2016年理科数学考纲专题解读考点题组训练：专题九数列含答案.pdf
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1、第 4部 分 专 题 九 数 列 考 纲 专 题 解 读 考 点 分 布：I 考 点 分 频:I 考 纲 内 容 命 题 趋 势 1.数 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法,5年 19考 工 数 列 的 程 念 和 商 单 表 示 法(1)了 解 数 列 的 此 色 和 几 种 解 的 球 示 方 法(9 图 氧 通 项 公 式)(2)了 策 效 列 是 自 变 为 正 整 敷 的 一 类 的 数 2等 整 数 列、等 比 数 列(1)理 制 等 差 数 刊、等 比 数 列 的 概 念.(2)拿 最 等 整 数 列.号 比 数 列 的 通 项 公 式 与 前 项 和 公 式.(3)能 在
2、具 体 的 同 情 境 中 识 别 数 列 的 等 差 关 系 或 等 比 关 系,并 能 用 有 关 知 识 解 决 相 应 的 心(4)了 解 等 差 数 列 与 一 次 函 数、等 比 数 列 与 百 t函 数 的 关 系.内 容 探 究：1数 列 的 概 念 和 篇 单 表 示 法 在 高 考 中 主 要 考 查 利 用 a 和 S 的 关 系 求 通 项 外,或 者 利 用 递 推 数 列 构 造 等 差 或 等 比 敛 列 求 通 项 a.2.等 差、等 比 数 列 在 高 考 中 主 要 考 查 数 列 的 定 义、通 项 公 式、前”项 和 公 式 及 其 性 质,二 看 常
3、结 合 考 查 3.敷 为 求 和 是 高 考 的 点，特 别 是 错 位 相 减 法 和 裂 项 法 求 和 几 乎 年 年 考 查 4 敷 列 的 第 合 同 常 以 退 推 关 系 为 背 景，考 壹 等 夔、等 比 数 列 的 通 宝 公 式 及 前”项 和 公 式,日 常 与 函 数.不 等 式、解 析 几 何 等 知 识 交 汇 命 题 彩 式 舞 究：基 本 上 还 会 保 持“一 小 一 大”的 格 局,一 小”注 重 等 主、等 比 数 列 性 质 的 简 单 应 用 以 及 基 本 的 求 解，分 值 为 5分；“大”即 解 答 题.以 等 差、等 比 数 列 的 综 合
4、运 算 为 主.年 度 中 等.分 值 1214分.2.等 差 数 列 及 其 前 项 和*,5年 49考 3.等 比 数 列 及 其 前 项 和 T 5年 44考 4.数 列 求 和 r 5年 27考 5.数 列 的 综 合 问 题 及 应 用 5年 29考 考 点 题 组 训 练 数 我 的 概 念 与 简 单 表 示 法*仆 1第 n 步 试 真 题 A 组 新 题 速 递(2015课 标 I,17,12分，中)S”为 数 列 斯 的 前 项 和.已 知 斯 0,%十 2a=4S+3.(1)求 S 的 通 项 公 式；(2)设 儿=一，求 数 列 儿 的 前 项 和.。斯+1解:(1)。
5、解+2an=4s+3,.片+i+2斯+i=4sLi+3.两 式 才 目 篇 M于 c i f i+i c i)i+2(a+Q)4a+1,即 2(即+1+斯)=片+1 一%=(即+1+即)(即+1-an).由 于。0,可 得 an+i-an=2.又 添+2a=4。|+3,角 毕 得=一 1（舍 去），a=3.所 以 斯 是 首 项 为 3,公 差 为 2 的 等 差 数 列，所 以 通 项 公 式 斯=2+1.由 斯=2+1可 知 b=-1-anan*1（2M+1）（2M+3）-A2w+1 2M+3/设 数 列 ba 的 前 n 项 和 为 Tn,则 G=仇+岳+bn3+3)B 组 经 典 回
6、顾 1.（2013辽 宁，4,易）下 面 是 关 于 公 差 办 0 的 等 差 数 列 斯 的 四 个 命 题：pi：数 列%是 递 增 数 列；P2-.数 列 即 是 递 增 数 列；P3：数 列 惜 是 递 增 数 列；P4：数 列 a+3 d 是 递 增 数 列.其 中 的 真 命 题 为（）A.pi，p2 B.pi，P4C.22，P3 D.p,p4【答 案】D 斯 是 等 差 数 列，则&=ai+（-l）d=+m d,因 为 冷 0,所 以 斯 是 递 增 数 列，故 P1正 确；对 P2，举 反 例，令 m=-3,42=-2,d=l,则*2 的 故 叫 不 是 递 增 数 列，P2
7、不 正 确；*=1+七 工，当 一 介。时，愣 递 减，P3不 正 确；a+3nd=4nd+al-d,4d0,aa+3 d 是 递 增 数 列，内 正 确.故 p”P4是 正 确 的，故 选 D.2.（2011江 西，5,易）已 知 数 列 斯 的 前“项 和 S”满 足：S“+S”=S+M，且41=1,那 么。10=()A.1 B.9 C.10 D.55【答 案】A Q10=Si()Sg=(jSSg)Sg S=Cl=l 9 故 选 A.3.(2013湖 南，1 5,难)设 S“为 数 列 斯 的 前“项 和，nG N*,贝 U 的=；(2)5i+52+S o o=.【解 析】(利 用 即 与
8、 S”的 关 系 求 通 项 公 式)(1)由 已 次 口 得 S3=-吩，S&=a1 1 1 3=下 一 叶-1 6-(2)已 知 巳=(-I)”,-/,S+1=斯+1-当 n 为 奇 数 时，Sn-Q-两 式 相 减 得 斯+1=斯+1+an+1.必=一 尹 不 Sn*=-a,当 为 偶 数 时，则 S”_ 4“-2,两 式 相 减 得。+1=-an an+iB 1 1即 a”-2。=+1+2+1 2,C 1-T T(”为 奇 数),综 上，an=敬(为 偶 数)，$+S2+Sioo=(-0-g)4 一 外，两 式 相 减 得。4=。4+。3 一 艺+及，1严 1*1-2+，+1，(.2-
9、&+1 0 0 _ 施)=(2+如+4-+yrnnj=惊+/+券）【答 案】一 七（2）|（2-04.（2012四 川，20,12分,中）已 知 数 列 为 的 前 项 和 为 S”，K a2an=S2+S,对 一 切 正 整 数 n 都 成 立.（1）求 处，色 的 值；（2）设 00,数 列“g嘲 的 前 n 项 和 为 G.当 n 为 何 值 时，7；最 大？并 求 出 G 的 最 大 值.解：（1）取=1,得 念 m=S2+Si=2a+a?,取 胃=2,得”2。1+2。2,由-，得。2（。2-Q1）=。2.若 做=0，由 知 a=0.若。2#0，由 次 口。2-m=1.由 解 得|=也
10、+1,2=2+也 或 a=1-念=2-也.综 上 可 得，a=0,。2=0 或。1=也+1,。2=/+2 或。1=1-也，。2=2-啦.（2）当 0时，由 知。1=也+1,做=也+2.当 22 时，有(2+啦)aa=S2+S”(2+啦)即-i=S2+S“-i，所 以(1+”=(2+”T，即 an=2an-i(n2),所 以 an=处（小 尸=（啦+1）（啦）1令 b=1g 则 b,=-lg（V2）n=1-l）lg2=3 成 兽.所 以 数 列。“是 单 调 递 减 的 等 差 数 列（公 差 为-；lg 2）,从 而 仇 力 2=lgVlg 1=0，当 心 8 时，bnWbg=j 噌 1=2,
11、则 数 列 为 的 通 项 公 式 是4OB yA)-B2A”2(2)(2014安 徽 合 肥 一 模，14)已 知 数 列 斯 满 足 m=l,一=4,an+2+2a=3an+i(N*),则 数 列 斯 的 通 项 公 式 an=.(3)(2015山 东 临 沂 模 拟，11)已 知 数 列 斯 满 足 田=1,即+产 3%+2,则 数 列 斯 的 通 项 公 式 为.【解 析】(1)设 小 8。的 面 积 为&),梯 形 4 A 圈 4+i 的 面 积 为 S,由 比 例 性 质 得 含 J S=3S。，所 以(即+甲 1+3 an+2J=4+3 2、得 到 M M 曲)由 累 乘 法 可
12、 得 2 O|y 1 4 7 3/7-2荷 匕=(曲 言 不 即 而 7 7且 力=4X7XT0XX3M+1=1，则 an=-2.(2)由 an，2+2a-3a+i=0,得 斯+2 一 斯+i=2 a.i-斯)，二 数 列 斯+1 一 为 是 以 做-=3 为 首 项，2 为 公 比 的 等 比 数 列,.,.斯+1-an=3 2 1.2 2 时，an-an-=3-2H 2,，俏 一。2=3,2,恁 一。1=3,将 以 上 各 式 累 加 得 an-a=3,2-2+32+3=3(2/,-1-1),斯=3 2-2(当=1 时,也 满 足).(3)：恁+=3a,j+2,+1+1=3(a+1).?=
13、3,.数 列,+1 是 等 比 数 列，公 比 q=3.斯 十 1又 m+l=2,+1=2 3一，an=2-3 1-1.【答 案】(1加 产 逢 3-2(2)32-12(3)斯=2-3”|_【点 拨】解 题(1)的 关 键 是 根 据 三 角 形 中 的 比 例 性 质 找 出 递 推 公 式，然 后 再 用 累 乘 法 求 斯;解 题(2)的 关 键 是 将 为+2+2an=3a”.1变 形 后 得 出 数 列 恁.|-an是 等 比 数 列，再 利 用 累 加 法 求 解；解 题(3)的 关 键 是 构 造 等 比 数 列.目 何 3 图 已 知 数 列 的 递 推 公 式 求 通 项 公
14、 式 的 常 见 类 型 及 解 法(1)形 如 斯+1=源+9),常 用 累 加 法.即 利 用 恒 等 式 an=ai+(a2ai)+(a3-G2)H-1-(。一 的-1)求 通 项 公 式.(2)形 如 斯+1=劭/()，常 用 累 乘 法，即 利 用 恒 等 式 an=a 瓷 詈.卫-求 通 项 公 式.(3)形 如 知+1=%+(其 中 b,d 为 常 数,bWO,1)的 数 列，常 用 构 造 法.其 基 本 思 路 是：构 造 a”+i+x=b(a+x)(其 中 x=),贝 ij a”+x 是 公 比 为 b 的 等 比 数 列，利 用 它 即 可 求 出 斯.(4)形 如 为
15、q,r是 常 数)的 数 列，将 其 变 形 为 一 匚=；若。=心 贝 是 等 差 数 列，且 公 差 为 3 可 用 公 式 求 通 项；若 p#r，则 采 用(3)的 办 法 来 求.(5)形 如 an+2=pa+l+qa(p,q 是 常 数，且 p+q=l)的 数 歹 U，构 造 等 比 数 列.将 其 变 形 为 斯+2a.+i=(一 力(即+16)，则 为 一 6-|(22,WN*)是 等 比 数 歹!J,且 公 比 为 一 4,可 以 求 得。一。”-1=/()，然 后 用 累 加 法 求 得 通 项.(6)形 如。1+2a2+3。3 H-F即=/()的 式 子，由。1+2672
16、+3。3+即=/()，得 m+2做+3。3+(1)斯-1=/(1)，再 由 一 可 得 a”.题 题 孤 窗(1)(2015山 东 临 沂 模 拟，5)在 数 列 斯 中,句=2,an+x=an+ln(l+J，则 诙 等 于()A.2+ln n B.2+(H l)ln nC.2+wln n D.l+w+ln n(2)(2015山 东 日 照 模 拟，12)设 aa 是 首 项 为 1 的 正 项 数 列，且(+1)“加na+a+i an=O(n l,2,3,)，则 它 的 通 项 公 式 为=.(3)(2015四 川 成 都 月 考，14)已 知 数 列%中，m=l,a”+i=?6”=则 数
17、列 出 的 通 项 公 式 bn=.(1)【答 案】A 由 已 知，斯+i c tn=In,。1=2,所 以 斯 一 a 一 1=ln _ 1(心 2),_/1cin-I 2 I”_ 2ci2-ci=Iny,将 以 上 一 1个 式 子 叠 加，得 an a=h r i+ln一 H-Flnvn-1-2 1(n n-2、-i 2 1J=ln n.所 以 a=2+ln(2 2),经 检 验 n=时 也 适 合.故 选 A.(2)【解 析】因 为(+1)%+a+i,斯-=0,所 以(即+1+%)(+1)%+1-斯=0.又 为 t+an 0,所 以(+1)斯+i-nan=0,g p-=-,an+1所
18、以”a。2。31 2 3 4Q5.-。4。-1n-=-x-x-x-x X-,2 3 4 5 n所 以 即=1.【答 案】1(3)【解 析】由 于 知,1-2=,-2-2=医：2,“1 2 斯 4-所 以=-7=+2,斯+1-2 an 2 an 2即 与 7=44?+2,力?+1+|=416+|).又。1=1,故 仇=-1.a2所 以,”+|：是 首 项 为-；，公 比 为 4 的 等 比 数 列，儿+|=-；*4 11 7b=-X 4 T-j1 o【答 案】一 X 4 T-：考 向 2 由 S”和 a的 关 系 求 通 项 1.斯 与，的 关 系 若 数 列 斯 的 前 项 和 为 则 5 1
19、(=1),SnSn-(2 2).2.已 知 求 即 时 应 注 意 的 问 题(1)应 重 视 分 类 讨 论 思 想 的 应 用，分=1 和 2 2 两 种 情 况 讨 论，特 别 注 意 an=SnSn-i 中 需”22.(2)由 S”-S”=4”推 得 a”，当=1时,也 适 合 a 式，则 需 统 一“合 写”.(3)由 S”-S”-i=a”推 得 斯，当=1 时，幻 不 适 合“即 式”，则 数 列 的 通 项 公 式 应 分 段 表 示(“分 写”)，即 S(7 7=1),an-/Sn-Sn-l(3 2).2 I口 国 团 0 2(1)(2013课 标 I,14)若 数 列 斯 的
20、 前 项 和=铲“+不 则 斯 的 通 项 公 式 是 a=.+2(2)(2012大 纲 全 国，18,12分)已 知 数 歹 H。中，勾=1,前 项 和 S”=y a”.求。2，。3；求 斯 的 通 项 公 式.2 1?1【解 析】(1)由 S=斯+1得，当“2 2 时，5?-1=/一+，两 式 相 减，整 2 1理 得 an=-2an-,又=1 时，Si=4=乎 1+,=1,.二。是 首 项 为 1,公 比 为-2 的 等 比 数 列，故 斯=(-2)一】.4(2)由 S?=铲 2 得 3(.1+。2)=4。2,解 得。2=3。1=3.由 S3=1,(73 得 3(。1+。2+。3)=5。
21、3，解 得 a3=|+。2)=6.由 题 设 知 a=1.+2+1当/2 时，有 c i f i Su Su-1-3 3-1，%+1整 理 得 知=.I.n 一 1于 是 ai=L3。2=产 1，4。3=淤 2，即 1=_ 产-2,“十 1斯=拉 _ 产 7-1.将 以 上 M 个 等 式 两 端 分 别 相 乘，e/d(+1)整 理 何 a,=-2-显 然，当=1 时 也 满 足 上 式.Y I(+1)综 上 可 知，a”的 通 项 公 式 an=-【点 拨】解 题(1)的 关 键 是 由 a=S“-S-构 造 等 比 数 列 求 斯；解 题(2)的 关 键 是 通 过 给 出 的 工 与
22、斯 的 关 系，得 出 处 与 斯 t 之 间 的 关 系，再 利 用 累 乘 法 求 得 an.&出 国 目 已 知 S求 为 的 一 般 步 骤(1)先 利 用。1=$求 出 al；(2)用 M-1 替 换 S”中 的 n 得 到 一 个 新 的 关 系，利 用 品=5-工 一 1(22)便 可 求 出 当“2 2 时 许 的 表 达 式；(3)对=1 时 的 结 果 进 行 检 验，看 是 否 符 合 2 2 时 a”的 表 达 式，如 果 符 合,则 可 以 把 数 列 的 通 项 公 式 合 写；如 果 不 符 合，则 应 该 分=1 与 2 2 两 段 来 写.国 图 加 自(20
23、12广 东，19,14分)设 数 列 斯 的 前 项 和 为 S”，数 列 S J的 前 n 项 和 为 Tn,满 足 豆=2sl 2,“GN*.(1)求 的 值；(2)求 数 列 斯 的 通 项 公 式.解：(1)令=1 时，T,=2Si-1,因 为 7 1=&=。1，所 以 m=2 a i-l,所 以 幻=1.(2)当 2 2 时，=1/,则 Sn=Tn-Tn-=2Sn-rT-2Sn-i-(M _ I)2=2(5,；-S,)-2n+1=2a-2M+1.因 为 当=1时，t?i=Si=1也 满 足 上 式，所 以 S=2a4-2+1(2 1).当”2 2 时，S4-1=2a”-1-2(-1)
24、+1,两 式 相 减 得 a=2an-2an-i-2,所 以 an=2an.+2(22),所 以 an+2=2(a-i+2).因 为 3+2=3W0,所 以 数 列 斯+2 是 以 3 为 首 项，2 为 公 比 的 等 比 数 列.所 以 an+2=3X2所 以 a”=3X 2T-2.当=1时 也 满 足 上 式，所 以 斯=3X 2T-2.考 向 3 数 列 的 单 调 性 及 其 应 用1.数 列 与 函 数 的 关 系 从 函 数 观 点 看，数 列 可 以 看 成 是 以 正 整 数 集 N*或 N*的 有 限 子 集 1,2,3,为 定 义 域 的 函 数 斯=外)，当 自 变 量
25、 按 照 从 小 到 大 的 顺 序 依 次 取 值 时 所 对 应 的 一 列 函 数 值.2.数 列 的 单 调 性(1)递 增 数 列=4+1 斯；(2)递 减 数 列=%+。1。2的。4,aa(ya7,an 1(n N*).数 列 斯 中 的 最 大 项 为 as=2,最 小 项 为.=0.1,、1 2(2)即=1+。+2(-1)=1+1?n 2已 知 对 任 意 的“CN*,都 有 成 立，12结 合 函 数/(X)=1+二 7的 单 调 性，x-.2-a g可 知 5-6,即 一 10-8.历 回 国 囹 判 断 数 列 单 调 性 的 常 用 方 法（1）作 差 比 较 法：诙+
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