2019年数学真题及解析_2019年北京市高考数学试卷（文科）.pdf

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1、2019年 北 京 市 高 考 数 学 试 卷（文 科）一、选 择 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4（）分。在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项。1.(5 分)已 知 集 合 A=x|-l x l,则 A U 8=()A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+8)D.(1,+8)2.（5 分）已 知 复 数 z=2+i,贝 Uz z=（）A.如 B.V 5 C.33.（5 分）下 列 函 数 中，在 区 间（0,+8）上 单 调 递 增 的 是（1A.y=x2 B.y=2 x C.y=lo g XT4.（5 分）执 行 如

2、图 所 示 的 程 序 框 图，输 出 的 s值 为（）D.5)D.y=xA.1 B.2 C.3 D.42 L5.（5 分）己 知 双 曲 线 之 一-9=1（a 0）的 离 心 率 是 遍，则。=（）aA.V e B.4 C.2 D.A26.（5 分）设 函 数/（x）=cosx+sinx（b 为 常 数），则=0 是 7（x）为 偶 函 数”的（)A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 7.（5 分）在 天 文 学 中，天 体 的 明 暗 程 度 可 以 用 星 等 或 亮 度 来 描

3、述.两 颗 星 的 星 等 与 亮 度 满足 m 2-m=,其 中 星 等 为 网 的 星 的 亮 度 为&a=i,2）.已 知 太 阳 的 星 等 是-26.7,天 狼 星 的 星 等 是-1.45,则 太 阳 与 天 狼 星 的 亮 度 的 比 值 为（）A.IO10-1 B.10.1 C.ZglO.l D.1 O1018.（5 分）如 图，A,8 是 半 径 为 2 的 圆 周 上 的 定 点，P 为 圆 周 上 的 动 点，N A P B 是 锐 角,大 小 为 B，图 中 阴 影 区 域 的 面 积 的 最 大 值 为（）BA.40+4cos0 B.4p+4sinp C.20+2co

4、s0 D.2p+2sinp二、填 空 题 共 6 小 题，每 小 题 5 分，共 3 0分。9.（5 分）已 知 向 量 且=（-4,3）,b=（6,m）,且 a，b，则，=.x0,11.（5 分）设 抛 物 线/=4 x 的 焦 点 为 F,准 线 为/,则 以 F 为 圆 心，且 与/相 切 的 圆 的 方 程 为.12.（5 分）某 几 何 体 是 由 一 个 正 方 体 去 掉 一 个 四 棱 柱 所 得，其 三 视 图 如 图 所 示.如 果 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1,那 么 该 几 何 体 的 体 积 为.13.（5 分）已 知/,，是 平 面 a 外 的

5、 两 条 不 同 直 线.给 出 下 列 三 个 论 断:/_1_m；加 a；/J_a.以 其 中 的 两 个 论 断 作 为 条 件，余 下 的 一 个 论 断 作 为 结 论，写 出 一 个 正 确 的 命 题：.14.（5 分）李 明 自 主 创 业，在 网 上 经 营 一 家 水 果 店，销 售 的 水 果 中 有 草 莓、京 白 梨、西 瓜、桃，价 格 依 次 为 60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为 增 加 销 量，李 明 对 这 四 种 水 果 进 行 促 销：一 次 购 买 水 果 的 总 价 达 到 120元，顾 客 就 少 付 x 元.每 笔 订 单 顾 客

6、网 上 支 付 成 功 后，李 明 会 得 到 支 付 款 的 80%.当 x=10时，顾 客 一 次 购 买 草 莓 和 西 瓜 各 1盒，需 要 支 付 元；在 促 销 活 动 中，为 保 证 李 明 每 笔 订 单 得 到 的 金 额 均 不 低 于 促 销 前 总 价 的 七 折，则 x 的 最 大 值 为.三、解 答 题 共 6 小 题，共 8 0分。解 答 应 写 出 文 字 说 明，演 算 步 骤 或 证 明 过 程。15.（13 分）在 A8C 中，a=3,6-c=2,cos8=-工.2（I）求 匕，C 的 值；（II）求 sin（B+C）的 值.16.（13分）设“”是 等

7、差 数 列，a-10,且 42+10,。3+8,04+6成 等 比 数 列.（I）求 m 的 通 项 公 式；（II）记“”的 前 项 和 为 S”，求 S 的 最 小 值.17.（12分）改 革 开 放 以 来，人 们 的 支 付 方 式 发 生 了 巨 大 转 变.近 年 来，移 动 支 付 已 成 为 主 要 支 付 方 式 之 一.为 了 解 某 校 学 生 上 个 月 A,B 两 种 移 动 支 付 方 式 的 使 用 情 况，从 全 校 所 有 的 1000名 学 生 中 随 机 抽 取 了 100人，发 现 样 本 中 A,8 两 种 支 付 方 式 都 不 使 用 的 有 5人

8、，样 本 中 仅 使 用 A 和 仅 使 用 B 的 学 生 的 支 付 金 额 分 布 情 况 如 下：（I）估 计 该 校 学 生 中 上 个 月 A,B 两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 人 数;支 付 蔡 不 大 于 2000元 大 于 2000元 仅 使 用 A 27人 3 人 仅 使 用 B 24人 1人（II）从 样 本 仅 使 用 B 的 学 生 中 随 机 抽 取 1人，求 该 学 生 上 个 月 支 付 金 额 大 于 2000元 的 概 率；（III）己 知 上 个 月 样 本 学 生 的 支 付 方 式 在 本 月 没 有 变 化.现 从 样 本 仅 使 用 8

9、的 学 生 中 随 机 抽 查 1人，发 现 他 本 月 的 支 付 金 额 大 于 2000元.结 合（H）的 结 果，能 否 认 为 样 本 仅使 用 B 的 学 生 中 本 月 支 付 金 额 大 于 2000元 的 人 数 有 变 化？说 明 理 由.18.(1 4分)如 图，在 四 棱 锥 P-AB C。中，平 面 A B C D,底 面 A8CD为 菱 形，E为 CD的 中 点.(I)求 证：8力 _1 _平 面 PAC；(II)若 NABC=60,求 证：平 面 以 B_L平 面 出 E；(I I I)棱 PB上 是 否 存 在 点 尸，使 得 CF 平 面 B4E?说 明 理

10、由.2 219.(1 4分)已 知 椭 圆 C：2 _+_=1的 右 焦 点 为(1,0),且 经 过 点 4(0,1).2,2a b(I)求 椭 圆。的 方 程；(I I)设 O 为 原 点，直 线 Z：y=kx+t(r l)与 椭 圆 C 交 于 两 个 不 同 点 P、Q,直 线 A P与 x 轴 交 于 点 M,直 线 4。与 x 轴 交 于 点 N.若|OM|O N=2,求 证：直 线/经 过 定 点.20.(1 4分)已 知 函 数 f(x)=L?一，+北 4(I)求 曲 线)，=/(x)的 斜 率 为 1的 切 线 方 程；(II)当 尤-2,4 时,求 证：x-6/(x)Wx；

11、(I I I)设/(x)=f(x)-G+a)|(ciW R),记 F(x)在 区 间-2,4 上 的 最 大 值 为 M().当 M()最 小 时，求 Q的 值.2019年 北 京 市 高 考 数 学 试 卷（文 科）参 考 答 案 与 试 题 解 析 一、选 择 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0分。在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项。1.(5 分)已 知 集 合 4=尤|-1 V x l,则 A U 8=()A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+)D.(1,+8)【考 点】ID：并 集 及 其 运 算.【分 析】

12、直 接 由 并 集 运 算 得 答 案.【解 答】解：=1 l,-6-O-6-1 1 2A A U x-1 x 1=（-1,+8）.故 选：C.【点 评】本 题 考 查 并 集 及 其 运 算，是 基 础 的 计 算 题.2.（5 分）已 知 复 数 z=2+i,贝 I z z=（）A.V 3 B.V B c.3 D.5【考 点】A5：复 数 的 运 算.【分 析】直 接 由 z,W二|z/求 解.【解 答】解：z=2+i,z=|z|2=（V22+12）2=5-故 选：D.【点 评】本 题 考 查 复 数 及 其 运 算 性 质，是 基 础 的 计 算 题.3.（5 分）下 列 函 数 中，在

13、 区 间（0,+8）上 单 调 递 增 的 是（）L 1A.y x2 B.y 2 x C.y=lo g X D.x2【考 点】3E：函 数 单 调 性 的 性 质 与 判 断.【分 析】判 断 每 个 函 数 在（0,+8）上 的 单 调 性 即 可.1【解 答】解：尸 乂 2在（0，+8）上 单 调 递 增，y=2-x,y=log X和 产 工 在（0,+8）7 X上 都 是 减 函 数.故 选：A.【点 评】考 查 察 函 数、指 数 函 数、对 数 函 数 和 反 比 例 函 数 的 单 调 性.4.（5 分）执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图，输 出 的 s值 为（）（结 束）

14、A.I B.2 C.3 D.4【考 点】EF：程 序 框 图.【分 析】由 已 知 中 的 程 序 语 句 可 知：该 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量 s 的 值，模 拟 程 序 的 运 行 过 程，分 析 循 环 中 各 变 量 值 的 变 化 情 况，可 得 答 案.【解 答】解：模 拟 程 序 的 运 行，可 得 k=1,s=1s=2不 满 足 条 件 后 2 3,执 行 循 环 体，k=2,s=2不 满 足 条 件 执 行 循 环 体，k=3,s=2此 时，满 足 条 件 22 3,退 出 循 环，输 出 s的 值 为 2.故 选：B.【点

15、评】本 题 考 查 了 程 序 框 图 的 应 用 问 题，解 题 时 应 模 拟 程 序 框 图 的 运 行 过 程，以 便 得 出 正 确 的 结 论，是 基 础 题.2-5.（5 分）已 知 双 曲 线“2=1（”（）的 离 心 率 是 依，则“=（）A.V s B.4 C.2 D.L.【考 点】K C：双 曲 线 的 性 质.【分 析】由 双 曲 线 方 程 求 得 b2,再 由 双 曲 线 的 离 心 率 及 隐 含 条 件。2+廿=。2 联 立 求 得 a值.2【解 答】解：由 双 曲 线 上-/=i（）,得 户=1,2a又 e=J/得 多 2.，即 且 2,k牛 2=中 2=5，

16、a a a a解 得 a 2 2，a=k4 2故 选：D.【点 评】本 题 考 查 双 曲 线 的 简 单 性 质，考 查 计 算 能 力，是 基 础 题.6.（5 分）设 函 数/（x）=cosx+戾 inx 为 常 数），则“匕=0”是/（x）为 偶 函 数”的（）A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【考 点】29：充 分 条 件、必 要 条 件、充 要 条 件；3K：函 数 奇 偶 性 的 性 质 与 判 断.【分 析】8=0=7（%）为 偶 函 数，“/（X）为 偶 函 数”=6=

17、0”,由 此 能 求 出 结 果.【解 答】解：设 函 数/（x）=cosx+bsirtr（匕 为 常 数），则=0=V（x）为 偶 函 数”，V（%）为 偶 函 数”=6=0”，二 函 数 f（x）=cosx+bsinx（b 为 常 数）,则*=0 是/（x）为 偶 函 数”的 充 分 必 要 条 件.故 选：C.【点 评】本 题 考 查 命 题 真 假 的 判 断，考 查 函 数 的 奇 偶 性 等 基 础 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 基 础 题.7.（5 分）在 天 文 学 中，天 体 的 明 暗 程 度 可 以 用 星 等 或 亮 度 来 描 述.两 颗

18、 星 的 星 等 与 亮 度 满 足 朋 2-阳 其 中 星 等 为 利 的 星 的 亮 度 为 以（%=1,2）.已 知 太 阳 的 星 等 是-26.7,天 狼 星 的 星 等 是-1.45,则 太 阳 与 天 狼 星 的 亮 度 的 比 值 为（）A.IO10-1 B.10.1 C.IglO.l D.10 101【考 点】4H：对 数 的 运 算 性 质.【分 析】把 已 知 熟 记 代 入，2-?I 化 简 后 利 用 对 数 的 运 算 性 质 求 解.【解 答】解：设 太 阳 的 星 等 是”=-2 6.7,天 狼 星 的 星 等 是“2=-1.45,r E 1由 题 意 可 得：

19、一 1.4 5-（一 2 6.7）三 1/一，1%区 1 0.1,则=i o 1.E 2 3 匕 2故 选：A.【点 评】本 题 考 查 对 数 的 运 算 性 质，是 基 础 的 计 算 题.8.（5 分）如 图，A,3 是 半 径 为 2 的 圆 周 上 的 定 点，尸 为 圆 周 上 的 动 点，N A P 8是 锐 角,大 小 为 0,图 中 阴 影 区 域 的 面 积 的 最 大 值 为（）A.4p+4cosp B.4P+4sin0 C.20+2cos0 D.20+2sin0【考 点】HO：三 角 函 数 模 型 的 应 用.【分 析】由 题 意 可 得 N A O 8=2/A P

20、B=2 0,要 求 阴 影 区 域 的 面 积 的 最 大 值，即 为 直 线 Q O L A B,运 用 扇 形 面 积 公 式 和 三 角 形 的 面 积 公 式，计 算 可 得 所 求 最 大 值.【解 答】解：由 题 意 可 得 N A O B=2N 4PB=2B，要 求 阴 影 区 域 的 面 积 的 最 大 值，即 为 直 线 QO_LAB,即 有。0=2,Q 到 线 段 A B 的 距 离 为 2+2COS0,A B=2,2sinp=4sinp,扇 形 A O B 的 面 积 为 1 20 4=邛，2/ABQ 的 面 积 为 L（2+2cos0）4sin0=4sin0+4sin0

21、cos0=4sin0+2sin20,2SM O Q+SBOQ4sinp+2sin2p-2 2sin2（J=4sinp,2即 有 阴 影 区 域 的 面 积 的 最 大 值 为 4p+4sinp.故 选：B.【点 评】本 题 考 查 圆 的 扇 形 面 积 公 式 和 三 角 函 数 的 恒 等 变 换，考 查 化 简 运 算 能 力，属 于 中 档 题.二、填 空 题 共 6 小 题，每 小 题 5分，共 30分。9.（5 分）已 知 向 量 4=（-4,3）,b=（6,m）,且 a，b，则 m=8.【考 点】9T：数 量 积 判 断 两 个 平 面 向 量 的 垂 直 关 系.【分 析】芯

22、则 Z E=0,代 入 W，b.解 方 程 即 可.【解 答】解：由 向 量 a=（-4,3）,b=（6,机），且 a_Lb得 a，b=-24+3np0，m=8.故 答 案 为：8.【点 评】本 题 考 查 了 平 面 向 量 的 数 量 积 与 垂 直 的 关 系，属 基 础 题.x 4 2,10.（5 分）若 x,y 满 足 则 y-x 的 最 小 值 为-3,最 大 值 为 1.4 x-3 y+l 0,【考 点】7C：简 单 线 性 规 划.【分 析】由 约 束 条 件 作 出 可 行 域，令 z=），-x,作 出 直 线 丫=，平 移 直 线 得 答 案.x 4 2,【解 答】解：由

23、约 束 条 件，y-l,作 出 可 行 域 如 图,4 x-3 y+l 0,令 2=丫-工，作 出 直 线 丫=犬，由 图 可 知，平 移 直 线 丫=X，当 直 线 z=y-x过 A 时，z有 最 小 值 为-3,过 3 时，z有 最 大 值 1.故 答 案 为：-3,1.【点 评】本 题 考 查 简 单 的 线 性 规 划，考 查 数 形 结 合 的 解 题 思 想 方 法，是 中 档 题.II.(5分)设 抛 物 线 y2=4x的 焦 点 为 凡 准 线 为/,则 以 尸 为 圆 心，且 与/相 切 的 圆 的 方 程 为(X-1)2+/=4.【考 点】J9：直 线 与 圆 的 位 置

24、关 系；K8：抛 物 线 的 性 质.【分 析】由 题 意 画 出 图 形，求 得 圆 的 半 径，则 圆 的 方 程 可 求.【解 答】解：如 图，x=-l抛 物 线 f=4 x 的 焦 点 为 F(1,0),：所 求 圆 的 圆 心 F,且 与 准 线 x=-l 相 切，圆 的 半 径 为 2.则 所 求 圆 的 方 程 为(x-1)2+y2=4.故 答 案 为：(x-I)2+y2=4.【点 评】本 题 考 查 抛 物 线 的 简 单 性 质，考 查 直 线 与 圆 位 置 关 系 的 应 用，考 查 数 形 结 合 的 解 题 思 想 方 法，是 基 础 题.12.（5 分）某 几 何

25、体 是 由 一 个 正 方 体 去 掉 一 个 四 棱 柱 所 得，其 三 视 图 如 图 所 示.如 果 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1,那 么 该 几 何 体 的 体 积 为 40.【分 析】由 三 视 图 还 原 原 几 何 体，然 后 利 用 一 个 长 方 体 与 一 个 棱 柱 的 体 积 作 和 求 解.【解 答】解：由 三 视 图 还 原 原 几 何 体 如 图，该 几 何 体 是 把 棱 长 为 4 的 正 方 体 去 掉 一 个 四 棱 柱,则 该 几 何 体 的 体 积 V=4 x 2 X 2+y(2+4)X 2 X 4=40故 答 案 为：40.【点

26、 评】本 题 考 查 由 三 视 图 求 面 积、体 积，关 键 是 由 三 视 图 还 原 原 几 何 体，是 中 档 题.13.（5 分）已 知/,根 是 平 面 a 外 的 两 条 不 同 直 线.给 出 下 列 三 个 论 断：/_ 1 _机；m/a；/J_a.以 其 中 的 两 个 论 断 作 为 条 件，余 下 的 一 个 论 断 作 为 结 论，写 出 一 个 正 确 的 命 题：若/J a,/!?，则，a.【考 点】LP：空 间 中 直 线 与 平 面 之 间 的 位 置 关 系.【分 析】由/.m是 平 面 a 外 的 两 条 不 同 直 线，利 用 线 面 平 行 的 判

27、定 定 理 得 若/L a,LLm则 tn/a.【解 答】解：由/,，是 平 面 a 外 的 两 条 不 同 直 线，知：由 线 面 平 行 的 判 定 定 理 得：若/_La,I V m,则 加 a.故 答 案 为：若/_La,/则”?a.【点 评】本 题 考 查 满 足 条 件 的 真 命 题 的 判 断，考 查 空 间 中 线 线、线 面、面 面 间 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 档 题.14.（5 分）李 明 自 主 创 业，在 网 上 经 营 一 家 水 果 店，销 售 的 水 果 中 有 草 莓、京 白 梨、西 瓜、

28、桃，价 格 依 次 为 60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为 增 加 销 量，李 明 对 这 四 种 水 果 进 行 促 销：一 次 购 买 水 果 的 总 价 达 到 120元，顾 客 就 少 付 x 元.每 笔 订 单 顾 客 网 上 支 付 成 功 后，李 明 会 得 到 支 付 款 的 80%.当 x=10时，顾 客 一 次 购 买 草 莓 和 西 瓜 各 1盒，需 要 支 付 1 3 0 元;在 促 销 活 动 中，为 保 证 李 明 每 笔 订 单 得 到 的 金 额 均 不 低 于 促 销 前 总 价 的 七 折，则 x 的 最 大 值 为 15.【考 点】7C：简

29、 单 线 性 规 划.【分 析】由 题 意 可 得 顾 客 一 次 购 买 的 总 金 额，减 去 x,可 得 所 求 值；在 促 销 活 动 中，设 订 单 总 金 额 为 桃 元，可 得（m-x）X 8 0%X 7 0%,解 不 等 式，结 合 恒 成 立 思 想，可 得 x 的 最 大 值.【解 答】解：当 x=10时，顾 客 一 次 购 买 草 莓 和 西 瓜 各 1盒，可 得 60+80=140（元）,即 有 顾 客 需 要 支 付 140-10=130（元）；在 促 销 活 动 中，设 订 单 总 金 额 为 机 元，可 得（7-X）X80%tX70%,即 有 x W 四，8由 题

30、 意 可 得 加 120,可 得 x W 侬=15,8则 x 的 最 大 值 为 15元.故 答 案 为：130,15【点 评】本 题 考 查 不 等 式 在 实 际 问 题 的 应 用，考 查 化 简 运 算 能 力，属 于 中 档 题.三、解 答 题 共 6 小 题，共 8 0分。解 答 应 写 出 文 字 说 明，演 算 步 骤 或 证 明 过 程。15.(13 分)在 ABC 中，a=3,b-c=2,cosB=-X.2(I)求 心 c 的 值；(II)求 sin(B+C)的 值.【考 点】HR：余 弦 定 理.【分 析】(1)利 用 余 弦 定 理 可 得/=/+於-2 a c c o

31、 s B,代 入 己 知 条 件 即 可 得 到 关 于 b 的 方 程，解 方 程 即 可；(2)sin(B+C)=sin(K-A)=s in A,根 据 正 弦 定 理 可 求 出 siivl.【解 答】解：(1)Z=3,b-c=2,c o s B=-.2/.由 余 弦 定 理，得 b2=a2+c2-2accosB9 1=9+(b-2)-2X 3X(b-2)X(冷),:.b=1,:c=b-2=5；(2)在 ABC 中，：COSB=-L,，sinB=返，2 2由 正 弦 定 理 有：a=b,sinA sinB3 X近 l.sinA=asinB n_?_=里，b-7 14 _Asin(B+C)

32、=sin(7T-A)=s in A=2巨.14【点 评】本 题 考 查 了 正 弦 定 理 余 弦 定 理，属 基 础 题.16.(1 3分)设“”是 等 差 数 列，a-1 0,且“2+10,43+8,44+6成 等 比 数 列.(I)求”的 通 项 公 式；(II)记 珈 的 前 几 项 和 为 S”，求 的 最 小 值.【考 点】83：等 差 数 列 的 性 质：84：等 差 数 列 的 通 项 公 式；85：等 差 数 列 的 前 n 项 和；87：等 比 数 列 的 性 质.【分 析】(I)利 用 等 差 数 列 通 项 公 式 和 等 比 数 列 的 性 质，列 出 方 程 求 出

33、=2,由 此 能 求 出 an 的 通 项 公 式.(I I)由 m=-1 0,d2,得 Sn=-lOH+WnT，x 2=-U=(H-11_)2-2 4 2 4由 此 能 求 出 S”的 最 小 值.【解 答】解：(I)“”是 等 差 数 列,“1=7 0,且 6+1 0,。3+8,04+6成 等 比 数 列.(43+8)2=(42+10)(44+6),:.(-2+2(1 2=d(-4+3J),解 得 d=2,.an=ai+(n-1)d=-10+2n-2=2n-12.(II)由 m=-10,d2,得：Sn 10H+2-Z12_*2=川-n(n-8-)2-AZL,2 4 2 4；.=5 或=6

34、时，S 取 最 小 值-30.【点 评】本 题 考 查 数 列 的 通 项 公 式、前 项 和 的 最 小 值 的 求 法，考 查 等 差 数 列、等 比 数 列 的 性 质 等 基 础 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 基 础 题.17.(12分)改 革 开 放 以 来，人 们 的 支 付 方 式 发 生 了 巨 大 转 变.近 年 来，移 动 支 付 已 成 为 主 要 支 付 方 式 之 一.为 了 解 某 校 学 生 上 个 月 A，B 两 种 移 动 支 付 方 式 的 使 用 情 况，从 全 校 所 有 的 1000名 学 生 中 随 机 抽 取 了 10

35、0人，发 现 样 本 中 4,B 两 种 支 付 方 式 都 不 使 用 的 有 5人，样 本 中 仅 使 用 A 和 仅 使 用 B 的 学 生 的 支 付 金 额 分 布 情 况 如 下：支 付 蔡 不 大 于 2000元 大 于 2000元 仅 使 用 A 27人 3 人 仅 使 用 B 24人 1人(I)估 计 该 校 学 生 中 上 个 月 A,B 两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 人 数：(II)从 样 本 仅 使 用 B 的 学 生 中 随 机 抽 取 1人，求 该 学 生 上 个 月 支 付 金 额 大 于 2000元 的 概 率；(III)已 知 上 个 月 样 本 学

36、 生 的 支 付 方 式 在 本 月 没 有 变 化.现 从 样 本 仅 使 用 8 的 学 生 中 随 机 抽 查 1 人，发 现 他 本 月 的 支 付 金 额 大 于 2000元.结 合(II)的 结 果，能 否 认 为 样 本 仅 使 用 8 的 学 生 中 本 月 支 付 金 额 大 于 2000元 的 人 数 有 变 化？说 明 理 由.【考 点】B2：简 单 随 机 抽 样；C B：古 典 概 型 及 其 概 率 计 算 公 式.【分 析】(I)从 全 校 所 有 的 1000名 学 生 中 随 机 抽 取 的 100人 中，A,B 两 种 支 付 方 式 都 不 使 用 的 有

37、 5 人，仅 使 用 A 的 有 30人，仅 使 用 8 的 有 25人，求 出 4,2 两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 人 数 有 40人，由 此 能 估 计 该 校 学 生 中 上 个 月 A,B 两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 人 数.(II)从 样 本 仅 使 用 8 的 学 生 有 25人，其 中 不 大 于 2000元 的 有 24人，大 于 2000元 的 有 1 人，从 中 随 机 抽 取 1人，基 本 事 件 总 数=25,该 学 生 上 个 月 支 付 金 额 大 于 2000元包 含 的 基 本 事 件 个 数，=1,由 此 能 求 出 该 学 生 上 个

38、 月 支 付 金 额 大 于 2000元 的 概 率.(IH)从 样 本 仅 使 用 B 的 学 生 中 随 机 抽 查 1 人，发 现 他 本 月 的 支 付 金 额 大 于 2000元 的 概 率 为 工，虽 然 概 率 较 小，但 发 生 的 可 能 性 为 上.不 能 认 为 样 本 仅 使 用 8 的 学 生 中 本 月 支 付 25 25金 额 大 于 2000元 的 人 数 有 变 化.【解 答】解：(I)由 题 意 得：从 全 校 所 有 的 1000名 学 生 中 随 机 抽 取 的 100人 中，4,B 两 种 支 付 方 式 都 不 使 用 的 有 5 人，仅 使 用 A

39、 的 有 30人，仅 使 用 8 的 有 25人，：.A,8 两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 人 数 有：100-5-30-25=40,估 计 该 校 学 生 中 上 个 月 A,B 两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 人 数 为：1000义 也=400人.100(II)从 样 本 仅 使 用 8 的 学 生 有 25人，其 中 不 大 于 2000元 的 有 24人，大 于 2000元 的 有 1人，从 中 随 机 抽 取 1人,基 本 事 件 总 数”=25,该 学 生 上 个 月 支 付 金 额 大 于 2000元 包 含 的 基 本 事 件 个 数?=1,该 学 生 上 个

40、 月 支 付 金 额 大 于 2000元 的 概 率 p=W=工.n 25(III)不 能 认 为 样 本 仅 使 用 B 的 学 生 中 本 月 支 付 金 额 大 于 2000元 的 人 数 有 变 化，理 由 如 下：上 个 月 样 本 学 生 的 支 付 方 式 在 本 月 没 有 变 化.现 从 样 本 仅 使 用 B 的 学 生 中 随 机 抽 查 1人，发 现 他 本 月 的 支 付 金 额 大 于 2000元 的 概 率 为 一 25虽 然 概 率 较 小，但 发 生 的 可 能 性 为 上.25故 不 能 认 为 样 本 仅 使 用 B 的 学 生 中 本 月 支 付 金 额

41、 大 于 2000元 的 人 数 有 变 化.【点 评】本 题 考 查 频 数、概 率 的 求 法，考 查 频 数 分 布 表、概 率 等 基 础 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 基 础 题.18.(14分)如 图，在 四 棱 锥 尸-A8c0 中，%JL平 面 A8C,底 面 A8C。为 菱 形，E 为 CD的 中 点.(I)求 证：8O_L平 面 PAC；(II)若 NABC=60,求 证：平 面 平 面 PAE-,(H I)棱 P 8上 是 否 存 在 点 F,使 得 CF 平 面 出 E?说 明 理 由.【考 点】LW：直 线 与 平 面 垂 直；LY：平

42、面 与 平 面 垂 直.【分 析】(I)推 导 出 B D L A C,由 此 能 证 明 平 面 B4C.(II)推 导 出 ABVAE,PAVAE,从 而 AE_L平 面 PAB,由 此 能 证 明 平 面 平 面 PAE.(III)棱 P 8上 是 存 在 中 点 尸，取 A 8中 点 G,连 结 GF,C G,推 导 出 CG AE,FG/PA,从 而 平 面 CFG 平 面 以 E,进 而 CF 平 面 B4E.【解 答】证 明：(I)四 棱 锥 尸-ABC。中，P A n A B C D,底 面 ABC。为 菱 形，J.BDLPA,BD1AC,：fi4CAC=A,PAC.(I I)

43、.,在 四 棱 锥 P-ABCO中，网 _1平 面 ABC。，底 面 ABC。为 菱 形，E 为 C 的 中 点，NABC=60,：.ABAE,PAAE,：P A H A B=A,平 面 出 2,；AEu平 面 附 E,.平 面 以 B_L平 面 附 E.解：(H D 棱 P 8上 是 存 在 中 点 凡 使 得 C尸 平 面 以 E.理 由 如 下：取 AB中 点 G,连 结 GF,CG,;在 四 棱 锥 尸-A8C。中，%J.平 面 ABC。，底 面 4BC。为 菱 形，E为 C。的 中 点，J.CG/AE,FG/PA,CG(FG=G,AEQPA=A,平 面 CFG 平 面 PAE,；CF

44、u平 面 CFG,CF 平 面 PAE.【点 评】本 题 考 查 线 面 垂 直、面 面 垂 直 的 证 明，考 查 满 足 线 面 平 行 的 眯 是 否 存 在 的 判 断 与 求 法，考 查 空 间 中 线 线、线 面、面 面 间 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 档 题.2 219.（14分）已 知 椭 圆 C：3 _+?_=1 的 右 焦 点 为（1,0）,且 经 过 点 A（0,1）.2,2a b（I）求 椭 圆 C 的 方 程；（n）设 O 为 原 点，直 线 It y=kx+t（f l）与 椭 圆 C 交 于 两 个

45、 不 同 点 P、Q,直 线 A P与 x 轴 交 于 点 直 线 A Q与 x 轴 交 于 点 N.若|O M QN|=2,求 证：直 线/经 过 定 点.【考 点】KH：直 线 与 圆 锥 曲 线 的 综 合.【分 析】（I）由 题 意 可 得。=c=l,由 a,b,c的 关 系，可 得 a,进 而 得 到 所 求 椭 圆 方 程；（I I）与 椭 圆 方 程 2+2丁=2 联 立，运 用 韦 达 定 理，化 简 整 理，结 合 直 线 恒 过 定 点 的 求 法，计 算 可 得 结 论.2 2【解 答】解：（I）椭 圆 C J=1 的 右 焦 点 为（1,0）,且 经 过 点 4（0,1

46、）.2 k2a b可 得 b=c=l,a b2+c2=V 2-2则 椭 圆 方 程 为 工-+y 2=i；2（II）证 明：与 椭 圆 方 程/+2=2 联 立，可 得（1+2后）x2+4to+2?-2=0,设 尸（xi,y i）,Q（%2,中），=1 6?-4（1+2庐）（2 P-2）0,xi+x2=_ 4 k t,x i x 2=/tl+2k2 l+2k2yr X XA P的 方 程 为 y=令 y=0,可 得 y=,即-,0）；町 1-YiA。的 方 程 为)=2 1 犬+1,令 y=0,可 得 y=.BJ N(-2 0).x2 l-y2 l-y2(1-yi)(1-*)=l+yiy2-(

47、yi+*)=1+(Axi+r)(te+r)-(Axi+te+2r)=(l+?-2r)+2t S2.，+(kt-A)(-4kt)=&T),l+2k2 l+2k2 l+2k2OMON=2,即 为|X1.*2 1=2,1-Vi l-y2即 有-1|=(r-1)2,由/Wl,解 得，=0,满 足(),即 有 直 线/方 程 为 了=依，恒 过 原 点(0,0).【点 评】本 题 考 查 椭 圆 的 方 程 和 运 用，考 查 联 立 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程，运 用 韦 达 定 理，考 查 直 线 恒 过 定 点 的 求 法，考 查 化 简 整 理 的 运 算 能 力，属 于 中 档 题.2

48、0.(14 分)已 知 函 数/(x)-x2,+x.(I)求 曲 线 y=/(x)的 斜 率 为 1的 切 线 方 程；(II)当 在-2,4 时，求 证：x-6Wf Qx)Wx；(III)设 F(x)=|/(x)-(x+a)|(aR),记 F(x)在 区 间-2,4 上 的 最 大 值 为 M(a).当 M(a)最 小 时，求 a 的 值.【考 点】6E：利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值；6H：利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程.【分 析】(I)求 导 数/(x),由/(%)=1 求 得 切 点，即 可 得 点 斜 式 方 程;(II)把 所 证 不 等 式

49、 转 化 为-6W/(x)-xWO,再 令 g(x)=f(x)-x,利 用 导 数 研 究 g(x)在-2,4 的 单 调 性 和 极 值 点 即 可 得 证;(III)先 把 尸(x)化 为 板(x)再 利 用(H)的 结 论，引 进 函 数 九(f)=|a|,结 合 绝 对 值 函 数 的 对 称 性，单 调 性，通 过 对 称 轴 与-3 的 关 系 分 析 即 可.【解 答】解：(1)/(X)=V-2 x+l，由/(x)=1 得 x(x-A)=0,3得 X=0,x2=y-又/(0)=0,/芭)=方 _,3 27yx 和 y y-,y 27 3即 y=x 和 y=x-27(II)证 明：

50、欲 证 x-6W/(x)只 需 证-6W/(x)-x-6,g(4)0.3 27-6Wg(x)WO,x-6Wf(x)Wx；(III)由(H)可 得，F(x)=，(x)-Cx+a)|=f(x)-x-a=lg(X)-c i,商-2,4 上,-6Wg(x)WO,令 t=g(x),h(r)=t-af则 问 题 转 化 为 当 怎-6,0 时，h(r)的 最 大 值 M(a)的 问 题 了，此 时-2 3,当=-3 时，M()取 得 最 小 值 3；当-3 时，M(a)=h(-6)=|-6-|=|6+a|,V 6+3,(a)=6+，也 是。=-3 时，M(a)最 小 为 3.综 上，当 M(a)取 最 小