2017-2021年北京高考数学真题分类汇编之数列.pdf

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1、2017-2021年 北 京 高 考 数 学 真 题 分 类 汇 编 之 数 列 一.选 择 题（共 5 小 题）1.（2021北 京）已 知。“是 各 项 为 整 数 的 递 增 数 列，且 G 2 3,若。1+42+。3+斯=100，则 n 的 最 大 值 为（）A.9 B.10 C.11 D.122.（2021 北 京）中 国 共 产 党 党 旗 党 徽 制 作 和 使 用 的 若 干 规 定 指 出，中 国 共 产 党 党 旗 为 旗 面 缀 有 金 黄 色 党 徽 图 案 的 红 旗，通 用 规 格 有 五 种.这 五 种 规 格 党 旗 的 长 41，a2,。3,。4,as（单 位

2、：cm）成 等 差 数 列，对 应 的 宽 为 bi，bi,为，加（单 位：cvn），且 长 与 宽 之 比 都 相 等.已 知 ai=288,05=96,加=192,则 为=（）A.64 B.96 C.128 D.1603.（2020北 京）在 等 差 数 列 斯 中,a i=-9,纺=-L 记 即（=1,2,），则 数 列（）A.有 最 大 项，有 最 小 项 B.有 最 大 项，无 最 小 项 C.无 最 大 项，有 最 小 项 D.无 最 大 项，无 最 小 项 4.（2018北 京）“十 二 平 均 律”是 通 用 的 音 律 体 系，明 代 朱 载 靖 最 早 用 数 学 方 法

3、计 算 出 半 音 比 例，为 这 个 理 论 的 发 展 做 出 了 重 要 贡 献，十 二 平 均 律 将 一 个 纯 八 度 音 程 分 成 十 二 份，依 次 得 到 十 三 个 单 音，从 第 二 个 单 音 起，每 一 个 单 音 的 频 率 与 它 的 前 一 个 单 音 的 频 率 的 比 都 等 于 若 第 一 个 单 音 的 频 率 为 力 则 第 八 个 单 音 的 频 率 为（）A.B.学，C.V P f D.3 P/5.（2018北 京）设 a,b,c,d 是 非 零 实 数,则“,。=儿”是“a,b,c,d 成 等 比 数 列”的（）A.充 分 而 不 必 要 条

4、件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 二.填 空 题（共 3 小 题）6.（2019北 京）设 等 差 数 列“的 前 项 和 为 9,若 2=-3,55=-10,则 3=，品 的 最 小 值 为.7.（2018北 京）设 m 是 等 差 数 列，且“1=3,。2+a5=36,则”的 通 项 公 式 为.8.(2017北 京)若 等 差 数 列 斯 和 等 比 数 列(与 满 足 ai=bx=-1,凶=%=8,则 三.解 答 题(共 7 小 题)9.(2021北 京)设 p 为 实 数.若 无 穷 数 列 如 满 足 如

5、 下 三 个 性 质，则 称 斯 为 加 数 列:ai+p20,且 2+p=0;以-1J),在%中 都 存 在 一 项 斯”使 得=am-,afa J 对 于“”中 任 意 一 项 a“(”23),在 斯 中 都 存 在 两 项 次，卬(%/),使 得 4”=-%(I)若“”=(=1,2,),判 断 数 列 知 是 否 满 足 性 质，说 明 理 由；(II)若 an=2n l(=1,2,)，判 断 数 列%是 否 同 时 满 足 性 质 和 性 质,说 明 理 由；(III)若 即 是 递 增 数 列，且 同 时 满 足 性 质 和 性 质，证 明：斯 为 等 比 数 列.11.(2019北

6、 京)已 知 数 列 斯,从 中 选 取 第 八 项、第 i2项、第 im项(/1/2-).若 a ita iz-a 则 称 新 数 列 ailt a i,a i.为 ah 的 长 度 为 m 的 递 增 子 列.规 定：数 列 蜘 的 任 意 一 项 都 是 念 的 长 度 为 1的 递 增 子 列.(I)写 出 数 列 1,8,3,7,5,6,9 的 一 个 长 度 为 4 的 递 增 子 列；(II)已 知 数 列 斯 的 长 度 为 p 的 递 增 子 列 的 末 项 的 最 小 值 为 a 长 度 为 q 的 递 增 子 列 的 末 项 的 最 小 值 为 a%.若 p V q,求

7、证：a mQa n0；(III)设 无 穷 数 列“”的 各 项 均 为 正 整 数，且 任 意 两 项 均 不 相 等.若 斯 的 长 度 为 s 的 递增 子 列 末 项 的 最 小 值 为 2s-1,且 长 度 为 s末 项 为 2s-1的 递 增 子 列 恰 有 2厂 个（s=l,2,），求 数 列 斯 的 通 项 公 式.12.（2019北 京）设 即 是 等 差 数 列，-10,且“2+10,。3+8,必+6 成 等 比 数 列.（1）求 即 的 通 项 公 式；（2）记 即 的 前 项 和 为 S,”求 S,的 最 小 值.13.（2018北 京）设 斯 是 等 差 数 列,且

8、m=/2,。2+的=5加 2.（I）求 如 的 通 项 公 式；（II）求 e%+e%+e%.14.（2017北 京）设 斯 和 瓦 力 是 两 个 等 差 数 列，记 Cn=wix 加-ai,bi-am,bn-ann（=1,2,3,其 中 相 ac xi，xi,&表 示 x”及，&这 s个 数 中 最 大 的 数.（1）若 斯=,b“=2n-1,求 ci，C2，C3的 值，并 证 明 c“是 等 差 数 列；C（2）证 明：或 者 对 任 意 正 数 M,存 在 正 整 数 机，当，机 时，M；或 者 存 在 正 整 n数 WJ,使 得 Cm，Cm+C,+2，是 等 差 数 列.15.（20

9、17北 京）已 知 等 差 数 列 即 和 等 比 数 列 d 满 足 0=61=1,42+04=10,b2b4=a5.（I）求 如 的 通 项 公 式；（II）求 和：b+bi+b5+b2n-1 2017-2021年 北 京 高 考 数 学 真 题 分 类 汇 编 之 数 列 参 考 答 案 与 试 题 解 析 选 择 题（共 5小 题）1.（2021 北 京）已 知 小 是 各 项 为 整 数 的 递 增 数 列，且 ai23,若 m+a2+a3+斯=100,则 的 最 大 值 为（）A.9 B.10 C.11 D.12【考 点】数 列 的 函 数 特 性.【专 题】方 程 思 想；分 析

10、 法；等 差 数 列 与 等 比 数 列；数 学 运 算.【分 析】数 列 斯 是 递 增 的 整 数 数 列，要 取 最 大，即 递 增 幅 度 尽 可 能 为 小 的 整 数，用 特 殊 值 法 代 入 验 证，即 可 求 解.【解 答】解：数 列 斯 是 递 增 的 整 数 数 列，二 要 取 最 大，递 增 幅 度 尽 可 能 为 小 的 整 数，假 设 递 增 的 幅 度 为 1,Vai=3,Cln=+2，9则 s（3+n+2）n _ 5n+n-n 2 2当=10 时，aio=12,Sio=75,V100-Sio=25aio=12,即 可 继 续 增 大,=10非 最 大 值，当”=

11、12 时，a214,Si2=102,V 100-512=100-1020,不 满 足 题 意，即=11为 最 大 值.故 选：C.【点 评】本 题 考 查 了 数 列 的 知 识，具 有 一 定 的 探 索 性，需 要 找 到 研 究 的 临 界 问 题，属 于 中 档 题.2.（2021北 京）中 国 共 产 党 党 旗 党 徽 制 作 和 使 用 的 若 干 规 定 指 出，中 国 共 产 党 党 旗 为 旗 面 缀 有 金 黄 色 党 徽 图 案 的 红 旗，通 用 规 格 有 五 种.这 五 种 规 格 党 旗 的 长，及，。3,。4,45（单 位：C7H）成 等 差 数 列，对 应

12、的 宽 为 bl,bl,by,方 4,加（单 位：C7K），且 长 与 宽之 比 都 相 等.已 知“1=288,“5=9 6,加=1 9 2,则 用=()A.64 B.96 C.128 D.160【考 点】等 差 数 列 的 通 项 公 式；等 差 数 列 的 性 质.【专 题】转 化 思 想；综 合 法；等 差 数 列 与 等 比 数 列；逻 辑 推 理；数 学 运 算.【分 析】直 接 利 用 数 列 的 等 差 中 项 的 应 用 求 出 结 果.%【解 答】解：斯 和 尻 是 两 个 等 差 数 列,且 一-(1 W Z 5)是 常 值，由 于 切=288,g4/5=96,01+5故

13、 a,=-=1923 2,a3 _ ai _ 288 _ 3由 于 7；=1 7=夜=万 所 以 3=128.a.a.a.b,另 解：,解 得：b.=&4b,b.3 a,1 o 1b b.故：b=-=128.3 2故 选：c.【点 评】本 题 考 查 的 知 识 要 点：数 列 的 等 差 中 项 的 应 用，主 要 考 查 学 生 的 运 算 能 力 和 数 学 思 维 能 力，属 于 基 础 题.3.(2020北 京)在 等 差 数 列 斯 中,a=-9,as=-1.记 6=m a2a”5=1,2,则 数 列()A.有 最 大 项，有 最 小 项 B.有 最 大 项，无 最 小 项 C.无

14、 最 大 项，有 最 小 项 D.无 最 大 项，无 最 小 项【考 点】等 差 数 列 的 通 项 公 式.【专 题】函 数 思 想；综 合 法；等 差 数 列 与 等 比 数 列；数 据 分 析.【分 析】由 已 知 求 出 等 差 数 列 的 通 项 公 式，分 析 可 知 数 列 斯 是 单 调 递 增 数 列，且 前 5项 为 负 值，自 第 6 项 开 始 为 正 值，进 一 步 分 析 得 答 案.【解 答】解：设 等 差 数 列 斯 的 公 差 为 d,由 G=-9,“5=-1,得=a5-ai-1-（-9）o5-1 4二 坳=-9+2（H-1）=2-ll.由 a“=2-11=0

15、,得 而 eN*,2可 知 数 列 以 是 单 调 递 增 数 列，且 前 5 项 为 负 值，自 第 6 项 开 始 为 正 值.可 知 71=-90,73=-3150 为 最 大 项，自 左 起 均 小 于 0,且 逐 渐 减 小.二 数 列 有 最 大 项，无 最 小 项.故 选：B.【点 评】本 题 考 查 等 差 数 列 的 通 项 公 式，考 查 数 列 的 函 数 特 性，考 查 分 析 问 题 与 解 决 问 题 的 能 力，是 中 档 题.4.（2018北 京）“十 二 平 均 律”是 通 用 的 音 律 体 系，明 代 朱 载 埴 最 早 用 数 学 方 法 计 算 出 半

16、 音 比 例，为 这 个 理 论 的 发 展 做 出 了 重 要 贡 献，十 二 平 均 律 将 一 个 纯 八 度 音 程 分 成 十 二 份，依 次 得 到 十 三 个 单 音，从 第 二 个 单 音 起，每 一 个 单 音 的 频 率 与 它 的 前 一 个 单 音 的 频 率 的 比 都 等 于?若 第 一 个 单 音 的 频 率 为 力 则 第 八 个 单 音 的 频 率 为（）A.B.守 C.个 矛 于 D./P?【考 点】等 比 数 列 的 通 项 公 式.【专 题】计 算 题；方 程 思 想；综 合 法；等 差 数 列 与 等 比 数 列.【分 析】利 用 等 比 数 列 的

17、通 项 公 式，转 化 求 解 即 可.【解 答】解：从 第 二 个 单 音 起，每 一 个 单 音 的 频 率 与 它 的 前 一 个 单 音 的 频 率 的 比 都 等 于 若 第 一 个 单 音 的 频 率 为 了,则 第 八 个 单 音 的 频 率 为:Tf-故 选：D.【点 评】本 题 考 查 等 比 数 列 的 通 项 公 式 的 求 法，考 查 计 算 能 力.5.（2018北 京）设 a,b,c,d 是 非 零 实 数，则“一=bc”是“a,h,c,d 成 等 比 数 列”的（）A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件 D

18、.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【考 点】等 比 数 列 的 性 质；充 分 条 件、必 要 条 件、充 要 条 件.【专 题】对 应 思 想；定 义 法；简 易 逻 辑.【分 析】根 据 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 定 义 结 合 等 比 数 列 的 性 质 进 行 判 断 即 可.【解 答】解：若 a,b,c,d 成 等 比 数 列，则 ad=bc,反 之 数 列-1，-1,1,1.满 足-1X1=-1X1,但 数 列-1,-1,1,1不 是 等 比 数 列，即“”=历”是 b,c,4 成 等 比 数 列”的 必 要 不 充 分 条 件.故 选：B.【点 评】本 题 主

19、 要 考 查 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 判 断，结 合 等 比 数 列 的 性 质 是 解 决 本 题 的 关 键.二.填 空 题(共 3 小 题)6.(2019北 京)设 等 差 数 列 诙 的 前“项 和 为 S”,若“2=-3,55=-10,则“5=0,S”的 最 小 值 为-10.【考 点】等 差 数 列 的 通 项 公 式；等 差 数 列 的 前 n 项 和.【专 题】计 算 题；方 程 思 想；定 义 法；等 差 数 列 与 等 比 数 列；逻 辑 推 理.【分 析】利 用 等 差 数 列 斯 的 前 项 和 公 式、通 项 公 式 列 出 方 程 组，能 求 出 a

20、i=-4,d=1,由 此 能 求 出 45的 S,的 最 小 值.【解 答】解：设 等 差 数 列 即 的 前 项 和 为,及=-3,$5=7 0，a.+d=-35X 4 5 a,+-d=-1 02解 得 ai=-4,d,.a5=a+4d=-4+4X 1=0,0 n(n-1)、,n(n-l)1,9.81Sn=n a H-d=-4 7 i+-=-)-,1 2 2 2 2 8二 附=4 或=5时，取 最 小 值 为 S4=S5=-10.故 答 案 为：0,-10.【点 评】本 题 考 查 等 差 数 列 的 第 5 项 的 求 法，考 查 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 最 小 值 的 求

21、 法，考 查 等 差 数 列 的 性 质 等 基 础 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 基 础 题.7.(2018北 京)设 斯 是 等 差 数 列，且 ai=3,“2+45=36,则 的 通 项 公 式 为 斯=6”-3【考 点】等 差 数 列 的 通 项 公 式.【专 题】计 算 题；方 程 思 想；定 义 法；等 差 数 列 与 等 比 数 列.【分 析】利 用 等 差 数 列 通 项 公 式 列 出 方 程 组，求 出 41=3,d=6,由 此 能 求 出 斯 的 通 项 公 式.【解 答】解：而 是 等 差 数 列，且。1=3,“2+。5=36,(a,=3+

22、d+(i+4d=36解 得 ai=3,d=6,ai+(n-1)d3+(n-1)X6=6n-3.，斯 的 通 项 公 式 为-3.故 答 案 为：an=6n-3.【点 评】本 题 考 查 等 差 数 列 的 通 项 公 式 的 求 法，考 查 等 差 数 列 的 性 质 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，考 查 函 数 与 方 程 思 想，是 基 础 题.a28.(2017北 京)若 等 差 数 列 斯 和 等 比 数 列 氏 满 足 0=加=-1,3=%=8,则 二=bn1.【考 点】等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 综 合.【专 题】计 算 题；转 化 思 想；等 差

23、 数 列 与 等 比 数 列.【分 析】利 用 等 差 数 列 求 出 公 差，等 比 数 列 求 出 公 比，然 后 求 解 第 二 项，即 可 得 到 结 果.【解 答】解：等 差 数 列 斯 和 等 比 数 列 为 满 足。1=加=-1,w=b4=8,设 等 差 数 列 的 公 差 为 d,等 比 数 列 的 公 比 为 q.可 得：8=-1+3J,d=3,02=2；8=-q,解 得 q=-2,，厉=2.a,可 得=1.%故 答 案 为：1.【点 评】本 题 考 查 等 差 数 列 以 及 等 比 数 列 的 通 项 公 式 的 应 用，考 查 计 算 能 力.三.解 答 题(共 7 小

24、 题)9.（2021北 京）设 p 为 实 数.若 无 穷 数 列 斯 满 足 如 下 三 个 性 质，则 称 伍“为 沏 数 列：ai+pNO,且 a2+p=0;04-1。1+。2+尸，a+ai+p+,所 以 数 列 斯 不 满 足 性 质.（II）性 质,a B O,图=0;由 性 质 丽+2日 丽，丽+1,因 此。3=。1或。3=。1+1，04=0或 04=1,若 04=0,由 性 质 可 得“3O4，即 410或 ai+l0,矛 盾；若 01=1,43=41+1，由。3 2）不 满 足。2=0,舍 去；2当 ai=O,则”“的 前 四 项 为 0,0,0,1,下 面 用 数 学 归 纳

25、 法 证 明=(i=1，2,3),Q4+4=+l(WN),当=0 时，经 检 验 命 题 成 立；假 设 Wk(Z20)时 命 题 成 立.当 n=k+时，若 1=1,则%(.k+i)+1=a4k+5=Qj+(4A+5-j)，利 用 性 质：勾+W+5-力 CN*,1 0 W 4 攵+4=伏，k+,此 时 可 得 4奴+5=女+1，否 则 4左+5=匕 取 2=0 可 得。5=0，而 由 性 质 可 得。5=。1+。4日 1，2,与“5=0 矛 盾.同 理 可 得，伊 44K6-J/WN*,10W4A+5=匕 Hl,此 时 可 得 4K6=k+l，q+软+8-J|/EN*,204k+6=4+1

26、,攵+2,此 时 可 得 4A+8=女+2,旬+必+7-川 EN*,1 W 产 4%+6=伙+1,又 因 为 a4k+7a4k+8,此 时 可 得 奴+7=攵+1，即 当=%+1时，命 题 成 立.综 上 可 得，5=gxl+l=l；(III)令 bn=Cln+p,由 性 质 可 知，Ym,eN*,b?+=QM+pW a/+p+Q+p,Qw+p+Q“+p+l=bmbn，bm+bn+1,由 于 加=m+p20,岳=42+p=0，84-1=。4-l+p Q4+p=b4，因 此 数 列 尻 为 加 数 列，由(II)可 知，若 V淤 N*,(i=l,2,3),M+i=+l-p；Su-510=411=

27、44x2+3=2-p 2 0，Sg-S10=-410=-44x2+2=-(2-p)20,因 此 p=2,此 时 ai,?m()j),在 斯 中 都 存 在 一 项 a”使 得=4；%2 对 于 斯 中 任 意 一 项 即(23),在.中 都 存 在 两 项 以，ai 使 得-.(I)若 念=(=1,2,),判 断 数 列 是 否 满 足 性 质，说 明 理 由；(H)若 an=2n-(=1,2,)，判 断 数 列 斯 是 否 同 时 满 足 性 质 和 性 质，说 明 理 由；(III)若”是 递 增 数 列，且 同 时 满 足 性 质 和 性 质，证 明：如)为 等 比 数 列.【考 点】等

28、 比 数 列 的 性 质.【专 题】新 定 义；存 在 型；综 合 法；点 列、递 归 数 列 与 数 学 归 纳 法；逻 辑 推 理.2a J 9【分 析】(I)由 _ A _=_ N*,即 可 知 道 不 满 足 性 质.a2 22a.(H)对 于 任 意 的 i和 力 满 足=2 2 山 1=2i-j6N*,必 存 在 加=2i-),可 得 满 足 af2a J性 质；对 于 任 意 的，欲 满 足 诙=2-1=221-1,=2小/即 可，必 存 在 有!一 组 七/使 使 得 它 成 立，故 满 足 性 质.(III)先 用 反 证 法 证 明 数 列 必 然 恒 正 或 恒 负，再

29、用 数 学 归 纳 法 证 明 斯 也 是 等 比 数 列，即 可.2 2a,a a,【解 答】解：(I)不 满 足，理 由：_=_ N*,不 存 在 一 项 丽 使 得=.a2 2 a2(II)数 列 斯 同 时 满 足 性 质 和 性 质，2a.理 由：对 于 任 意 的 i和，满 足=2 2 广 11,因 为 iN*,N*且 _/,所 以 2i-关 N*,*2Q 则 必 存 在，*=万-),此 时，2 k 0 且 满 足=21=如”性 质 成 立，af2a 对 于 任 意 的 n,欲 满 足 an=r-=k-l-x,满 足=2k-I即 可，因 为 始 N*,/CN*,%且&/,)a J所

30、 以 2%-/可 表 示 所 有 正 整 数，所 以 必 有 一 组 k,/使=2k-/,即 满 足 所=,性 质%成 立.(III)首 先，先 证 明 数 列 恒 正 或 恒 负，反 证 法：假 设 这 个 递 增 数 列 先 负 后 正，那 么 必 有 一 项 卬 绝 对 值 最 小 或 者 有 卬 与 ai+i同 时 取 得 绝 对 值 最 小，2%,如 仅 有 一 项 4/绝 对 值 最 小，此 时 必 有 一 项 加=-，此 时 01与 前 提 矛 盾，2a J如 有 两 项 a/与 S+1 同 时 取 得 绝 对 值 最 小 值，那 么 必 有 功”=-0 1+1此 时|。加=|。

31、/|，与 前 提 条 件 矛 盾，所 以 数 列 必 然 恒 正 或 恒 负，在 数 列 恒 正 的 情 况 下，由 知，存 在 列/且 左/,a J因 为 是 递 增 数 列，延 0,使 得 一 一=3 公，%)a2即 所 以=a3,此 时 G，ai,43成 等 比 数 列，al数 学 归 纳 法：(1)已 证=3 时.，满 足 伍”是 等 比 数 列，公 比 9=4,aia 2(2)假 设=k 时，也 满 足 四 是 等 比 数 列，公 比 4=，012a J那 么 由 知 一=q 四 等 于 数 列 的 某 一 项 a,n,证 明 这 一 项 为 ak+即 可，反 证 法：a J假 设

32、这 一 项 不 是 你+1，因 为 是 递 增 数 列，所 以 该 项 加=qakak+l，那 么 akak+iqak，由 等 比 数 列 四 得 aqk ak+aqk,2 2a a由 性 质 得-:amai，s 所 以 所 以 斯”分 别 是 等 比 数 列“中 两 项，即 a,=aiqr,ai=aql x,原 式 变 为 4 M“ai产 所 以 k-l 2 m T-l k,又 因 为 AeN*,?6N*,/GN*,不 存 在 这 组 解，所 以 矛 盾,所 以 知-=/延=诙+1，戢+1 为 等 比 数 列，由 数 学 归 纳 法 知，斯 是 等 比 数 列 得 证，同 理，数 列 恒 负

33、，斯 也 是 等 比 数 列.【点 评】本 题 属 于 新 定 义 题，考 查 等 比 数 列 的 性 质，数 学 归 法 等，考 查 逻 辑 思 维 能 力，属 于 难 题.11.(2019北 京)已 知 数 列 斯,从 中 选 取 第 八 项、第 莅 项、第/项 nZ2-im).若 a it a i2-a 则 称 新 数 列 ait,ait,a 为 斯 的 长 度 为 m 的 递 增 子 列.规 定：数 列 斯 的 任 意 一 项 都 是 a,的 长 度 为 1的 递 增 子 列.(I)写 出 数 列 1,8,3,7,5,6,9 的 一 个 长 度 为 4 的 递 增 子 列；(II)已

34、知 数 列 劭 的 长 度 为 P 的 递 增 子 列 的 末 项 的 最 小 值 为 am。，长 度 为 q 的 递 增 子 列 的 末 项 的 最 小 值 为 a nl 若 p q,求 证：a m0 a*a a 由 可 no ri r2 r-i n得 a V a V a，r,r no数 列 斯 的 长 度 为 P 的 递 增 子 列 末 项 的 最 小 值 为 a，a，a，a，a 是 斯 mo f I r：r,-l T,的 长 度 为 p 的 递 增 子 列，即 可 求 证.(/)考 虑 2s-1与 2s这 一 组 数 在 数 列 中 的 位 置.若 即 中 有 2s,若 2s在 2s-1

35、之 后，则 必 然 在 长 度 为 5+1,且 末 项 为 2s的 递 增 子 列，这 与 长 度 为 S 的 递 增 子 列 末 项 的 最 小 值 为 2s-1矛 盾，可 得 2s必 在 2s-1之 前.继 续 考 虑 末 项 为 2s+l的 长 度 为 s+1的 递 增 子 列.因 此 对 于 数 列 2-1,2，由 于 2n在 2-1 之 前，可 得 研 究 递 增 子 列 时，不 可 同 时 取 2 与 2-1,即 可 得 出：递 增 子 列 最 多 有 2s个.由 题 意，这 s 组 数 列 对 全 部 存 在 于 原 数 列 中，并 且 全 在 2s+l之 前.可 得 2,1,4

36、,3,6,5,.,是 唯 一 构 造.【解 答】解：(/)1,3,5,6.()证 明：设 长 度 为%末 项 为 a 的 递 增 子 列 为 a，a，；a，a，n AT,r n.o i 2 i o由 可 得 ar*9 I n 0,数 列 斯 的 长 度 为 的 递 增 子 列 末 项 的 最 小 值 为 a，mo又 a a*a a 是 斯 的 长 度 为 p 的 递 增 子 列，T I r 2 rc-lT 9a Z a，mo-r,由 此 可 得，Q 1 7 1.V a Fl.0 0(/)解：考 虑 2s-1与 2s这 一 组 数 在 数 列 中 的 位 置.若%中 有 2s,在 2s在 2s-

37、1之 后，则 必 然 在 长 度 为 s+1,且 末 项 为 2s的 递 增 子 列，这 与 长 度 为 s的 递 增 子 列 末 项 的 最 小 值 为 2s-1矛 盾，.2s必 在 25-1之 前.继 续 考 虑 末 项 为 2s+l的 长 度 为 s+1的 递 增 子 列.；对 于 数 列 2-1,2%由 于 2 在 2-1之 前，研 究 递 增 子 列 时，不 可 同 时 取 2n与 2n-1,对 于 1至 2s的 所 有 整 数，研 究 长 度 为 5+1的 递 增 子 列 时，第 1项 是 1与 2 二 选 1,第 2 项 是 3 与 4 二 选 1,.,第 s项 是 2s-1与

38、2s二 选 1,故 递 增 子 列 最 多 有 2 个.由 题 意，这 s组 数 列 对 全 部 存 在 于 原 数 列 中，并 且 全 在 2s+l之 刖.：.2,1,4,3,6,5,.,是 唯 一 构 造.BP a2k=2k-1,aik-2k,依 N”.【点 评】本 题 考 查 了 数 列 递 推 关 系、数 列 的 单 调 性，考 查 了 逻 辑 推 理 能 力、分 析 问 题 与 解 决 问 题 的 能 力，属 于 难 题.12.(2019北 京)设 即 是 等 差 数 列，ai=-10,且 42+10,。3+8,胡+6 成 等 比 数 列.(1)求 斯 的 通 项 公 式；(2)记

39、斯 的 前 项 和 为 S”,求 S”的 最 小 值.【考 点】等 差 数 列 的 性 质；等 差 数 列 的 通 项 公 式；等 差 数 列 的 前 n 项 和；等 比 数 列 的 性 质.【专 题】计 算 题；方 程 思 想；定 义 法；等 差 数 列 与 等 比 数 列；数 学 运 算.【分 析】(I)利 用 等 差 数 列 通 项 公 式 和 等 比 数 列 的 性 质，列 出 方 程 求 出 4=2,由 此 能 求 出 a”的 通 项 公 式.(II)由 m=-10,d=2,求 出 S”的 表 达 式，然 后 转 化 求 解 S 的 最 小 值.【解 答】解:(I)斯 是 等 差 数

40、 列，a-10,且 42+10,43+8,。4+6成 等 比 数 列.(43+8)2=(02+10)(04+6),Z.(-2+2J)2=d(-4+3d),解 得 d=2,.ana+(-1)d-10+2-22n-12.(II)由 ai=-10,d2,得：Sn=-10+n-(-n-xl)2C=层 2-lln=(,-1-1)、22-1-2-1,2 2 4，=5 或=6 时，S”取 最 小 值-30.【点 评】本 题 考 查 数 列 的 通 项 公 式、前 八 项 和 的 最 小 值 的 求 法，考 查 等 差 数 列、等 比 数 列 的 性 质 等 基 础 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算

41、 能 力，属 于 基 础 题.13.(2018北 京)设 斯 是 等 差 数 列，且 0=加 2,】2+。3=5历 2.(I)求 即 的 通 项 公 式；(II)求 e%+e%+e%【考 点】数 列 的 求 和；数 列 与 函 数 的 综 合.【专 题】计 算 题；转 化 思 想；综 合 法；等 差 数 列 与 等 比 数 列.【分 析】(I)求“的 通 项 公 式；(II)化 简 数 列 的 通 项 公 式，利 用 等 比 数 列 求 和 公 式 求 解 即 可.【解 答】解：(I)斯 是 等 差 数 列，且。产 加 2,02+03=5加 2.可 得：2ai+34=5/2,可 得”=/2,念

42、 的 通 项 公 式；an=ai+5-1)d=”的 2,(II)ea.=eM2=2,=笔 少 一 2.【点 评】本 题 考 查 等 差 数 列 以 及 等 比 数 列 的 应 用，数 列 的 通 项 公 式 以 及 数 列 求 和，考 查 计 算 能 力.14.(2017北 京)设 斯 和 氏 是 两 个 等 差 数 列,记 Cn=/wx 加-bi-a m,，bn-ann(=1,2,3,)，其 中 加 以 用，12,，右 表 示 xi,X2,，石 这 s个 数 中 最 大的 数.(1)若 即=，btl=2n-1,求 C1，C2，C3的 值，并 证 明 Cn是 等 差 数 列；C(2)证 明：或

43、 者 对 任 意 正 数 M,存 在 正 整 数 相，当 2 加 时，M；或 者 存 在 正 整 n数 加，使 得 Cm，Cm+1，C/n+2，是 等 差 数 列.【考 点】数 列 的 应 用；等 差 数 列 的 性 质.【专 题】分 类 讨 论；转 化 法；等 差 数 列 与 等 比 数 列.【分 析】(1)分 别 求 得。1=1,。2=2,幻=3,Z?i=l,bz=3,历=5,代 入 即 可 求 得 ci，ci,(?3；由(仇 吸)-(h-na)W 0,则 加 12 4 一 九 以，则 C n=加-必=1-mCn+-Cn=1 对 均 成 立；(2)方 法,：由 bi-ain=b+(z-1)

44、d-a+(z-1)4X=Cb-an)+(z-1)(d2-力 义)，分 类 讨 论 力=0,力 0,力 M,分 类 讨 论，采 用 放 缩 法 即 可 求 得 因 此 对 任 意 正 数 M,nc存 在 正 整 数 加，使 得 当 2 次 时，M；n方 法 二：设 数 列 斯 和 尻 的 通 项 公 式，求 得 Cn，构 造 函 数/(X)=O 1-Q 1 X 和 函 数 g(i)=b o+(d 今 一 Q Q)x d Xf根 据 函 数 性 质，分 类 讨 论 di w o 和 4=0 两 种 情 况，即 可 证 明 Cm，C W 1，为+2是 等 差 数 列.【解 答】解：(1)“1=1,2

45、=2,673=3,b=,加=3,Z?3=5,当=1 时，c=maxh-a=maxQ=Q,当=2 时，C2=maxb-2a,bi-2a2=fnax-1,-1=-L当=3 时;C3=fncixb-3zi，历-3怎，b3-3a3=mcuc-2,-3,-4=-2,下 面 证 明：对 且 2 2,都 有 Cn=l-Wl,当 於 N*,且 2 W A W 时,则(bk-n“k)-(/?i-na),=(2k-1)-nk-1+/?,=-2)-n(2-1),=(k-1)(2-n),由 攵-l 0,且 2-后 0,贝！J(bk-nak)-b-na)W O,贝!J bi-26%-因 止 匕，对 必 2 N*,且 N

46、2,cn=fti-na=-n,Cn+1-Cn=-1，C2 Cl=-1 fACn+1-Cn=-1 对 V废 N*均 成 立,数 列 Cn 是 等 差 数 列；(2)证 明：方 法 一：设 数 列 和 尻 的 公 差 分 别 为 力，必，下 面 考 虑 的 Cn取 值，由 人 1 一 82-。2，bn-ann,考 虑 其 中 任 意 岳-am，(i w N*,且 则 bi-ain=b+(z-1)dz-+(i-1)diX，=(加-am)+(/-1)(J2-d Xn),下 面 分 di=0,力 0,di V O 三 种 情 况 进 行 讨 论，若 Q=0,则 bi-am=(fei-an)+(z-1)(

47、!2,当 若 dzWO,则(bi-cun)-(b-an)=(z-1)dzWO,则 对 于 给 定 的 正 整 数 而 言,cn=b-an9此 时 丁+i-C n=-i,数 列 C“是 等 差 数 列；当 曲 0，(bi-ain)-(加-a n)=(z-n)而 0,则 对 于 给 定 的 正 整 数 而 言，cn=bn-ann=bn-an,此 时 Cn+-Cn=d2-0，.数 列 C“是 等 差 数 列；此 时 取 m=1,则 ci，C2，是 等 差 数 列，命 题 成 立；若 J i 0,则 此 时-din+ch为 一 个 关 于 n 的 一 次 项 系 数 为 负 数 的 一 次 函 数，故

48、 必 存 在 怎 N*,使 得 n m 时，-2V0,则 当 2 加 时，(bi-3 几)(Z?i-an)=(z-1)(-dn+di W O,(正 N*,因 此 当 雇 2 次 时,cn=b an,此 时 c+l-C n=-0，故 数 列 Cn 从 第 m 项 开 始 为 等 差 数 列，命 题 成 立;若 6/1 0，则 当 必 2s 时,(bi-am)-(hn-ann)=Ci-1)(-d1n+d2)近 0,(氾 N*,因 此,当 H三 S时 i C n=bn-b-a n b.(n,n n n止 匕 时=-=-an+-,n nb i d?=-d2+(/i-a1+d2)+-，n令-4i=A0,

49、d-a+di=B,b-diC,c r c下 面 证 明：_=A+B+对 任 意 正 整 数 M,存 在 正 整 数 加，使 得”与?，M,n n nI M-B I若 c o,取/=上-L+1,印 表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数，Ac IM-B I M-B当 n m 时，An+BAm+B=A-!-l-L+1+BA-+B=M,n A A此 时 命 题 成 立；若 C 0,取 M；n综 合 以 上 三 种 情 况，命 题 得 证.方 法 二：不 妨 设 斯=40+”力，b),=bo+nd2其 中 6N,考 虑 Xk=bo+kd2-(ao+kdi)n=(/?()-a o n)+(d2-di

50、n)k,这 关 于 k 的 等 差 数 列，因 此 2c=m a x c.,c=m a x b,-a,n,bn-(dan)n d,nn x n x i u X u 1考 虑 函 数/(X)=历-mx和 函 数 g(i)=bo+(dc_a0)i_d,1 J 分 类 讨 论 如 下:情 形 一：力 W 0,此 时/(x)的 图 象 是 直 线，g(%)的 图 象 是 抛 物 线，无 论 直 线 与 抛 物 线的 位 置 关 系 如 何，必 然 存 在 正 整 数 mo,使 得，maxf(x),g(x)=/(x)或 Vxmo,maxf(x)g(x)=g(x),当 Vx2秋)，maxf(x),g(x)