2019年普通高等学校招生全国统一考试数学文.pdf

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1、2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学（文）（北 京 卷）本 试 卷 共 5 页，150分,考 试 时 间 长 120分 钟.考 生 务 必 将 答 案 答 在 答 题 卡 上，在 试 卷 上 作 答 无 效.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.第 一 部 分（选 择 题 共 4 0分）一、选 择 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0分.在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项.己 知 全 集 U=R,集 合 P=x|x2l，那 么=2.A.(-8,-1C.-1,

2、1i-2复 数 二 1+2/B.D.l,+oo)(-00,-1 U l,+oo)3.4.5.6.A.i B.-i C.4 3.-15 5D.当 5 5如 果 lo g】x v lo g】y v O,那 么 2A.y xlC.1 xy若 p 是 真 命 题,A.B.C.D.2B.x ylD.lyxq 是 假 命 题，则 p A q是 真 命 题 p V q是 假 命 题 P是 真 命 题 q是 真 命 题 9H（左）视 图 某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示，该 四 棱 锥 的 表 面 积 是 A.32B.16+16收 C.48D.16+32加 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框

3、 图,A.2C.4B.D.若 输 入 A 的 值 为 2,则 输 入 的 P 值 为 35x7.某 车 间 分 批 生 产 某 种 产 品，每 批 的 生 产 准 备 费 用 为 800元.若 每 批 生 产 x 件，则 平 均 仓 储 时 间 为 工 O天，且 每 件 产 品 每 天 的 仓 储 费 用 为 1元.为 使 平 均 没 见 产 品 的 生 产 准 备 费 用 与 仓 储 费 用 之 和 最 小,每 批 应 生 产 产 品 A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 8.已 知 点 A(0,2),B(2,0).若 点 C 在 函 数 y=x 的 图 像 上，则 使

4、 得 A A B C 的 面 积 为 2 的 点 C 的 个 数 为 A.4 B.3 C.2 D.1第 二 部 分(非 选 择 题 共 110分)二、填 空 题 共 6 小 题，每 小 题 5 分，共 30分.JI 19.在 AA 8C 中.若 b=5,Z.B,sinA=,则 a=.4 3210.已 知 双 曲 线/一 方=1(b o)的 一 条 渐 近 线 的 方 程 为 y=2 x,则 6=.11.已 知 向 量 a=(/3,1),b=(0,-1),c=(k,G).若 a-2b 与 c 共 线，则 k=.12.在 等 比 数 列 aj中，ai=；,a4=4,则 公 比 q=；ai+a2+.

5、+a n=.13.己 知 函 数/(x)=-x x2若 关 于 x 的 方 程 f(x)=k有 两 个 不 同 的 实 根，则 实 数 k 的 取(X-1)3,X 2值 范 围 是 14.设 A(0,0),B(4,0),C(t+4,3),D(t,3)(teR).记 N(t)为 平 行 四 边 形 ABCD 内 部(不 含 边 界)的 整 点 的 个 数，其 中 整 点 是 指 横、纵 坐 标 都 是 整 数 的 点，则 N(0)=N(t)的 所 有 可 能 取 值 为 三、解 答 题 6 小 题，共 80分，解 答 应 写 出 文 字 说 明，演 算 步 骤 或 证 明 过 程.15.(本 小

6、 题 共 13分)7T已 知 函 数/(x)=4cosxsin(x+)-1.6(I)求，(x)的 最 小 正 周 期：TT TT(II)求/(X)在 区 间-上 的 最 大 值 和 最 小 值.6 416.(本 小 题 共 13分)以 下 茎 叶 图 记 录 了 甲、乙 两 组 各 四 名 同 学 的 植 树 棵 树.乙 组 记 录 中 有 一 个 数 据 模 糊，无 法 确 认，在 图 中 以 X 表 示.中 组 乙 组 9 9 0 X 8 91 1 1 0(1)如 果 X=8,求 乙 组 同 学 植 树 棵 树 的 平 均 数 和 方 差；(2)如 果 X=9,分 别 从 甲、乙 两 组

7、中 随 机 选 取 一 名 同 学，求 这 两 名 同 学 的 植 树 总 棵 数 为 19的 概 率.(注：方 差$2=1(-X)2+(X2-X)2+(%-X)2,其 中 I 为 项,巧,(的 平 均 数)17.(本 小 题 共 14分)如 图，在 四 面 体 PABC中，P C A B,PAJ_BC,点 D,E,F,G分 别 是 棱 AP,AC,BC,PB的 中 点.(I)求 证：DE 平 面 BCP；(I I)求 证：四 边 形 DEFG为 矩 形：(I I I)是 否 存 在 点 Q,到 四 面 体 PABC六 条 棱 的 中 点 的 距 离 相 等？说 明 理 由.18.(本 小 题

8、 共 13分)已 知 函 数 f(x)(x-k)e(I)求/(x)的 单 调 区 间;(II)求/(尤)在 区 间 0,1上 的 最 小 值.19.(本 小 题 共 14分)已 知 椭 圆 G：+/=1(。b 0)的 离 心 率 为 半，右 焦 点 为(20,0),斜 率 为 I的 直 线/与 椭 圆 G 交 与 A、B 两 点，以 A B 为 底 边 作 等 腰 三 角 形，顶 点 为 P(-3,2).(I)求 椭 圆 G 的 方 程；(II)求 A P A B 的 面 积.20.(本 小 题 共 13分)若 数 列 4：4%,%(22)满 足|%+1%|=1依=1,2广 一 1,则 称 4

9、 为 E 数 列，记 S(A,)=4+%4-F Cln.(I)写 出 一 个 E 数 列 A5满 足 q=%=0；(II)若 q=12,n=2000,证 明：E 数 列 4,是 递 增 数 列 的 充 要 条 件 是%=2019；(HI)在 乌=4 的 E 数 列 4 中，求 使 得 S(4)=0成 立 得 n 的 最 小 值.参 考 答 案 一、选 择 题(1)D(5)B二、填 空 题(共 8 小 题,(2)A(6)C(共 6 小 题,每 小 题 5 分，共 40分)(3)D(4)D(7)B(8)A每 小 题 5 分,共 30分)孚(10)2(11)1(12)2(13)(0,1)三、解 答

10、题(共 6 小 题,(15)(共 13 分)(14)1共 80分)62fl_|-26,7,8,7T解：(I)因 为 f(x)=4cos xsin(x+)-16=4cosx(sinx+-cos%)-l2 2=V3sin2x+2cos2 x-=V3sin 2x+cos2x=2sin(2x+)所 以/(x)的 最 小 正 周 期 为(II)因 为 一 工 所 以 一 工+也.6 4 6 6 3于 是，当 2*+工=工，即 x=工 时，/(x)取 得 最 大 值 2；6 2 6当 2x+色=一 匹，即 x=-工 时,/(x)取 得 最 小 值 1.6 6 6(16)(共 13 分)解(1)当 X=8时

11、，由 茎 叶 图 可 知，乙 组 同 学 的 植 树 棵 数 是：8,8,9,10,所 以 平 均 数 为-8+8+9+10 35x=-=;4 4方 差 为 52=-(8-)2+(9-)2+(10-)2=.4 4 4 4 16(II)记 甲 组 四 名 同 学 为 A|,A2,A3,A4,他 们 植 树 的 棵 数 依 次 为 9,9,11,11；乙 组 四 名 同 学 为 B”B2,B3,B4,他 们 植 树 的 棵 数 依 次 为 9,8,9,10,分 别 从 甲、乙 两 组 中 随 机 选 取 一 名 同 学，所 有 可 能 的 结 果 有 16个，它 们 是：(A”B|),(A2,B

12、J(A3,B,(A4,B),(A，B2),(A2,B2),(A2,B2),(A4,Bi),(A”B3),(A2,B3),(A3,B3),(A4,B3)，(Ap B4),(A2,B4),(A”B4),(A4,B4),用 C 表 示：“选 出 的 两 名 同 学 的 植 树 总 棵 数 为 19”这 一 事 件，则 C 中 的 结 果 有 4 个，它 们 是：(A1,_,4 1B4),(A2，B4),(A3,B j),(A4,B2),故 所 求 概 率 为 尸(C)=一.16 4(1 7)(共 14 分)证 明：(I)因 为 D,E 分 别 为 AP,A C的 中 点，所 以 DE/PC。又 因

13、为 DEZ平 面 BCP,所 以 DE/平 面 BCPo(I I)因 为 D,E,F,G 分 别 为 AP,AC,BC,PB 的 中 点，所 以 DE/PC/FG,DG/AB/EFo所 以 四 边 形 DEFG为 平 行 四 边 形，又 因 为 PCLAB,所 以 DE_LDG,所 以 四 边 形 DEFG为 矩 形。(H I)存 在 点 Q 满 足 条 件，理 由 如 下：连 接 DF,E G,设 Q 为 E G的 中 点 由(H)知，D FA E G=Q,月.QD=QE=QF=QG=；EG分 别 取 PC,A B的 中 点 M,N,连 接 ME,EN,NG,MG,MN。与(H)同 理，可

14、证 四 边 形 M ENG为 矩 形，其 对 角 线 点 为 E G的 中 点 Q,且 QM=QN=；EG,所 以 Q 为 满 足 条 件 的 点.(1 8)(共 13 分)解：(I)f x)=x-k+)e令/1x)=0,得=上 一 1./(x)与 f(x)的 情 况 如 下:X(-g,k-k)k-(%-1,+8)r(x)0+f M/-ek/所 以，/(x)的 单 调 递 减 区 间 是(-0 0 1)；单 调 递 增 区 间 是(A 1,+00)(I I)当 上 一 1 4 0,即 上 4 1时，函 数/(x)在 0,1 上 单 调 递 增,所 以/(x)在 区 间 0,1 上 的 最 小

15、值 为/(0)=-匕 当 0 左 一 1 1,即 1 女 2 时，由(I)知/(x)由 O,Z 1 上 单 调 递 减，在 收 一 1,1 上 单 调 递 增，所 以/(x)在 区 间 0,1 上 的 最 小 值 为/(4-1)=0人；当-I N/,即 k=2 时,函 数 f(x)在 0,1 上 单 调 递 减,所 以/(%)在 区 间 0,1 上 的 最 小 值 为/(I)=(l-k)e.(19)(共 14 分)解：(I)由 已 知 得 c=2垃,=直.a 3解 得。=2 8.又 A2 a2 c2=4.所 以 椭 圆 G 的 方 程 为+&=1.12 4(II)设 直 线/的 方 程 为 y

16、=x+/九 y=x+m由 b 产 得-1-=1112 44x2+6mx+3 m2-12=0.设 A、B 的 坐 标 分 别 为(%,必),(%2，%)(%1 V“2)，A B 中 点 为 E(Xo，%),mi x+X2 3 加 则/=_my0=x0+m=因 为 A B 是 等 腰 P AB的 底 边，所 以 PEAB.2 所 以 P E 的 斜 率 k=-=-1.-3+加 4解 得 m=2o此 时 方 程 为 4X2+12X=0.解 得 X j=-3,x2 0.所 以 y=-1,%=2.所 以|A B|=3 j2.此 时，点 P(3,2)到 直 线 AB：%丁+2=0 的 距 离 4=匕 士

17、2 t 2 1=2,2 2 9所 以 PA B的 面 积 S=一|d=2 2(2 0)(共 13 分)解：(I)0,1,0,1,0 是 一 具 满 足 条 件 的 E 数 列 As.(答 案 不 唯 一，0,1,0,1,0；0,1,0,1,2；0,1,0,1,2；0,1,0,1,2,0,1,0,1,0 都 是 满 足 条 件 的 E 的 数 列 A5)(II)必 要 性：因 为 E 数 列 A s是 递 增 数 列，所 以%M%=1(左=1,2,1 9 9 9.所 以 A s是 首 项 为 1 2,公 差 为 1的 等 差 数 列.所 以 a2ooo=12+(2000 1)xl=2019.充 分 性，由 于 a2000-3|000-1 0(左=1 2,1 9 9 9，即 4 是 递 增 数 列.综 上，结 论 得 证.(I I I)对 首 项 为 4 的 E 数 列 Ak，由 于。2 N 4-1=3,。3 2%12 2,%一 1 N 3.所 以 4+4+一+4 0(2=2,3,8)所 以 对 任 意 的 首 项 为 4 的 E 数 列 Am，若 S（a“）=0,则 必 有 n 9.又 q=4 的 E 数 列 A:4,3,2,。,L 2,3,T 满 足 S（4）=0,所 以 n 是 最 小 值 是 9.