2017年高考数学真题导数专题.pdf

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1、2017年 高 考 真 题 导 数 专 题 解 答 题(共 12小 题)1.已 知 函 数 f(x)=ae24-(a-2)e(1)讨 论 f(x)的 单 调 性；(2)若 f(x)有 两 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.2.已 知 函 数 f(x)=ax2-ax-xlnx,且 f(x)0.(1)求 a；(2)证 明：f(x)存 在 唯 一 的 极 大 值 点 xo,且 e 2f(谥)0,求 a 的 值；(2)设 m 为 整 数，且 对 干 任 意 正 整 数 n.(1+4(1+=)-(1+)0,beR)有 极 值，且 导 函 数 f(x)的 极 值 点 是 f(x)的 零 点.(极 值

2、 点 是 指 函 数 取 极 值 时 对 应 的 自 变 量 的 值)(1)求 b 关 于 a 的 函 数 关 系 式，并 写 出 定 义 域；(2)证 明：b S 3 a；(3)若 f(x),f x)这 两 个 函 数 的 所 有 极 值 之 和 不 小 于-求 a 的 取 值 范 围.2 x5.设 函 数 f(x)=(1-x)e.(1)讨 论 f(x)的 单 调 性；(2)当 x、0 时，f(x)ax+1,求 a 的 取 值 范 围.6.已 知 函 数 f(x)=(x-岳 五)e*(x2.(1)求 f(x)的 导 函 数；(2)求 f(x)在 区 间 1+oo)上 的 取 值 范 围.7,

3、已 知 函 数 f(x)=x+2cosx,g(x)=e cosx-sinx+2x-2),其 中 e处 2.17828 是 自 然 对 数 的 底 数.(I)求 曲 线 y=f(x)在 点(灭，f(兀)处 的 鸡 历 程(II)令 h(x)=g(x)-af(x)(aeR),讨 论 h(x)的 单 调 性 并 判 断 有 无 极 第 1 页(共 1 7页)值，有 极 值 时 求 出 极 值.8,已 知 函 数 f(x)=e cosx-x.(1)求 曲 线 y=f(x)在 点(0,f(0)处 的 切 线 方 程；(2)求 函 数 f(x)在 区 间 0,上 的 最 大 值 和 最 小 值.9.设 a

4、 e 乙 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x)=2 x为 x 3x?6 x+a在 区 间(1,2)内 有 一 个 零 点 xo,g(x)为 f(x)的 导 函 数.(I)求 g(x)的 单 调 区 间；(I I)设 m w 1,xo)U(xo,2,函 数 h(x)=g(x)(m-xo)-f(m),求 证：h(m)h(xo)0；(I I I)求 证：存 在 大 于 0 的 常 数 A,使 得 对 于 任 意 的 正 整 数 p,q,且 R G 1,X O)qU(刈，2,满 足 I E-X o|a Aq410.已 知 函 数 f(x)=ic 3-la x2,a e R,3 2 当 a=

5、2时，求 曲 线 y=f(x)在 点(3,f(3)处 的 切 线 方 程；(2)设 函 数 g(x)=f(x)+(x-a)cosx-s in x,讨 论 g(x)的 单 调 性 并 判 断 有 无 极 值，有 极 值 时 求 出 极 值.11.设 a,b e R,|a|0,求 a 的 取 值 范 围.第 2 页(共 1 7页)2 0 1 7年 高 考 真 题 导 数 专 题 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一.解 答 题(共 12小 题)1.(2017?新 课 标 I)已 知 函 数 f(x)=ae号(a-2)ex-x.(1)讨 论 f(x)的 单 调 性；(2)若 f(x)有 两 个 零

6、 点，求 a 的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)由 f(x)=ae+x(a-2)e-k 求 导 f，(x)=2ae+(a-2)e-1.当 a=0时，f(x)=-2 ex-10 时，f(x)=(2ex+1)(aex-1)=2a(ex+-1_),2 a令 f(x)=0,解 得：x=ln 1ra当 f(X)0,解 得：xln 1,a当 f(X)0,解 得：xln,a.,.xe(-8,|n l)时，f(x)单 调 递 减，xe(In 1+oo)单 调 递 增；a a当 a0 时，f(x)=2a(ex+-.(ex-1)0,恒 成 立，.当 xeR,f(x)单 调 递 减，综 上 可 知：当 a 0

7、时，f(x)在(-8,in 4 是 减 函 数，在(I n 工+8)是 增 函 数；a a(2)若 aWO时，由(1)可 知：f(x)最 多 有 一 个 零 点,当 a 0 时，f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,O y y当 x-8 时，e-0,e 0,.,.当 X-8 时，f(x)+8,当 x-8,e2x-+,且 远 远 大 于 e 和 x,当 X-8,f(x)-4-00,函 数 有 两 个 零 点，f(X)的 最 小 值 小 于 0 即 可,笫 3 页(共 1 7页)由 f(x)在(-8,In J 是 减 函 数，在(I n 工，+OO)是 增 函 数，a af(x)min=f(In

8、 3=ax(-A_)+(a-2)x-In 0,a a2 a a/.1-1-l n l 0,a a a a设 t=L 则 g(t)=lnt+t-1,(t 0),a求 导 g(t)=X-1,由 g(1)=0,解 得：0 a 1,a a 的 取 值 范 围(0,1).方 法 二：(1)由 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,求 导 f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1,当 a=0 时,f(x)=2ex-1 0 时，f(x)=(2ex+1)(aex-1)=2a(ex+)V-1),令 f(x)=0,解 得：x=-Ina,当 f(x)0,解 得：x-Ina,当 f(x)0,解 得：x-Ina,A

9、x e(-oo,-|n a)时，f(x)单 调 递 减，x e(-Ina,+)单 调 递 增；当 a 0 时，f(x)=2a(ex+4(ex-1)0 时，f(x)在(-8,-I n a)是 减 函 数，在(-Ina,+oo)是 增 函 数；(2)若 aW O时，由(1)可 知：f(x)最 多 有 一 个 零 点，当 a 0 时，由(1)可 知：当 x=-ln a时，f(x)取 得 最 小 值，f(x)min=f(-Ina)=1-In-,a a当 a=1,时，f(-Ina)=0,故 f(x)只 有 一 个 零 点，当 aw(1,+8)时，由 1-1-In 0,即 f(-Ina)0,a a故 f(

10、x)没 有 零 点，当 aw(0,1)时，1-In 0,f(-Ina)0,a a第 4 页（共 17页）-4-9-9由 f(-2)=ae*(a-2)e+2-2e+20,故 f(x)在(-8,-I n a)有 一 个 零 点，假 设 存 在 正 整 数 n o,满 足 noln(1-1),则 f(no)=eno(aeno+a-2)-noa eno 2n-noO,-no3.由 In(a-1)-Ina,因 此 在(-Ina,+o o)有 一 个 零 点.a的 取 值 范 围(0,1).2.(2017?新 课 标 H)已 知 函 数 f(x)=ax2-ax-x ln x,且 f(x)0.(1)求 a；

11、(2)证 明：f(x)存 在 唯 一 的 极 大 值 点 x o,且 e 乜(谥)0),1则 f(x)2 0 等 价 于 h(x)=a x-a-ln x 0,求 导 可 知 h(x)=a-x.则 当 aWO时 h(x)1 时 1 h(xo)0.因 为 当 0 x a 时 h(x)引 寸 h(x)0,工 所 以 h(X)min=h(%又 因 4 h(1)=a-a-ln 1=0,所 以 a=1,解 得 a=1；(2)证 明：由(1)可 知 f(x)=x2-x-xlnx,f(x)=2x-2-Inx,】令 f(x)=0,可 得 2x-2-ln x=O,记 t(x)=2x-2-I n x,则 t(x)=

12、2-x,1令 t(x)=0,解 得：x=2所 以 t(x)在 区 间(0,2)上 单 调 递 减，在(2,+8)上 单 调 递 增，工 所 以 t(x)min=t(2)=ln2-1 0,从 而 t(x)=0 有 解，即 f(x)=0 存 在 两 根 X 0,X 2,且 不 妨 设(X)在(0,X o)上 为 正、在(X o,X2)上 为 负、在(X 2,+O O)上 为 笫 5 页（共 1 7页）正，所 以 f(X)必 存 在 唯 一 极 大 值 点 X o,且 2xo-2-lnxo=O,所 以 f(R)=-xo-x)lnxo=X o2-xo+2xo-2 X2=xo-X r i2,由 Xo2

13、可 知 f(X o)(X o-jtc?)m ax=r-+-=-；2 0 22 2 4由 f()0 可 知 Xo f(J=y；e J综 上 所 述，f(X)存 在 唯 一 的 极 大 值 点 X o,且 e 2 f(x5 0,求 a 的 值；(2)设 m 为 整 数，且 对 于 任 意 正 整 数 n.(1+4(1+)-(1+)0,所 以 f(x)=1-且 f(1)=o.X X所 以 当 a w o 时 f(x)0 恒 成 立，此 时 y=f(x)在(0,+-)上 单 调 递 增，这 与 f(x)2 0 矛 盾；当 a 0 时 令 f(x)=0,解 得 x=a,所 以 y=f(x)在(0,a)上

14、 单 调 递 减，在(a,+-)上 单 调 递 增，即 f(x)min=f(a),又 因 为 f(X)min=f(a)NO,所 以 a=1；(2)由(1)可 知 当 a=1 时 f(x)=x-1-In x O,即 InxWx-1,所 以 In(x+1)W x当 且 仅 当 x=0时 取 等 号，所 以 In(1+)-V-keN*.2k 2k一 方 面，In(1+J+ln(1+3)+-+ln(1+-K Z-+-+-=1-1,2 22 2n 2 22 2n 2n第 6 页(共 17贝)即(1+J_)(1+A.)-(1+J L)(1+1)(1+4 r)(1+4 r)=-2;2 22 2n 2 22

15、23 64从 而 当 n 2 3 时，(1+i(1+4 r)-(1+)三(2,e),2 22 2n因 为 m 为 整 数，且 对 于 任 意 正 整 数 n,(1+4 d+4 r)(1+工)x+1(a0,b e R)有 极 值，且 导 函 数 f x)的 极 值 点 是 f(x)的 零 点.(极 值 点 是 指 函 数 取 极 值 时 对 应 的 自 变 量 的 值)(1)求 b 关 于 a 的 函 数 关 系 式，并 写 出 定 义 域；(2)证 明：b2 3 a；(3)若 f(x),V x)这 两 个 函 数 的 所 有 极 值 之 和 不 小 于-1,求 a 的 取 值 范 围.2Q O

16、【解 答】(1)解：因 为 f(X)=x+ax+bx+1,所 以 g(x)=f(x)=3x2+2ax+b,g(x)=6x+2a,令 g(x)=0,解 得 x=-y由 于 当 x-号 时 g(x)0,g(x)=(x)单 调 递 增；当 x-晟 时 g(x)即-要+1=0,所 以 w3+a(a0).因 为 f(x)=x+ax+bx+1(a0,b e R)有 极 值,所 以 f(x)=3x2+2ax+b=0 的 实 棍 2 a2 99 2所 以 4a-焰 在 0,即 a-2a2 2所 以 b=9+a(a 2 3).3+a 2 0,解 得 a 2 3,(2)证 明：由(1)可 知 h4 a4 5a 9

17、(a)=b-3a=3 1-3+a2=8 1 a2(4a3-27)3(a第 7 页(共 17贝)-27),由 于 a 3,所 以 h(a)0,即 b23a；2 解：由(1)可 知 f(X)的 极 小 值 为 f(-A)=b-3 3设 X1,X2是 y=f(x)的 两 个 极 值 点，则 X1+X2=今，X1X2=,所 以 f(Xi)+f(X2)=xj+x+a(X1 2+X22)+b(X1+X2)+22 2=(X1+X2)(X1+X2)-3X1X2+a(X1+X2)-2X1 X2+b(X1+X2)+24a0 2ab 1O 丁 2,又 因 为 f(x),f(x)这 两 个 函 数 的 所 有 极 值

18、 之 和 不 小 于-工，2而 i、i h a：,4a3 2ab,9 3 a2 7所 以 b 一 丁 F 一+2 7 一 万 了 因 为 a 3,所 以 2a3-63a-54W0,2所 以 2a(a-36)+9(a-6)0,所 以(a-6)(2a2+12a+9)3 时 2a+12a+90,所 以 a-6 W 0,解 得 a 6,所 以 a 的 取 值 范 围 是(3,6,5.(2017?新 课 标 H)设 函 数 f(x)=(1-x)2e.x(1)讨 论 f(x)的 单 调 性；(2)当 x、0 时，f(x)-1+我 时(x)0,当-1 正 0,所 以 f(x)在(-8,-1-V2),(-1+

19、近,+8)上 单 调 递 减，在(-1-V2,-1+V2)上 单 调 递 增；(2)由 题 可 知 f(x)=(1-x)(1+x)e.咋 面 对 a 的 范 围 进 行 讨 论：第 8 页(共 1 7页)当 a21 时，设 函 数 h(x)=(1-x)ex,则 h(x)=-x ex 0),因 此 h(x)在 0,+8)上 单 调 递 减，又 因 为 h(0)=1,所 以 h(x)1,所 以 f(x)=(1-x)h(x)x+K a x+1；当 0 a 0(x0),所 以 g(x)在 0,+8)上 单 调 递 增，又 g(0)=1-0-1=0,所 以 e、2x+1.因 为 当 0 x(1-x)(1

20、+x)2,所 以(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取 1-w(o,1),则(1-xo)(1+xo)-axo-1=0,所 以 f(刈)axo+1,矛 盾；当 aWO 时，取 xo=与 L 仁(0,1),则 f(xo)(1-xo)(1+xo)=1axo+1,矛 盾；综 上 所 述，a 的 取 值 范 围 是 1,+oo).6.(2017?浙 江)已 知 函 数 f(x)=(x-V 2 x-1)e*(1)求 f(x)的 导 函 数;(2)求 f(x)在 区 间+o o)上 的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)函 数 f(X)=(X-V 2X-1)e”导 数 f(x)=(1

21、-2 v 2 x-l?2)e x-(x-V 2 x-1)eX=x+爵)屋=(1-x)(1册(2)由 f(x)的 导 数(x)e-X,可 得 f(x)=0时，x=1或 W当 工 x 1 时，fz(x)0,2f(x)递 减；当 1 x 0,f(x)递 增;第 9 页(共 17页)当 x|时，f(x)0._5_由 f(I)=2 s-5,f=0,f(3=上-2,2 2 2 2即 有 f(X)的 最 大 值 为 4e-5，最 小 值 为 f=0.则 f（X）在 区 间 1,+OO）上 的 取 值 范 围 是 0,l e 2.7.(2017?山 东)己 知 函 数 f(x)=x-tcosx,g(x)=e(

22、cosx-sinx+2x-2),其 中 e福 2.17828是 自 然 对 数 的 底 数.(I)求 曲 线 y=f(x)在 点(兀，f(J i)妞 战 线 猥(口)令 h(x)=g(x)-a f(x)(a e R),讨 论 h(x)的 单 调 性 并 判 断 有 无 极 值，有 极 值 时 求 出 极 值.【解 答】解 解 D f(乃)=-2.f(x)=2x-2sinx,：A(L)=2.2.曲 线 y=f(x)在 点(兀，f(JT)处 眺 峻 方 程 为：y-(JI-2)=2兀(x-Jr),o化 为:2 n x-y-n-2=0.(II)h(x)=g(x)-a f(x)=e X(cosx-si

23、nx+2x-2)-a(x+cosx)h(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+e x(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)=2(x-sinx)(e-a)=2(x-sinx)(e-xe)lna令 u(x)=x-s in x,则 u(x)=1-cosx，0,.,.函 数 u(x)在 R 上 单 调 递 增.*/u(0)=0,x 0 时，u(x)0；x 0 时，u(x)0,.x。时，h(x)0,函 数 h(x)在(0,+oo)单 调 递 增；x 0 时，h(x)0 时，令 h(x)=2(x-sinx)(e-e)ln=0.解 得 xi=lna,X2=0.第 1 0页（共 17页）0

24、 a 1 时，x e(-8,I n a)时，ex-elna 0,函 数 h(x)单 调 递 增；x e(Ina,0)时，e x-e ln!0,h R 0,函 数 h(x)单 调 递 增.当 x=0时，函 数 h(x)取 得 极 小 值，h(0)=-2 a-1.2当 x=lna 时,函 数 h(x)取 得 极 大 值，h(Ina)=-a In a-2lna+sin(Ina)+cos(Ina)+2.当 a=1时，lna=0,x e R 时，h(x)NO,.函 数 h(x)在 R上 单 调 递 增.1 0,x e(-8,o)时，ex-elna 0,函 数 h(x)单 调 递 增；x e(0,I n

25、a)时 e x-e ln 0,h X)0,h R)0,函 数 h(x)单 调 递 增.当 x=0时，函 数 h(x)取 得 极 大 值，h(0)=-2 a-1.p当 x=lna 时,函 数 h(x)取 得 极 小 值,h(Ina)=-aln a-2lna+sin(Ina)+cos(Ina)+2.综 上 所 述：aW O时，函 数 h(x)在(0,+8)单 调 递 增；x 0 时，函 数 h(x)在(-8,0)单 调 递 减.x=0时，函 数 h(x)取 得 极 小 值，h(0)=-1-2a.0 a 1 时，函 数 h(x)在(-8,o),(Ina,+)上 单 调 递 增；函 数 h(x)在(0

26、,In a)上 单 调 递 减.当 x=0时，函 数 h(x)取 得 极 大 值，h(0)=-2 a-1.当 x=lna2时，函 数 h(x)取 得 极 小 值，h(Ina)=-a In a-2lna+sin(Ina)+cos(Ina)+2.8.(2017?北 京)已 知 函 数 f(x)=e cosx-x(1)求 曲 线 y=f(x)在 点(0,f(0)处 的 切 线 方 程；JT(2)求 函 数 f(x)在 区 间 0,号 上 的 最 大 值 和 最 小 值.第 1 1页（共 1 7页）【解 答】解：(1)函 数 f(X)=excosx-x 的 导 数 为 f(x)=ex(cosx-sin

27、x)-1,可 得 曲 线 y=f(x)在 点(0,f(0)处 的 切 线 斜 率 为 k=e(cosO-sinO)-1=0,切 点 为(0,ecos0-0),即 为(0,1),曲 线 y=f(x)在 点(0,f(0)处 的 切 线 方 程 为 y=1；(2)函 数 f(x)=ecosx-x 的 导 数 为 f(x)=ex(cosx-sinx)-1,令 g(x)=ex(cosx-sinx)-1,X X则 g(x)的 导 数 为 g(x)=e(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2e?smx,当 X G 0,2 L,可 得 g(x)=-2e?sinxW0,2即 有 g(X)在 0,2 L

28、递 减，可 得 g(x)g(0)=0,2则 f(x)在 0,工 递 减 2即 有 函 数 f(x)在 区 间 0,上 的 最 大 值 为 f(0)=e cosO-0=1；J T最 小 值 为 f()=e TCo s 2 L _ 2 L=-2 L.2 2 2 29.(2017?天 津)设 a e 乙 已 知 定 义 在 R上 的 函 数 f(x)=2 x+8-33x/6 x+a在 区 间(1,2)内 有 一 个 零 点 xo,g(x)为 f(x)的 导 函 数.(I)求 g(x)的 单 调 区 间；(I I)设 m e 1,xo)U(xo,2,函 数 h(x)=g(x)(m-xo)-f(m),求

29、 正 h(m)h(xo)0；(I I I)求 证：存 在 大 于 0 的 常 数 A,使 得 对 于 任 意 的 正 整 数 p,q,且 E e 1,x0)qU(刈，2,满 足 I-X o|2 七.q Aq【解 答】(I)解：由 f(x)=2X4+3X3-3x2-6 x+a,可 得 g(x)=f(x)=8x3+9x2-6x-6,进 而 可 得 g(x)=2 4 x+1 8 x-6,令 g(x)=0,解 得 x=-1,或 x=m当 x 变 化 时，g(x),g(x)的 变 化 情 况 如 下 表：X(-,-1)(-1,小+8）第 12页（共 17页）所 以，g(x)的 单 调 递 增 区 间 是

30、(-8,-1),(,8),单 调 递 减 区 间 是(-g(x)+-+g(x)/(II)证 明：由 h(x)=g(刈(m-xo)-f(m),得 h(m)=g(m)(m-xo)-f(m),h(xo)=g(xo)(m-xb)-f(m).令 函 数 Hi(x)=g(x)(x-xo)-f(x),则 H 1(x)=g(x)(x-xo).由(I)知，当 X G 1,2 时，g(x)0,故 当 xe 1,xo)时，H 1(x)0,Hl(x)单 调 递 增.因 此，当 x e 1,xo)U(xo,2 时，Hi(x)Hi(xo)=-f(xo)=0,可 得 Hi(m)0 即 h(m)0,令 函 数 H2(x)=g

31、(xo)(x-xo)-f(x),则 H 2(X)=g(x0)-g(x).由(I)知，g(x)在 1,2 上 单 调 递 增,故 当 xe 1,xo)时，H 2(x)0,H2(x)单 调 递 增；当 xe(xo,2 时，H12(x)H2(XO)=0,可 得 得 H2(m)0 即 h(xo)0,.所 以，h(m)h(xo)0.(HI)对 于 任 意 的 正 整 数 p,q,且 口，x0)U(Xo，2,令 m=R,函 数 h(x)=g(x)(m-xo)-f(m).q由(H)知，当 m e 1,xo)时，h(x)在 区 间(m,x0)内 有 零 点；当 m e(xo,2 时，h(x)在 区 间(xo,

32、m)内 有 零 点.所 以 h(x)在(1,2)内 至 少 有 一 个 零 点，不 妨 设 为 xi,则 h(xi)=g(xi)(史 q-刈)-f()=0.q由(I)知 g(x)在 1,2 上 单 调 递 增，故 0g(1)g(xi)lf(q)I _|2P4+3p3q_3P2q2 6pq3+aq4|g q4第 1 3页(共 1 7页)因 为 当 x e 1,2 时，g(x)0,故 f(x)在 1,2 上 单 调 递 增，所 以 f(x)在 区 间 1,2 上 除 xo外 没 有 其 他 的 零 点，而 R。x o,故 f(R)W O.q q又 因 为 p,q,a 均 为 整 数，所 以|2p4

33、+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是 正 整 数，从 而|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|汐.所 以|R-XO|2-J.所 以，只 要 取 A=g(2),就 有|E-x o|2-.q g q Aq410.(2017?山 东)已 知 函 数 f(x)=*,2 a e R,3 2(1)当 a=2时，求 曲 线 y=f(x)在 点(3,f(3)处 的 切 线 方 程：(2)设 函 数 g(x)=f(x)+(x-a)cosx-s in x,讨 论 g(x)的 单 调 性 并 判 断 有 无 极 值，有 极 值 时 求 出 极 值.【解 答】解：(1)当 a=2时，f(x)=A-

34、x2,3：.V(x)=x2-2x,/.k=f(3)=9-6=3,f 义 27-9=0,，曲 线 y=f(x)在 点(3,f(3)处 的 娘 方 程 y=3(x-3),即 3x-y-9=0(2)函 数 g(x)=f(x)+(x-a)cosx-s in x=正-我+(x-a)cosx-sinx,3 2g(x)=(x-a)(x-sinx),令 g(x)=0,解 得 x=a,或 x=0,若 a 0 时，当 x 0 恒 成 立，故 g(x)在(-8,o)上 单 调 递 增，当 x a 时，g(x)0 恒 成 立，故 g(x)在(a,+-)上 单 调 递 增，当 0 x a 时，g(x)0 恒 成 立，故

35、 g(x)在(0,a)上 单 调 递 减，.当 x=a时，函 数 有 极 小 值，极 小 值 为 g(a)=-ya3-sina0当 x=0时，有 极 大 值，极 大 值 为 g(0)=-a,若 a 0 时，g(x)0 恒 成 立，故 g(x)在(-8,0)上 单 调 递 增，当 x 0 恒 成 立，故 g(x)在(-8,a)上 单 调 递 增，第 1 4页(共 1 7页)当 a x 0 时，g(x)0 恒 成 立，故 g(x)在(a,0)上 单 调 递 减，.当 x=a时，函 数 有 极 大 值，极 大 值 为 g(a)=-1 a3-sina6当 x=0时，有 极 小 值，极 小 值 为 g(

36、0)=-a 当 a=0 时，g(x)=x(x+sinx),当 x 0 时，g(x)0 恒 成 立，故 g(x)在(0,+)上 单 调 递 增，当 x 0 时，g(x)0 恒 成 立，故 g(x)在(-8,0)上 单 调 递 增，.g(x)在 R上 单 调 递 增，无 极 值.11.(2017?天 津)设 a,beR,|a|1.已 知 函 数 f(x)=x-酿-5 a(a-4)x+b,g(x)=e f(x).(I)求 f(x)的 单 调 区 间；(口)已 知 函 数 y=g(x)和 丫=6、的 图 象 在 公 共 点(xo,y o)处 有 相 同 的 切 线，(i)求 证：f(x)在 x=xo处

37、 的 导 数 等 于 0；(i i)若 关 于 x 的 不 等 式 g(x)We*在 区 间 x o-1,刈+1 上 恒 成 立，求 b 的 取 值 范 围.【解 答】(I)解：由 f(X)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可 得 f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)(x-(4-a),令 f(x)=0,解 得 x=a,或 x=4-a.由|a|,得 a 4-a.当 x 变 化 时，f(x),f(x)的 变 化 情 况 如 下 表：X(-8,a)(a,4-a)(4-a+oo)f(X)+-+f(X)/A f(x)的 单 调 递 增 区 间 为(-8,a),(4-a,+8),单

38、调 递 减 区 间 为(a,4-a)；g(x0)=eXCD)(i)证 明：g(x)=ex(f(x)+f(x),由 题 意 知,g(x0)=eXf(x0)eX=eX(f(x0)=le x(f(xx 解 得 f,f0)+f/(x0)=e lf(x0)-第 1 5页(共 1 7页).,.f(X)在 x=xo处 的 导 数 等 于 0；(i i)解：.2(x)0,可 得 f(x)1.又(xo)=1,f(xo)=0,故 xo为 f(x)的 极 大 值 点，由(I)知 xo=a.另 一 方 面，由 于 故 a+1 4-a,由(I)知 f(x)在(a-1,a)内 单 调 递 增，在(a,a+1)内 单 调

39、递 减，故 当 xo=a时，f(x)f(a)=1在 a-1,a+1上 恒 成 立，从 而 g(x)0,求 a 的 取 值 范 围.【解 答】解 解 答 f(x)=ex(ex-a)-a2x=e2 x-e a-a2x,.f(x)=Se-ae-a=(2e+a)(e-a),当 a=0时，f(x)0 恒 成 立，/.f(x)在 R上 单 调 递 增，当 a 0 时，2ex+a 0,令 9(x)=0,解 得 x=lna,当 x ln a时，L(x)ln a时，L(x)0,函 数 f(x)单 调 递 增，当 a 0,令 厂(x)=0,解 得 x=ln(-Z),2当 x|)时，f(x)ln(-为 时，f(x)0,函 数 f(x)单 调 递 增，第 1 6页（共 1 7页）综 上 所 述，当 a=0时，f(x)在 R上 单 调 递 增，当 a 0时，f(x)在(-8,in a)上 单 调 递 减，在(Ina,+)上 单 调 递 增，当 a0 恒 成 立，2 当 a 0时，由(1)可 得 f(x)m in=f(Ina)=-a ln a 2 0,InaW 0,，0aW1,q 2 当 a 0,(一 2-2 巴 了 Wa0,3 _综 上 所 述 a 的 取 值 范 围 为-2 1第 1 7页(共 1 7页)