广
24、,引入部分电容的概念。概念加以推广,引入部分电容的概念。25第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波农大理学院农大理学院 如果充电过程进行得足够缓慢,就不会有能量辐射,充电过如果充电过程进行得足够缓慢,就不会有能量辐射,充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量,或者说电场能程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量,或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场能量
25、来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力,这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力,这表明静电场具有 能量。能量。任何形式的带电系统,都要经过从没有电荷分布到某个最终任何形式的带电系统,都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中,外加电源必须克服过程。在此过程中,外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。电荷之间的相互作用力而做功。3.1.4 静电场的能量静电场的能量 26第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场
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