2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学理.pdf

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1、2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（天 津 卷）数 学 理 科 本 试 卷 分 为 第 1卷（选 择 题）和 第 n 卷（非 选 择 题）两 部 分，共 150分，考 试 用 时 120分 钟.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 号 填 写 在 答 题 卡 上，并 在 规 定 位 置 粘 贴 考 试 用 条 形 码 答 卷 时，考 生 务 必 将 答 案 涂 写 在 答 题 卡 上，答 在 试 卷 上 的 无 效.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.第 I 卷 注 意 事 项：1.每 小 题 选 出 答 案

2、 后，用 铅 笔 将 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动,后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.2.本 卷 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 40分.参 考 公 式：用 橡 皮 擦 干 净 如 果 事 件 A,B 互 斥，那 么 如 果 事 件 A,B 相 互 独 立，那 么 P(A B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B).棱 柱 的 体 积 公 式 V=S.其 中 S 表 示 棱 柱 的 底 面 面 积 h 表 小 棱 柱 的 rWi圆 锥 的 体 积 公 式 V3其 中 S 表 示 圆 锥 的 底 面 面 积 h 表 示 圆 锥

3、 的 高 一、选 择 题：在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1-3/1.i是 虚 数 单 位，复 数 1-iA.2+iC.1+2zB.2-iD.-1-2/2.设 苍 y s H,则 且 y N 2”是“工 2+丫 2 2 4”的 A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.即 不 充 分 也 不 必 要 条 件 3.阅 读 右 边 的 程 序 框 图，运 行 相 应 的 程 序，则 输 出 i的 值 为 A.3 B.4C.5 D.64.已 知 4 为 等 差 数 列，其 公

4、 差 为 2,且 为 是 生 与 弓 的 等 比 中 项，S 为 4 的 前 项 和，E N*,则 兀 的 值 为 A.-110C.90B.-90D.1105.在,&2、的 二 项 展 开 式 中，y 的 系 数 为 15A.415B.4C.38D.386.如 图，在 A A B C 中，。是 边 A C 上 的 点，且 A B=CD,2 A B=g B D,B C=2 B D,则 sin C 的 值 为 V 3 TB.V 36C 旦 D 在 3 6/、陶。37.已 知 4=5 陛 23.41=5叫”6,。=2，则 A.a h c B.b a c C.a c h D.c a h8.对 实 数

5、a 和，定 义 运 算“”：a 人=0)相 切，则 r=.12.如 图，已 知 圆 中 两 条 弦 A B 与 C。相 交 于 点 尸，E 是 A 3 延 长 线 上 一 点，且 D P=C F=尸：B:6 E=4:2:1.若 C E 与 圆 相 切，则 线 段 C E 的 长 为.13.已 知 集 合 A=xeR|k+3|+|x-4K9,8=xeR|x=4f+1 一 6je(0,+co),则 集 合 A(B=.14.已 知 直 角 梯 形 ABC。中，A O BC,NADC=90,A O=2,8C=1,P是 腰 O C 上 的 动 点，则 I PA+3 P q 的 最 小 值 为.三、解 答

6、 题：本 大 题 共 6 小 题，共 80分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.15.(本 小 题 满 分 13分)7 T已 知 函 数/(x)=tan(2x+),4(I)求/(x)的 定 义 域 与 最 小 正 周 期；(II)设 若/()=2cos2a,求 a 的 大 小.16.(本 小 题 满 分 13分)学 校 游 园 活 动 有 这 样 一 个 游 戏 项 目：甲 箱 子 里 装 有 3 个 白 球、2 个 黑 球，乙 箱 子 里 装 有 1个 白 球、2 个 黑 球，这 些 球 除 颜 色 外 完 全 相 同，每 次 游 戏 从 这 两 个 箱

7、 子 里 各 随 机 摸 出 2 个 球，若 摸 出 的 白 球 不 少 于 2 个，则 获 奖.(每 次 游 戏 结 束 后 将 球 放 回 原 箱)(I)求 在 1次 游 戏 中，(i)摸 出 3 个 白 球 的 概 率；(ii)获 奖 的 概 率；(II)求 在 2 次 游 戏 中 获 奖 次 数 X 的 分 布 列 及 数 学 期 望 E(X).17.（本 小 题 满 分 13分）如 图，在 三 棱 柱 ABC A 耳 储 中，“是 正 方 形 A A 4 3 的 中 心，A 4,=2 0,。|，平 面 44,43,且 C】H=底（I）求 异 面 直 线 A C 与 ANi所 成 角

8、的 余 弦 值；（II）求 二 面 角 A A G 4 的 正 弦 值；（III）设 N 为 棱 4 G 的 中 点，点 M 在 平 面 A A 4 B 内，且 平 面 4 4 C,求 线 段 的 长.18.（本 小 题 满 分 13分）在 平 面 直 角 坐 标 系 x0y中，点 尸（。/）（。人 0）为 动 点，片，鸟 分 别 为/v2椭 圆 靛+会=1的 左 右 焦 点.已 知 耳 P g 为 等 腰 三 角 形.（I）求 椭 圆 的 离 心 率 e；（1【）设 直 线 P 6 与 椭 圆 相 交 于 两 点，M 是 直 线 2工 上 的 点，满 足 求 点 M 的 轨 迹 方 程.19

9、.（本 小 题 满 分 14分）已 知 a 0,函 数/（x）=lnx 6 2,xo.（/（幻 的 图 像 连 续 不 断）（I）求/（x）的 单 调 区 间；（II）当 时，证 明：存 在/e（2,+oo）,使/（Xo）=/c|）；（III）若 存 在 均 属 于 区 间 1,3 的%尸，且 尸 a 2 1,使/（e）=/（0，证 明 ln3 ln2,In 2-a-.5-32 0.(本 小 题 满 分 14分)已 知 数 列,与 也,满 足：b“a“+%/+2=0也=；w N*,且 q=2,4=4.(I)求 生,%，。5 的 值;(I I)设 c,=4“T+4,M.e N*,证 明：%是 等

10、 比 数 歹 I；(I I I)设 5=%-卜 证 明:参 考 答 案 一、选 择 题：本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算，每 小 题 5分，满 分 40分.BABDCDCB二、填 空 题：本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算，每 小 题 5 分，满 分 30分.9.12 10.6+万 1 1.夜 13.x|-2x5 14.5三、解 答 题 1 5.本 小 题 主 要 考 查 两 角 和 的 正 弦、余 弦、正 切 公 式，同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系，二 倍 角 的 正 弦、余 弦 公 式，正 切 函 数 的 性 质 等 基 础 知 识，考 查 基

11、 本 运 算 能 力.满 分 13分.7T 77(I)解：由 2x H W-F Z肛 Z w Z,4 2/曰 式 k 兀 j得 x w I-、k e Z.8 2所 以/(x)的 定 义 域 为+IT/(X)的 最 小 正 周 期 为.(I I)解：由/()=2cos2a,JI得 tan(H)=2 cos 2a,4sin(a+)-=2(cos2 47-s in2 a),/I、cos(tz+)令 e r sina+cosa.整 理 得-；=2(cos a+sin a)(cos a-sin a).cos a-sin a因 为 a(0,一),所 以 sina+cosa w().4因 止 匕(c o s

12、a-sin a)2=,BPsin 2t7=.2 2TT TT由 a e(0,),得 2a e(0,一).4 2所 以 2 a=工，即 a=.6 121 6.本 小 题 主 要 考 查 古 典 概 型 及 其 概 率 计 算 公 式、离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列、互 斥 事 件 和 相 互 独 立 事 件 等 基 础 知 识，考 查 运 用 概 率 知 识 解 决 简 单 的 实 际 问 题 的 能 力.满 分 13分.(I)(i)解：设“在 1次 游 戏 中 摸 出 i 个 白 球”为 事 件 A=(i=0,L 2,3),则 P(A)G G=_ Lc；c；5(i i)解：设“在

13、1次 游 戏 中 获 奖”为 事 件 B,则 3=4 4,又 P(4)1 1 7且 A2,A3互 斥，所 以 尸(8)=P(4)+P(A3)=：+=.-2 5 10(I I)解：由 题 意 可 知 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2.7 QP(X=0)=(1)2=二,10 1007 7p(x=l)=c：(1)210 1021507,P(X=2)=()249100所 以 X 的 分 布 列 是 X 0 1 2p 9T o o2150491009 21 49 7X 的 数 学 期 望 E(X)=0 x=-+lx+2x=-.100 50 100 51 7.本 小 题 主 要 考 查 异

14、面 直 线 所 成 的 角、直 线 与 平 面 垂 直、二 面 角 等 基 础 知 识，考 查 用 空 间 向 量 解 决 立 体 几 何 问 题 的 方 法，考 查 空 间 想 象 能 力、运 算 能 力 和 推 理 论 证 能 力.满 分 13分.方 法 一：如 图 所 示，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，点 B 为 坐 标 原 点.依 题 意 得 A(2A/2,0,0),B(0,0,0),C(V2,-V2,非)A(2V2,2 血,0),与(0,2 夜,0),G(V2,V2,百)(I)解：易 得 A C=(-A/-V5,石)，A 4=(2正,0,0),于 是 AC-A.B,AC-AlB

15、i4 y/23x272-3所 以 异 面 直 线 A C与 A,B,所 成 角 的 余 弦 值 为 也(ID 解：易 知 裕=(o,2正,O)，A G=(-75,-75,6).设 平 面 AAC的 法 向 量/=(x,y,z),则 m-AiCl=0m-AA=0即-V2x-s/2 y+y/5z=0,2 0=0.不 妨 令 x=石,可 得 加=(75,0,5/2),同 样 地,设 平 面 A IBICI 的 法 向 量=(x,y,z),则 472-AC.=0,一 即 72/5则 MN-(-a,-b,)2 2 2由，M、八 N一 _1 _平 面 A|B|C|,得 化-M-N-A.B.=0-,M N

16、T G=。因 此 B W=(也，也,0),所 以 线 段 B M 的 长 为|刚/|=2 4 4方 法 二:(I)解：由 于 AC A|C”故 N C|4 4 是 异 面 直 线 A C 与 A1B1所 成 的 角.因 为 平 面 AA JBJB,又 H 为 正 方 形 AA1B1B的 中 心,A4,=2 叵,CH=5可 得 A G=4 G=3.因 此 cos/C 1444。+4 琢-4。_ 夜 3所 以 异 面 直 线 A C与 A1B,所 成 角 的 余 弦 值 为 也 3(I I)解：连 接 A C|,易 知 A G=B|G，又 由 于 AAi=B|A|,A|Ci=A|=C,所 以 A

17、A G A&M G A,过 点 A 作 A H，A G 于 点 R,连 接 B|R,于 是 4 H _ L 4 G，故 N 4 R 4为 二 面 角 AA iG B i的 平 面 角.在 R/A41A4 中，片 R=A耳 sinNR4，片=2夜 J1(#)2连 接 AB”在 A4H片 中,A.BD.=4.,A.RD-BD,RD,cos Z.A.RDBD,-A-R-+-B!-4-2-A-B-：L=21 1 1 2ARB1R 73 R从 而 sin/A做 二*1 7所 以 二 面 角 A-A-B,的 正 弦 值 为 地 7(I I I)解：因 为 V N，平 面 A IB IG，所 以 M N _

18、 L A 4-取 HB1中 点 D,连 接 N D,由 于 N 是 棱 B|C|中 点,所 以 ND G H 且 ND=g G H=好.又 G _ L 平 面 AA|B|B,所 以 NO_L平 面 A A|B|B,故 又 MN ND=N,所 以 A 4 _ L 平 面 M N D,连 接 M D并 延 长 交 AjB 于 点 E,则 故 M E/A 4,.上 DE B、E B、D 1A4t A 4 A 4得 D E=BE=J,延 长 E M 交 A B 于 点 F,2/y可 得=连 接 NE.2在 RtdENM 中，N D ME,故=D E DM.N 5&所 以 D M=-=-.DE 4可 得

19、 4连 接 B M,在 RtBFM中，B M=ylFM2+BF2=.418.本 小 题 主 要 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程 和 几 何 性 质、直 线 的 方 程、平 面 向 量 等 基 础 知 识，考 查 用 代 数 方 法 研 究 圆 锥 曲 线 的 性 质 及 数 形 结 合 的 数 学 思 想，考 查 解 决 问 题 能 力 与 运 算 能 力.满 分 13分.(I)解：设 耳(一 c,0),g(c,0)(c0)由 题 意,可 得 耳 耳|,即(a-c)2+b2=2c.整 理 得 2()2+-1=0,得=一 1(舍)，a a a.C 1 广 1或 一=一 所 以 e=一.a 2

20、 2(ID 解：由(I)知 a=2c,b=gc,可 得 椭 圆 方 程 为 3d+4/=12c2,直 线 PF2方 程 为 y=6(x-c).3X2+4/=1 2 C2,A,B 两 点 的 坐 标 满 足 方 程 组 ry-，3(x-c).消 去 y 并 整 理，得 5/一 8cx=0.Q解 得 Xi=0,=心 得 方 程 组 的 解 12不 妨 设 A(|c,苧 c),8(0,-限)设 点 M 的 坐 标 为(x,y),则 A M=(x-号 c,y-3，c),BM=(x,y+也(?),由 y=G(x-c),得 c=x 一/y.于 是“=(誓 尸(尸)B M=(x,V3x).由 A M=2,即

21、(警 y _|Q+(|y 一 哈).氐=2化 简 得 18x2-16 底 y-15=0.将 y=18%2一 1516旧 x代 入 c=x y,得 c=10/+516x0.所 以 x0.因 此，点 M 的 轨 迹 方 程 是 18f-46G 孙-15=0(x0).19.本 小 题 主 要 考 查 导 数 的 运 算、利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性、解 不 等 式、函 数 的 零 点 等 基 础 知 识,考 查 运 算 能 力 和 运 用 函 数 思 想 分 析 解 决 问 题 的 能 力 及 分 类 讨 论 的 思 想 方 法.满 分 14分.解：f(x)-lax-网 上,xe(

22、0,+8),x 2令 外 幻=0,解 得 x=警.当 x 变 化 时，/(x),/(x)的 变 化 情 况 如 下 表:所 以，/(x)的 单 调 递 增 区 间 是(0,写),/(幻 的 单 调 递 减 区 间 是(,+0 0).X(。，孚)y/2a2a(坐 收)f,M+0-f(x)/极 大 值、1 Q 1,(I I)证 明：当。=一 时,/0)=出 工 x2.8 8由 知 f(x)在(0,2)内 单 调 递 增，在(2,+8)内 单 调 递 减.3令 g(x)=/(x)-/(5)由 于/(x)在(0,2)内 单 调 递 增，故 7(2)/勺),即 g(2)0.3 41-9/Lx=e 2,则

23、 g(x)=2,忠(x)v O 即 可)斤(I I I)证 明：由 于(a)=f(/3)及(I)的 结 论 知/?,2a从 而/(x)在。,川 上 的 最 小 值 为，(初 又 由 一 a 2 1,知 1 Wa K 2/-47,ln 2-4 ln 3-9 a.故/()/(I),/2/(/7)“.I._ In 3-In 2 In 2从 而-a-.5 32 0.本 小 题 主 要 考 查 等 比 数 列 的 定 义、数 列 求 和 等 基 础 知 识，考 查 运 算 能 力、推 理 论 证 能 力、综 合 分 析 和 解 决 问 题 的 能 力 及 分 类 讨 论 的 思 想 方 法.满 分 14

24、分.(I)解：由 d=3+(7)”N*,2可 得=1,为 奇 数 2,n为 偶 数 又 a 4,+4，+1+田 4+2=，当 n=l时,Q|+a2+223=0,由=2,a,=4,可(导 a?3;当 n=2时,2a2+a3+a4=0,可 得=一 5;当 n=3时，a3+a4+2a5=0,可 得=4.(II)证 明：对 任 意%-1+。2+2出 向=，2a2+a2n+a2+2=0,%川+%+2+2%+3=，一，得%,=a2n+3.将 代 入，可 得%用+%,+3=一(%1+%田)即%+i=-%(“)又 G=q+/=1,故 c“H 0,因 此 为=-1,所 以 qj 是 等 比 数 列.(III)证

25、 明：由(II)可 得 出 1+%1+1=(一 I)于 是，对 任 意 及*且 后 2 2,有 q+%=-1，一(%+%)=T%+%=1,(-1)(24_3+a2k-)=_ 1.将 以 上 各 式 相 加，得 4+(1)“。2 1=(左 一 1)，即 如 T=(1)印 伏+1)，此 式 当 k=l时 也 成 立.由 式 得 内=(-1)=(4+3).从 而 S 2k(“2+4 4)+(“6+。8)+(。4-2+)=一 仁 2 k-2k a4k-+3.所 以，对 任 意 eN,N2,4 q Q O C CZ*=Z(,4 L 3+0 4?一 2 _|_ 十 4 1+)A=1 W m=l a 4m-

26、3 4 4吁 2。4m-1 04m/2 加+2 2m-1 2m+3 2 m、(-+-)W 2 m 2 m+2 2m+1 2 m+3=(/n=l22 m(2 m+1)H-)(2m+2)(2m+2)-Z-2x3 2m(2m+l)(2+2)(2 力+3)l+y+33(2m-l)(2m 4-1)(2+2)(2+3)1 5=-1 3 2+(-)-2n-l 2n+l(2+2)(2+3)=-1-3 6 2 2/1+1(2+2)(2+3)7.6对 于 n=l,不 等 式 显 然 成 立.所 以，对 任 意 wN*,a a2 a2n-t a2n=(，+邑)+(邑+国)+(鼠 zL+邑 L)a。2 a3 a4 a2n-a2n=(1-)+(1-Z-Z-Z-)+(1-)4 12 42 42-(42-1)4(4-1)-(*4(4n 一 1)