反比例函数的图象和性质 浙教版数学八年级下册+.pptx

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1、第6章 反比例函数 6.2 反比例函数的图象和性质（1）1.1.反比例函数的定义：反比例函数的定义：3.3.反比例函数的确定：反比例函数的确定：4.4.它的三种常见的表示形式：它的三种常见的表示形式：2.2.反比例函数的特征：反比例函数的特征：叫做反比例函数叫做反比例函数.函数函数k 0 0,x 0.0.x的指数是的指数是-1-1待定系数法待定系数法.xy=k（k 0 0）y=kx-1-1（k00）复习回顾复习回顾,引入新课引入新课.下列下列函数，哪些是函数，哪些是y关于关于x的反比例函数？的反比例函数？y=3x-1 y=2x2y=2x3y=x1y=32xy=13xy=x1 2.已知已知ABC

2、的面积为的面积为12，则，则ABC的高的高h与它的底边与它的底边a的的函数关系式为函数关系式为3.3.已知已知y是是x的的反比例函数反比例函数,下表给出了下表给出了x和和y的一些值的一些值:x-2-113 y2-1(1)(1)求出这个反比例函数的表达求出这个反比例函数的表达式式;思考思考:表中能否表中能否增加增加x=0 0或或y=0 0的值的值,为什么为什么?(2)(2)根据函数根据函数表达表达式完成上式完成上表表.-函数函数图象的画法图象的画法列列表表描描点点连连线线 描点法描点法w反比例函数的图象又会是什么样子呢反比例函数的图象又会是什么样子呢?w你还记得作函数图象的一般步骤吗你还记得作函

3、数图象的一般步骤吗?n用图象法表示函数关系时用图象法表示函数关系时,首先在自变量的取值范围内首先在自变量的取值范围内取一些值取一些值,列表列表,描点描点,连线连线(按自变量从小到大的顺序按自变量从小到大的顺序,用一条平滑的曲线连接起来用一条平滑的曲线连接起来).).回忆：函数关系有哪些表示方法？回忆：函数关系有哪些表示方法？一次函数的图象是什么样子呢一次函数的图象是什么样子呢?（表达式法、列表法、图象法）（表达式法、列表法、图象法）x画出反比例函数画出反比例函数 和和的函数图象。的函数图象。y=x6 6y=x6 6y=x6列列表表描描点点连连线线 描点法描点法合作交流合作交流,探究新知探究新知

4、y=-=-x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx xy=x6y=x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4O-6-556xy16233241.551.2616-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1-663-32-21.5-1.51.2-1.21-1y=x6y=x6 反比例函数反比例函数图象的画法图象的画法步骤：步骤：列列表表描描点点连连线线 描点法描点法注意：注意：列列 x与与y的的对应值表时对应值表时，x的的值值不能为不能为0 0，但仍可以，但仍可以在在0 0的左右均匀、对的左右均匀、对称地取值。称地取值。注

5、意：注意：描点时自描点时自左往右用光滑曲线左往右用光滑曲线顺次连结，切忌用顺次连结，切忌用折线。折线。注意：注意：两个分两个分支合起来才是反支合起来才是反比例函数图象。比例函数图象。yx6y=0 讨讨 论论反比例函数的性质反比例函数的性质1.当当k0时时,图象的两个分支分图象的两个分支分 别在第一、三象限内；别在第一、三象限内；2.2.当当k0 0时时,图象的两个分支分别在图象的两个分支分别在第二、四象限内。第二、四象限内。y=x6xyO3.图象的两个分支关于直角图象的两个分支关于直角 坐标系的原点成中心对称。坐标系的原点成中心对称。xO如果知道双曲线的如果知道双曲线的一支，利用对称性，一支，

6、利用对称性，如何画另一支？如何画另一支？4.4.双曲线无限接近于双曲线无限接近于x轴轴、y轴轴,但永远不会与坐标轴相交但永远不会与坐标轴相交1.函数函数 的图象在第的图象在第 _象限象限.y=x5 练习练习 1二二,四四913.函数函数 的图象在第二、四象限，的图象在第二、四象限，则则m的取值范围是的取值范围是 _ .m-2xy=m 24.对于函数对于函数 ，当，当 x 0时，图象在时，图象在 第第 _象限象限.y=13xy=13x2.双曲线双曲线 经过点（经过点（-3，_）.三例例2 已知已知反比例函数反比例函数 的图象的一的图象的一 支如图支如图.(1)(1)判断判断k是正数还是负数是正数

7、还是负数;(2)(2)求这个反比例函数的表达式求这个反比例函数的表达式;(3)(3)补画这个反比例函数补画这个反比例函数图象图象的的另一支另一支.y=(k0)kxA.想一想想一想:从反比例函数从反比例函数图象的一个分支分到另图象的一个分支分到另一个分支一个分支,可以可以看作是看作是怎样的图形变换怎样的图形变换?B(-4,2).D.C.Oxy-8-6-4-26284-4-4-2-36842B(4,-2).C.D.A 1.1.已知已知k0,则函数则函数 y1=kx+k与与y2=在同一坐标系中在同一坐标系中的图象大致是的图象大致是 ()xkxyO O(A(A)xy0 0(B)(B)xy0 0(C)(

8、C)xy0 0(D)(D)(A)(A)xy0 0 xy0 0(B(B)(C)(C)(D(D)xy0 0 xy0 0DC任意一组变量的乘积是一个定值任意一组变量的乘积是一个定值,即即xy=kP(m,n)AoyxB长方形的面积为长方形的面积为面积不变性面积不变性三角形的三角形的面积为面积为m n k课内练习：课内练习：3.3.如图如图,P是反比例函数是反比例函数 图象上的一点图象上的一点,PDx轴于轴于D.则则POD的面积为的面积为 .4.4.如图如图,P是反比例函数图象上的一是反比例函数图象上的一 点点,过点过点P分别向分别向x轴、轴、y轴作垂线轴作垂线,若阴影部分的面积为若阴影部分的面积为3,

9、3,则这个反比则这个反比 例函数的关系式是例函数的关系式是 .PDoyxxyoMNP2 2拓展拓展:（1）m=4（2）SABC=81.1.在在直角坐标系中，直线直角坐标系中，直线y=x+m-1-1与双曲线与双曲线 在第一象限交于点在第一象限交于点A，与，与x轴交于点轴交于点C，ABx轴，垂足为轴，垂足为B，且，且SAOB=2=2。求：。求：（1 1）m的值；的值；（2 2）ABC的面积。的面积。yxOABC 相交于相交于A、B两点过两点过 A作作x轴的垂线、过轴的垂线、过B 作作y轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为D、C，设梯形，设梯形ABCD的的 面积为面积为S，则，则()()A AS

10、6 6 B BS=3 3 C C2 2S3 3 D D3S0 0时时,双曲线分别位于双曲线分别位于第一、三第一、三象限内象限内 当当k0 0时时,图象的两个分支分别在第一、图象的两个分支分别在第一、三象限内；三象限内；2.2.当当k 0）（k 0时时,每个象限内，每个象限内，函数值函数值y随自变量随自变量x的增大而的增大而减小减小y=xk(k0)-6-5-4-3-2-11234561236-6-3-2-1第二象限第二象限第四象限第四象限1.2 1.5-1.5-1.2y=x6yxx6 y=O2.当当k0时时,每个象限内，每个象限内，函数值函数值y随自变量随自变量x的增大而增大。的增大而增大。y=

11、xk(k0)y的值从小到大的值从小到大y的值从小到大的值从小到大 x的值从小到大的值从小到大x的值从小到大的值从小到大当当 时，在时，在 内，内，随的增大而随的增大而O 观察反比例函数观察反比例函数 的图象的图象,说出说出y与与x之间的变之间的变化关系化关系:ABOCDABCD减少减少每个象限每个象限当当 时，在时，在 内，内，随的增大而随的增大而增大增大每个象限每个象限正、反比例函数的图象与性质的比较：正、反比例函数的图象与性质的比较：正比例函数正比例函数反比例函数反比例函数解析式解析式增减性增减性直线直线双曲线双曲线k0 0，一、三象限；，一、三象限；k0 0，二、四象限，二、四象限k0

12、0，y随随x的增大而增大；的增大而增大；k0 0，一、三象限；，一、三象限；k0 0，二、四象限，二、四象限k0 0，y随随x的增大而减小的增大而减小k0 0，在每个象限内在每个象限内y随随x的增大而减小；的增大而减小；k0 0，在每个象限在每个象限内内y随随x的增大而增大的增大而增大图象图象位置位置请大家解决请大家解决这个问题这个问题 xy O-2-3做一做：做一做：1 1用用“”或或“”填空：填空：（1 1）已知和是反比例函数的两对自变）已知和是反比例函数的两对自变量与函数的对应值若，则量与函数的对应值若，则 （2 2）已知和是反比例函数）已知和是反比例函数 的两对自变的两对自变量与函数的

13、对应值若，则量与函数的对应值若，则 2 2已知（已知（），（），（），（），（）是反比例函）是反比例函数数 的图象上的三个点，并且的图象上的三个点，并且 ，则则 的大小关系是（）的大小关系是（）（A A）（B B）（C C）（D D）3 3已知（已知（），（），（），（），（）是反比例函）是反比例函数数 的图象上的三个点，则的图象上的三个点，则 的大小关系的大小关系是是C C （1 1）当）当x5 5时，时，0 0y 1 1。（2 2）当）当x55时，则时，则y 1 1或或y。（3 3）当）当y5 5时时，求，求x的取值范围。的取值范围。0 00 0 x 1 14 4已知反比例函数已知反比例函

14、数 解不等式解不等式AByxoy1=x-2_ 3x y2=当当-1-1x0 0 或或 x33时时,y1 1y2 2 。1C-13A(3,1)B(-1,-3)即不等式即不等式 的的解为解为-1 x 0 或或 x 3。当当-1 x 0 或或 x 3时时,一次函数的值大于反比例函数的值一次函数的值大于反比例函数的值。从从A A市到市到B B市列车的行驶里程为市列车的行驶里程为120120千米。假设火车匀速千米。假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为行驶，记火车行驶的时间为t小时，速度为小时，速度为v千米千米/时，且速时，且速度限定为不超过度限定为不超过160160千米千米/时。时。例例2 2：求求v关

15、于关于t的函数表达式和自变量的函数表达式和自变量t的取值范围；的取值范围；解解:（1 1）从从A A市到市到B B市列车的行驶里程为市列车的行驶里程为120120千米千米,所以所求的函数表达式为所以所求的函数表达式为 。t43自变量自变量t的取值范围是的取值范围是v随随t的增大而减小，的增大而减小，由由v160160得得t43解：解：因为自变量自变量t的取值范围是的取值范围是 ，即在题设条件下，即在题设条件下，火车到火车到B B市的最短时间为市的最短时间为4545分钟，所以火车不可能在分钟，所以火车不可能在4040分钟分钟内到达内到达B B市。在市。在5050分钟内到达是有可能的，此时由分钟内

16、到达是有可能的，此时由 t 可得 144v160。t4365（2 2）从）从A A市开出一列火车，在市开出一列火车，在4040分钟分钟内（包括内（包括4040分钟）到分钟）到达达B B市可能吗？在市可能吗？在5050分钟内（包括分钟内（包括5050分钟）呢？分钟）呢？如有可能，此时对火车的行驶速度有什么要求？如有可能，此时对火车的行驶速度有什么要求？例例1 1、已知反比例函数、已知反比例函数 的图象经过点的图象经过点A（1 1，4 4）。）。y=xk（1 1）求此求此反比例函数反比例函数的表达式；的表达式；画出图像；画出图像；并判断点并判断点B（-4-4，-1-1）是否在此函数图像上。）是否在

17、此函数图像上。（2 2）根据图像，得若根据图像，得若y1,1,则则x的取值的取值范围是范围是 ；若若x 11，则，则y的取值的取值范围是范围是 。（3 3）若点（若点（x1 1，y1 1),),（x2 2，y2 2),),（x3 3，y3 3)均在此函数图均在此函数图像上，且像上，且x1 1 0 0 x2 2 x3 3，请比较请比较y1 1，y2 2，y3 3的大小。的大小。（4 4）若）若过点过点A作作APx轴于点轴于点P，求三角形，求三角形AOP的面积。的面积。A(1,4)xPy4O（5 5）若）若D，E，F是此反比例函数在第三象限的图象上的是此反比例函数在第三象限的图象上的三个点，过三个

18、点，过D，E，F分别作分别作x轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为M，N，K，连结，连结OD，OE，OF，设，设ODM，OEN，OFK的的面积分别为面积分别为S1 1，S2 2，S3 3，则下列结论成立的是，则下列结论成立的是 ()A.S1 S2 S3 B.S1 S2 S3 C.S1 S3 S2 D.S1=S2=S3yxoDEFMNKA（1，4）（7 7）连结）连结OA,OB,设点设点C是直线是直线AB与与y轴的交点轴的交点,求求SAOB;yxB（8 8）当）当x为何值时反比例函数的值大于一次函数的值为何值时反比例函数的值大于一次函数的值;(6)(6)求经过点求经过点A，B的一次函数的表达

19、式的一次函数的表达式;oA(1,4)（-4,-1）（9 9）在）在x轴上找一点轴上找一点P，使，使PAPC最短，求点最短，求点P的坐标的坐标.CxBy（-4,-1）A(1,4)O 2.2.若自变量若自变量x的的取值范围为取值范围为2 2x9 9，作出该函数的，作出该函数的图象，并图象，并给出函数值给出函数值y的取值范围。的取值范围。1.1.作反比例函数作反比例函数y=的的图象。图象。1818x 记面积为记面积为18 18 cm 的平行四边形的一条边长为的平行四边形的一条边长为x（cm），这条边上的高为这条边上的高为y（cm）。）。求求y关于关于x的函数表达式，以及自变量的函数表达式，以及自变量

20、x的取值范围。的取值范围。在如图的直角坐标系内，用描点法画出所求函数的在如图的直角坐标系内，用描点法画出所求函数的图象。图象。求当边长满足求当边长满足0 x 15时，这条边上的高时，这条边上的高y的取值范围。的取值范围。246810121416182022242628O246810121416xy1820221.215P(m,n)xS=oyP1(3,2)P2(1,6)xoyP(m,n)AxoyP(m,n)Am n kSABC=kS四边形ABCD=2kBDCoxyAoyP(m,n)ABCDxABCEOFxyx1.1.如图，已知双曲线如图，已知双曲线(x0)0)经过矩形经过矩形OABC边边AB的的

21、中点中点F，交，交BC于点于点E，且四边形，且四边形OEBF的面积为的面积为2 2，则，则k的的值是值是_。变式变式 2.2.如图，在反比例函数如图，在反比例函数 （x0 0）的图象上，有）的图象上，有点点P P1 1，P P2 2，P P3 3，P P4 4，它们的横坐标依次为，它们的横坐标依次为1 1，2 2，3 3，4 4分分别过这些点作别过这些点作x轴与轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为的面积从左到右依次为S1 1，S2 2，S3 3，则则S1 1S2 2S3 3_yxP1P2P3P4S1S2S3O1234拓展拓展:（1 1）m=4=

22、4（2 2）SABC=8=81.1.在在直角坐标系中，直线直角坐标系中，直线y=x+m-1-1与双曲线与双曲线 在第一象在第一象限交于点限交于点A，与，与x轴交于点轴交于点C，ABx轴，垂足为轴，垂足为B，且，且SAOB=2=2。（1 1）求）求m的值；的值；（2 2）求）求ABC的面积。的面积。yxOABC相交于相交于A，B两点过两点过A作作x轴的垂线，过轴的垂线，过B作作y轴的垂线，轴的垂线，垂足分别为垂足分别为D，C，设梯形，设梯形ABCD的面积为的面积为S S，则，则()()A AS6 6 B BS=3 =3 C C2 2S3 3 D D3 3S6 62.2.如图，正比例函数如图，正比

23、例函数 与反比例函数与反比例函数xyABCDOB B 4.4.如图，直线如图，直线l和双曲线和双曲线ykx(k0)0)交于交于A，B两点，两点，P是是线段线段AB上的点（不上的点（不与点与点A，B重合），过点重合），过点A，B，P分别分别向向x轴作垂线，垂足分别为轴作垂线，垂足分别为C，D，E，连结，连结OA，OB，0P，设，设AOC的面积的面积为为S1 1，BOD的面积的面积为为S2 2，POE的的面积面积为为S3 3，则（）则（）A AS1 1S2 2S3 3B BS1 1S2 2S3 3C CS1 1=S2 2S3 3D DS1 1=S2 2S3 35.5.如图，已知如图，已知A（-4-

24、4，2 2），），B（n,-4,-4）是一次函数）是一次函数y=kx+b的图的图象象与反比例函数与反比例函数y=的图象的图象的的两个交点。两个交点。（）求此反比例函数和一次函数的表达（）求此反比例函数和一次函数的表达式；式；（）根据图（）根据图象象写出使一次函数的值小于反比例函数的写出使一次函数的值小于反比例函数的值的值的x的取值的取值范围。范围。xmBOAxy6.6.下下图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图。记从杭州到图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图。记从杭州到余姚一段铁路线上的列车行驶的时间为余姚一段铁路线上的列车行驶的时间为t 时时，平均速度为，平均速度为v千米千米/时，且平均速度限定为

25、不超过时，且平均速度限定为不超过160 160 千米千米/时。时。杭州杭州萧山萧山绍兴绍兴上虞上虞余姚余姚宁波宁波21213939313129294848 求求v关于关于t的函数表达式和的函数表达式和自变量自变量t的取值范围；的取值范围；画出所求函数的图象；画出所求函数的图象；从杭州开出一列火车，在从杭州开出一列火车，在4040分钟内（包括分钟内（包括4040分钟）分钟）到达余姚可能吗？在到达余姚可能吗？在5050分钟内（包括分钟内（包括5050分钟）呢？如分钟）呢？如有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求？有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求？O255075100125150175yx0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 7.7.在函数在函数 （a为常数）的图象上有三点为常数）的图象上有三点 ，函数值，函数值 的大小关系是（的大小关系是（）A.A.y2 2y3 3y1 1 B.B.y3 3y2 2y1 1 C.C.y1 1y3 3y2 2 D.D.y3 3y1 1y2 2D DyxOP3P1P2