2016年数学高分突破教案.pdf

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1、2014高 考 数 学 高 分 突 破 精 品 教 案“会 而 不 对，对 而 不 全”一 直 以 来 成 为 制 约 学 生 数 学 成 绩 提 高 的 重 要 因 素，成 为 学 生 挥 之 不 去 的 痛，如 何 解 决 这 个 问 题 对 决 定 学 生 的 高 考 成 败 起 着 至 关 重 要 的 作 用。本 文 结 合 笔 者 的 多 年 高 二:教 学 经 验 精 心 挑 选 学 生 在 考 试 中 常 见 的 66个 易 错、易 混、易 忘 典 型 题 目，这 些 问 题 也 是 高 考 中 的 热 点 和 重 点，做 到 力 避 偏、怪、难，进 行 精 彩 剖 析 并 配

2、以 近 几 年 的 高 考 试 题 作 为 相 应 练 习，一 方 面 让 你 明 确 这 样 的 问 题 在 高 考 中 确 实 存 在，另 一 方 面 通 过 作 针 对 性 练 习 帮 你 识 破 命 题 者 精 心 设 计 的 陷 阱，以 达 到 授 人 以 渔 的 目 的，助 你 在 高 考 中 乘 风 破 浪，实 现 自 已 的 理 想 报 负。【易 错 点 1】忽 视 空 集 是 任 何 非 空 集 合 的 子 集 导 致 思 维 不 全 面。例 1、设 4=卜|了 2 8x+15=。,6=x|ax 1=0,若 4 口 8=8,求 实 数 a 组 成 的 集 合 的 子 集 有

3、多 少 个？【易 错 点 分 析】此 题 由 条 件 A n 8=B 易 知 3=A,由 于 空 集 是 任 何 非 空 集 合 的 子 集，但 在 解 题 中 极 易 忽 略 这 种 特 殊 情 况 而 造 成 求 解 满 足 条 件 的 a值 产 生 漏 解 现 象。解 析：集 合 A化 简 得 A=3,5,由 4 8=6 知 8 q 4 故（1）当 5=。时，即 方 程 以 一 1=0无 解，此 时 a=0符 合 已 知 条 件（H）当 时，即 方 程 ax 1=0 的 解 为 3或 5,代 入 得 a=1 或 2。3 5综 上 满 足 条 件 的 a组 成 的 集 合 为，0,1,，,

4、故 其 子 集 共 有 23=8 个。I 3 5JI【知 识 点 归 类 点 拔】（1）在 应 用 条 件 AUB=B=A C B=A=A。B时，要 树 立 起 分 类 讨 论 的 数 学 思 想，!j将 集 合 A 是 空 集 8 的 情 况 优 先 进 行 讨 论.：（2）在 解 答 集 合 问 题 时，要 注 意 集 合 的 性 质“确 定 性、无 序 性、互 异 性”特 别 是 互 异 性 对 集 合 元 素 的 限 制。|有 时 需 要 进 行 检 验 求 解 的 结 果 是 满 足 集 合 中 元 索 的 这 个 性 质，此 外 解 题 过 程 中 要 注 意 集 合 语 言（数

5、学 语 言）:和 自 然 语 言 之 间 的 转 化 如：4=4,B=（x,y）|（x-3+（y-4）2=，,：|其 中 r0,若 4 口 8=。求 r的 取 值 范 围。将 集 合 所 表 达 的 数 学 语 言 向 自 然 语 言 进 行 转 化 就 是：集 合 A:|表 示 以 原 点 为 圆 心 以 2的 半 径 的 圆，集 合 B表 示 以（3,4）为 圆 心，以 r为 半 径 的 圆，当 两 圆 无 公 共 点 即|i两 圆 相 离 或 内 含 时，求 半 径 r的 取 值 范 围。思 维 马 上 就 可 利 用 两 圆 的 位 置 关 系 来 解 答。此 外 如 不 等 式 的

6、解 ii集 等 也 要 注 意 集 合 语 言 的 应 用。1:_ I【练 1】己 知 集 合 A=|x2+4x=01 B=|x|x2+2（a+l）x+a2-l=01 B A则 实 数 a的 取 值 范 围 是 一。纭 军：4=1或 4 4 1【易 错 点 2 求 解 函 数 值 域 或 单 调 区 间 易 忽 视 定 义 域 优 先 的 原 则。例 2、已 知（X+2）?+?=1,求 f+y2的 取 值 范 围【易 错 点 分 析】此 题 学 生 很 容 易 只 是 利 用 消 元 的 思 路 将 问 题 转 化 为 关 于 X的 函 数 最 值 求 解，但 极 易 忽 略 X、/、2 y2

7、y满 足（x+2）+亍=1这 个 条 件 中 的 两 个 变 量 的 约 束 关 系 而 造 成 定 义 域 范 围 的 扩 大。2 2解 析：由 于(x+2?+上=1 得(X+2)2=1-)-W1,.,.-3xWT 从 而 x2+y2=-3x2-16x-12=4 428 8 28 28+因 此 当 X=-1时 X、y2有 最 小 值 1,当 X=-一 时,x、y2有 最 大 值 一。故 x+y,的 取 值 范 围 是 1,3 3 3 35 5i 2 i【知 识 点 归 类 点 拔】事 实 上 我 们 可 以 从 解 析 儿 何 的 角 度 来 理 解 条 件（x+2+匕=1对 x、y 的 限

8、 制，!I 4 1?iI 显 然 方 程 表 示 以（-2,0）为 中 心 的 椭 圆，则 易 知-3WxWT,-2 y 0）上 变 化，则 x?+2y的 最 大 值 为（）4 bA2 I lj2+4（0/?4）+4（0 2）b2（A）4（B）4）2b（b2）答 案：A【易 错 点 3】求 解 函 数 的 反 函 数 易 漏 掉 确 定 原 函 数 的 值 域 即 反 函 数 的 定 义 域 J例 3、/（X）=（：2：l 是 R上 的 奇 函 数，（1）求 a 的 值（2）求 的 反 函 数/T（X）【易 错 点 分 析】求 解 已 知 函 数 的 反 函 数 时，易 忽 略 求 解 反 函

9、 数 的 定 义 域 即 原 函 数 的 值 域 而 出 错。解 析：利 用/（X）+/（-X）=0（或/（0）=0）求 得 a=l.（2）由。=1 即/(x)=2 T2X+1设 y=/(%).则 2*(l-y)=l+y 由 于 y h 1 故 2X1+yy 2“_ i 2 i+xx=log21-y,而=所 以 广（x）=og2i（_ x l）:【知 识 点 归 类 点 拔】（1）在 求 解 函 数 的 反 函 数 时，一 定 要 通 过 确 定 原 函 数 的 值 域 即 反 函 数 的 定 义 域 在 反 函|数 的 解 析 式 后 表 明（若 反 函 数 的 定 义 域 为 R 可 省

10、略）。;（2）应 用/T（b）=a=/（“）=/?可 省 略 求 反 函 数 的 步 骤，直 接 利 用 原 函 数 求 解 但 应 注 意 其 自 变 量 和!函 数 值 要 互 换。【练 3】函 数/（X）=J E+1（X Z 1）的 反 函 数 是（）A、y=x2-2x+2(x l)c、y=x2-2x(x 1)答 案：B【易 错 点 4】求 反 函 数 与 反 函 数 值 错 位 例 4、已 知 函 数 f(x)=,函 数 y=g(x)的 图 像 与 y=f(x-1)的 图 象 关 于 直 线 y=x 对 称，则 y=g(x)的 解 析 式 为()/3-2xA、g(j)=-B、g(x)=

11、2-x7+7C、g(x)l-xD、g(x)2+x32+x【易 错 点 分 析】解 答 本 题 时 易 由 y=g(x)与 y=/t(x-l)互 为 反 函 数，而 认 为 y=(x-1)的 反 函 数 是 y=/(彳 _1)则,=g(x)=/(x-l)=1+(1)3-2 x-而 错 选 A。X解 析：由/(X)=-打 得 y-1(x)=-土 从 而 y=(x-1)=-2=2土 再 求 V 7 1+x、/2+x V 1 2+(-1)1+x2 ry=/T(x-l)的 反 函 数 得 g(x)=-。正 确 答 案：B:【知 识 点 分 类 点 拔】函 数 y=与 函 数 y=/(x-l)并 不 互

12、为 反 函 数，他 只 是 表 示/T(X)I中 X用 XT替 代 后 的 反 函 数 值。这 是 因 为 由 求 反 函 数 的 过 程 来 看：设 y=/(x-l)则/T(y)=x-1,；x=f(y)+l 再 将 x、y 互 换 即 得 y-f(x-l)的 反 函 数 为 y=/一(x)+1,故 y=/(x l)的 j反 函 数 不 是 y=因 此 在 今 后 求 解 此 题 问 题 时 一 定 要 谨 慎。答 案：B【易 错 点 5判 断 函 数 的 奇 偶 性 忽 视 函 数 具 有 奇 偶 性 的 必 要 条 件：定 义 域 关 于 原 点 对 称。例 5、判 断 函 数/(X)=的

13、 奇 偶 性。【易 错 点 分 析】此 题 常 犯 的 错 误 是 不 考 虑 定 义 域，而 按 如 卜 一 步 骤 求 解：f(-X)=怆(1 2)|x+2|-2K/(X)从而 得 出 函 数/(X)为 非 奇 非 偶 函 数 的 错 误 结 论。1-x2 0解 析：由 函 数 的 解 析 式 知 X满 足 小-21H 2即 函 数 的 定 义 域 为(一 i,o)U(0,1)定 义 域 关 于 原 点 对 称,|g I j 一 1 I在 定 义 域 下 f(X)=q 易 证/(-X)=-f(X)即 函 数 为 奇 函 数.X:【知 识 点 归 类 点 拔】(1)函 数 的 定 义 域 关

14、 于 原 点 对 称 是 函 数 具 有 奇 偶 性 的 必 要 但 不 充 分 条 件,因 此 在 判 断 I 函 数 的 奇 偶 性 时 一 定 要 先 研 究 函 数 的 定 义 域。;(2)函 数/(X)具 有 奇 偶 性，则/(X)=/(-X)或/(1)=一/(一 1)是 对 定 义 域 内 x 的 恒 等 式。常|常 利 用 这 一 点 求 解 函 数 中 字 母 参 数 的 值。【练 5 而 断 卜 歹 U函 数 的 奇 偶 限/(工)=1+sinx+cosxl+sinx-cosx答 案：既 是 奇 函 数 乂 是 偶 函 数 非 奇 非 偶 函 数 非 奇 非 偶 函 数【易

15、错 点 6】易 忘 原 函 数 和 反 函 数 的 单 调 性 和 奇 偶 性 的 关 系。从 而 导 致 解 题 过 程 繁 锁。2x-2例 6、函 数/（X）=logzZx+i X 一 的 反 函 数 为/-(X)，证 明 是 奇 函 数 且 在 2 2其 定 义 域 上 是 增 函 数。【思 维 分 析】可 求/T(x)的 表 达 式，再 证 明。若 注 意 到 了 T(x)与/(X)具 有 相 同 的 单 调 性 和 奇 偶 性,只 需 研 究 原 函 数/(X)的 单 调 性 和 奇 偶 性 即 可。-2x-l 2x+l 2x-l解 析：f(-*)=log2-2t+1=log22jt

16、_|=-log22jt+1=-f(x),故/(x)为 奇 函 数 从 而 尸(x)为 奇 函 数。又 令 f=-j-=1-5义 在-8,一；)和，+8)上 均 为 增 函 数 且 y=log2,为 增 函 数,故/(X)在 上 分 别 为 增 函 数。故/T(x)分 别 在(0,+8)和(-8,0)上 分 别 为 增 函 数。【知 识 点 归 类 点 拔】对 于 反 函 数 知 识 有 如 下 重 要 结 论：(1)定 义 域 上 的 单 调 函 数 必 有 反 函 数。(2)奇 函 数：的 反 函 数 也 是 奇 函 数 且 原 函 数 和 反 函 数 具 有 相 同 的 单 调 性。(3)

17、定 义 域 为 非 单 元 素 的 偶 函 数 不 存 在 反 函 数。(4)周 期 函 数 不 存 在 反 函 数(5)原 函 数 的 定 义 域 和 值 域 和 反 函 数 的 定 义 域 和 值 域 到 换。即(b)=a o f(a)=b.I【练 6】(1)已 知/(X)=-,则 如 下 结 论 正 确 的 是()A、/（X）是 奇 函 数 且 为 增 函 数 B、/（X）是 奇 函 数 且 为 减 函 数 C、/（X）是 偶 函 数 且 为 增 函 数 D、/（X）是 偶 函 数 且 为 减 函 数 答 案：A 设 尸（X）是 函 数 x）=；（屋 一）（。1）的 反 函 数，则 使/

18、T（X）1成 立 的 X 的 取 值 范 围 为（）C l-1、.ci1,ci.A、（,-H）B、（-co,）C、（,a）D、（a,+oo）2a 2a 2a答 案：A（a l 时，x）单 调 增 函 数，所 以 尸（力 1。/（尸（*）/=x l）=啜.）【易 错 点 7】证 明 或 判 断 函 数 的 单 调 性 要 从 定 义 出 发，注 意 步 骤 的 规 范 性 及 树 立 定 义 域 优 先 的 原 则。b例 7、试 判 断 函 数/（x）=a x+（a 0,/?0）的 单 调 性 并 给 出 证 明。【易 错 点 分 析】在 解 答 题 中 证 明 或 判 断 函 数 的 单 调

19、性 必 须 依 据 函 数 的 性 质 解 答。特 别 注 意 定 义 X,6 D,x2 G D/（%,）/优）（/（%）0/（%）一/（%2）=（斗 _ 2）竺&-由 于 王 一 工 2 0 故 当 王 2时/（西）一/（2）0，此 时 函 数/（x）在 上 增 函 数，同 理 可 证 函 数/（X）在 上 为 减 函 数。又 由 于 函 数 为 奇 函 数，故 函 数 在 为 减 函 数,在:【知 识 归 类 点 拔】（1）函 数 的 单 调 性 广 泛 应 用 于 比 较 大 小、解 不 等 式、求 参 数 的 范 围、最 值 等 问 题 中，应!引 起 足 够 重 视。1 单 调 性

20、的 定 义 等 价 于 如 下 形 式：“X）在 可 上 是 增 函 数=（）7（上）0,“X）在 玉 X?上 是 减 函 数=这 表 明 增 减 性 的 几 何 意 义：增（减）函 数 的 图 象 上 任 意 两 X 一 工 2i：为 增 函 数，在，U J 2,o 上 为 减 函 数，在 叙 点(石，/(芯),(，/(32)连 线 的 斜 率 都 大 于(小 于)零。(3)/(x)=ar+2(a 0,b0)是 一 种 重 要 的 函 数 模 型，耍 引 起 重 视 并 注 意 应 用。但 注 意 本 题 中 不 能 说“X)在 00，.U述 函 数 的 单 调 区 间 时 不 能 在 多

21、个 单 调 区 间 之 间 添 加 符 号“u”和“或”，J Q【练 7】(1)/(x)=ax+(。0)(1)用 单 调 性 的 定 义 判 断 函 数/(x)在(0,+8)上 的 单 调 性。(2)设“X)在 0 x 4 1 的 最 小 值 为 g(a),求 y=g(a)的 解 析 式。O 2 N 1)答 案：(1)函 数 在-,+oo为 增 函 数 在 0,一 为 减 函 数。(2)y=g(a)=彳 a)a(Oa 0 uj(x)=W-+2 为 R 上 的 偶 函 数。(1)求 a的 值(2)试 判 断 函 数 在(0,+00)上 的 单 a ex调 性 并 给 出 证 明。答 案：(I)a

22、=(2)函 数 在(0,+oo)上 为 增 函 数(证 明 略)【易 错 点 8在 解 题 中 误 将 必 要 条 件 作 充 分 条 件 或 将 既 不 充 分 与 不 必 要 条 件 误 作 充 要 条 件 使 用，导 致 错 误 结 论。例 8、已 知 函 数/(x)=ax3+3x2 x+1上 是 减 函 数，求 a的 取 值 范 围。【易 错 点 分 析】r(x)0(xe(a,b)是“X)在(a,b)内 单 调 递 减 的 充 分 不 必 要 条 件，在 解 题 过 程 中 易 误 作 是 充 要 条 件，如/(x)=/在 R 上 递 减，但/(x)=-3%2 0。解 析：求 函 数

23、的 导 数/(x)=3ax2+6x 1(1)当/(x)0时，/(x)是 减 函 数，则/(x)=3ax2+6x-1 0(x e/?)0故 解 得。一 3A0,所 以 当 a 3时，函 数/(x)不 是 减 函 数，综 上，所 求 a的 取 值 范 围 是(一。,一 3。:L 点 拔】拄 函 数“X)可 导，其 导 数，函 数 的 单 调 性 的 关 系 现 以 增 函 数 为 例 来 说 明：/(x)0 I1J f(x)为 增 函 数 的 关 系：f(x)0 能 推 出 f(X)为 增 函 数，但 反 之 不 定:如 函 数/(X)=X3小(-00,+00)上 单 调 递 增，但/(尤)N 0

24、*./(力 0 是 f(x)为 增 函 数 的 充 分 不 必 要 条 件。尸(无)#0 时，f(x)0。f(x)为 增 函 数 的 关 系：花 将/(x)=0 的 根 作 为 分 界 点，因 为 规 定/(X)H O.即 抠 去 了 分 界 点，此 时 f(x)为 增 函 数，就 定 有 尸(x)0/.1 fx)*0.f x)0 是/(无)为 增 函 数 的 充 分 必 要 条 件。f(x)0 与/(无)为 增 函 数 的 关 系:/(X)为 增 函 数.定 可 以 推(无)0.但 反 之 不 定,因 为 fx)0.邛&f x)0 或 f(x)=0 I函 数 在 某 个 M 间 内 恒。f(

25、x)=0,则 f(x)为 常 衰 r,函 数 不 具 有 单 调 性.f(x)之 0 是/(x)为 增 函 数 的 必 要 不 充 分 条 件。函 数 的 单 调 性 是 函 数 一 条 重 要 性 质，也 是 高 中 阶 段 研 究 的 重 点，我 们 一 定 要 把 握 好 以 I：-:个 关 系，用 导 数 判 断 好 函 数 的 单 调 性。因 此 新 教 材 为 解 决 单 调 区 间 的 端 点 问 题，都 一 律 用 开 区 间 作 为 单 调 区 间，避 免 讨 论 以 上 问 题，也 简 化 了 问 题。但 在 实 际 应 用 中 还 会 遇 到 端 点 的 讨 论 问 题，

26、要 谨 慎 处 理。因 此 本 题 在 第 步 后 再 对 a=-3 和 a 3进 行 了 讨 论，确 保 其 充 要 性。在 解 题 中 误 将 必 要 条 件 作 充 分 条 件 或 将 既 不 充 分 与 不 必 要 条 件 误 作 充 要 条 件 使 用 而 导 致 的 错 误 还 很 多，这 需 耍 同 学 们 在 学 习 过 程 中 注 意 思 维 的 严 密 性.【练 8】(1)函 数 y=x2+/?x+c(xw(0,+co)是 是 单 调 函 数 的 充 要 条 件 是()A/?0 B、Z?0 C、)0 D、/?0,b0,a+b=l,求(a+L)2+(b+)2的 最 小 值.a

27、 b错 解:(a+)2+(b+)2=a2+b2+1+42ab+45：4+4=8(a+)2+(b+)2a b a b ab V ab a b值 是 8【易 错 点 分 析】上 面 的 解 答 中，两 次 用 到 了 基 本 不 等 式 a2+b：02ab,第 一 次 等 号 成 立 的 条 件 是 a=b=1,第 2二 次 等 号 成 立 的 条 件 ab=-，显 然，这 两 个 条 件 是 不 能 同 时 成 立 的。因 此，8不 是 最 小 值。ab解 析：原 式=a2+b2+-+-+4=(a2+b2)+(-+-)+4=(a+b)2-2ab+(-+-)-1+4a2 b2 a2 b2 a h

28、ab1 a+b 1 1 1 1 1=(l-2ab)(1+)+4 由 abW(-)J=-得：l-2abl-=一，且 一；一；二 16,217a2 b2 2 4 2 2 a2b2 a2b21 25 1 1 1 25.原 式 2 一 xi7+4=(当 且 仅 当 a=b=一 时，等 号 成 立).1+-)46+)2的 最 小 值 是 一。2 2 2 a h 2【知 识 归 类 点 拔】在 应 用 重 要 不 等 式 求 解 最 值 时，要 注 意 它 的 三 个 前 提 条 件 缺 一 不 可 即“一 正、二 定、三：相 等”，在 解 题 中 容 易 忽 略 验 证 取 提 最 值 时 的 使 等

29、号 成 立 的 变 量 的 值 是 否 在 其 定 义 域 限 制 范 围 内。既 9 丁 父 王 瓦 施 褫 T 而，汽 车 赢 而 赢 施 Z 施：速 度 不 得 超 过 c km/h T E 而 运 输 成 本(以 元 为 单 位)由 可 变 部 分 和 固 定 部 分 组 成：可 变 部 分 与 速 度 v(km/h)的 平 方 成 正 比，比 例 系 数 为 b;固 定 部 分 为 a元。(1)把 全 程 运 输 成 本 y(元)表 示 为 速 度 v(km/h)的 函 数，并 指 出 这 个 函 数 的 定 义 域；(2)为 了 使 全 程 运 输 成 本 最 小，汽 车 应 以

30、多 大 速 度 行 驶？答 案 为：(1)y=-(Z?v2+a)(O l时，若 使/(力=108尸 一,在 2,4 上 是 增 函 数，则 0(x)=a f-X 在 2,4 上 是 增 函 数 且 大 于 零。故 有 彳 2a 解 得 al。(2)当 a l时 若 使 x)=log：在 2,4 上 是 增 2)=4 2 0 4函 数，则 0(x)=ax2-%在 2,4 上 是 减 函 数 且 大 于 零。l使 得 函 数/(刈=108严 7 在 2,4 上 是 增 函 数 门 茴 瀛 嬴 通 赢 豪 港 赢 鬲 痴 赢 或 赢 莉 荷 晶 港 嬴 手 二 S S 薪 嬴 转:“：M次 函 数

31、的 单 调 性 决 定 于 二 次 项 系 数 的 符 号 及 对 称 轴 的 位 置，指 数 函 数、对 数 函 数 的 单 调 性 决 定 于 其 底 数 的 范 围(大 于 1还 是 小 于 1),特 别 在 解 决 涉 及 指、对 复 合 函 数 的 单 调 性 问 题 时 要 树 立 分 类 讨 论 的 数 学 思 想(对:数 型 函 数 还 要 注 意 定 义 域 的 限 制)。【练 10(1)(黄 岗 三 月 分 统 考 变 式 题)设 a 0,且 a w 1试 求 函 数 旷=log“4+3 x-x 2的 的 单 调 区 间。答 案：当 0 a 1函 数 在(一 1,之 上 单

32、 调 2 I 2递 增 在 g,4)上 单 调 递 减。(2)若 函 数/(x)=log.(x3-a x)(a 0,a丰 1)在 区 间(一；,0)内 单 调 递 增，则 a 的 取 值 范 围 是()A、1 3 9 9 J)B、1 1)C、(,+)D、(1,)答 案:B.(记 g(x)=V _a x,贝 i j=3/当 a 1时,要 使 得“X)是 增 函 数，则 需 有 g(X)0恒 成 立，所 以=：.矛 盾.排 除 C、D当 0。1时，要 使“X)是 函 数，则 需 有 g(x)0恒 成 立，所 以 3 卜=；.排 除 A)【易 错 点 11】用 换 元 法 解 题 时,易 忽 略 换

33、 元 前 后 的 等 价 性._1；例 11、已 知 sinx+siny=求 s in y-c o s x 的 最 大 值 1.【易 错 点 分 析】此 题 学 生 都 能 通 过 条 件 sm x+siny=5 将 问 题 转 化 为 关 于 s in x的 函 数，进 而 利 用 换 元 的 思 想 令，=sin x将 问 题 变 为 关 于 t 的 二 次 函 数 最 值 求 解。但 极 易 忽 略 换 元 前 后 变 量 的 等 价 性 而 造 成 错 解，解 析：由 已 知 条 件 有 sin y=sinx 且 sin y=；-s in x(结 合 sinx)得 2.2 1 2.7

34、2 sinx 1,而 sin y-cos x=sinx-c o s x=sin-x-s i n x 令 3 3 3(2 2(2、2t sin x/0,000#f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx,cosx 2a 的 最 大 值 和 最 小 值。答 案：6）的 最 小 值 为 一 2&2-2 5/521,最 大 值 为 21 V2-(06Z 2（2）不 等 式 五 a x+3 的 解 集 是（4,b）,则 a=_，b=236=力 14-8案 答（提 示 令 换 元=t以 不 券 式 变 为 关 j-t的 的 密 集 为（2,旬）【易 错 点 12】已 知 S“求。”时，易 忽 略 n=

35、1的 情 况.例 12、数 列 a“前 n项 和，且=l,a“+i=g,。（1）求%，的，4 的 值 及 数 列 4 的 通 项 公 式。（易 错 点 分 析】此 题 在 应 用 sn与 an的 关 系 时 误 认 为 an=sn-S“_|对 于 任 意 n 值 都 成 立，忽 略 了 对 n=l的 情 况 的 验 证。易 得 出 数 列 4 为 等 比 数 列 的 错 误 结 论。解 析：易 求 得%=1，%=9。由=l,a+I=得 an=(2 2)故 3 y L I J 3a.+i-a.=ga(N2)得 a,+|=g%(2 2)又=1,或=；故 该 数 列 从 第 二 项 开 始 为 等

36、比 数 列 故 4“=1)n-2(N2)【知 识 点 归 类 点 拔】对 于 数 列 a,与 s”之 间 有 如 下 关 系：an=6(=1)(”2 2)利 用 两 者 之 间 的 关 系 可 以 已 知 s“求 a“。但 注 意 只 有 在 当 为 适 合 a“=s“一,_1（n 2）时 两 者 才 可 以 合 并 否 则 要 写 分 段 函 数 的 形 式。【练 12 已 知 数 列 a“满 足=l,a=4+2a2+3%+(2 2)则 数 列 a“的 通 项 为。1（=1）答 案：（将 条 件 右 端 视 为 数 列 的 前 n-l项 和 利 用 公 式 法 解 答 即 可）an【易 错

37、点 13 利 用 函 数 知 识 求 解 数 列 的 最 大 项 及 前 n项 和 最 大 值 时 易 忽 略 其 定 义 域 限 制 是 正 整 数 集 或 其 子 I集（从 1开 始）例 13、等 差 数 列。,的 首 项 0,前 n项 和 S“，当/W 冽 时，Sm=S,。问 n 为 何 值 时 Sn最 大?【易 错 点 分 析】等 差 数 列 的 前 n 项 和 是 关 于 n 的：次 函 数，可 将 问 题 转 化 为 求 解 关 于 n 的：次 函 数 的 最 大 值，但 易 忘 记 此 二 次 函 数 的 定 义 域 为 正 整 数 集 这 个 限 制 条 件。/、“（一 1）解

38、 析：由 题 意 知 与=/（）=+-d 2 dd=n+l-5 J此 函 数 是 以 n 为 变 量 的 二 次 函 2数，因 为 q 0,当/W 机 时，s,“=故 d 0 即 此 二 次 函 数 开 口 向 下，故 由/（/）=/（，）得 当 X=.2,时 f（x）取 得 最 大 值，但 由 于 N+,故 若/+机 为 偶 数，当”=2 时，S最 大。,I+m+当/+机 为 奇 数 时，当=-时 sn最 大。2 知 识 点 归 类 点 拔】数 列 的 通 项 公 式 及 前 n项 和 公 式 都 可 视 为 定 义 域 为 正 整 数 集 或 其 子 集（从 1开 始）上;I的 函 数，因

39、 此 在 解 题 过 程 中 要 树 立 函 数 思 想 及 观 点 应 用 函 数 知 识 解 决 问 题。特 别 的 等 差 数 列 的 前 n项 和 公|:式 是 关 于 n的：次 函 数 且 没 有 常 数 项，反 之 满 足 形 如$“=。2+6 所 对 应 的 数 列 也 必 然 是 等 差 数 列 的 前:：n项 和。此 时 由 b=4+匕 知 数 列 中 的 点（,&是 同 一 直 线 上，这 也 是 一 个 很 重 要 的 结 论。此 外 形 如:n Jj iI前 n项 和 S“=ca-C 所 对 应 的 数 列 必 为 一 等 比 数 列 的 前 n项 和。【练 13】设

40、4 是 等 差 数 列，S”是 前 n项 和，且 5$8,则 下 列 结 论 错 误 的 是 o A,J a7=0c s9 s5 D、1 和 与 均 为$的 最 大 值。答 案：C（提 示 利 用 二 次 函 数 的 知 识 得 等 差 数 列 前 n项 和 关 于 n的 二 次 函 数 的 对 称 轴 再 结 合 单 调 性 解 答）【易 错 点 14 解 答 数 列 问 题 时 没 有 结 合 等 差、等 比 数 列 的 性 质 解 答 使 解 题 思 维 受 阻 或 解 答 过 程 繁 琐。3例 14、已 知 关 于 的 方 程 12-3尤+。=0 和+的 四 个 根 组 成 首 项 为

41、 一 的 等 差 数 列，求 4a+b 的 值。【思 维 分 析】注 意 到 两 方 程 的 两 根 之 和 相 等 这 个 隐 含 条 件，结 合 等 差 数 列 的 性 质 明 确 等 差 数 列 中 的 项 是 如 何 排 列 的。3解 析：不 妨 设 一 是 方 程 x?3x+a=0 的 根，由 于 两 方 程 的 两 根 之 和 相 等 故 由 等 差 数 列 的 性 质 知 方 程 4-3x+a=0 的 另 根 是 此 等 差 数 列 的 第 四 项，而 方 程 x?3x+b=0 的 两 根 是 等 差 数 列 的 中 间 两 3 5 7 9 27 35 31项，根 据 等 差 数

42、 列 知 识 易 知 此 等 差 数 列 为：一,一 一，一 故 a=力=从 而 a+/?=。4 4,4 4 16 16 8【知 识 点 归 类 点 拔】等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 性 质 是 数 列 知 识 的 一 个 重 要 方 面，有 解 题 中 充 分 运 用 数 列 的 性 质 往 往 起 到 事 半 功 倍 的 效 果。例 如 对 于 等 差 数 列 an,若 n+m=p+q,则 a“+a,“=；对 于 等 比 数 列 an,若+机=+v，则 a“a,”=a“,ar；若 数 列 册 是 等 比 数 列，S“是 其 前 n项 的 和，k e N*,那 么 Sk,S2k-S

43、k,Sik-S2 k成 等 比 数 列；若 数 列%是 等 差 数 列，Sn是 其 前 n项 的 和，k e N*,那 么 S k，S2 k-Sk,S 3 4-S 2 左 成 等 差 数 列 等 性 质 要 熟 练 和 灵 活 应 用。;“.一 n r【练 1 4 已 知 方 程 X 2 2%+团=0和 工 2-2 1+=0 的 四 个 根 组 成 一 个 首 项 为 一 的 等 差 数 列，则 43 1 3m-n()A 1 B、一 C、一 D、一 1 1 4 2 8答 案：c_【易 错 点 15】用 等 比 数 列 求 和 公 式 求 和 时，易 忽 略 公 比 q=1 的 情 况 例 15

44、、数 列%中，4=1,。2=2,数 列。%+是 公 比 为 q(夕 0)的 等 比 数 列。(I)求 使 4+。+%+2”+2。+3成 立 的 4 的 取 值 范 围：(H)求 数 列。的 前 2 项 的 和 2.【易 错 点 分 析】对 于 等 比 数 列 的 前 n 项 和 易 忽 略 公 比 q二 l 的 特 殊 情 况，造 成 概 念 性 错 误。再 者 学 生 没 有 从 定 义 出 发 研 究 条 件 数 列 an+是 公 比 为 q(q 0)的 等 比 数 列 得 到 数 列 奇 数 项 和 偶 数 项 成 等 比 数 列 而 找 不 到 解 题 突 破 口。使 思 维 受 阻。

45、解:(I).数 列%+是 公 比 为 q 的 等 比 数 列，；.%+1%+2=%+n，%+2%+3=%+闻 2,由/”+1+1。“+2 an+2an+3得*%+1+%4+U n 1+q/,即 q2-1 0),解 得 0 q 十.(I I)由 数 列%a“+是 公 比 为 q 的 等 比 数 列，得%+/+2=q n%也.=q,这 表 明 数 列 列“的%+1%所 有 奇 数 项 成 等 比 数 列，所 有 偶 数 项 成 等 比 数 列，且 公 比 都 是 q,又 叫=1，a2=2，；当 时，2+2+3+。4+.一+。2”一 1+。2(6f|+Q2+3+,+)+S 2+6+,+。2)%(i

46、r)电(1一。)一 3(1-6)=-1-=-,当 q=1 时，q l-q _ qS2,=al+a2+a3+a4+1-+a2 n_l+a2 n=(6 Z|+3+)+(2+。4+6+,+)=(l+l+l+l)+(2+2+2+.+2)=3.【知 识 点 归 类 点 拔】本 题 中 拆 成 的 两 个 数 列 都 是 等 比 数 列，其 中 七=4 是 解 题 的 关 键，这 种 给 出 数 列%的 形 式 值 得 关 注。另 外，不 要 以 为 奇 数 项、偶 数 项 都 成 等 比 数 列，且 公 比 相 等，就 是 整 个 数 列 成 等 比 数 列，解 题 时 要 慎 重，写 出 数 列 的

47、前 几 项 进 行 观 察 就 得 出 正 确 结 论.对 等 比 数 列 的 求 和 一 定 要 注 意 其 公 比 为 1这 种;特 殊 情 况。高 考 往 往 就 是 在 这 里 人 为 的 设 计 陷 阱 使 考 生 产 生 对 现 而 不 全 的 错 误。【练 15】设 等 比 数 列 4 的 公 比 为 q,前 n项 和 0(1)求 q的 取 值 范 围。答 案：(-1,0)11(0,+00)【易 错 点 16】在 数 列 求 和 中 对 求 等 差 数 列 与 一 等 比 数 列 的 积 构 成 的 数 列 的 前 项 和 不 会 采 用 错 项 相 减 法 或 解 答 结 果

48、不 到 位。例 16、已 知 数 列%是 等 差 数 列，且 q=2,%+%+%=12(1)求 数 列。“的 通 项 公 式 令=anx(xe R)求 数 列 也 前 项 和 的 公 式。【思 维 分 析】本 题 根 据 条 件 确 定 数 列”,的 通 项 公 式 再 由 数 列 a 的 通 项 公 式 分 析 可 知 数 列 2 是 一 个 等 差 数 列 和 个 等 比 数 列 构 成 的“差 比 数 列”，可 用 错 项 相 减 的 方 法 求 和。解 析：(1)易 求 得 4,=2(2)由 得 b“-2nx令 sn-2x+4x2+6x3+.+2 x(I)则 xsn=2x2+4x3+.

49、+2(-l)x+2 xM(H)用(I)减 去(H)(注 意 错 过 一 位 再 相 减)得 2-x)(l-x),v=2x+2x2+2x3+.+2x-2nx+当 x H 1 s“=-nx,+l 当 1-x 1-xx=1 时=2+4+6+.+2=(+1)综 上 可 得：2当-当 x=l时 s”=2+4+6+,.+2=(+l)1-x 1-x)【知 识 点 归 类 点 拔】般 情 况 下 对 于 数 列 g 有%=其 中 数 列 4 和 2 分 别 为 等 差 数 列 和 等：i i|比 数 列，则 其 前 n项 和 可 通 过 在 原 数 列 的 每 一 项 的 基 础 上 都 乘 上 等 比 数

50、列 的 公 比 再 错 过 一 项 相 减 的 方 法 来|i求 解，实 际 上 课 本 上 等 比 数 列 的 求 和 公 式 就 是 这 种 情 况 的 特 例。_i【练 16】已 知“=a+an b+ab+.+ab+/(e N+,a 0,b 0)当 a=匕 时，求 数 列 a.的 前 n项 和 3(n+-(n+2)tz,+l-a2+2a n(n+3)答 案：a w 时 s“=-当 a=时=-.(1-)2 2【易 错 点 17 不 能 根 据 数 列 的 通 项 的 特 点 寻 找 相 应 的 求 和 方 法，在 应 用 裂 项 求 和 方 法 时 对 裂 项 后 抵 消 项 的 规 律