2015年高考数学理真题分类汇编：专题10立体几何含解析.pdf

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1、专 题 十 立 体 几 何 1.12015高 考 安 徽，理 5】已 知 唐，是 两 条 不 同 直 线，a,是 两 个 不 同 平 面，则 下 列 命 题 正 确 的 是()(A)若 a,4 垂 直 于 同 一 平 面，则 a 与 平 行(B)若 m,平 行 于 同 一 平 面，则 加 与 平 行(C)若 a,4 不 平 行，则 在 a 内 不 存 在 与 夕 平 行 的 直 线(D)若 ZW,不 平 行，则/M与 不 可 能 垂 直 于 同 一 平 面【答 案】D【解 析】由 若 a,夕 垂 直 于 同 一 平 面，则。，夕 可 以 相 交、平 行，故 Z 不 正 确；由 8,若 加，平

2、行 于 同 一 平 面，则 加，可 以 平 行、重 合、相 交、异 面，故 8 不 正 确：由 C,若 a,，不 平 行，但 a 平 面 内 会 存 在 平 行 于，的 直 线，如 a 平 面 中 平 行 于 a,/?交 线 的 直 线；由。项，其 逆 否 命 题 为“若 加 与 垂 直 于 同 一 平 面，则 加，平 行”是 真 命 题,故。项 正 确.所 以 选 D.【考 点 定 位】1.直 线、平 面 的 垂 直、平 行 判 定 定 理 以 及 性 质 定 理 的 应 用.【名 师 点 睛】空 间 直 线、平 面 平 行 或 垂 直 等 位 置 关 系 命 题 的 真 假 判 断，常 采

3、 用 画 图(尤 其 是 画 长 方 体)、现 实 实 物 判 断 法(如 墙 角、桌 面 等)、排 除 筛 选 法 等；另 外，若 原 命 题 不 太 容 易 判 断 真 假，可 以 考 虑 它 的 逆 否 命 题，判 断 它 的 逆 否 命 题 真 假，原 命 题 与 逆 否 命 题 等 价.2.12015高 考 北 京，理 4】设 a,是 两 个 不 同 的 平 面，w 是 直 线 且 a.团 尸 是 a 4 的()A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】B【解 析】因 为 a

4、,力 是 两 个 不 同 的 平 面，加 是 直 线 且，“U a.若”,夕，则 平 面 a、/7可 能 相 交 也 可 能 平 行，不 能 推 出 a/，反 过 来 若 a/，m u a,则 有 加 尸，贝 加 月 是 a 夕 的 必 要 而 不 充 分 条 件.考 点 定 位：本 题 考 点 为 空 间 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系，重 点 考 察 线 面、面 面 平 行 问 题 和 充 要 条件 的 有 关 知 识.【名 师 点 睛】本 题 考 查 空 间 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系 及 充 要 条 件，本 题 属 于 基 础 题，本 题 以 空 间 线、面 位 置

5、 关 系 为 载 体，考 查 充 要 条 件.考 查 学 生 对 空 间 线、面 的 位 置 关 系 及 空 间 面、面 的 位 置 关 系 的 理 解 及 空 间 想 象 能 力，重 点 是 线 面 平 行 和 面 面 平 行 的 有 关 判 定 和 性 质.3.2015高 考 新 课 标 1,理 6 九 章 算 术 是 我 国 古 代 内 容 极 为 丰 富 的 数 学 名 著，书 中 有 如 下 问 题：“今 有 委 米 依 垣 内 角，下 周 八 尺，高 五 尺。问：积 及 为 米 几 何？”其 意 思 为：“在 屋 内 墙 角 处 堆 放 米（如 图，米 堆 为 一 个 圆 锥 的

6、四 分 之 一），米 堆 为 一 个 圆 锥 的 四 分 之 一），米 堆 底 部 的 弧 长 为 8 尺，米 堆 的 高 为 5 尺，间 米 堆 的 体 积 和 堆 放 的 米 各 为 多 少？”已 知 1斛 米 的 体 积 约【解 析】设 圆 锥 底 面 半 径 为 r,贝 Ijlx2x3r=8 寸=竺，所 以 米 堆 的 体 积 为 二=4 3 4 3 3 9故 堆 放 的 米 约 为 辿+1.62和 22,故 选 B.9【考 点 定 位】圆 锥 的 性 质 与 圆 锥 的 体 积 公 式【名 师 点 睛】本 题 以 九 章 算 术 中 的 问 题 为 材 料，试 题 背 景 新 颖，解

7、 答 本 题 的 关 键 应 想 到 米 堆 是:圆 锥，底 面 周 长 是 两 个 底 面 半 径 与;圆 的 和，根 据 题 中 的 条 件 列 出 关 于 底 面 半 径 的 方 程，解 出 底 面 半 径，是 基 础 题.4.12015高 考 陕 西，理 5】一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 的 表 面 积 为（）A.37r B.4）C.2+4【答 案】D【解 析】由 三 视 图 知：该 几 何 体 是 半 个 圆 柱，其 中 底 面 圆 的 半 径 为 1,母 线 长 为 2,所 以 该 几 何 体 的 表 面 积 是 gx27rxix(l+2)

8、+2x2=3)+4,故 选 D.【考 点 定 位】1、三 视 图；2、空 间 几 何 体 的 表 面 积.【名 师 点 晴】本 题 主 要 考 查 的 是 三 视 图 和 空 间 几 何 体 的 表 面 积，属 于 容 易 题.解 题 时 要 看 清 楚 是 求 表 面 积 还 是 求 体 积，否 则 很 容 易 出 现 错 误.本 题 先 根 据 三 视 图 判 断 几 何 体 的 结 构 特 征,再 计 算 出 几 何 体 各 个 面 的 面 积 即 可.5.12015高 考 新 课 标 1,理 11】圆 柱 被 一 个 平 血 截 去 一 部 分 后 与 半 球(半 径 为 r)组 成

9、一 个 几 何 体，该 几 何 体 三 视 图 中 的 正 视 图 和 俯 视 图 如 图 所 示.若 该 几 何 体 的 表 面 积 为 16+20万，则 广()(A)1(B)2(C)4(D)8【答 案】B【解 析】由 正 视 图 和 俯 视 图 知，该 几 何 体 是 半 球 与 半 个 圆 柱 的 组 合 体，圆 柱 的 半 径 与 球 的 半 径 都 为 r,圆 柱 的 高 为 2r,其 表 面 积 为 1*4 乃，二+左/-2尸+万 r2+2尸 x2尸=5乃/+4/=16+220乃，解 得 尸 2,故 选 B.【考 点 定 位】简 单 几 何 体 的 三 视 图；球 的 表 面 积

10、公 式、圆 柱 的 测 面 积 公 式【名 师 点 睛】本 题 考 查 简 单 组 合 体 的 三 视 图 的 识 别，是 常 规 提，对 简 单 组 合 体 三 三 视 图 问 题,先 看 俯 视 图 确 定 底 面 的 形 状，根 据 正 视 图 和 侧 视 图，确 定 组 合 体 的 形 状，再 根 据“长 对 正，宽 相 等，高 平 齐”的 法 则 组 合 体 中 的 各 个 量.6.12015高 考 重 庆，理 5】某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 的 体 积 为正 视 图 左 视 图 俯 视 图 胭 图 1A、-+7T31.C、F 27r2B、F

11、7t32D、F 2 乃 3【答 案】A【解 析】这 是 个 三 棱 锥 与 半 个 圆 柱 的 组 合 体，V=-X 12X 2+-X(x x lx 2)x l=7 T+-,2 3 2 3选 A【考 点 定 位】组 合 体 的 体 积.【名 师 点 晴】本 题 涉 及 到 三 视 图 的 认 知，要 求 学 生 能 由 三 视 图 画 出 几 何 体 的 直 观 图，从 而 分 析 出 它 是 哪 些 基 本 几 何 体 的 组 合，应 用 相 应 的 体 积 公 式 求 出 几 何 体 的 体 积，关 键 是 画 出 直 观 图，本 题 考 查 了 学 生 的 空 间 想 象 能 力 和 运

12、 算 求 解 能 力.7.【2015高 考 北 京，理 5】某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 三 棱 锥 的 表 面 积 是()A.2+75 B.4+石 C.2+275 D.5【答 案】C【解 析】根 据 三 视 图 恢 复 成 三 棱 锥 P-A B C,其 中 居 一 平 面 A B C,取 皿 棱 的 中 点 D,连 接 CD、P D,有 PD-AB CD _ AB,底 面 ABC为 等 腰 三 角 形 底 边 AB上 的 高 CD为 2.AD=BD=1J PC=1,PD=A/S,S、_ V-=x 2 x 2=2,S*.=x 2 x y/s=,AC=BC=6 S=S

13、=i x x 1=亨，三 棱 锥 表 面 积 S表=2/+2.考 点 定 位：本 题 考 点 为 利 用 三 视 图 还 原 几 何 体 及 求 三 棱 锥 的 表 面 积，考 查 空 间 线 线、线 面 的 位 置 关 系 及 有 关 线 段 长 度 及 三 角 形 面 积 数 据 的 计 算.【名 师 点 睛】本 题 考 查 三 视 图 及 多 面 体 的 表 面 积，本 题 属 于 基 础 题，正 确 利 用 三 视 图 还 原 为 原 几 何 体，特 别 是 有 关 数 据 的 还 原，另 外 要 利 用 线 面 垂 直 的 性 质，判 断 三 角 形 的 形 状，特 别 是 侧 面

14、4 仿 的 形 状 为 等 腰 三 角 形，正 确 求 出 三 个 侧 面 的 面 积 和 底 面 的 面 积.8.1 2 0 1 5高 考 安 徽，理 7】一 个 四 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 四 面 体 的 表 面 积 是()(A)1+V3(C)1+2 叵 俯 视 图 第(7)腮 图(B)2+7 3(D)2 7 2【答 案】B【解 析】山 题 意，该 四 面 体 的 直 观 图 如 下，M B R A B C O 是 等 腰 直 角 三 角 形，M B C 4 C D是 等 边 三 角 形，则 SB C D=S M B D=3 X 五 又 五=1，S M B C=S

15、M C D=；乂 6 乂 肥 sE60o=与，所 以 四 面 j体 的 表 面 积 S=S ZBCD+S M B D+S/V 18C+S M C D=2 X 1+2 X-=2+A/3,故 选 B.lX D，kJ IXnDlJ Z X/i V.U 2【考 点 定 位】1.空 间 几 何 体 的 三 视 图 与 直 观 图；2.空 间 几 何 体 表 面 积 的 求 法.【名 师 点 睛】三 视 图 是 高 考 中 的 热 门 考 点，解 题 的 关 键 是 熟 悉 三 视 图 的 排 放 规 律：长 对 正，高 平 齐，宽 相 等.同 时 熟 悉 常 见 几 何 体 的 三 视 图，这 对 于

16、解 答 这 类 问 题 非 常 有 帮 助，本 题 还 应 注 意 常 见 几 何 体 的 体 积 和 表 面 积 公 式.9.12015高 考 新 课 标 2,理 9 已 知 A,B是 球。的 球 面 上 两 点，ZAOB=90,C为 该 球 面 上 的 动 点，若 三 棱 锥 O-ABC体 积 的 最 大 值 为 3 6,则 球 O 的 表 面 积 为（）A.36n B.64n C.144n D.256n【答 案】C【解 析】如 图 所 示，当 点 C 位 于 垂 直 于 面 的 直 径 端 点 时，三 棱 锥。-4 5 C 的 体 积 最 大，设 球。的 半 径 为 R,此 时=-“=1

17、 五=工 夫 3=3 6,故 夫=6,则 球。的 表 面 积 为 3 2 65=4 或：=144不，故 选 C.【考 点 定 位】外 接 球 表 面 积 和 椎 体 的 体 积.c【名 师 点 睛】本 题 以 球 为 背 景 考 查 空 间 几 何 体 的 体 积 和 表 面 积 计 算，要 明 确 球 的 截 面 性 质，正 确 理 解 四 面 体 体 积 最 大 时 的 情 形，属 于 中 档 题.TT10.【2015 高 考 山 东，理 7】在 梯 形 4 8 c。中，Z A B C=3,A D/IBC,B C=2A D=2A B=2.将 梯 形 力 8 8 绕 Z D 所 在 的 直

18、线 旋 转 一 周 而 形 成 的 曲 面 所 围 成 的 几 何 体 的 体 积 为（）（A）2 乃 错 误！未 找 到 引 用 源。（B）4”7r错 误！未 找 到 引 用 源。（C）3 357r 错 误！未 找 到 引 用 源。（D）2兀 3【答 案】C【解 析】直 角 梯 形 ABCD绕 AD所 在 的 直 线 旋 转 一 周 而 形 成 的 曲 面 所 围 成 的 儿 何 体 是 一 个 底 面 半 径 为 1,母 线 长 为 2 的 圆 柱 挖 去 一 个 底 面 半 径 同 样 是 1、高 为 1的 圆 锥 后 得 到 的 组 合 体，所 以 该 组 合 体 的 体 积 为：V=

19、嗫 柱 靡 雌=乃 x 尸 x 2 乃 x f x 1=学 优 高 考 网 故 选 C.【考 点 定 位】1、空 间 几 何 体 的 结 构 特 征；2、空 间 几 何 体 的 体 积.【名 师 点 睛】本 题 考 查 了 空 间 儿 何 体 的 结 构 特 征 及 空 间 几 何 体 的 体 积 的 计 算，重 点 考 查 了 圆 柱、圆 锥 的 结 构 特 征 和 体 积 的 计 算，体 现 了 对 学 生 空 间 想 象 能 力 以 及 基 本 运 算 能 力 的 考 查，此 题 属 中 档 题.11.12015高 考 浙 江，理 8】如 图，已 知 A 4 8 C,。是 4 8 的 中

20、 点，沿 直 线 CZ）将 A 4 C 0 折 成 A C D,所 成 二 面 角 H C D-8 的 平 面 角 为 a,贝 i j()A.AADB a C.ZACB a D.ZACB aDB【答 案】B.【解 析】试 题 分 析：设 NADC=e,设 48=2,则 由 题 意 工。=8。=1,在 空 间 图 形 中，设=在 A4C8 中，cos NADBAD2+DB2-A B22ADxDBl2+l2-r2 _ 2-t22x1x1-2在 空 间 图 形 中，过 H 作 力 N _LZ)C,过 8 作 8 M _ L Q C,垂 足 分 别 为 N,M,过 N 作 连 结 Z P,二 桥 工。

21、，则 ZANP就 是 二 面 角 A-C D-B 的 平 面 角，；.ZANP=a,在 RtM ND 中，DN=AD cos ZADC=cos 6,AN=AD sin ZADC=sin 8,同 理，BM=PN=sin 0,DM=c o s 0,故 BP=MN=2cos6,显 然 8P_L 面 H N P,故 BP J.H P,在 Rf&4BP 中,AP2=AB2-B P2=t2-(2cos0)2=t2-4cos20,在 A N P 中，cos a=cos ZANPAN2+NP2-AP2 sit?6+sin2 6(r 4 cos2 6)2ANxNP 2 sin 8 x sin 02+2cos:6

22、-r _ 1 r cos:92 sin 0 2sin*6 sin 6 cos ZADB+s i n cos 9sin 6-0,竺 女 2 0,c o sa之 cosZJDB(当=三 时 取 等 号),sin*9 sin*6 2a,4 TDffe0,用,而 丁=3 5 在 0,网 上 为 递 减 函 数，a KNJDB,故 选 B.【考 点 定 位】立 体 儿 何 中 的 动 态 问 题【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 立 体 几 何 中 的 动 态 问 题，属 于 较 难 题，由 于 A 4 3 C 的 形 状 不 确 定,ZACB 与 a 的 大 小 关 系 是 不 确 定 的，再

23、根 据 二 面 角 的 定 义 即 可 知 N/O B N a,当 且 仅 当 月。=8。时,等 号 成 立 以 立 体 几 何 为 背 景 的 创 新 题 是 浙 江 高 考 数 学 试 卷 的 热 点 问 题，1 2年，1 3年 选 择 题 压 轴 题 均 考 查 了 立 体 几 何 背 景 的 创 新 题，解 决 此 类 问 题 需 在 平 时 注 重 空 间 想 象 能 力 的 培 养，加 强 此 类 问 题 的 训 练.【2015高 考 湖 南，理 10】某 工 件 的 三 视 图 如 图 3 所 示，现 将 该 工 件 通 过 切 割，加 工 成 一 个 体 积 尽 可 能 大 的

24、 长 方 体 新 工 件，并 使 新 工 件 的 一 个 面 落 在 原 工 件 的 一 个 面 内，则 原 工 件 材 料 的 利 用 率 为（材 料 利 用 率=新 工 件 的 体 积 原 工 件 的 体 积)()8 0 16 4(72-I)3 12(72-I)3-D.-C.-U.-9 万 9 7 r l 71正 视 图 厕 视 图 修 视 图【答 案】A.【解 析】试 题 分 析：分 析 题 意 可 知，问 题 等 价 于 圆 锥 的 内 接 长 方 体 的 体 积 的 最 大 值，设 长 方 体 体 的 长,宽，高 分 别 为 x,y,h,长 方 体 上 底 面 截 圆 锥 的 截 面

25、 半 径 为。，则/+?=（2。）2=4。2,如 下 图 所 示，圆 锥 的 轴 截 面 如 图 所 示，则 可 知=i n/?=2-2 a,而 长 方 体 的 体 积 1 22 2V=xyh=竺，当 且 仅 当=歹，。=2-2。=。=2 时，等 号 成 立，此 时 利 3 27 316用 率 为 k 二 2一=A,故 选 A.U x x2 9兀【考 点 定 位】1.圆 锥 的 内 接 长 方 体；2.基 本 不 等 式 求 最 值.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 立 体 几 何 中 的 最 值 问 题，与 实 际 应 用 相 结 合，立 意 新 颖，属 于 较 难 题，需 要 考

26、生 从 实 际 应 用 问 题 中 提 取 出 相 应 的 几 何 元 素，再 利 用 基 本 不 等 式 求 解，解 决 此 类 问 题 的 两 大 核 心 思 路：一是 化 立 体 问 题 为 平 面 问 题，结 合 平 面 几 何 的 相 关 知 识 求 解；二 是 建 立 目 标 函 数 的 数 学 思 想,选 择 合 理 的 变 量，或 利 用 导 数 或 利 用 基 本 不 等 式，求 其 最 值.12.2 0 1 5高 考 浙 江，理 2】某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示（单 位：cm）,则 该 几 何 体 的 体 积 是()A.8cm3卫 的 33D.竺 C 毋

27、3【答 案】C.【解 析】1试 题 分 析：由 题 意 得，该 几 何 体 为 一 立 方 体 与 四 棱 锥 的 组 合，如 下 图 所 示，.体 积/=F+X 2：X 2=,3故 选 C【考 点 定 位】1.三 视 图；2.空 间 几 何 体 的 体 积 计 算.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 了 根 据 三 视 图 判 断 空 间 几 何 体 的 形 状，再 计 算 其 体 积，属 于 容 易 题，在 解 题 过 程 中，根 据 三 视 图 可 以 得 到 该 几 何 体 是 一 个 正 方 体 与 四 棱 锥 的 组 合，将 组 合 体 的 三 视 图，正 方 体 与 锥 体

28、 的 体 积 计 算 结 合 在 一 起，培 养 学 生 的 空 间 想 象 能 力、逻 辑 推 理 能 力 和 计 算 能 力，会 利 用 所 学 公 式 进 行 计 算，体 现 了 知 识 点 的 交 汇.1 3.12015高 考 福 建，理 7 若/，历 是 两 条 不 同 的 直 线，m 垂 直 于 平 面 a,则“/，加”是“/a 的（）A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】B【解 析】若/，加，因 为 加 垂 直 于 平 面 a,则/a或/u a；若/。，又 加 垂 直

29、 于 平 面 a,则/，/,所 以“/J 优”是“/a 的 必 要 不 充 分 条 件，故 选 B.学 优 高 考 网【考 点 定 位】空 间 直 线 和 平 面、直 线 和 直 线 的 位 置 关 系.【名 师 点 睛】本 题 以 充 分 条 件 和 必 要 条 件 为 载 体 考 查 空 间 直 线、平 面 的 位 置 关 系，要 理 解 线 线 垂 直 和 线 面 垂 直 的 相 互 转 化 以 及 线 线 平 行 和 线 面 平 行 的 转 化 还 有 平 行 和 垂 直 之 间 的 内 部 联 系，长 方 体 是 直 观 认 识 和 描 述 空 间 点、线、面 位 置 关 系 很 好

30、 的 载 体，所 以 我 们 可 以 将 这 些 问 题 还 原 到 长 方 体 中 研 究.14.2015高 考 新 课 标 2,理 6 一 个 正 方 体 被 一 个 平 面 截 去 一 部 分 后，剩 余 部 分 的 三 视 图 如 右 图，则 截 去 部 分 体 积 与 剩 余 部 分 体 积 的 比 值 为（）【答 案】D【解 析】由 三 视 图 得，在 正 方 体 一/百 G 2 中，截 去 四 面 体/一 4 与 9,如 图 所 示，.设 正 方 体 棱 长 为 a,则 匕,“BO=x L/=_ l/,故 剩 余 几 何 体 体 积 为 所 A ABD 3 2 6 6 6以 截

31、去 部 分 体 积 与 剩 余 部 分 体 积 的 比 值 为 工，故 选 D.5【考 点 定 位】三 视 图.【名 师 点 睛】本 题 以 正 方 体 为 背 景 考 查 三 视 图、几 何 体 体 积 的 运 算，要 求 有 一 定 的 空 间 想 象 能 力，关 键 是 能 从 三 视 图 确 定 截 面，进 而 求 体 积 比，属 于 中 档 题.【2015高 考 上 海，理 6】若 圆 锥 的 侧 面 积 与 过 轴 的 截 面 面 积 之 比 为 2万，则 其 母 线 与 轴 的 夹 角 的 大 小 为.71【答 案】-31 4【解 析】由 题 意 得：4/：弓 6 2 厂)=2=

32、/=2%=母 线 与 轴 的 夹 角 为 h【考 点 定 位】圆 锥 轴 截 面【名 师 点 睛】掌 握 对 应 几 何 体 的 侧 面 积，轴 截 面 面 积 计 算 方 法.如 圆 柱 的 侧 面 积 S=2m”，圆 柱 的 表 面 积 S=2r(r+/),圆 锥 的 侧 面 积 S=M,圆 锥 的 表 面 积 S=m(r+/),球 体 的 表 面 积 S=4成 2,圆 锥 轴 截 面 为 等 腰 三 角 形.【2015高 考 上 海，理 4】若 正 三 棱 柱 的 所 有 棱 长 均 为。，且 其 体 积 为 16石，则。=.【答 案】4 解 析】a a1-16/3=a3=64=q=44

33、【考 点 定 位】正 三 棱 柱 的 体 积【名 师 点 睛】简 单 几 何 体 的 表 面 积 和 体 积 计 算 是 高 考 的 一 个 常 见 考 点，解 决 这 类 问 题，首 先 要 熟 练 掌 握 各 类 简 单 几 何 体 的 表 面 积 和 体 积 计 算 公 式，其 次 要 掌 握 平 几 面 积 计 算 方 法.柱 的 体 积 为，=助,区 别 锥 的 体 积/=?$；熟 记 正 三 角 形 面 积 为 由/，正 六 边 形 的 面 积 为 15.12015高 考 四 川，理 14】如 图,四 边 形 ABCD和 ADPQ均 为 正 方 形，它 们 所 在 的 平 面 互

34、相 垂 直，动 点 M 在 线 段 PQ上，E、F 分 别 为 AB、BC的 中 点。设 异 面 直 线 E M 与 AF所 成 的 角 为 6,则 COS。的 最 大 值 为.【答 案】|【解 析】1 1-1建 立 坐 标 系 如 图 所 示.设.=1,则.4F=（1:，01（4 上 0）,设 1X0 W T 4 1），则 E X=（-4-.11）.由 于 异 面 直 线 所 成 角 的 范 围 为（0：1，所 以 2（1二】）/-1）_ _ 8丁+16 机：+5 网 上+5 4y2+5,令 8y+l=f 9,则 8y+l _ 16|,当/=i时 取 等 号.所 以 t2（1-历 4 1 2

35、 _ 26、4丁+5 一 石 至）5,当 y=0 时，取 得 最 大 值.【考 点 定 位】1、空 间 两 直 线 所 成 的 角；2、不 等 式.【名 师 点 睛】空 间 的 角 与 距 离 的 问 题，只 要 便 于 建 立 坐 标 系 均 可 建 立 坐 标 系，然 后 利 用 公 式 求 解.解 本 题 要 注 意，空 间 两 直 线 所 成 的 角 是 不 超 过 9 0度 的.几 何 问 题 还 可 结 合 图 形 分 析 何 时 取 得 最 大 值.当 点 M 在 P 处 忖，E M与 A F所 成 角 为 直 角，此 时 余 弦 值 为。（最 小），当 M 点 向 左 移 动

36、时，E M与 A F所 成 角 逐 渐 变 小，点 M 到 达 Q 点 时，角 最 小，从 而 余 弦 值 最 大.1 6.12015高 考 天 津，理 10】一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示（单 位：m）,则 该 几 何 体 的 体 积 为_ mQ【答 案】2)3【解 析】由 三 视 图 可 知，该 几 何 体 是 中 间 为 一 个 底 面 半 径 为 1,高 为 2 的 圆 柱，两 端 是 底 面 半 径 为 1,高 为 1的 圆 锥，所 以 该 儿 何 体 的 体 积 P=F x 万 x 2+2 x1 x-,x 万 x l=?8).3 3【考 点 定 位】三 视 图

37、与 旋 转 体 体 积 公 式.【名 师 点 睛】主 要 考 查 三 视 图 与 旋 转 体 体 积 公 式 及 空 间 想 象 能 力、运 算 能 力.识 图 是 数 学 的 基 本 功，空 间 想 象 能 力 是 数 学 与 实 际 生 活 必 备 的 能 力，本 题 将 这 些 能 力 结 合 在 一 起，体 现 了 数 学 的 实 用 价 值，同 时 也 考 查 了 学 生 对 旋 转 体 体 积 公 式 的 掌 握 与 应 用、计 算 能 力.17.1 2015 高 考 浙 江，理 13 如 图，三 棱 锥 A-B C D 中,N 3=N C=BO=CD=3,Z O=8 C=2,点

38、分 别 是 的 中 点，则 异 面 直 线 AN,C W 所 成 的 角 的 余 弦 值 是 7【答 案】8【解 析】试 题 分 析：如 下 图，连 结。一V,取 11V中 点 P,连 结 尸”，P C,则 可 知 NEI/C即 为 异 面 直 线 j v,c i/所 成 角(或 其 补 角)易 得=PC=7P.V:+e x2=T i+i=W Lcos ZPJ/C=S-7-3=-,即 异 面 直 线 WV,U U所 成 角 的 余 弦 值 为 二.2x272x72 8 8【考 点 定 位】异 面 直 线 的 夹 角.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 了 异 面 直 线 夹 角 的 求

39、解，属 于 中 档 题，分 析 条 件 中 出 现 的 中 点，可 以 考 虑 利 用 三 角 形 的 中 位 线 性 质 利 用 平 移 产 生 异 面 直 线 的 夹 角，再 利 用 余 弦 定 理 的 变 式 即 可 求 解，在 复 习 时 应 了 解 两 条 异 面 直 线 夹 角 的 范 围，常 见 的 求 异 面 直 线 夹 角 的 方 法 等 知 识 点.18.12015江 苏 高 考，9】现 有 橡 皮 泥 制 作 的 底 面 半 径 为 5、高 为 4 的 圆 锥 和 底 面 半 径 为 2、高 为 8 的 圆 柱 各 一 个。若 将 它 们 重 新 制 作 成 总 体 积

40、与 高 均 保 持 不 变，但 底 面 半 径 相 同 的 新 的 圆 锥 与 圆 柱 各 一 个，则 新 的 底 面 半 径 为【答 案】【解 析】由 体 积 相 等 得：x4xx52+x22x8=1xr2xx4+-xr：!x8=-=V7【考 点 定 位】圆 柱 及 圆 锥 体 积【名 师 点 晴】求 空 间 几 何 体 体 积 的 常 用 方 法(1)公 式 法：直 接 根 据 相 关 的 体 积 公 式 计 算.(2)等 积 法：根 据 体 积 计 算 公 式，通 过 转 换 空 间 几 何 体 的 底 面 和 高 使 得 体 积 计 算 更 容 易，或 是 求 出 一 些 体 积 比

41、等.（3）割 补 法：把 不 能 直 接 计 算 体 积 的 空 间 几 何 体 进 行 适 当 的 分 割 或 补 形，转 化 为 可 计 算 体 枳 的 几 何 体.19.2015高 考 新 课 标 2,理 19（本 题 满 分 12分）如 图，长 方 体 4 8 8-4 4 G A 中，4B=16,5C=10,AA=8,点、E,尸 分 别 在 刀 4,G A 上，4 E=A F=4.过 点 E,歹 的 平 面 a 与 此 长 方 体 的 面 相 交，交 线 围 成 一 个 正 方 形.（I）在 图 中 画 出 这 个 正 方 形（不 必 说 出 画 法 和 理 由）；（II）求 直 线/

42、与 平 面 a 所 成 角 的 正 弦 值.【答 案】（I）详 见 解 析；（H）正.15【解 析】（I）交 线 围 成 的 正 方 形 E H G F 如 图：（II）作 ESI _ A B,垂 足 为 V,贝 i j W U=4 E=4,ESI=T 4=8,因 为 E H G F 为 正 方 形，所 以 E H=E F=B C=I O.于 是 4田=在 犷-=6,所 以.田=10.以 Z）为 坐 标 原 点，刀 的 方 向 为 x轴 的 正 方 向，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系。一 整 z,则 月（10儿 0）,H Q O J O Q）,（10s4:8）,_ _

43、_ n-FE=0F（0.4.8）,F=（10.0.0）,班=（0一 一 6.8）.设,?=（x/.z）是 平 面 E G F 的 法 向 量，则 _ 即 flOx=O.-一-4 J?：,c 八 所 以 可 取=（0：13）.又-F=（-10：1S），故 cos，?.T尸=谷 下=土 所 以 直-6j+8z=0,1 回 卜 叫 15线 T F 与 平 面 a 所 成 角 的 正 弦 值 为 拽.15【考 点 定 位】1、直 线 和 平 面 平 行 的 性 质；2、直 线 和 平 面 所 成 的 角.【名 师 点 睛】根 据 线 面 平 行 和 面 面 平 行 的 性 质 画 平 面。与 长 方

44、体 的 面 的 交 线；山 交 线 的 位 置 可 确 定 公 共 点 的 位 置，坐 标 法 是 求 解 空 间 角 问 题 时 常 用 的 方 法，但 因 其 计 算 量 大 的 特 点 很 容 易 出 错，故 坐 标 系 的 选 择 是 很 重 要 的，便 于 用 坐 标 表 示 相 关 点，先 求 出 面 a 的 法 向 量，利 用 sin 0=|cos|求 直 线 A F 与 平 面 a 所 成 角 的 正 弦 值.20.【2015江 苏 高 考，16（本 题 满 分 14分）如 图，在 直 三 棱 柱 N B C-Z 4 G 中，已 知 B C=CC1,设 4 耳 的 中 点 为

45、4 C D 8 G=E.求 证：（1）O E 平 面 Z 4 C；(2)B q LAB,.【答 案】（1）详 见 解 析（2）详 见 解 析【解 析】试 题 分 析（1）由 三 棱 锥 性 质 知 侧 面 8 8 0 0 为 平 行 四 边 形，因 此 点 E 为 8 0 的 中 点，从 而 由 三角 形 中 位 线 性 质 得 D E 且。，再 由 线 面 平 行 判 定 定 理 得 DE 平 面 J 4 G。（2）因 为 直 三 棱 柱.S C-4 与 G 中 5C=C Q,所 以 侧 面 空。为 正 方 形，因 此 5C：，与 C,又 4 C _ B C,JC_CC:（可 由 直 三 棱

46、 柱 推 导）,因 此 由 线 面 垂 直 判 定 定 理 得 A C，平 面 5B：C：C,从 而 AC 3C.,再 由 线 面 垂 直 判 定 定 理 得 3C：一 平 面 H与。,进 而 可 得 8 G _.坦 试 题 解 析：（1）由 题 意 知，E 为 BC的 中 点，又 D 为 AB】的 中 点，因 此 DE A C.又 因 为 D E 平 面 AACC,AC c 平 面 A A C,、/彳|所 以 DE。平 面 A A C.K（2）因 为 棱 柱 ABC-ABiG是 直 三 棱 柱，所 以 CC平 面 ABC.因 为 AC u 平 面 ABC,所 以 AC _ CC.又 因 为

47、A C 1 B C,C Q u 平 面 B C C|B-B C u 平 面 B CG B-BCACC）=C,所 以 人（：_ 1平 面 8：田 一 又 因 为 BC1z平 面 B C G B 1,所 以 BC|，AC.因 为 BC=C C/所 以 矩 形 BCC|B1是 正 方 形，因 此 BC|J_B|C.因 为 AC,B|Cu 平 面 B|AC,ACnB,C=C,所 以 BQ _ L 平 面 BAC.又 因 为 AB|u 平 面 B|A C,所 以 BC|_LAB1.【考 点 定 位】线 面 平 行 判 定 定 理，线 面 垂 直 判 定 定 理【名 师 点 晴】不 要 忽 视 线 面 平

48、 行 的 判 定 定 理 中 线 在 面 外 条 件.证 明 直 线 与 平 面 平 行 的 关 键 是 设 法 在 平 面 内 找 到 一 条 与 已 知 直 线 平 行 的 直 线，常 利 用 儿 何 体 的 特 征，合 理 利 用 中 位 线 定 理、线 面 平 行 的 性 质，或 者 构 造 平 行 四 边 形、寻 找 比 例 式 证 明 两 直 线 平 行.证 明 线 面 垂 直 时，不 要 忽 视 面 内 两 条 线 为 相 交 线 这 一 条 件.证 明 直 线 与 平 面 垂 直 的 关 键 在 于 熟 练 把 握 空 间 垂 直 关 系 的 判 定 与 性 质，注 意 平 面

49、 图 形 中 的 一 些 线 线 垂 直 关 系 的 灵 活 利 用，这 是 证 明 空 间 垂 直 关 系 的 基 础.21.2015高 考 安 徽，理 19 如 图 所 示，在 多 面 体 4 4 D Q C B 4,四 边 形 均 为 正 方 形，E 为 的 中 点，过 的 平 面 交 C。于 F.（I）证 明：EF/B.C；（II）求 二 面 角 E-A.D-4 余 弦 值.【答 案】（I）EF/B.C；（II）.3【解 析】试 题 分 析：（I）证 明：依 据 正 方 形 的 性 质 可 知 4 月/8/。，且/从 而 为 平 行 四 边 形，则 根 据 线 面 平 行 的 判 定

50、定 理 知 用。/面 N Q E，再 由 线 面 平 行 的 性 质 定 理 知 小/月。（H）因 为 四 边 形 4 8 乃，A D DA,4 B C D 均 为 正 方 形，所 以，4g，且 441=/8=4 0，可 以 建 以 力 为 原 点，分 别 以 彳 反 而，丽 为 x 轴，y 轴，z 轴 单 位 正 向 量 的 平 面 直 角 坐 标 系，写 出 相 关 的 点 的 坐 标，设 出 面 的 法 向 量 1=（4，S，G）.由 4 AyE,M1 _1.4。得（,耳,/应 0.5r+0.5S1=0 满 足 的 方 程 组 4,（-1,1,1）为 其 一 组 解，所 以 可 取 勺=