03-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考专用）答案.pdf

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1、【赢在高考【赢在高考黄金黄金 8 卷】备战卷】备战 2023 年高考数学模拟卷（新高考专用年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷黄金卷 03（考试时间：（考试时间：120 分钟分钟试卷满分：试卷满分：150 分）分）注意事项：注意事项：1本试卷分第本试卷分第卷卷（选择题选择题）和第和第卷卷（非选择题非选择题）两部分两部分答卷前答卷前，考生务必将自己考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的姓名、准考证号填写在答题卡上2 回答第回答第卷时卷时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其

2、他答案标号写在本试卷上无效需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效3回答第回答第卷时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效卷时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效4测试范围：测试范围：高考全部内容高考全部内容5考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第第卷（选择题）卷（选择题）一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只有一个选项是符合题目要求的有一个选项是符合题目要求的1已知集合N|337xAx，12Bxx，则AB的子集个数为（）A2B4C

3、3D8【答案】A【分析】首先根据指数不等式求解集合A，然后再根据集合交集的运算定义求解AB，根据AB的元素个数即可求出其子集个数.【详解】由题可知N 3370,1,2,3xAx，所以 1AB，其子集个数为122.故选：A2已知 i 是虚数单位，则复数2023ii(i1)z 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【分析】先对复数化简，再求其在复平面对应的点，从而可求得答案.【详解】因为20234 505 32ii(i 1)iii1 2iz ，所以复数 z 在复平面内对应的点是(1,2)，位于第三象限故选：C3已知向量2,9am，1,1b，则“3m ”是“/a

4、 br r”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将3m ，看/a br r是否成立；根据向量共线的坐标表示，得出 m 的值，即可得出结论.【详解】若3m ，则9,99abrr，所以/a br r；若/a br r，则 21910m ，解得3m ，得不出3m .所以，“3m ”是“/a br r”的充分不必要条件.故选：A.4已知公差不为零的等差数列 na中，3514aa，且1a，2a，5a成等比数列，则数列 na的前 9 项的和为（）A1B2C81D80【答案】C【分析】由题知47a，2215aa a，进而根据等差数列通项公式解得2d，再求和

5、即可.【详解】因为3514aa，所以4214a，解得47a.又1a，2a，5a成等比数列，所以2215aa a.设数列 na的公差为d，则244423adadad，即272737ddd，整理得220dd.因为0d，所以2d.所以199991 178122aaS.故选:C.5已知sincos16，则7sin6（）A33B23C23D33【答案】A【分析】根据三角函数恒等变换公式化简已知等式，再根据诱导公式简化7sin6即可得到答案.【详解】sincos16sincoscossinsin166133cossin1223sin6373sinsinsin6663 故选:A6某旅游景区有如图所示 A 至

6、 H 共 8 个停车位，现有 2 辆不同的白色车和 2 辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）A288B336C576D1680【答案】B【分析】根据题意,分 2 步进行分析,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有4 3 224 种,第二步,排黑车,若白车选AF,则黑车有,BE BG BH CE CH DE DG共 7 种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有2714种，根据分步计数原理,共有24 14336种,故选：B7设双曲线2222:1(0,0)xyC

7、abab的左右焦点分别为12,F F，过点1F作斜率为33的直线l与双曲线C的左右两支分别交于,M N两点，且220F MF NMN ，则双曲线C的离心率为（）A2B3C5D2【答案】A【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线l的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】如图，设D为MN的中点，连接2F D.易知2222F MF NF D ，所以22220F MF NMNF D MN ，所以2F DMN.因为D为MN的中点，所以22F MF N.设22F MF Nt，因为212MFMFa，所以12MFta.因为122NFNFa，所以12NFta.所以114MNNFMFa.因

8、为D是MN的中点，11FDFMMD，所以12,MDNDa FDt.在 Rt12F F D中，2224F Dct；在 Rt2MF D中，2224F Dta.所以222244ctta，解得22222tac.所以22222122,22F DcaFDtac.因为直线l的斜率为33，所以22212221223tan322F DcaDFFFDac，所以2222221,23cacaac，2ca，所以离心率为2ca.故选：A【点睛】求双曲线离心率的方法有：（1）直接法：利用已知条件将,a c求出，从而求得离心率e；（2）方程法：利用已知条件列出关于,a c或,a b的方程，化简求得离心率.8已知3111,co

9、s,4sin3244abc，则（）AcbaBbacCabcDacb【答案】A【分析】由14tan4cb结合三角函数的性质可得cb;构造函数 21cos1,0,2fxxxx,利用导数可得ba,即可得解.【详解】方法一方法一：构造函数：构造函数因为当0,tan2xxx故14tan14cb，故1cb，所以cb；设21()cos1,(0,)2f xxxx，()sin0fxxx，所以()f x在(0,)单调递增，故1(0)=04ff，所以131cos0432，所以ba，所以cba，故选 A方法二方法二：不等式放缩：不等式放缩因为当0,sin2xxx，取18x=得：2211131cos1 2sin1 24

10、8832 ，故ba1114sincos17sin444，其中0,2，且14sin,cos1717当114sincos1744时，142，及124此时14sincos417，11cossin417故11cos417411sin4sin4417，故bc所以ba，所以cba，故选 A方法三方法三：泰勒展开：泰勒展开设0.25x，则2310.251322a ，2410.250.25cos1424!b ，241sin10.250.2544sin1143!5!4c ，计算得cba，故选 A.方法四方法四：构造函数：构造函数因为14tan4cb，因为当0,sintan2xxxx，所以11tan44,即1cb

11、，所以cb；设21()cos1,(0,)2f xxxx，()sin0fxxx，所以()f x在(0,)单调递增，则1(0)=04ff,所以131cos0432，所以ba,所以cba，故选：A方法五方法五：【最优解】不等式放缩【最优解】不等式放缩因为14tan4cb，因为当0,sintan2xxxx，所以11tan44,即1cb，所以cb；因为当0,sin2xxx，取18x=得2211131cos1 2sin1 248832 ，故ba，所以cba故选：A【整体点评】方法 4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法 5：利用二倍角公式以及不等式0,sint

12、an2xxxx放缩，即可得出大小关系，属于最优解二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项有多项符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9下列结论正确的是（）A数据 20，21，7，31，14，16 的 50%分位数为 16B若随机变量服从正态分布21,20.68NP，则(0)0.32PC在线性回归分析中决定系数2R用来刻画回归的效果，若2R值越小，则模型的拟合效果越好D以ekxyc拟合一组数据，经=

13、lnzy代换后的线性回归方程为0.21zx，则e,0.2ck【答案】BD【分析】对于 A，先排序再求百分位数；对于 B，根据正态分布的性质求解即可；对于 C，根据决定系数2R的概念判断即可；对于 D，求出变换后的回归方程，再根据对应系数相等求解即可【详解】对于 A：将数据按照从小到大的顺序排列得到：7，14，16，20，21，31，因为 650%3，所以 50%分位数为1620182，故 A 错误；对于 B：随机变量服从正态分布21,N，正态曲线关于直线=1x对称，则2()()()02121 0.680.3PPP，故 B 正确；对于 C：线性回归分析中决定系数2R用来刻画回归的效果，若2R值越

14、大，则模型的拟合效果越好，故 C 错误；对于 D：对ekxyc两边取对数得到：lnlnyckx，令=lnzy得到lnzkxc，因为经=lnzy代换后的线性回归方程为0.21zx，所以e,0.2ck，故 D 正确故选：BD10已知函数()2sin 2()6f xxxR，则下列命题正确的有（）A()yf x的图象关于直线23x 对称B()yf x的图象关于点,012中心对称C()yf x的表达式可改写为2cos 23yxD若120fxfx，则12()2kxxkZ【答案】BD【分析】AB 选项，代入检验即可，C 选项，可利用诱导公式推导；D 选项，求出函数的零点，从而求出两零点的差值.【详解】当23

15、x 时，6726x，1sin 262yx，所以直线23x 不是函数的对称轴，A 错误；当12x 时，260 x，所以sin 206yx，所以,012是函数的对称中心，B 正确；()2sin 22cos 22cos 26263f xxxx ，C 错误；令()2sin 206f xx，解得：26xk，Zk，即+212kx，Zk，所以两个零点的距离：12121221221222kkkkkxxkZ，D 正确.故选：BD.11如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 B1C 上运动，则（）A直线 BD1平面 A1C1DB三棱锥 PA1C1D 的体积为定值C异面直线 AP 与 A1D 所

16、成角的取值范用是45，90D直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为63【答案】ABD【分析】在选项 A 中，推导出111ACBD，11DCBD，从而直线1BD 平面11AC D；在选项 B 中，由1/BC平面11AC D，得到P到平面11AC D的距离为定值，再由11AC D的面积是定值，从而三棱锥11PAC D的体积为定值；在选项 C 中，异面直线AP与1A D所成角转化为直线AP与直线1BC的夹角，可求取值范围；在选项 D 中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可【详解】对于选项 A，正方体中1111ACB D，1

17、11ACBB，1111B DBBB，且11B D，1BB 平面11BB D，11AC平面11BB D，1BD 平面11BB D，111ACBD，同理，11DCBD，1111ACDCC，且11AC，1DC 平面11AC D，直线1BD 平面11AC D，A 选项正确；对于选项 B，正方体中11/AD BC，1A D 平面11AC D，1BC 平面11AC D，1/BC平面11AC D，点P在线段1BC上运动，P到平面11AC D的距离为定值，又11AC D的面积是定值，三棱锥11PAC D的体积为定值，B 选项正确；对于选项 C，11/A DB C，异面直线AP与1A D所成角为直线AP与直线1

18、BC的夹角易知1AB C为等边三角形，当P为1BC的中点时，1APBC；当P与点1B或C重合时，直线AP与直线1BC的夹角为60故异面直线AP与1A D所成角的取值范围是60,90，C 选项错误；对于选项 D，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，点P竖坐标为a，01a，则(,1,)P aa，1(0,1,1)C，(1,1,0)B，1(0,0,1)D，所以1(,0,1)C Paa，1(1,1,1)D B 由选项 A 正确：可知1(1,1,1)D B 是平面11AC D的一个法向量，直线1C P与平面11AC D所成角

19、的正弦值为：112221111(1)3113222C P D BC PD Baaa ，当12a 时，直线1C P与平面11AC D所成角的正弦值的最大值为63，D 选项正确故选：ABD12已知函数 fx，g x的定义域均为 R，函数22fx为奇函数，1fx为偶函数，g x为奇函数，g x的图象关于直线2x 对称，则下列说法正确的是（）A函数 fx的一个周期为 6B函数 g x的一个周期为 8C若 02f，则18682fg D若当02x时，ln1g xx，则当1012x时，ln 13g xx【答案】BCD【分析】A 选项：22fx为奇函数，得到2222fxfx，结合因为1fx为偶函数，得到 12

20、f xf x，故 fx的最小正周期为 12，A 不正确B 选项：g x关于直线2x 对称，得到 4g xgx，又 g x是奇函数，所以 4gxg xgx ，故 48g xgxg x，得到 g x的一个周期为 8，所以 B 正确；C 选项：由 A 选项得 6f xf x，赋值后得到 62f，由 g x为 R 上的奇函数，得到 00g，结合 4g xgx，得 40g，结合 fx和 g x的最小正周期得到 1868642fgfg，所以 C 正确；D 选项：根据 g x的最小正周期和 4g xgx得到 84812g xg xgxgx，从而求出1012x时的函数解析式【详解】A 选项：因为22fx为奇函

21、数，所以2222fxfx，令2tx，得22ftf t ，则 4f tft 因为1fx为偶函数，所以11fxf x，令5xm，得46fmf m，所以 6fxfx，所以612f xf x，故 12f xf x，所以函数 fx的周期为 12，所以 A 不正确；B 选项：因为 g x的图象关于直线2x 对称，所以22gxgx，所以 4g xgx又 g x是奇函数，所以 4gxg xgx ，所以 48g xgxg x，所以函数 g x的周期为 8，所以 B 正确；C 选项：由 A 选项得 6fxfx，得 6f xf x，令0 x，则 062ff，所以 62f 因为 g x为 R 上的奇函数，所以 00g

22、，则由 4g xgx，得 400gg，所以 18681268 84642fgfgfg ，所以 C 正确D 选项：因为当02x时，ln1g xx，所以当1012x时，0122x，所以 84812ln 13g xg xgxgxx所以当1012x时，ln 13g xx，所以 D 正确故选：BCD.【点睛】设函数 yf x，xR，0a，ab（1）若fxafxa，则函数 fx的周期为 2a；（2）若 f xaf x，则函数 fx的周期为 2a；（3）若 1f xaf x，则函数 fx的周期为 2a；（4）若 1fxafx，则函数 fx的周期为 2a；（5）若f xaf xb，则函数 fx的周期为ab；（

23、6）若函数 fx的图象关于直线xa与xb对称，则函数 fx的周期为2 ba；（7）若函数 fx的图象既关于点,0a对称，又关于点,0b对称，则函数 fx的周期为2 ba；（8）若函数 fx的图象既关于直线xa对称，又关于点,0b对称，则函数 fx的周期为4 ba；（9）若函数 fx是偶函数，且其图象关于直线xa对称，则 fx的周期为 2a；（10）若函数 fx是奇函数，且其图象关于直线xa对称，则 fx的周期为 4a第第卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13已知函数332()lnf xxxaxx为偶函数，

24、则a_【答案】1【分析】利用偶函数定义列出关于a的方程，解之即可求得实数a的值【详解】函数332()lnf xxxaxx为偶函数，则有()()fxf x，即332332lnlnxxaxxxxaxx恒成立则22lnlnaxxaxx 恒成立即22lnlnln0axxaxxa恒成立则1a，经检验符合题意.故答案为：114若821xaxx的展开式中8x的系数为 9，则 a 的值为_【答案】1【分析】由题得88822111xaxxxaxxxx，再借助二项式展开式的通项分两种情况讨论得解.【详解】解：88822111xaxxxaxxxx，且81xx展开式的通项88 21881CCrrrrrrTxxx，当8

25、26r时，1r，此时6x的系数为18C.当828r时，0r，此时8x的系数为08C.展开式中8x的系数为1088CC89aa，1a故答案为：115 已知数列 na满足123nnaa且12a，其前n项和为nS，则满足不等式11003nSn的最小整数n为_【答案】9【分析】推导出数列1na 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得na，利用分组求和法可求得nS，然后解不等式11003nSn即可.【详解】因为123nnaa，所以1121nnaa ，且111a ，所以，数列1na 是首项为1，公比为2的等比数列，则112nna ，所以，112nna ，所以121121233nnnSnn ，因此不等式

26、11003nSn，即121003n，即2log 300n，因为8922563002512，故满足不等式11003nSn的最小整数n为9故答案为：9.16抛物线22(0)xpy p上一点(3,)(1)Am m 到抛物线准线的距离为134，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则OE OF 的取值范围为_【答案】33 3+3，【详解】因为点(3)Am，在抛物线上，所以3322pmmp，点 A 到准线的距离为313224pp，解得12p 或6p=当6p=时，114m，故6p=舍去，所以抛物线方程为2xy，(3 3)(3 3)AB，所以OAB是正

27、三角形，边长为2 3，其内切圆方程为22(2)1xy，如图所示，3322E，设点(cos2sin)F，（为参数），则33cos3sin33sin226OE OF ，33 33OE OF ，【点睛】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到OAB为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点E的坐标，可利用内切圆的方程设出点F含参数的坐标，进而得到33sin6OE OF ，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分

28、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知数列 na的首项12a，前n项和为nS，34nS，na，1322nS（2n）总是成等差数列.(1)证明数列 na为等比数列；(2)求满足不等式1(4)nna 的正整数n的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）由已知可得1323422nnnSaS，化简得14643nnnaSS（2n），则有114643nnnaSS，两式相减化简可证得结论，（2）由（1）将不等式化为12122(1)2(1)2nnnn，然后分n为奇数和偶数两种情况求解即可.（1）因为34nS，na，1322nS（2n）总

29、是成等差数列，所以1323422nnnSaS（2n），整理得14643nnnaSS（2n），所以114643nnnaSS，所以111446633nnnnnnaaSSSS，所以114463nnnnaaaa，所以112nnaa，因为12a，所以数列 na是以 2 为首项，12为公比的等比数列，（2）由（1）可得1122nna，因为1(4)nna，所以1112(4)2nn ，所以12122(1)2(1)2nnnn，当n为奇数时，22222nn，得222nn，解得43n，当n为偶数时，22222nn，得222nn，解得43n，此时无解综上得正整数 n 的最小值为 3.18（12 分）已知村庄B在村庄A

30、的东偏北45方向，且村庄,A B之间的距离是431千米，村庄C在村庄A的北偏西75方向，且村庄C在村庄B的正西方向，现要在村庄B的北偏东30方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的3倍.(1)求村庄B C之间的距离；(2)求农贸市场D到村庄,B C的距离之和.【答案】(1)4 6千米(2)4 612 2千米【分析】（1）在ABC中，由正弦定理计算即可；（2）在BCD中，由余弦定理结合3CDBD可得4 6BD进而求解（1）由题意可得4 34AB，120BAC，45,15,CBABCA在ABC中，由正弦定理可得sinsinBCABBACACB，则43136224BC，

31、故4 6BC 即村中B，C之间的距离为4 6千米；（2）村庄C在村庄B的正西方向，因为农贸市场D在村庄的北偏东30的方向，所以120CBD.在BCD中，由余弦定理可得2222cosCDBCBDBC BDCBD，因为3CDBD，所以22234 64 6BDBDBD，解得4 6BD，则12 2CD，故4 6 12 2BDCD，即农贸市场D到村庄BC的距离之和为4 612 2千米.19（12 分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换，每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分，设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率

32、为 0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.（1）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；（2）表示开始第 4 次发球时乙的得分，求的期望.【答案】（1）0.352；（2）1.400.【分析】记iA表示事件：第 1 次和第 2 次这两次发球，甲共得i分，0,1,2i；A表示事件：第 3 次发球，甲得 1 分；B表示事件：开始第 4 次发球时，甲乙的比分为 1 比 2.（1）“开始第 4 次发球时，甲乙的比分为 1 比 2”包括以下两种情况：前 2 次甲得 0 分第 3 次得 1 分和前 2 次甲得 1 分第 3 次得 0 分,即01BAAAA.根据

33、互斥事件与独立事件的概率的求法即可得其概率；（2）开始第 4 次发球时，前面共发球 3 次，所以乙的得分最多为 3 分，即的可能取值为 0，1，2，3.()0P，(3)P都很易求出，(2)P在（1）题中已经求得，(1)P最麻烦，可用对立事件的概率公式求得，即(1)1(0)(2)(3)PPPP，然后根据期望的公式求得期望.【详解】记iA表示事件：第 1 次和第二次这两次发球，甲共得i分，0,1,2i；A表示事件：第 3 次发球，甲得 1 分；B表示事件：开始第 4 次发球时，甲乙的比分为 1 比 2.（1）01BAAAA.201()0.4,()0.40.16,()2 0.6 0.40.48P A

34、P AP A，01()()()()()0.16 0.40.48(10.4)0.352P BP AP AP AP A.（2）22()0.60.36P A.的可能取值为 0，1，2，3.2(0)()0.36 0.40.144PP AA.(2)()0.352PP B.0(3)()0.16 0.60.096PP AA.(1)1(0)(2)(3)10.1440.3520.0960.408PPPP .（或(1)0.40.60.420.60.60.60.408P）0(0)1(1)2(2)3(3)EPPPP 0.4082 0.3523 0.0961.400 .考点：1、独立事件的概率；2、随机变量的期望.【命

35、题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值问题，首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论.【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题，情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况.20（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PAC为等边三角形，平面PAC 平面ABCD，E 为 PD 的中点底面ABCD为等腰梯形，/BCAD，2AD，1ABBCCD(1)证明：PACD；(2)求二面角PCEA的余弦值【答案

36、】(1)证明见解析(2)1313【分析】（1）取AD的中点F，连接CF，证得ACCD，结合面面垂直的性质定理，得到CD 平面PAC，即可证得PACD；（2）取AC的中点O，证得PO平面ABCD，以点 O 为坐标原点，以OB、OC和OC分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，分别求得PCE和平面ACE的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.(1)解：取AD的中点F，连接CF，因为/BCAF且BCAF，所以四边形ABCF是平行四边形，所以1CFAB，因为2CFAD1，所以ACCD，因为平面PAC 平面ABCD，平面PAC平面ABCDAC，所以 CD平面PAC，又因为PA平面PAC，所以PACD

37、(2)解：取AC的中点O，可得POAC，因为平面PAC 平面ABCD，且平面PAC平面ABCDAC，所以PO平面ABCD，又因为ABBC，所以OBOC，以点 O 为坐标原点，OB 方向为 x 轴正方向，OC方向为 y 轴正方向，OP 方向为 z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得30,0,2P，30,02A，30,02C，31,02D，13 3,244E则330,22PC，13 3,244CE ，0,3,0AC，设平面PCE的法向量为1111,xny z，则11330221330244nPCyzn CExyz ，取1z，可得0,3xy，所以10,3,1n，设平面ACE的法向量为2222

38、,nx y z，则11301330244nACyn CExyz ，取3x，可得0,2yz，所以23,0,2n ，所以12121213cos,13n nn nn n ，易知二面角ADFC为锐角，所以二面角ADFC的余弦值为131321（12 分）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过30,2,12AB两点(1)求 E 的方程；(2)设过点1,2P的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点 H 满足MTTH 证明：直线 HN 过定点【答案】(1)22143yx(2)(0,2)【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）

39、设出直线方程，与椭圆 C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【详解】（1）解：设椭圆 E 的方程为221mxny，过30,2,12AB，则41914nmn，解得13m，14n，所以椭圆 E 的方程为：22143yx.（2）3(0,2),(,1)2AB，所以2:23AB yx，若过点(1,2)P的直线斜率不存在，直线1x.代入22134xy，可得2 6(1,)3M，2 6(1,)3N，代入 AB 方程223yx，可得2 6(63,)3T，由MTTH 得到2 6(2 65,)3H.求得 HN 方程：2 6(2)23yx，过点(0,2).若过点(1,2)P的直线斜率存在，设1122(2)

40、0,(,),(,)kxykM x yN xy.联立22(2)0,134kxykxy得22(34)6(2)3(4)0kxkk xk k，可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkx xk，12221228 2344 44234kyykkky yk，且1221224(*)34kx yx yk联立1,223yyyx可得111113(3,),(36,).2yTyHyx y可求得此时1222112:()36yyHN yyxxyxx，将(0,2)，代入整理得12121221122()6()3120 xxyyx yx yy y，将(*)代入，得222241296482448482436480,k

41、kkkkkk显然成立，综上，可得直线 HN 过定点(0,2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22（12 分）已知函数()2sinlnf xxxax(1)当0a 时，0,()2xf xmx，求实数 m 的取值范围；(2)若1212,(0,),x xxx，使得 12f xf x，求证：212x xa【答案】(1)22,；(2)证明见解析【分析】（1）由题可得sin2xmx，其中0,2x，构造函数sin()2xh xx，利用导数求函数的最值即得；（2）由题可得 212121lnln2

42、sinsinaxxxxxx，构造函数，根据函数的单调性可得2121lnlnxxaxx，再由导数证明211221lnlnxxx xxx即可.【详解】（1）由()f xmx，得2sinxxmx，即sin2xmx，其中0,2x，令sin()2,0,2xh xxx，得2sincos()xxxh xx，设()sincos,0,2xxxx x，则()sin0 xxx，所以()x在0,2上单调递增，所以()(0)sin00 cos00 x，所以()0h x，所以()h x在0,2上单调递增，所以()h x在0,2上有最大值，maxsin22()2222h xh，所以 m 的取值范围为22,；（2）由 12f

43、 xf x，可得1112222sinln2sinlnxxaxxxax，整理为 212121lnln2sinsinaxxxxxx，令()sin,0u xxx x，则()1cos0u xx，所以()sinu xxx在(0,)上单调递增，不妨设12xx，所以1122sinsinxxxx，从而2121sinsinxxxx，所以 212121212121lnln2sinsin2axxxxxxxxxxxx，所以2121lnlnxxaxx，下面证明211221lnlnxxx xxx，即证明212211ln1xxxxxx，令21xtx，即证明1lnttt，其中1t，只要证明1ln0ttt，设1()ln(1)tv tt tt，则2(1)()02tv tt t，所以()v t在(1,)上单调递增，所以1 1()(1)ln101v tv，所以211221lnlnxxx xxx，所以211221lnlnxxax xxx，所以212x xa【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式 f xg x（或 f xg x）转化为证明 0f xg x（或 0f xg x），进而构造辅助函数 h xf xg x；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数