2021年北京市高考数学考前冲刺试卷及答案解析.pdf

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1、 启 用 前 注 意 保 密 2021年 普 通 高 等 学 校 招 生 北 京 市 统 一 考 试 模 拟 测 试 数 学 本 试 卷 共 5 页，22小 题，满 分 150分。考 试 用 时 120分 钟。注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 市（县、区）、学 校、班 级、姓 名、考 场 号、座 位 号 和 考 生 号 填 写 在 答 题 卡 上。将 条 形 码 横 贴 在 每 张 答 题 卡 右 上 角“条 形 码 粘 贴 处”。2.作 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 2B铅 笔 在 答 题 卡 上 将 对 应 题 目 选 项 的 答 案

2、 信 息 点 涂 黑；如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案。答 案 不 能 答 在 试 卷 上。3.非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 指 定 区 域 内 相 应 位 置 上;如 需 改 动,先 画 掉 原 来 的 答 案,然 后 再 写 上 新 答 案；不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液。不 按 以 上 要 求 作 答 无 效。4.考 生 必 须 保 证 答 题 卡 的 整 洁。考 试 结 束 后，将 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一.选 择 题（共 1

3、0小 题，满 分 40分，每 小 题 4 分）1.（4 分）集 合 A=x|y=J A（2-X）,8=），|），=2,x0,则 4 n B=（）A.0,2J B.（1,2 C.1,2 D.（1,+0）2.（4 分）下 列 函 数 中，在 定 义 域 上 单 调 递 增 且 为 奇 函 数 的 是（）1A./（%）=-B.f（x）=sinxC.f（x）xcosx D.f（x）x+sinx3.（4 分）己 知 热，b不 共 线，且 实 数 x,y 满 足（y-7）b=（3+y）a+（5x+3）b,则 x,y 的 值 分 别 为（）A.1,-I B.-1,1 C.1 1 D.-1,-I4.（4 分）

4、抛 物 线/=1 6 y 的 准 线 方 程 为（）A.y=-4 B.y=-&C.x=-4 D.x=-85.（4 分）“一 骑 红 尘 妃 子 笑，无 人 知 是 荔 枝 来”描 述 了 封 建 统 治 者 的 骄 奢 生 活，同 时 也 讲 述 了 古 代 资 源 流 通 的 不 便 利.如 今 我 国 物 流 行 业 蓬 勃 发 展，极 大 地 促 进 了 社 会 经 济 发 展 和 资 源 整 合.已 知 某 类 果 蔬 的 保 鲜 时 间 y（单 位：小 时）与 储 藏 温 度 x（单 位：）满 足 函 数 关 系=/+，6 为 常 数），若 该 果 蔬 在 6 的 保 鲜 时 间 为

5、 216小 时，在 24 的 保 鲜 时 间 为 8 小 时，且 该 果 蔬 所 需 物 流 时 间 为 3 天，则 物 流 过 程 中 果 蔬 的 储 藏 温 度（假 设 物 流 过 程 中 恒 温）最 高 不 能 超 过（）A.9 B.12 C.18 D.20 第 1 页 共 2 0 页6.（4 分）已 知 a=logo.40.3,Zlogo.70.4,c=O.37,贝!I（）A.cab B.acb C.cba D.bca7.（4 分）在 直 三 棱 柱 A B C-A181C1中，底 面 是 等 腰 直 角 三 角 形，ZACB=90,侧 棱 A 4=3,点。，E 分 别 是 CC1,A

6、1B的 中 点，点 E 在 平 面 48。上 的 射 影 是 4BO的 重 心 G,则 点 4 到 平 面 A3。的 距 离 为（）l r-25/3 厂 A.V6 B.V3 C.-D.V28.（4 分）设 aR,则“a0”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 9.（4 分）已 知 函 数/（x）=Asin（vvx+0,w0,0p）的 部 分 图 象 如 图 所 示.为 了 得 到 函 数/（x）的 图 象，可 以 将 函 数）=遮 瓯 2 的 图 象（）TTB.先 向 左 平 移 二 个 单 位 长

7、 度，再 将 所 得 图 象 的 横 坐 标 伸 长 为 原 来 的 2 倍，纵 坐 标 不 变 C.先 向 左 平 移 g个 单 位 长 度，再 将 所 得 图 象 的 横 坐 标 伸 长 为 原 来 的 2 倍，纵 坐 标 不 变 D.先 向 左 平 移 三 个 单 位 长 度，再 将 所 得 图 象 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 二 纵 坐 标 不 变 3 210.（4 分）如 图，在 公 路 M N 两 侧 分 别 有 4,A2,，47七 个 工 厂，各 工 厂 与 公 路（图 中 粗 线）之 间 有 小 公 路 连 接.现 在 需 要 在 公 路 M N 上 设 置 一 个

8、 车 站，选 择 站 址 的 标 准 是“使 各 工 厂 到 车 站 的 距 离 之 和 越 小 越 好”.则 下 面 结 论 中 正 确 的 是（）车 站 的 位 置 设 在 C 点 好 于 B 点；车 站 的 位 置 设 在 B 点 与 C 点 之 间 公 路 上 任 何 一 点 效 果 一 样；第 2 页 共 2 0 页 车 站 位 置 的 设 置 与 各 段 小 公 路 的 长 度 无 关.二.填 空 题（共 6 小 题，满 分 30分，每 小 题 5 分）11.（5 分）复 数 z满 足 z-i=1+百 1,其 中 i为 虚 数 单 位，则 z 对 应 的 点 位 于 复 平 面 的

9、 第 象 限；|z|=.12.（5 分）已 知 圆/+/=5,则 过 点 尸（2,-1）的 圆 C 的 切 线 方 程 是.13.（5 分）（/+x+y）5的 展 开 式 中，x Y 的 系 数 为 14.（5 分）设 等 差 数 列”的 前 项 和 为 S”若 S9=18,则。3+。5+“7的 值 为.15.（5 分）设 F1,尸 2是 双 曲 线 2=4的 两 个 焦 点，P 是 双 曲 线 上 任 意 一 点，过 Fi作/人 尸 放 平 分 线 的 垂 线，垂 足 为 则 点 M 到 直 线 x+y-3V2=0的 距 离 的 最 大 值 是.16.（5 分）三 棱 锥 P-A2C 的 各

10、 顶 点 都 在 同 一 球 面 上，PC,底 面 ABC,若 PC=AC=1,AB=2,且 NBAC=60,给 出 如 下 命 题：ACB是 直 角 三 角 形；此 球 的 表 面 积 等 于 11K；ACJ_平 面 PBC；三 棱 锥 A-P B C 的 体 积 为 当.其 中 正 确 命 题 的 序 号 为.（写 出 所 有 正 确 结 论 的 序 号）三.解 答 题（共 6 小 题，满 分 64分）17.（12分）已 知 ABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,且 gacosC-csinA=（1）求 A；（2）若 c=2,且 8c 边 上 的 中 线 长 为

11、V5,求 b.18.（12分）如 图，在 四 棱 锥 P-ABC。中，底 面 ABC。是 矩 形，PO_L平 面 ABC。，D ELP C,垂 足 为 E,E F L P B,垂 足 为 F.（1）求 证：P8_L平 面 EFD；第 3 页 共 2 0 页(2)若 尸=C=D 4,求 二 面 角 F-O E-B 的 正 弦 值.19.(1 2分)某 校 兴 趣 小 组 进 行 了 一 项“娱 乐 与 年 龄 关 系”的 调 查，对 15 6 5岁 的 人 群 随 机 抽 取 1000人 的 样 本，进 行 了 一 次“是 否 是 电 影 明 星 追 星 族”调 查，得 到 如 下 各 年 龄

12、段 样 本 人 数 频 率 分 布 直 方 图 和“追 星 族”统 计 表：“追 星 族”统 计 表 组 数 分 组“追 星 族”人 数 占 本 组 频 率 一 15,25)a 0.75二 25,35)200 0.40三 35,45)5 0.1四 45,55)3 b五 55,65 2 0.1(1)求”，的 值.(2)设 从 4 5岁 到 6 5岁 的 人 群 中，随 机 抽 取 2 人，用 样 本 数 据 估 计 总 体，F表 示 其 中“追 星 族”的 人 数，求；分 布 列、期 望 和 方 差.各 年 龄 段 样 本 人 数 频 率 分 布 直 方 图 第 4 页 共 2 0 页20.(1

13、2分)已 知 直 线/：尸 吁 1过 椭 圆 C；各 的 右 焦 点 凡 且 直 线/交 椭 圆 C 于 A,8 两 点，点 A,F,B 在 直 线 八 x=4上 的 射 影 依 次 为 点。，K,E.(1)求 椭 圆 C 的 方 程；(2)若 直 线/交 y轴 于 点 M,且 扇!=%/,M B=X2B F,当 机 变 化 时，探 究 入 1+入 2的 值 是 否 为 定 值？若 是，求 出 入 1+入 2的 值；否 则，说 明 理 由；(3)连 接 AE,B D,试 探 究 当 机 变 化 时，直 线 A E 与 8。是 否 相 交 于 顶 点？若 是，请 求 出 定 点 的 坐 标，并

14、给 予 证 明；否 则，说 明 理 由.21.(16 分)已 知 函 数/(x)=(x+1)(1-1).(1)求/(x)在 点(-1,/(-1)处 的 切 线 方 程；(2)若 aWe-1,证 明：f(x)-2 在 x6l,+)上 恒 成 立；(3)若 方 程/(x)=b 有 两 个 实 数 根 xi,X2,且 xx,则(e S；则 称 集 合 7 为 集 合 S 的“耦 合 集”.(1)若 集 合 SI=1,2,4,求 集 合 Si的“耦 合 集”。；(2)若 集 合 S2 存 在 耦 合 集 T1,集 合 S2=pi,p2,P3,P4,且 p4p3p2pi,求 证：对 于 任 意 1这 有

15、 名 WS2；Pi(3)设 集 合 S=pi,pi,P3,P4,且 P4p3p2pi2,求 集 合 S 的 耦 合 集 7 中 元 素 的 个 数.第 5 页 共 2 0 页2021年 普 通 高 等 学 校 招 生 北 京 市 统 一 考 试 模 拟 测 试 数 学 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一.选 择 题(共 10小 题，满 分 40分，每 小 题 4 分)1.(4 分)集 合 A=x|)=Jx(2-x),8=y|y=2,x 0,则 4 n 8=()A.0,2 B.(1,2 C.1,2 D.(1,+)【解 答】解：,集 合 4=xy=yx(2-x)=x|0WxW2.B=y y=,

16、x 0=j|y l),.4 0 8=却 后 2=(1,2.故 选：B.2.(4 分)下 列 函 数 中，在 定 义 域 上 单 调 递 增 且 为 奇 函 数 的 是()IA./(x)=-B.f(x)=sinxC.f(x)=xcosx D.f(x)=x+siar【解 答】解，根 据 题 意，依 次 分 析 选 项：对 于 A,/(x)=p 是 反 比 例 函 数，在 其 定 义 域 上 不 是 增 函 数，不 符 合 题 意，对 于 B,/(x)=s in x,是 正 弦 函 数，在 其 定 义 域 上 不 是 增 函 数，不 符 合 题 意，71对 于 C,/(X)=xcosx,有/(0)=

17、/(-)=0,在 其 定 义 域 上 不 是 增 函 数，不 符 合 题 意，对 于 D,f(x)=x+s in x,其 定 义 域 为 R,有/(-x)=-x-sinx=-f(x),f(x)为 奇 函 数，且，G)=l+c o s jtN 0,在 R 上 为 增 函 数，符 合 题 意，故 选：D.3.(4 分)已 知：，b不 共 线，且 实 数 x,y 满 足 2%：-(y-7)b=(3+y)a+(5x+3)b,则 x,y 的 值 分 别 为()A.1,-1 B.-1,I C.I,1 D.-1,-1【解 答】解：I向 量)甘 不 共 线，T T T T(2 乂 V由 2M(y-7)b=(3

18、+y)a+(5x+3)b,可 得：),6 c(y-7)=5%+3解 之 得 x=l,y=-1，故 选：A.第 6 页 共 2 0 页4.（4 分）抛 物 线/=1 6 y 的 准 线 方 程 为（)A.y=-4 B.y=-8 C.x=-4 D.x=-8【解 答】解：由 己 知 2P=1 6,所 以 p=8,所 以 准 线 方 程 为 y=-4,故 选：A.5.（4 分）“一 骑 红 尘 妃 子 笑，无 人 知 是 荔 枝 来”描 述 了 封 建 统 治 者 的 骄 奢 生 活，同 时 也 讲 述 了 古 代 资 源 流 通 的 不 便 利.如 今 我 国 物 流 行 业 蓬 勃 发 展，极 大

19、 地 促 进 了 社 会 经 济 发 展 和 资 源 整 合.已 知 某 类 果 蔬 的 保 鲜 时 间 y（单 位：小 时）与 储 臧 温 度 x（单 位：。C）满 足 函 数 关 系 为 常 数），若 该 果 蔬 在 6 的 保 鲜 时 间 为 216小 时，在 24 的 保 鲜 时 间 为 8 小 时，且 该 果 蔬 所 需 物 流 时 间 为 3 天，则 物 流 过 程 中 果 蔬 的 储 藏 温 度（假 设 物 流 过 程 中 恒 温）最 高 不 能 超 过（）A.9 B.12 C.18 D.20【解 答】解：当 x=6 时，e6a+b=26；当 x=24H寸，e24a+b=S,06

20、a+b 216 i则 即 工=T=27,整 理 可 得 e6a=/则 72=1 X 216=e（,aXe（,a+b=el2a+b,所 以 该 果 蔬 所 需 物 流 时 间 为 3 天，故 物 流 过 程 中 果 蔬 的 储 藏 温 度 最 高 不 能 超 过 12.故 选:B.6.（4 分）己 知 q=logo.40.3,fe=logo.70.4,c=0.30 7,则（）A.cab B.acb C.cba D.bc logo.70.49=2,c=0.3-70.3=l,故 cb a,故 选：A.7.（4 分）在 直 三 棱 柱 48C-431cl中，底 面 是 等 腰 直 角 三 角 形，NA

21、C5=90,侧 棱 AAi=3,点。，E 分 别 是 CCi,的 中 点，点 E 在 平 面 A3。上 的 射 影 是 A3。的 重 心 G,则 点 Ai到 平 面 A B D 的 距 离 为（）A.V6 B.V3 C.-D.V23【解 答】解：如 图 所 示，以 C 为 坐 标 原 点，CA,CB,C。所 在 直 线 分 别 为 x,y,z 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，第 7 页 共 20页设 CA=CB=a,则 A(a,0,0),B(0,a,0),D(0,0,Ai(a,0,3),可 得 E(S,?,),。住，5 GE=(看，看,1)BD=(0,a,今，因 为 点 E 在 平 面

22、 A8D上 的 射 影 是 A3。的 重 心，所 以 GE,平 面 ABD,所 以 备 访=0,a a 3 1 1即 x 0+x(a)+-x 1=0,解 得 4=3,即 GE=(5，56 6 2/，则 点 Ai到 平 面 ABD 的 距 离 为 d,E 是 AiB的 中 点，8.（4 分）设 aR,则“ao”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【解 答】解：由。2-5“-60,解 得 或 a6,则 由 ua0”，由-5a-60”不 能 推 出“a-1”，故“aVl”是“J+a_20”的 充 分 不

23、必 要 条 件.故 选：A.9.（4 分）己 知 函 数/（x）=Asin（wx+p）（4,w,0,w0,0（p）的 部 分 图 象 如 图 所 示.为 了 得 到 函 数/（x）的 图 象，可 以 将 函 数）=&sinA的 图 象（）第 8 页 共 20页A.先 向 右 平 移 刍 个 单 位 长 度，再 将 所 得 图 象 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的;，纵 坐 标 不 变 6 2nB.先 向 左 平 移 工 个 单 位 长 度，再 将 所 得 图 象 的 横 坐 标 伸 长 为 原 来 的 2 倍，纵 坐 标 不 变 6C.先 向 左 平 移 g个 单 位 长 度，再 将 所

24、 得 图 象 的 横 坐 标 伸 长 为 原 来 的 2 倍，纵 坐 标 不 变 D.先 向 左 平 移 个 单 位 长 度，再 将 所 得 图 象 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 纵 坐 标 不 变 3 2【解 答】解：根 据 函 数 的 图 象 得 到 1 2n 7717r 3.-X=-解 得 3=2,4 3 12 3由 于 2 x+0=0（p,解 得（p=*故 f（x）=y/2sin（2x+,TT所 以 要 得 到 函 数/（x）的 图 象，只 需 将 函 数 y=dsinx的 图 象 向 左 平 移 孑 个 单 位，横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 士 纵 坐 标 不 变 即

25、 可.2故 选：D.10.（4 分）如 图，在 公 路 M N 两 侧 分 别 有 4,A2,，A7七 个 工 厂，各 工 厂 与 公 路 M N（图 中 粗 线）之 间 有 小 公 路 连 接.现 在 需 要 在 公 路 上 设 置 一 个 车 站，选 择 站 址 的 标 准 是“使 各 工 厂 到 车 站 的 距 离 之 和 越 小 越 好 则 下 面 结 论 中 正 确 的 是（）车 站 的 位 置 设 在 C 点 好 于 B 点；车 站 的 位 置 设 在 B 点 与 C 点 之 间 公 路 上 任 何 一 点 效 果 一 样；第 9 页 共 2 0 页 车 站 位 置 的 设 置 与

26、 各 段 小 公 路 的 长 度 无 关.【解 答】解:因 为 A、D、C.D.E 点 各 有 一 个 工 厂 相 连，B,C,各 有 两 个 工 厂 相 连，把 工 厂 看 作“人 可 简 化 为“A,B,C,D,E 处 分 别 站 着 1,2,2,1,1个 人（如 图），求 一 点，使 所 有 人 走 到 这 一 点 的 距 离 和 最 小”.把 人 尽 量 靠 拢，显 然 把 人 聚 到 B、C 最 合 适，靠 拢 完 的 结 果 变 成 了 B=4,C=3,最 好 是 移 动 3 个 人 而 不 要 移 动 4 个 人.所 以 车 站 设 在 C 点,且 与 各 段 小 公 路 的 长

27、 度 无 关 填 空 题（共 6 小 题，满 分 30分，每 小 题 5分）11.（5 分）复 数 z满 足 z-i=1+V3i,其 中 i为 虚 数 单 位，则 z对 应 的 点 位 于 复 平 面 的 第 3象 限；|z|2【解 答】解：因 为=1+82,所 以 z _ l+3i _(l+/3i)i _ 一/3+i.2=V3 i,故 Z对 应 的 点 的 坐 标 为（g,-1）,位 于 第 四 象 限;忆|+(-1)2=2.故 答 案 为：四；2.12.（5 分）己 知 圆/+丁=5,则 过 点 P（2,-1）的 圆 C 的 切 线 方 程 是 2x-v=5.第 1 0 页 共 2 0 页

28、【解 答】解：根 据 题 意，圆/+y2=5,点 尸（2,-1）满 足 22+（-1）2=5,即 点 P 在 圆 上，则。户=去=4,则 切 线 的 斜 率&=2,即 切 线 的 方 程 为 y+l=2（X-2）,变 形 可 得 2x-y=5,即 切 线 的 方 程 为 2x-y=5；故 答 案 为：2x-y=5.13.（5 分）（7+x+y）5的 展 开 式 中，x2的 系 数 为 30.【解 答】解 法 一：（f+x+y）5可 看 作 5 个（/+x+y）相 乘，从 中 选 2 个 y,有 此 种 选 法；再 从 剩 余 的 三 个 括 号 里 边 选 出 2 个 了,最 后 一 个 括

29、号 选 出 x,有 用 玛 种 选 法；.,.A-5/的 系 数 为 C舒 仁 盘=30；解 法 二：（f+x+y）5=（/+x）+,5,其 展 开 式 的 通 项 公 式 为 77+|=C5*（x2+x）5 r*yr,令 r=2,得（x2+x）3的 通 项 公 式 为 C铲（7）3-加./=暂，4，再 令 6-机=5,得，=1,（/+x+y）5的 展 开 式 中，的 系 数 为 熊.玛=30.故 答 案 为：30.14.（5 分）设 等 差 数 列“的 前 项 和 为 S”,若$9=18,则。3+。5+。7的 值 为 6.【解 答】解：由 题 意 可 得，9（%；也=8,.1+。9=2。5=

30、4,根 据 等 差 数 列 的 性 质 可 知，。3+。5+。7=345=6.故 答 案 为：6.15.（5 分）设 为，尸 2是 双 曲 线，-/=4 的 两 个 焦 点，P 是 双 曲 线 上 任 意 一 点，过 尸 1作 N产 1P放 平 分 线 的 垂 线，垂 足 为 M,则 点 M 到 直 线 x+y-3位=0 的 距 离 的 最 大 值 是 5.【解 答】解：由 双 曲 线 的 方 程 可 得：J=8,则 c=2&,所 以 F M-2VL 0）,Fi（2V2,0）,设 M（xo,卯），第 1 1 页 共 2 0 页不 妨 设 点 尸 在 双 曲 线 右 支 上，延 长 F1M交 尸

31、 F2于 点 N,则 N（2M）+2或，2笫），如 图:y 小 由 角 平 分 线 性 质 可 知，|PF1|=|PM，双 曲 线 的 定 义 可 得|PF1|-|PF2|=4,即|NF2|=4,；.J(2xo+2V2-2V2)2+(2y0-0)2=4,x02+y02=4,即 点 M 在 以 原 点 为 圆 心，2 为 半 径 的 圆 上,因 圆 心（0,0）到 直 线 x+y-3V2=0 的 距 离 d=3y2=32,所 以 直 线 与 圆 相 离，圆 上 的 点 到 直 线 的 最 大 距 离 为 4+2=5,故 答 案 为：5.16.（5 分）三 棱 锥 P-A B C 的 各 顶 点

32、都 在 同 一 球 面 上，PCJ_底 面 A B C,若 PC=AC=,A B=2,且 NBAC=60,给 出 如 下 命 题：ACB是 直 角 三 角 形；此 球 的 表 面 积 等 于 11m ACJ_平 面 PBC；三 棱 锥 A-P B C 的 体 积 为 巨.其 中 正 确 命 题 的 序 号 为.（写 出 所 有 正 确 结 论 的 序 号）【解 答】解：对 于，在 底 面 三 角 形 A B C 中，由 AC=1,A8=2,NBAC=60,利 用 余 弦 定 理 可 得：BC=J12+22-2 x 1 x 2 x 1=V3,：.AC2+BC2=AB2,即 ACLBC,故 ACB

33、是 直 角 三 角 形，所 以 正 确；对 于，取。为 4 8 中 点，则 D 为 BAC的 外 心，可 得 三 角 形 A B C 外 接 圆 的 半 径 第 12页 共 20页为 1.设 三 棱 雉 P-A B C 的 外 接 球 的 球 心 为 0,连 接 OP,P C 的 中 点 为 M,则 OP=V C M2+P M2=J&）2+#=空，即 三 棱 雉 P-A B C 的 外 接 球 的 半 径 为 R=空，.三 棱 雉 球 的 外 接 球 的 表 面 积 等 于 4兀 x（空）2=5兀，故 错 误；A对 于，因 为 P C,底 面 A 8 C 且 PCu平 面 尸 8 C,所 以

34、平 面 P8CL平 面 ABC,因 为 平 面 P B C A 平 面 A B C,由 分 析 得 ACLBC,AC_L 平 面 PBC,故 正 确；1 1 叵 对 于，Vp_ABC=w X X l x 遮 x l=/，故 错 误.故 答 案 为：.三.解 答 题（共 6 小 题，满 分 64分）17.（12 分）已 知 ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,JLV3acosC-csiM=V3Z?.（1）求 A；（2）若 c=2,且 B C 边 上 的 中 线 长 为 百，求 b.【解 答】解：（1）因 为 遮 acosC-csinA=V5Zb由 正 弦 定 理

35、可 得 gsirL4cosc-sinCsinA=V3sinB,因 为 BTt-A-C,第 1 3 页 共 2 0 页所 以 VsinAcosC-sinCsinA=V3sirL4cosC4-V3cosAsinC,可 得-sinCsinA=V 3cosA sinC,因 为 sinC W O,所 以 sinA=V3cosA,可 得 tark4=V3,又 因 为 AC(0,n),可 得 4=竽.(2)由 余 弦 定 理 可 得/=户 陷-2 ccosA=Z?2+4+2b,又 在 4 B C中，cosB=上 携 支=之 若 尤，设 B C的 中 点 为。，2在 ABO中，cosB=：YD=瑞 可 得 贮

36、 土 土 三=土 三，可 得 a2+4-2b2=0,2x?xc 乙 a 4a 2a 由 可 得 序-26-8=0,解 得 6=4.18.(1 2分)如 图，在 四 棱 锥 P-A B C。中，底 面 ABCO是 矩 形，PO_L平 面 ABC。，D ELP C,垂 足 为 E,E F L P B,垂 足 为 F.(1)求 证：8_1平 面 后 尸)；(2)若 P C=C=D 4,求 二 面 角 F-O E-B 的 正 弦 值.【解 答】(1)证 明：因 为 尸，平 面 ABCQ,8 C u平 面 A 8 C Q,所 以 PDLBC,又 因 为 A 8C O是 矩 形，所 以 8C L D C,

37、P D C D C=D,所 以 B U L平 面 尸 C,又 因 为 QEu平 面 P D C,所 以 BC_LOE,又 因 为 C，P C,尸 C C B C=C,所 以 E_L平 面 P B C,因 为 PB u平 面 PBC,PBA.ED,又 因 为 P8J_EF,EDCEF=E,所 以 P8JL平 面 EFD.(2)解：因 为 PO_L平 面 ABC。，A。、D C u平 面 A B C Q,所 以 PO_LA。，PDYDC,第 1 4页 共 2 0页再 由（1）知，DA.DC、O P两 两 垂 直，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，不 妨 设 D4=Z）C=Q尸

38、=2,A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),DB=(2,2,0),DE=(0,1,1),设 平 面 Q EB的 法 向 量 为 蔡=(x,y,z),DB-n=2x-2y=0 人 _ 一 _/1 t t，9 y 1,T L=(1 1,1),、DE-n=y+z=0因 为 P3_L平 面 EF),所 以 平 面 F O 的 法 向 量 为 届=(2,2,-2),设 二 面 角 F-D E-B 的 大 小 为 0,n_ I 而 _ 2 _ 1sin9=V1 cos26 19.（1 2分）某 校 兴 趣 小 组 进 行 了 一 项“娱 乐 与 年 龄

39、关 系”的 调 查，对 15 6 5岁 的 人 群 随 机 抽 取 1000人 的 样 本，进 行 了 一 次“是 否 是 电 影 明 星 追 星 族”调 查，得 到 如 下 各 年 龄 段 样 本 人 数 频 率 分 布 直 方 图 和“追 星 族”统 计 表：“追 星 族”统 计 表 组 数 分 组“追 星 族”人 数 占 本 组 频 率 15,25）a 0.75第 1 5 页 共 2 0 页二 25,35)200 0.40三 35,45)5 0.1四 45,55)3 b五 55,65 2 0.1（1）求 a,b 的 值.（2）设 从 45岁 到 65岁 的 人 群 中，随 机 抽 取 2

40、 人，用 样 本 数 据 估 计 总 体，S 表 示 其 中“追 星 族”的 人 数，求?分 布 列、期 望 和 方 差.各 年 龄 段 样 本 人 数 频 率 分 布 直 方 图【解 答】（本 小 题 满 分 12分）解:（1）由 题 设 知 15,25）这 组 人 数 为 0.04X 10X1000=400,（1分）故 4=0.75X400=300,（2 分）45,55）这 组 人 数 为 0.003X10X1000=30,故 b=孺=0.1（3 分）综 上，a=300,6=0.1.（4 分）（2）.由 45,65 范 围 内 的 样 本 数 据 知，抽 到 追 星 族 的 概 率 为 p

41、=转，E B（2,）（6 分）10故 f 的 分 布 列 是：0 1 2P0.81 0.18 0.01（8 分）W 的 期 望 是 Ef=2 X 白=0.2（10分）第 1 6 页 共 2 0 页1 Q Q己 的 方 差 是 Df=2 x 由 x=高=0.18（12分）20.（1 2分）已 知 直 线/：尸 吁 1过 椭 圆 C；务 1=1 的 右 焦 点 凡 且 直 线/交 椭 圆 C 于 A,B 两 点，点 A,F,B 在 直 线 广：x=4 上 的 射 影 依 次 为 点 Q,K,E.（1）求 椭 圆 C 的 方 程；（2）若 直 线/交 y 轴 于 点 M,且 忌=M B=X2B F,

42、当 机 变 化 时，探 究 入 i+入 2的 值 是 否 为 定 值？若 是，求 出 入 1+入 2的 值；否 则，说 明 理 由；（3）连 接 AE,B D,试 探 究 当 机 变 化 时，直 线 A E与 8。是 否 相 交 于 顶 点？若 是，请 求 出 定 点 的 坐 标，并 给 予 证 明；否 则，说 明 理 由.【解 答】解：（1）易 知 椭 圆 的 右 焦 点 为 F（1，0）,所 以 c=l,抛 物 线 7=4 旧 的 焦 点 坐 标 为（0,V3）,所 以 b=V3,。2=必+/=3+1=4,%2 y 2所 以 椭 圆 C 的 方 程 为 h+J=1 4 3（2）易 知，机#

43、0,且/与 y 轴 的 交 点 为 M（0,专），设 直 线/交 椭 圆 于 A（xi,y i）,B（2,”），1x=my+1x2 y2,得（3/?2+4）2+6机 y-9=0,T+T=1 1 11 1 1所 以 入 1+入 2=-2（一+一）,m 71 721 1 yi+y2 67n 3nl2+4、2myi y2 7172 37n2+4 9 J所 以=（6m）2+36（3/n2+4）=144（P+1）0,所 以 户+）2=一 品？一 标%又 由 忌=XAFf所 以（xb 1+9=入 1（l n，-y i）,所 以 入 i=-1-，同 理 方=-1-,my my2第 1 7 页 共 2 0 页

44、i l l所 以 入 1+入 2=-2-(4-)m 71、21 2 m 82-=一，m 3 3所 以 入 1+入 2的 值 为*(3)由(2)知 A(xi,y i),B(必 y2)所 以。(4,y i),E(4,”),所 以 直 线 A E方 程 为：y-y 2=(x-4),当 工=树，产”+P(_ 3)=2(4-4)及-3(及-九)2.4-%L 2(4 f)_ 2(4-771%-1)丫 2-3(32-91)_ 382+%)-271、22(4)2(4 f)-_ 3m力+4 3?M+4 _ _ n2(4=)-0 5所 以 点 N(,0)在 直 线 A E上，同 理 可 证，点 N 号 0)也 在

45、 直 线 8。上,所 以 机 变 化 时，直 线 A E与 直 线 3 0 相 交 于 定 点 5(一,0).221.(16 分)已 知 函 数/(%)=(x+1)(/-1).(1)求 在 点(-1,/(-1)处 的 切 线 方 程;(2)若 o W e-1,证 明：f(x)2。如:+2ex-2 在 1曰 1,+)上 恒 成 立;(3)若 方 程/(x)=6 有 两 个 实 数 根”，也，且 可 也，证 明：r-川 1+4 阡+户，s e 1 ei【解 答】解：(1)函 数 f(x)=(x+1)(F-1),由/(x)=(x+2)/-I,1由 7(-1)=1-1,/(-1)=0,所 以 切 线

46、方 程 为 y=?(x+l),(2)当 尤 1,+)时，伍 r 2 0,所 以。加 x+2ex-2W(e-1)lnx+2ex-2.故 只 需 证/(x)2(e-1)bvc+2ex-2,构 造 g(x)=(1+1)(夕-1)-(e-1)lnx-2ex+2,g(x)=(x+2)ex-1-9-2e,又 g(x)在 x l,+8)上 单 调 递 增，且 g(1)=0,知 g(x)在 x l,+8)上 单 调 递 增，故 g(x)2 g(1)=2e-2-2e+2=0.因 止 匕(x+1)(e-1)2(e-1)lnx+2ex-22alnx+2ex第 1 8 页 共 2 0 页-2,得 证.(3)由(1)知

47、“X)在 点(-1,/(-1)处 的 切 线 方 程 为 了=?(x+1).构 造 F(x)=于 3 一 小(x+1)=(x+1)()，尸(x)=(x+2)/：，F(%)=G+3)心 当 xV-3 时，F(%)-3 时，F(%)0；所 以 尸(X)在(-8,-3)上 单 调 递 减，在(-3,+8)上 单 调 递 增.1 1 1又 E(-3)=-4-oo 6-1)上 单 调 递 减，在(-1,+8)上 单 调 递 增.所 以 尸(x)(-1)=0=/(x)?(x+1).设 方 程 s(x)=-(x+1)=6 的 根 1=段 1.又 b=s(xi)f(xi)2s(xi),由 e i es(x)在

48、 R 上 单 调 递 减，所 以 n Wxi.另 一 方 面，f(x)在 点(1,2e-2)处 的 切 线 方 程 为 t(x)=(3(?-1)x-1.构 造 G(x)=f(x)-t(x)=(x+l)(炭-1)-(3e-1)x+e+1=(x+1)/-3ex+e.G(x)=(x+2)ex-3ef G(x)=(x+3)当 xV-3 时，Gn(x)0；所 以 G(x)在(-8,-3)上 单 调 递 减，在(-3,+oo)上 单 调 递 增.1又 G(-3)=-4-3e/(x)力(x)=(3e-1)x-e-I.设 方 程，(x)=(3e-1)x-e-1=6 的 根*2=事 单.又 b=t(x2)=f(

49、X2)力(X2),由 t(x)在 R 上 单 调 递 增,所 以 X2Wx2.X2 X 2,:.-x W-Mi,所 以 无 2-xWx2-X 4 1+乌 P 得 证.3e i e 122.设 集 合 SN*,且 S 中 至 少 有 两 个 元 素，若 集 合 T 满 足 以 下 三 个 条 件：TGN*,且 7 中 至 少 有 两 个 元 素；第 1 9 页 共 2 0 页 对 于 任 意 x,yGS,当 y W x,都 有 ryWT；对 于 任 意 x,67,若 工，则”W S；x则 称 集 合 7 为 集 合 S 的“耦 合 集”.(1)若 集 合 S1=1,2,4,求 集 合 Si的“耦

50、 合 集”。；(2)若 集 合 S2 存 在“耦 合 集”72,集 合 S2=pi,P2,P3,P4,且 4p3p2pi,求 证：对 于 任 意 有 名 eS2；Pi(3)设 集 合 s=pi,pi,P3,P4,且 p4p3Rpi22,求 集 合 S 的 耦 合 集 T 中 元 素 的 个 数.【解 答】解：(1)由 已 知 条 件 得 71的 可 能 元 素 为：2,4,8,又 满 足 条 件，所 以 T1=2,4,8).(2)证 明：若 集 合 S2=pi,P2,P3*,且 P4P3P20,由 条 件 得 乃 的 可 能 元 素 为 PP2,P1P3,P1P4,P2P3,P2P4,P3P4