2020年数学（理）高考模拟卷新课标卷8含答案.pdf

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1、2020年 数 学（理）高 考 模 拟 卷 新 课 标 卷（8）（本 试 卷 满 分 150分，考 试 用 时 120分 钟）注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、考 生 号、考 场 号 和 座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上。用 2B铅 笔 将 试 卷 类 型（B）填 涂 在 答 题 卡 的 相 应 位 置 上。2.作 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 2B铅 笔 在 答 题 卡 上 对 应 题 目 选 项 的 答 案 信 息 点 涂 黑；如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 它 答 案。答 案 不 能 答 在

2、 试 卷 上。3.非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 指 定 区 域 内 相 应 位 置 上；如 需 改 动，先 划 掉 原 来 的 答 案，然 后 再 写 上 新 答 案；不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液。不 按 以 上 要 求 作 答 无 效。4.考 生 必 须 保 证 答 题 卡 的 整 洁。考 试 结 束 后，将 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。第 I卷（选 择 题）一、单 选 题：本 大 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选

3、项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.若 集 合 4=46皿-1|=1,B=xy=则 A n B 的 真 子 集 的 个 数 为（）A.3 B.4 C.7 D.8【答 案】A【解 析】【分 析】先 求 出 An B的 交 集，再 依 据 求 真 子 集 个 数 公 式 求 出，也 可 列 举 求 出。【详 解】A=xe iV|x-1|1=0,L2r B=x|y=vl一 炉 卜 一 二，A n B=所 以 B的 真 子 集 的 个 数 为 22.1=3,故 选 A。【点 睛】有 限 集 合%,的“册 的 子 集 个 数 为 2n个，真 子 集 个 数 为 2n _ 1。2.

4、若 复 数 75 Y 2-75 八 r-k十 9气（2_x_2）i为 纯 虚 数，则 X 的 值 为（）x-21 1A.2.B.-1.C.-.D.2 2【答 案】D【解 析】【分 析】由 纯 虚 数 的 定 义 可 得 其 实 部 为 0但 虚 部 不 为 0,解 之 可 得 答 案.【详 解】2x2-5x+2=0 1由 纯 虚 数 的 定 义 可 得 2，故*=一，X2-X-2 0 2故 选。.【点 睛】本 题 考 查 纯 虚 数 的 定 义，涉 及 一 元 二 次 方 程 与 不 等 式 的 解 法，属 基 础 题.3.若 log3X=log4y=log7Z-2,则（）A.3x4y7z B

5、,7z4y3xC.4y3x7z D.7z3x4y【答 案】B【解 析】【分 析】令 log,x=log4 y=log?Z=&一 2,可 得 x=3*,y=44,z=7,进 而 得 到 3x=3*+i,4y=4川，7z=,画 出 y=3、，y=4,y=T 的 图 象，利 用 图 象 比 较 大 小 即 可.【详 解】令 log3x=log4 y=log,z=，-2,则=3,y=4*,z=7k3x=3k+Ay=4+i,7z=7*M,且 上+1 1分 别 画 出,=3 丁=4与=7的 图 象 可 得,.7*+i 4i+l 3用,即 7z 4y 3x故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 指 对 互 化

6、，考 查 指 数 函 数 图 象，考 查 利 用 图 象 比 较 值 的 大 小.4.“上 医 医 国”出 自 国 语 晋 语 八，比 喻 高 贤 能 治 理 好 国 家.现 把 这 四 个 字 分 别 写 在 四 张 卡 片 上,其 中，上,，字 已 经 排 好，某 幼 童 把 剩 余 的 三 张 卡 片 进 行 排 列，则 该 幼 童 能 将 这 句 话 排 列 正 确 的 概 率 是 1-41-3A.1-B.6二 12D.【答 案】A【解 析】【分 析】先 排 好 医 字，共 有 C；种 排 法，再 排 国 字，只 有 一 种 方 法.【详 解】幼 童 把 这 三 张 卡 片 进 行 随

7、 机 排 列，基 本 事 件 总 数 n=C；=3,该 幼 童 能 将 这 句 话 排 列 正 确 的 概 率 p=1.故 选：A【点 睛】有 关 古 典 概 型 的 概 率 问 题，关 键 是 正 确 求 出 基 本 事 件 总 数 和 所 求 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数：L 基 本 事 件 总 数 较 少 时，用 列 举 法 把 所 有 基 本 事 件 一 一 列 出 时，要 做 到 不 重 复、不 遗 漏，可 借 助“树 状 图”列 举；2.注 意 区 分 排 列 与 组 合，以 及 计 数 原 理 的 正 确 使 用.5.埃 及 金 字 塔 是 古 埃 及 的 帝 王（法

8、老）陵 墓，世 界 七 大 奇 迹 之 一，其 中 较 为 著 名 的 是 胡 夫 金 字 塔.令 人 吃 惊 的 并 不 仅 仅 是 胡 夫 金 字 塔 的 雄 壮 身 姿，还 有 发 生 在 胡 夫 金 字 塔 上 的 数 字“巧 合”.如 胡 夫 金 字 塔 的 底 部 周 长 如 果 除 以 其 高 度 的 两 倍，得 到 的 商 为 3.14159,这 就 是 圆 周 率 较 为 精 确 的 近 似 值.金 字 塔 底 部 形 为 正 方 形，整 个 塔 形 为 正 四 棱 锥，经 古 代 能 工 巧 匠 建 设 完 成 后，底 座 边 长 大 约 2 3 0米.因 年 久 风 化，

9、顶 端 剥 落 10米，则 胡 夫 金 字 塔 现 高 大 约 为（）A.128.5 米 B.132.5 米 C.136.5 米 D.110.5 米【答 案】C【解 析】【分 析】设 出 胡 夫 金 字 塔 原 高，根 据 题 意 列 出 等 式，解 出 等 式 即 可 根 据 题 意 选 出 答 案。【详 解】2 3 0 x 4 2 3 0 x 4胡 夫 金 字 塔 原 高 为 力，则-=3.14159，即-X 1 4 6.4米，2h 2 x 3.14159则 胡 夫 金 字 塔 现 高 大 约 为 136.4米.故 选 C.【点 睛】本 题 属 于 数 学 应 用 题，一 般 设 出 未

10、知 数，再 根 据 题 意 列 出 含 未 知 数 的 等 式，解 出 未 知 数，即 可 得 到 答 案。属 于 常 规 题 型。6.函 数./Xx）=昔|log。|尤|（0 1）的 图 象 的 大 致 形 状 是（）【答 案】C【解 析】/(x)=x+1|x+l|-lo ga(-x),x-1,loga|x|=loga(-x),-l x 0.故 选 C.7.记 S“为 等 差 数 列 为 的 前 项 和.若 3s3=Sz+S4,ai=2,则/=()A.-12 B.-10C.10 D.12【答 案】B【解 析】【分 析】将 已 知 条 件 转 化 为 的 形 式，解 方 程 求 得 d,由 此

11、 求 得 为 的 值【详 解】设 等 差 数 列 斯 的 公 差 为，则 3x(3ai+3i/)=2ai+d+4G+6d,3则 d=a,又 ai=2,-3,2/.as=ai+4(/=10.故 选：B【点 睛】本 小 题 主 要 考 查 等 差 数 列 前 项 和 公 式 以 及 通 项 公 式，属 于 基 础 题.8.在 平 行 四 边 形 ABCD 中，45=3,A D=2，APAB,AQ=：A。，若 C P C Q=12,则 ZB4=()冗 n 兀 c 兀 一 2万 A.-B.-C.D.4 3 2 3【答 案】B【解 析】【分 析】2根 据 平 行 四 边 形 的 性 质，利 用 平 面

12、向 量 的 线 性 表 示 化 简 CP=CB+BP=-A D-A B,C Q=CD+D Q=-A B-A D，再 结 合 数 量 积 运 算，即 可 求 出 答 案.2【详 解】如 图 所 示,平 行 四 边 形 ABCD中，AB=3,AD=2,AP=-A B,AQ=-A D,3 2CP=CB+BP=-A D-A B,3CQ=CD+DQ=-AB-|AD若 C P CQ=12,2 1则 C P C Q=(-A D-A B)(-A B-A D)2 2 1 2 4=-A B+-A D+-A B-A D3 2 32,1,4=x32+x2-+x 3x2xcosZBAD=12,3 2 3cos/BAD=

13、一，又/B A D e(0,兀)2Tt.*.ZBAD=-.3故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 了 平 面 向 量 基 本 定 理，平 面 向 量 的 数 量 积 运 算，将 向 量 CP,CQ表 示 为 A B A D是 关 键，基 础 题 目.9.大 衍 数 列，来 源 于 乾 坤 谱 中 对 易 传“大 衍 之 数 五 十”的 推 论.主 要 用 于 解 释 中 国 传 统 文 化 中 的 太 极 衍 生 原 理 数 列 中 的 每 一 项，都 代 表 太 极 衍 生 过 程 中，曾 经 经 历 过 的 两 仪 数 量 总 和 是 中 华 传 统 文 化 中 隐 藏 着 的 世 界 数

14、 学 史 上 第 一 道 数 列 题 其 规 律 是:偶 数 项 是 序 号 平 方 再 除 以 2,奇 数 项 是 序 号 平 方 减 1再 除 以 2,其 前 10项 依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,.如 图 所 示 的 程 序 框 图 是 为 了 得 到 大 衍 数 列 的 前 100项 而 设 计 的，那 么 在 两 个 判 断 框 中，可 以 先 后 填 入（）A.是 偶 数？，n100?C.是 偶 数？，”100?【答 案】DB.是 奇 数?，100?D.是 奇 数？，n100?【解 析】根 据 偶 数 项 是 序 号 平 方 再 除 以 2,奇 数

15、 项 是 序 号 平 方 减 1再 除 以 2,可 知 第 一 个 框 应 该 是“奇 数”，执 QQ2 _ 1 i n n2行 程 序 框 图，=1,S=0；=2,s=2;=3,5=4;；=99,s=-n=100,s=-;2 2=101 100结 束，所 以 第 二 个 框 应 该 填 以 100,故 选 D.10.中 国 古 代 数 学 家 名 著 九 章 算 术 中 记 载 了 一 种 名 为“堑 堵”的 几 何 体，其 三 视 图 如 图 所 示，则 其 外 接 球 的 表 面 积 为（）B.4 C.8 D.64%【答 案】B【解 析】分 析：该 题 属 于 已 知 几 何 体 的 三

16、 视 图，求 其 外 接 球 的 表 面 积 问 题，把 三 棱 柱 补 成 长 方 体，则 长 方 体 的 对 角 线 长 等 于 外 接 球 的 直 径，从 而 求 得 结 果.详 解：由 已 知 可 得 该“堑 堵”是 一 个 半 个 长 方 体 的 直 三 棱 柱，且 长 宽 高 分 别 是 0,1,1,该 几 何 体 的 外 接 球 就 是 对 应 的 长 方 体 的 外 接 球，而 长 方 体 的 对 角 线 是,2+1+1=2，所 以 其 外 接 球 的 半 径 为 1，所 以 其 外 接 球 的 表 面 积 为 4 xl2=4万，故 选 B.点 睛：解 决 该 题 的 关 键

17、是 将 根 据 三 视 图 将 几 何 体 还 原，从 而 得 到 该 几 何 体 是 半 个 长 方 体 的 三 棱 柱，利 用 长 方 体 的 外 接 球 的 特 征 求 得 结 果.11.已 知 尸 是 椭 圆 二+=1（。人 0）的 右 焦 点，A 是 椭 圆 短 轴 的 一 个 端 点，若 尸 为 过 A E 的 a h椭 圆 的 弦 的 三 等 分 点，则 椭 圆 的 离 心 率 为（）A.-B.C.-D.3 3 2 2【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 椭 圆 几 何 性 质 可 把 椭 圆 内 每 条 线 段 的 长 度 用 a*,c表 示，然 后 利 用 余 弦 定 理，

18、在 两 个 三 角 形 里 分 别 表 示 同 一 角 的 余 弦，得 到。关 系，求 出 离 心 率.【详 解】延 长 交 椭 圆 于 点 8,设 椭 圆 右 焦 点 为 尸，连 接 A 尸 根 据 题 意 A尸=加+,AF=2FB,所 以 F8=2根 据 椭 圆 定 义 BE+5b=2 a,所 以 3尸=的 2在 4 尸 尸 中，由 余 弦 定 理 得 cosNEA箕=PA2+fA1-FF2=2a2-,4 c22FA-FA 2a2PfA2 _ i_ 4 P2 _ Rp,2 1在 A 尸 5 中，由 余 弦 定 理 得 cos/E46=-IFA-AB 3所 以 f22-4c=2 上 1，解

19、得 a=Gr-c，2a2 3所 以 椭 圆 离 心 率 为 e=且 a 3故 选 B 项.【点 睛】本 题 考 查 椭 圆 的 定 义，几 何 性 质，余 弦 定 理 等，属 于 中 档 题.(ex.x 012.已 知 f(x)=1-0 x 1,若 a b 1()A.(co,ln2 B.f-oo,-ln214 4C.(-co-e司 D.(-oo,y-ez【答 案】A【解 析】试 题 分 析：设 f(a)=f(b)=f(c)=m,作 出 函 数 f(%)的 图 象 如 图 所 示,由 图 知 由 1-b=1=m,得 a=lnm,b=1?n,c=+1,所 以 Q+3b+c=nm+3 3m+m2 4

20、-l=lnm 3m+m2+4.令 h(m)=Inm 3m+m2+4,则 h(m)=-3+2m=m2m 2-3m+1m令”(m)0,得 0 m：.令，(m)0,得 3 c m 1,所 以 在（0,5上 单 调 递 增，在 J）上 单 调 递 减,所 以 九(m)max=岭)=Y-ln2.又 因 为 当 m-0 时，h(m)-co,所 以 h(m)e(8,；-ln2),故 选 A.考 点：1、分 段 函 数；2、函 数 图 象；3、利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性.第 n 卷（非 选 择 题）二、填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分。把 答 案 填

21、 在 题 中 的 横 线 上。13.己 知 随 机 变 量 J 服 从 正 态 分 布 N（2,cr2）,且 P（J4）领，则 P 0 J Q 等 于.【答 案】0.3【解 析】试 题 分 析：随 机 变 量 4 服 从 正 态 分 布 N（2,0）,所 以 正 态 曲 线 对 称 轴 为 x=2.-.P（x2）=0.5P C 4）=0.8;.P（2 J 4）=0.3;.P（0 J 2）=0.3考 点：正 态 分 布 点 评：随 机 变 量 J 服 从 正 态 分 布 N（,b2）,则 正 态 密 度 曲 线 关 于 x=对 称，P（x/，）=（）.514.曲 线 C a）=sinx+e+2在

22、 点 P（）J（0）处 的 切 线 方 程 为【答 案】y=2x+3【解 析】【分 析】求 出/（0）,尸（0）后 可 得 曲 线 在 点（o,/（o）处 的 切 线 方 程.【详 解】/（x）=cosx+e*,故/（0）=cos0+e=2,又/（0）=3,所 以 曲 线 在(o,7(o)处 的 切 线 方 程 为 y=2尤+3.【点 睛】对 于 曲 线 的 切 线 问 题，注 意“在 某 点 处 的 切 线 和”过 某 点 的 切 线 的 差 别，切 线 问 题 的 核 心 是 切 点 的 横 坐 标.15.设 S,是 等 比 数 列。“的 前 项 和，若 S,=5S,则 乌-=.阳 火【答

23、 案】一 1或 土 工 2【解 析】【分 析】由 已 知 判 断 q是 否 等 于 1,再 选 择 前 项 和 公 式，求 出 夕，再 运 用 通 项 公 式 得 解。【详 解】S4 w 2s2，:.q w L4)=51二 Q),解 得 4=1或(7=2.-q-q又 因 为 W _=(4)=L2 7。闻 q q1,1所 以 一=T 或-q 2所 以&=一 1或 士,a3a8 2故 得 解.【点 睛】本 题 考 查 等 比 数 列 的 通 项 公 式 和 前 项 和 公 式，属 于 基 础 题.2 216.已 知，尸 2分 别 为 双 曲 线 0 专=l(a0,b0)的 左、右 焦 点，以 名

24、为 直 径 的 圆 与 双 曲 线 在 第 一 象 限 和 第 三 象 限 的 交 点 分 别 为 M,N,设 四 边 形 的 周 长 为。，面 积 为 S,且 满 足 32s=p2,则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为.【答 案】国 2【解 析】【分 析】本 题 首 先 可 根 据 题 意 绘 出 图 像 并 设 出 点 坐 标 为（石,乂），然 后 通 过 圆 与 双 曲 线 的 对 称 性 得 出 s,万”=S邙 F?N，再 根 据“点 即 在 圆 上，也 在 双 曲 线 上“联 立 方 程 组 得 出,=生，然 后 根 据 图 像 以 及 32S=p2可 得 S=2 和=汕，接 下

25、来 利 用 双 曲 线 定 义 得 出 吟=2 b+a 以 及 M F2=2b-a,最 后 根 据 并 通 过 化 简 求 值 即 可 得 出 结 果。如 图 所 示，根 据 题 意 绘 出 双 曲 线 与 圆 的 图 像，设 M（内,y）,由 圆 与 双 曲 线 的 对 称 性 可 知，点”与 点 N 关 于 原 点 对 称，所 以 S巧 照=5巧 与 代 因 为 圆 是 以 月 耳 为 直 径，所 以 圆 的 半 径 为 c,国 一 支=1因 为 点 M（玉,yj在 圆 上，也 在 双 曲 线 上，所 以 有 1/h2,9 2 2 不+M=c联 立 化 简 可 得 加（d.城）_=02）2

26、,整 理 得 匕 2C2-=82必 2+。2y 2,b4=c2yt2,必=幺，所 以 S=2S邙 八”=2c?x 2b2,C-因 为 32S=p2,所 以 p2=6402,p=8b,因 为 p=M F+MF2+NF+NF2=2(MF+MFj,所 以 M 耳+Mg=4,M E+M F.=4Z;因 为 加 耳-加 8=2，联 立 可 得 MF2=2h-a 9MF-M F2=2Q因 为 E B 为 圆 的 直 径，所 以 即(2h+a+(2b-a=4/,8/72+2a2=4c2 4b2+a2=2c2 4c2-4a2+a2=2c2 2c2=3a2=?，所 以 离 心 率 e=。a2 2 a 2【点 睛

27、】本 题 考 查 圆 锥 曲 线 的 相 关 性 质，主 要 考 查 双 曲 线 与 圆 的 相 关 性 质，考 查 对 双 曲 线 以 及 圆 的 定 义 的 灵 活 应 用，考 查 化 归 与 转 化 思 想 以 及 方 程 思 想，考 查 了 学 生 的 计 算 能 力，体 现 了 综 合 性，是 难 题。三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 70分.解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 17-21题 为 必 做 题,每 个 考 生 都 必 须 作 答.第 22/23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答.(一)必

28、考 题：共 60分 17.在 A4BC 中，三 边 a,匕，c 的 对 角 分 别 为 A，B，C,己 知 a=3,cosB+cosAcosC=息 sin B cos C b（1）若 C=2A/5，求 sin A；(2)若 A B 边 上 的 中 线 长 为 亘，求 钻 C 的 面 积.23【答 案】(1)二；(2)3月.4【解 析】【分 析】(I)利 用 正 弦 定 理 把 等 式 cs+cos Acos=中 的 边 化 成 角,利 用 三 角 恒 等 变 换 得 到 sin BcosC b7T n rc=-f再 利 用 正 弦 定 理 一 L 二 一 3 sin A sinC3，求 得 s

29、inA=；4(2)设 A 3 边 上 的 中 线 为 C O,利 用 向 量 加 法 法 则 得 2CD=C4+C 8,对 式 子 两 边 平 方 转 化 成 代 数 运 算，求 得 b=4,再 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 S08C=；。匕 sinC求 面 积 的 值。【详 解】/I、cosB+cosAcosC yfia 1）因 为-=-,sin ficosC b由 正 弦 定 理，得 cos3+cos4cosC=6 s i n 4,sin 3 cos C sin B所 以-c s（A+C）+cos Acos C 一 G sin Asin ficosC sin B所 以 sin A

30、sinC=G sin AcosC.又 因 为 sinAwO,所 以 tanC=6.T T因 为 C G（O,），所 以 C=.33 2y/3 3又 因 为 丁 上 产 一 不，所 以 sin 4 一 二 牙，所 以 sinA=1-sin A sin C _ 42（2）设 AB边 上 的 中 线 为 C O,则 2cD=C4+CB，所 以 4CD2=（CA+CB）2=b2+a2+2而 cos C，即 37=82+9+38，入 2+3人 28=0.解 得 b=4 或。=一 7（舍 去）.所 以 Sg8c=gabsinC=g x 4 x 3 x*=3 后.【点 睛】本 题 考 查 正 弦 定 理、面

31、 积 公 式 在 解 三 角 形 中 的 运 用，解 题 过 程 中 向 量 关 系 2CD=C4+CB的 两 边 平 方 后，本 质 是 余 弦 定 理。1 8.已 知 五 面 体 A8CDEF中，四 边 形 C0E广 为 矩 形，C D 2D E=2AD=2AB=4,AC=2逐，且 二 面 角/一 A 3 C 的 大 小 为 30.（1）证 明：AB，平 面 ADE；(2)求 二 面 角 E-B C 尸 的 余 弦 值.【答 案】(1)见 解 析；(2)217【解 析】【分 析】(1)先 证 E F 平 面 A8C。，由 线 面 平 行 的 性 质 定 理 得 防 A B,所 以 CO A

32、6；由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 得 CD_L平 面 ADE，从 而 得 ABJ_平 面 ADE；(2)以。为 坐 标 原 点，以 Q4所 在 的 直 线 为 x轴，过。平 行 于。的 直 线 为 轴，0 E 所 在 的 直 线 为 z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，【详 解】(1)在 五 面 体 ABCDE产 中，四 边 形 CDEF为 矩 形，所 以 七 尸 CD,C D A.DE.因 为 E F Z 平 面 ABC。，C D u平 面 ABC。，所 以 E F 平 面 ABC。，因 为 E/u 平 面 ABEE，平 面 A B EEc平 面 4 8 c)=A B,所 以

33、 E F A B,又 E F C D,故 C D A 8.因 为 C)=4,AD=2，A C=2旧,所 以 CJ_AD,因 为 A D c O=D,所 以 CQ J平 面 ADE，又 C D A B,所 以 ABJ_平 面 AOE.(2)过 点 E 作 EO LA。，垂 足 为 0,以 0 为 坐 标 原 点，以。4所 在 的 直 线 为 x轴，过。平 行 于。C的 直 线 为 N轴，OE所 在 的 直 线 为 z轴，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，分 别 求 平 面 E B C,平 面 8C尸 的 法 向 量，利 用 向 量 法 求 解 即 可.则 E(0,0,G),

34、8(3,2,0),C(l,4,0),网 0,4,6),BC=(-2,2,0),CF=(-1,0,73),CE=(-l,-4,),/、BC,几=a,设 平 面 E 8C的 一 个 法 向 量 为=a，y,z j,则 即 C E-n=0,2 X 1+2 y 0,-X j-4 y+/3Zj=0不 妨 令=百，则=(6,6,5).2x2+2%=0,Xo+0,设 平 面 B C F 的 一 个 法 向 量 为 加=(%，%，Z2)，则 B C m 0,C F-m=0,即 不 妨 令 W=百，则 2=(6,6,1),贝(Jcos(”,w)11而 X不 11V2T7217由 图 知 二 面 角 E 为 锐

35、角，所 以 二 面 角 E-B C-F 的 余 弦 值 为 1 画 2.217【点 睛】本 题 考 查 了 线 面 平 行 的 性 质 定 理 和 线 面 垂 直 的 判 定 定 理，利 用 向 量 法 解 二 面 角 的 问 题，属 于 中 档 题.1 9.为 了 研 究 家 用 轿 车 在 高 速 公 路 上 的 车 速 情 况，交 通 部 门 随 机 对 50名 家 用 轿 车 驾 驶 员 进 行 调 查，得 到 其 在 高 速 公 路 上 行 驶 时 的 平 均 车 速 情 况 为：在 3 0名 男 性 驾 驶 员 中，平 均 车 速 超 过 100km/h的 有 2 0人，不 超 过

36、 100km/h的 有 10人.在 2 0名 女 性 驾 驶 员 中，平 均 车 速 超 过 lOOkm/h的 有 5 人，不 超 过 100km/h的 有 15人.(1)完 成 下 面 的 列 联 表，并 判 断 是 否 有 99.5%的 把 握 认 为 平 均 车 速 超 过 的 人 与 性 别 有 关;平 均 车 速 超 过 100km/h人 数 平 均 车 速 不 超 过 100km/h 人 数 合 计 男 性 驾 驶 员 人 数 女 性 驾 驶 员 人 数 合 计(2)以 上 述 数 据 样 本 来 估 计 总 体，现 从 高 速 公 路 上 行 驶 的 大 量 家 用 轿 车 中

37、随 机 抽 取 3辆，记 这 3辆 车 中 驾 驶 员 为 女 性 且 车 速 不 超 过 100km/h的 车 辆 数 为 若 每 次 抽 取 的 结 果 是 相 互 独 立 的，求 自 的 数 学 期 望.参 考 公 式：k2n(ad-be)(Q+)(c+d)(o+c)(+d)其 中=&+/?+c+d.参 考 数 据:P K-k0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答 案】(1)有；(2)0.9.【解 析】分 析：(1)根 据 公 示 计 算 得 到 卡 方 值，

38、作 出 判 断 即 可；(2)根 据 条 件 可 知 士 由 公 式 得 到 期 望 值.详 解:(1)平 均 车 速 超 过 100km/h 人 数 平 均 车 速 不 超 过 100M/我 人 数 合 计 男 性 驾 驶 员 人 数 20 10 30女 性 驾 驶 员 人 数 5 15 20合 计 25 25 50.、50(20 x15-10 x5)2 25 K-=-=*8.333 7.879,30 x20 x25x25 3所 以 有 99.5%的 把 握 认 为 平 均 车 速 超 过 l(X)k/与 性 别 有 关.(2)根 据 样 本 估 计 总 体 的 思 想，从 高 速 公 路

39、上 行 驶 的 大 量 家 用 轿 车 中 随 即 抽 取 1辆，驾 驶 员 为 女 性 15 3且 车 速 不 超 过 1005?/的 车 辆 的 概 率 为 否=行.所 以 4 的 可 能 取 值 为 0,123,且 3E()=np=3x=0.9.方 法 点 睛：求 解 离 散 型 随 机 变 量 的 数 学 期 望 的 一 般 步 骤 为：第 一 步 是“判 断 取 值”，即 判 断 随 机 变 量 的 所 有 可 能 取 值，以 及 取 每 个 值 所 表 示 的 意 义；第 二 步 是“探 求 概 率”，即 利 用 排 列 组 合、枚 举 法、概 率 公 式，求 出 随 机 变 量

40、取 每 个 值 时 的 概 率；第 三 步 是“写 分 布 列”，即 按 规 范 形 式 写 出 分 布 列，并 注 意 用 分 布 列 的 性 质 检 验 所 求 的 分 布 列 或 某 事 件 的 概 率 是 否 正 确；第 四 步 是“求 期 望 值”，一 般 利 用 离 散 型 随 机 变 量 的 数 学 期 望 的 定 义 求 期 望 的 值，对 于 有 些 实 际 问 题 中 的 随 机 变 量，如 果 能 够 断 定 它服 从 某 常 见 的 典 型 分 布 则 此 随 机 变 量 的 期 望 可 直 接 利 用 这 种 典 型 分 布 的 期 望 公 式 求 得.20.在 平

41、面 直 角 坐 标 系 X。），中，动 点 E 到 定 点（1,0）和 定 直 线=-1的 距 离 相 等.（1）求 动 点 E 的 轨 迹 C 的 方 程；（2）设 动 直 线/：丁=依+。（4 7 0）与 曲 线 C 有 唯 一 的 公 共 点 P,与 直 线 x=T 相 交 于 点 Q,若 PM QM=Q,求 证：点 的 轨 迹 恒 过 定 点（1,0）.【答 案】（1）y=4 x；（2）见 解 析.【解 析】【分 析】（1）设 出 动 点 E 的 坐 标 为（x,y）,然 后 直 接 利 用 抛 物 线 的 定 义 求 得 抛 物 线 方 程；（2）联 立 直 线 方 程 和 抛 物

42、线 方 程，化 为 关 于 y 的 一 元 二 次 方 程 后 由 判 别 式 等 于 0 得 到 Z 与 6 的 关 系,求 出。的 坐 标，求 出 切 点 坐 标，再 设 出 M 的 坐 标，然 后 由 证 得 答 案.【详 解】（1）解：由 抛 物 线 定 义 可 知，动 点 E 的 轨 迹 是 以（1,0）为 焦 点，以 x=-1为 准 线 的 抛 物 线，其 方 程 为：y2=4x；y2=4x（2）证 明：由,，消 去 x 得：ky2-4y+4b=0.y=kx+b由 题 意 可 知，直 线/与 抛 物 线 相 切，.*.=16-1 6=0,即 6=.k.直 线/的 方 程 为 了=丘

43、+工.k令 x=-l,得 产-Z+Lk,1、Q（-1,-k-）,k4设 切 点 坐 标 尸（xo,yo）,则 什（；-4%+7=0,k解 得:p J）,设 M（/n,0）,=-m-7+舞 2-1-2=C m-1)(-2).k2 k2 k2 k2当 机=1 时，PM QM=0.故 点 例 的 轨 迹 恒 过 定 点(1,0).【点 睛】本 题 考 查 了 抛 物 线 方 程 的 求 法，考 查 了 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系，训 练 了 利 用 向 量 证 明 线 段 的 垂 直 问 题，是 中 档 题.2 1.已 知 函 数/(x)=lnxar(aeH).(I)讨 论 的

44、单 调 性;(II)若/(X)有 两 个 零 点，求 实 数。的 取 值 范 围.【答 案】(I)见 解 析；(II)|0,-.I ej【解 析】【分 析】(I)求 出 函 数 y=/(x)的 定 义 域 和 导 数/(元)=g a,然 后 分 a40和 a 0 两 种 情 况 讨 论，分 析 了(X)在(0,+力)上 导 数 符 号 的 变 化，即 可 得 出 函 数 y=/(x)的 单 调 区 间；(II)利 用(I)中 的 结 论，函 数 y=/(x)有 两 个 零 点，则 a 0 且 有/即 可 求 出 实 数 a 的 取 值 范 围.【详 解】(I)函 数.f(x)=lnx-公 的

45、定 义 域 为(0,+oo),=当 a40时，由/(x)0,知 函 数 y=/(x)在(0,+8)内 单 调 递 增;当 a 0 时，由/(x)0,即，-a 0得 0 x，；x a由/(x)0,即 Q.x a所 以，函 数 y=x)在 0,一 内 单 调 递 增，在+8 内 单 调 递 减.因 此，当.40时，）=力 在（0,+力）内 单 调 递 增；当 0 时，y=/（x）在（0,J 内 单 调 递 增；在+8）内 单 调 递 减；（II）当 4 0 时，由（I）知，函 数 y=/（x）在（0,（）内 单 调 递 增，在 1%+8）内 单 调 递 减.且 当 x-0时，/（%）-00,当 x

46、-+8 时，/（x）-oo,则/（，=ln，一 l 二 ilna-l。，即 Inav-l,解 得 0 a，.a）a e因 此，实 数 a 的 取 值 范 围 是（）,，.I ej【点 睛】本 题 考 查 带 参 函 数 单 调 区 间 的 求 解，同 时 也 考 查 了 利 用 函 数 的 零 点 个 数 求 参 数 的 取 值 范 围，考 查 分 类 讨 论 思 想 的 应 用，属 于 中 等 题.（二）选 考 题：共 1 0分.请 考 生 在 22,23题 中 任 选 一 题 作 答.如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分.22.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方

47、程 x=3+5cos6在 平 面 直 角 坐 标 系 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为.八（。为 参 数），以 平 面 直 角 坐 标 系 的 原 y=-4+5sin6点。为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系.（1）求 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程；兀 1 1（2）过 点 尸（2,0）,倾 斜 角 为 I 的 直 线/与 曲 线 C 相 交 于 M,N 两 点，求 西 加+历 的 值.【答 案】（1）p=6cos。一 8sin。，（2）8【解 析】【分 析】（1）利 用 sin2，+cos2 0=l，消 去 参 数，将 曲 线 C 的 参 数 方 程

48、化 为 普 通 方 程，再 运 用 x=pcosO,y=p sin。，P 2=f+犬 将 曲 线 c 的 直 角 坐 标 方 程 化 为 极 坐 标 方 程;（2）根 据 条 件 求 出 直 线/具 有 几 何 意 义 的 参 数 方 程，代 入 曲 线 C普 通 方 程，利 用 韦 达 定 理 以 及 直 线 参 数 的 几 何 意 义，即 可 求 解.【详 解】（1）因 为 曲 线 C的 参 数 方 程 为 x=3+5 cos 0=-4+5 sin。（。为 参 数）,所 以 曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 为（x 3）2+（y+4）2=25,即 x2-6 x+y2+8y=0,将 x=

49、pcos(9,y=p sin 9,p2=x2+y2,代 入 上 式 得 p=6 c o s 8 s i n 6.f V 2X=2 d-12（2）直 线/的 参 数 方 程 为 广（f为 参 数）,将 X=2 4-127 2代 入 X?6x+丁+8y=0,整 理 得 产+3/五 一 8=0,设 点 M,N所 对 应 的 参 数 分 别 为 乙，t2,则 乙+L=3上，邛 2=8,=18+32=5 0 0，因 为 叫 弓 异 号，所 以 1 1/M L 抱+4-4%_ 5 0PM PN 同 同 M M 8【点 睛】本 题 考 查 参 数 方 程 化 普 通 方 程，直 角 坐 标 方 程 化 极

50、坐 标 方 程，考 查 直 线 参 数 方 程 几 何 意 义 的 应 用,属 于 中 档 题.2 3.选 修 4-5：不 等 式 选 讲 已 知 实 数，b,c 满 足。0，b 0，c 0,且 ahc=l.(1)证 明：(1+幻(1+6)(1+。).8；(2)证 明：4a+4b+4c-+y+-.a h c【答 案】(1)证 明 见 解 析(2)证 明 见 解 析【解 析】【分 析】(1)利 用 1+圆，j,1+6 2折,l+c?2，相 乘 即 可 证 明 结 论.(2)+=ab+bc+ac,ab+be.2jab2c=2 fb a b cbe+ac.2labc1=2/c，相 力 口 证 明 即