2016年数学二真题详细答案.pdf
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1、2016年 数 学 二 真 题 参 考 答 案（成 都 理 工 大 学 季 老 师 考 研 辅 导 许 永 平 提 供）一、选 择 题：（广 8 小 题，每 小 题 4 分，共 32分）（1）设 q=x（cos百-I）/=Vln（l+沃）,4=W U 1，当 X 0+时，以 上 3 个 无 穷 小 量 按 照 从 低 阶 到 高 阶 的 排 序 是（B）（A）（B）4 2，。3，41（C）2,1，3（D）a3,a2,ai解：当 0+时，有=x(cosVx-1)-Xa2-Vx ln(l+Vx)Vx Vx=1 2-X25X6a、=V x+1-1 一 x3 3所 以 从 低 阶 到 高 阶 的 排
2、序 是“2，%，/，f 2(x-l),x 1、(x-l)2,x 1、(x-l)2,x l(B)F(x)=*(D)F(x)=(x-l)2,x l(x-l)2,x 1解：因 为 J/（x）Jx=F（x）+C,且*（x）可 导（当 然 也 连 续），而 当 x l时，有 J2(x-I)dx=(x-1)2+G当 x N l时，有 Jinxdx=x(lnx-1)+C2由 歹（X）在 X=1 处 连 续，所 以 故 有 尸(x)+C=(x 1)2+CpX 1所 以/(x)的 一 个 原 函 数 是 F(x)=(x-l)2,xl(取 G=o)(3)反 常 积 分 d x 的 敛 散 性 为 B)(A)收 敛
3、，收 敛；(B)收 敛，发 散;(C)发 散，收 敛；(D)发 散，发 散。(4)设 函 数/(X)在(一,+8)内 连 续，其 导 函 数 的 图 形 如 图 所 示，则()(A)函 数/(*)有 2 个 极 值 点,(B)函 数/(*)有 2 个 极 值 点,(C)函 数/(X)有 3 个 极 值 点,(D)函 数/(X)有 3个 极 值 点,曲 线)=/(%)有 2 个 拐 点;曲 线 y=/(X)有 3 个 拐 点;曲 线 y=/(x)有 1个 拐 点;曲 线 y=/(x)有 2 个 拐 点;解 由 于/(X)两 个 零 点 左 右 都 异 号，故 极 值 点 有 两 个,又 拐 点
4、是/(X)的 极 值 点，故 拐 点 有 两 个。选(B)。(5)设 函 数(x)(i=l,2)具 有 二 阶 连 续 导 数，且(右)0(，=1,2),若 两 条 曲 线 y=力(*)(，=1,2)在 点(“0，孔)处 具 有 公 切 线 7=且(*),且 在 该 点 处 曲线 y=6（x）的 曲 率 大 于 曲 线 y=/2（x）的 曲 率，则 在 与 的 某 个 邻 域 内，有(A)(A)/)f2(x)g(x);(B)/2(x)/,(x)g(x)(C)fl(x)g(x)f2(x)i(D)f2(x)g(x)f1(x)分 析 与 解 答：因 为 曲 线 y=f（x）（i=l,2）在 点（“0
5、，孔）处 具 有 公 切 线，则/i（xo）=/2（xo）/M o）=/；（/），又 7=/j（x）与 y=，2（x）的 曲 率 分 别 为 k2=一 工 叫,而 r(x0)0(i=l,2),所 以 i 记 G)F i v?x0)2由 田 七 知/i（Xo）（Xo）O，曲 线 是 凹 的。排 除（C）,（D）,记 斤（x）=J（x）-f2（x），则 为）=0,斤（/）=0，且/（/）0,故 尸（X）在 点 x=x0有 极 大 值,即 b(x)(X o)=/i(Xo)-72(Xo)=O，故 F(x)=fx)-f2(x)/)f2(x),故(A)正 确。gx(6)已 知 函 数/(x,y)=-，则(
6、D)(A)/：-/；=0(B)f：+f；=Q-/；=/(D)f：+f；=f解：由/(x,y)=一 得 x-y(x-y)f(x,y)=ex两 边 对 x 与 y 分 别 求 偏 导 数，得 f+(x-y)f=ex,-f+(x-y)/；=0上 面 两 式 相 加 得（x-y）（f+f；）=ex=f+f=-=f%y（7）设 A,B 是 可 逆 矩 阵，且 A 与 B相 似，则 下 列 结 论 错 误 的 是（C）（A）”与 肥 相 似；（B）4 一|与 夕 1相 似；(C)A+A，与 B+B，相 似；(D)4+4-1与 5+3-1相 似。分 析 与 解 答：因 为 A 与 B 相 似，所 以 存 在
7、 可 逆 矩 阵 P,使 得 A=pTj?P从 而 得 AT=(P lBP)r=PTBT(1;(B)a-2;(C)-2 a 4=a+2,3=a l由 于 二 次 型 的 正 负 惯 性 指 数 分 别 为 1,2,所 以 a+2 0,a-l 0 从 而 知-2 o 1.二、填 空 题：914小 题，每 小 题 4 分，共 2 4 分，请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位置 上.y-3(9)曲 线 y=-7+arctan(l+x2)的 斜 渐 近 线 方 程 为 1+xX3 2-2+arctan(l+x)解:a=lim-=lim 1+x-X 8%X T 8%l i m-1 8 1+Xa
8、rctan(l+x2)F lim-=1+0=1X 8b=Iim(/(x)-ax)=limx 8 X*X(x3 Ai-+arctan(l+x2)-x,11+X y=limX T 8-x1+x22 I 几+-arctan(l+x)I=y所 以 渐 近 线 为 y=x+-22 n(10)极 限 lim(s in 1+2sin4-Fnsin=s in l-cosln n解：由 1=H m s i n=lim，s i n=f x sinxdxT8 普 n T8 普 n J o=-xJ cos x=-x c o sx|(+cos xdx=sin 1-cos 1(1 1)以 y=*2 一/和 y=*2为 特
9、 解 的 一 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 为 解：令 微 分 方 程 为 yf+p(x)y=q(x),则 2x+p(x)x2=q(x)i/、2,=(x)=(x)=2 x-x2x ex+p(x)(x2-ex)=q(x)=/-j=2 x-x2(12)已 知 函 数/(%)在(-8,+oo)上 连 续，且/(X)=(X+1)2+2)力,则 当 N 2时，/()(0)=_ 2，5解：由 于/(x)=2(x+l)+2/(x),且/(0)=1,/(0)=4,所 以 f x)=2(x+1)+2 f(x)n f x)=2+2 x+1)+22/(x)=r(x)=22+22(2(X+1)+2/(X)=
10、22+23(X+1)+23/(X)=/(4)(x)=23+23f x)=23+24(x+1)+24/(x)=/叫 x)=2T+2(*+1)+2 f(x)=/(n)(0)=2T+2n+2=2T 5(13)已 知 动 点 P 在 曲 线 1y=/上 运 动，记 坐 标 原 点 与 点 p 间 的 距 离 为 若 点 P 的 横 坐 标 时 间 的 变 化 率 为 常 数%,则 当 点 P 运 动 到 点(1,1)时，对 时 间 的 变 化 率 是 2万 0解：令 尸(x(，),y),则=又 1=1/+丫 2,则 dl _ x(t)x t)+dt J*2+y2)又 因 为，)=1,7(，)=3，)/
11、(，)=3，所 以，a-1-n ri(14)设 矩 阵 一 1 a、T T一 1 与 00、1 等 价，则 4=由 A 与 B 等 价，可 得 1 0 1(1R(A)=R(3),因 为 3=0-1 1-0-10 1J 1 0 00、1，所 以 R(3)=20,=(A)=2=1 A 1=0=a=2或 a=1,当 a=-1 时，R(A)=1,这 与(A)=2 矛 盾，故 4=2。三、解 答 题：152 3 小 题，共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.解 答 应写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.1(1 5)(本 题 满 分 10 分)求
12、极 限 liq(co s2 x+2xsinx)*4解：令 y=(cos2x+2 x sin x)，则 Iny=-y ln(co s2 x+2xsin x)lim In v=lim A-In(cos 2x+2x sin x)x-0 x-M)x=lim i n(1+cos 2x+2 x s in x-l)=lim cs2*+2：s i n*-l*r 0 x x-0 xcos2x+2 x s m x-llim-so 11 一%*生+2人 一 吗+0(/)i=l i m _ 一 _x X4+o(x4)1 1lim-3-=n lim(cos 2*+2x sin x)/=&1 0 X 3 X T。/(1
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