2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学.pdf

《2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学.pdf（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2021年 数 学 全 国 卷 1绝 密 启 用 前 2022年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 理 科 数 学 考 前 须 知：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、考 生 号 等 填 写 在 答 题 卡 和 试 卷 指 定 位 置 上。2.答 复 选 择 题 时，选 出 每 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 它 答 案 标 号。答 复 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上。写 在 本 试 卷 上 无 效。3.考 试 结

2、 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选 择 题：此 题 共 1 2小 题，每 题 5 分，共 6 0分。在 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 为 哪 一 项 符 合 题 目 要 求 的。1.设 z=涓+2i，那 么|z|=A.0 B.A C.12D 血 2.集 合 A=权 2 一 X _2，那 么 普=A.x|-1 x2)x|-1x2)C.x|x2)D.x|x2)3 某 地 区 经 过 一 年 的 新 农 村 建 设，农 村 的 经 济 收 入 增 加 了 一 倍，实 现 翻 番,为 更 好 地 了 解 该 地 区 农 村 的 经 济 收入 变

3、化 情 况，统 计 了 该 地 区 新 农 村 建 设 前 后 农 村 的 经 济 收 入 构 成 比 例，得 到 如 下 饼 图：建 设 前 经 济 收 入 构 成 比 例 建 设 后 经 济 收 入 构 成 比 例 那 么 下 面 结 论 中 不 正 确 的 选 项 是 A.新 农 村 建 设 后，种 植 收 入 减 少 B.新 农 村 建 设 后，其 他 收 入 增 加 了 一 倍 以 上 C.新 农 村 建 设 后，养 殖 收 入 增 加 了 一 倍 D.新 农 村 建 设 后，养 殖 收 入 与 第 三 产 业 收 入 的 总 和 超 过 了 经 济 收 入 的 一 半 4 记 s

4、为 等 差 数 列.的 前 项 和.假 设 3 S=S+S，0=2,那 么 n n 3 2 4 1a=5A.一 12 B._10 C.1 0D.125 设 函 数/(X)=X3+(-1)X 2+a x 假 设 1)为 奇 函 数，那 么 曲 线 y=/(x)在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为 A.y 2x B.y=-X C.y-2 xD.y=x6.在 A/8C 中，AD为 8 C边 上 的 中 线，七 为 仞 的 中 点，那 么 说=A.2布 一 B.-3万 4 4 4 4C.3初+!花 D.-7B-7C4 4 4 47.某 圆 柱 的 高 为 2,底 面 周 长 为 1 6,其 三

5、视 图 如 图.圆 柱 外 表 上 的 点 H 在 正 视 图 上 的 对 应 点 为，圆 柱 外 表 上 的 点 N 在 左 视 图 上 的 对 应 点 为 8,那 么 在 此 圆 柱 侧 面 上，从 M 到 N 的 路 径 中，最 短 路 径 的 长 度 为 二 口 OA.2J17 B.2 石 C.3D.28.设 抛 物 线 G V=4x的 焦 点 为 R 过 点(-2,0)且 斜 率 为：的 直 线 与。交 于，N 两 点，那 么 丽 丽=A.5 B.6 C.7D.89.函 数 g(x)=/(x)+x+a.假 设 g 5)存 在 2个 零 111 A,4，5点，那 么 的 取 值 范 围

6、 是 A.-1,0)B.0,+00)C.-+oo)D.1,+8)10.下 列 图 来 自 古 希 腊 数 学 家 希 波 克 拉 底 所 研 究 的 几 何图 形.此 图 由 三 个 半 圆 构 成，三 个 半 圆 的 直 径 分 别 为 直 角 三 角 形 A B C 的 斜 边 BC,直 角 边 AB,A C.用。的 三 边 所 围 成 的 区 域 记 为 I,黑 色 局 部 记 为 H,其 余 局 部 记 为 印.在 整 个 图 形 中 随 机 取 一 点，此 点 取 自 I,H,m的 概 率 分 别 记 为 q,P2,P3,那 么 A Pi=2 B P fC p2=p3 D.p1=p2

7、+p31 1-双 曲 线。：举 O为 坐 标 原 点，尸 为。的 右 焦 点，-V 2=13 7过 厂 的 直 线 与 C的 两 条 渐 近 线 的 交 点 分 别 为 M N.假 设 O M N 为 直 角 三 角 形，那 么 IMN仁 A.3 B.3 C.D.41 2 正 方 体 的 棱 长 为 1,每 条 棱 所 在 直 线 与 平 面”所 成 的 角 都 相 等，那 么 截 此 正 方 体 所 得 截 面 面 积 的 最 大 值 为 A.3 B.2向 C.34 D.小 T P T Z二、填 空 题：此 题 共 4 小 题，每 题 5 分，共 2 0分。1 3 假 设，满 足 约 束 条

8、 件 片 2”2 4 0 那 么 的 最 大 x y sx-j+l0 7 一 z=3x+2yy0值 为.14.记,为 数 列 的 前 项 和,假 设 一 那 么 S a n s=2a+1S6=15.从 2位 女 生，4位 男 生 中 选 3人 参 加 科 技 比 赛，且 至 少 有 1 位 女 生 入 选，那 么 不 同 的 选 法 共 有 种.(用 数 字 填 写 答 案)16.函 数 4)=2 而 十 曲，那 么 於 的 最 小 值 是 三、解 答 题：共 70分。解 容 许 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1721题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 T

9、 h都 必 须 作 答。第 22、23题 为 选 考 题，考 Th根 据 要 求 作 答。一 必 考 题：6 0分。7(12 分)在 平 面 四 边 形 AB。中，ZADC=900*7 8 9 Z4=45。=BD=5,求/；COSADB(2)假 设 求,DC=242 BC8(12 分)如 图，四 边 形 为 正 方 形，分 别 为 S B。的 中 点，以 防 为 折 痕 把 诋 折 起，使 点 到 达 点 p 的 位 置，且 P F 1B F(1)证 明：平 面 p E-平 面(2)求 Q p与 平 面.功 所 成 角 的 正 弦 值 9（12 分）设 椭 圆 X2 的 右 焦 点 为，过 的

10、 直 线 与 交 于 C：_+y2=1 F F I C2两 点，点 的 坐 标 为.A,B M(2,0)(1)当 与 轴 垂 直 时，求 直 线 的 方 程；I x AM(2)设 为 坐 标 原 点，证 明：O ZOMA=NOMBQ（12 分）某 工 厂 的 某 种 产 品 成 箱 包 装，每 箱 200件，每 一 箱 产 品 在 交 付 用 户 之 前 要 对 产 品 作 检 验，如 检 验 出 不 合 格 品，那 么 更 换 为 合 格 品.检 验 时，先 从 这 箱 产 品 中 任 取 20件 作 检 验，再 根 据 检 验 结 果 断 定 是 否 对 余 下 的 所 有 产 品 作 检

11、 验，设 每 件 产 品 为 不 合 格 品 的 概 率 都 为，且 各 件 产 品 是 否 为 不 合 格 品 相 互 P(0 P1)独 立.(1)记 20件 产 品 中 恰 有 2 件 不 合 格 品 的 概 率 为，秋 P)求 的 最 大 值 点./(p)，。(2)现 对 一 箱 产 品 检 验 了 20件，结 果 恰 有 2 件 不 合 格 品，以(1)中 确 定 的 作 为 的 值 每 件 产 品 的 检 验 费 用 为 2 元，假 设 有 朱 合 格 品 进 入 用 户 手 中，那 么 工 厂 要 对 每 件 不 合 格 品 支 付 25元 的 赔 偿 费 用.假 设 不 对 该

12、箱 余 下 的 产 品 作 检 验，这 一 箱 产 品 的 检 验 费 用 与 赔 偿 费 用 的 和 记 为，求；X EX 5（ii）以 检 验 费 用 与 赔 偿 费 用 和 的 期 望 值 为 决 策 依 据，是 否 该 对 这 箱 余 下 的 所 有 产 品 作 检 验？2（12 分）函 数-1-x+a In x x（1）讨 论 的 单 调 性；（2）假 设 f 存 在 两 个 极 值 点，证 明：j i人 j 人，人 I 2/（X）/（%）6 Z-2 X-XI 2 二 选 考 题：共 10分。请 考 Th在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答，如 果 多 做，那 么 按 所

13、 做 的 第 一 题 计 分。22.选 修 44：坐 标 系 与 参 数 方 程（10分）在 直 角 坐 标 系。中，曲 线 的 方 程 为、一 附 2以 坐 标 xOy C y-KX 十/原 点 为 极 点，轴 正 半 轴 为 底 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 的 极 坐 标 方 谨 为 A.C p2+2p cos-3=0求 的 直 角 坐 标 方 程；（2）假 浚。与。有 且 仅 有 三 个 公 共 点，求 的 方 程.I 2 I23.选 修 4一 5：不 等 式 选 讲（10分）f(x)=|x+1|-1 ax-1|(1)当 a=1 时，求 不 等 式 f(x)1的 解 集；(2)假

14、 设 xe(0,1)时 不 等 式 f(x)X成 立，求 a的 取 值 范 围.参 考 答 案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B A B D A B D C A B A13.6 14.15.16 16.班-6 3-署 17.（12 分）解：（1）在./）中，由 正 弦 定 理 得 BD AB.sin NA sin NADB由 题 设 知，5 2,所 以 应.-=-sin NADB=sin 45 sin ZADB-5由 题 设 知，4。890。，所 以 3。8=仁 三=叵 25 5（2）由 题 设 及（1）知，壶.COS ZBDC=sin NADB=5在 8 中，由 余

15、 弦 定 理 得 BC2-BD2+DC 2 2,BD,DC COS/BD C=25+8-2x5x2夜 x立 5=25所 以 18.(12 分)解：(1)由 可 得，BFA.PF,BF1.EF,所 以 BFPEF.又 由 平 面 A B F D,所 以 平 面 PEFJ_平 面 ABFD.Dr CZ(2)作 PH_L2F,垂 足 为 H,由(1)得，?H_L平 面 ABFD.以 H 为 坐 标 原 点，的 方 向 为 y轴 正 方 向，何 为 单位 长，建 立 如 下 图 的 空 间 直 角 坐 标 系 孙 Z.由（1）可 得，DE.LPE,XDP=2,DE=1,所 以 PE=g又 PF=1,E

16、 F=2,故 PE_LPf;可 得 PH=,EH22 2那 么 J9 3 一 3 户 J9为 平 面”（0,0,0）,P（0,0,乎）,以-1,-,0）,DP=（1,-,H P=（0,0,二）A B F D 的 法 向 量.设 D P与 平 面 A3正。所 成 角 为 e，那 么 sino=|竺 更 l=J _=gHPDP 志 4所 以。尸 与 平 面 4笈 尸。所 成 角 的 正 弦 值 为 重.419.（12 分）解：（1）由 得，/的 方 程 为 产 1.尸（1,0）由 可 得，点 A 的 坐 标 为（产）或（1）2 2所 以 A M 的 方 程 为 一 争 y 或 片 手 一.（2）当

17、，与 x 轴 重 合 时,NOM4=NO M B=0 当，与 轴 垂 直 时，OM为 A 3的 垂 直 平 分 线，所 以ZOMA=NOMB当/与“轴 不 重 合 也 不 垂 直 时，设，的 方 程 为 y=攵(x-1)伏 H O)A(X,%),8(2)那 么 玉 力 咆（展，直 线 MA,M B 的 斜 率 之 和 为 y y k+k=1_+_2_MA MB X-2 X-2由 2 得 y=kx-k,y=kx-k1 1 2 2+k=2kxx2-3k(xy+x+4k.MA MB(X 2)(X 2)1 2将，）代 入 X2 1得-十 y/一 2-(22+1)x2-4+2%2-2=0所 以，4k2

18、2k2-2.X+x=,xx=1 2 2Z2+1 1 2 2k 2+1那 么 一、4左 3-4%-12 攵 3+8%3+4左.2kx x-34(x+x)+4%=01 2 1 2 20+1从 而 z+%=0，故 MA,M B的 倾 斜 角 互 补，所 以 MA MBZOMA=NOMB社,NOMA=ZOMB20.(12 分)解：（1）2 0件 产 品 中 恰 有 2 件 不 合 格 品 的 概 率 为.因 此/（P）=0 2 p 2 0-p）18f(p)=C2Q2p(1-P)18-18p2(1-P)17=2C2Qp(1-p)17(1-10 p)令 r(p)=O，得 p=0.1,当 pe(0,0.1)

19、时，r(p)O；当 pe(0.1,1)时，r（p）o所 以 的 最 大 值 点 为.f(p)p=0.1 由 知，令 表 示 余 下 的 180件 产 品 中 的 不 合 格 品 件 数,Y依 题 意 知，即,8(180,0.1)X=20 x2+25V X=40+25Y 所 以 E X=-E(40+25Y)=40+25EV=490(ii)如 果 对 余 下 的 产 品 作 检 验，那 么 这 一 箱 产 品 所 需 要 的 检 验 费 为 400元.由 于，故 应 该 对 余 下 的 产 品 作 检 验.EX40021.(12 分)解：佃 的 定 义 域 为.1.a X2 ax+1f(x)=-1

20、+=_X2 X X2 假 设 a*，那 么 x)0,当 且 仅 当 a.2,x.1时，as4/(人/su c 4 A I I)一 u所 以 在 单 调 递 减.f(x)(O)+oo)(ii)假 设 a 2，令 f，(x)=0得，x=a7a2-4 或*=a+Ja2-4 2 2当 X(0,匚 手)U(喳 三，+时，f，(x)0 f(x)但 一 正-4)(a+Ja2-4+oo)单 调 递 减，在 1-&2-4 a+Ja2-4)单 调 2 2 2 2递 增.(2)由(1)知，存 在 两 个 极 值 点 当 且 仅 当.f(x)a 2由 于 的 两 个 极 值 点 满 足 I，所 以 f(x)HJr(1

21、 以 1x2-ax+1=0 x=1不 妨 设，那 么 一.由 于 1 2 2=-l n l n&=-2+a 1吟 一.4=-2+a 71n x 2X-x X x x-x x-x-X1 2 1 2 1 2 1 2X 22所 以“x)-/(x)等 价 于 1 i 2 a-2-x+21n x 0X-x X 21 2 2设 函 数 x+2 3 由 I D 知，xg（在（m 单 调 递 减,又，从 而 当 时，g(D=0 xe(l,+oo)g(x)0所 以 1，即/(x)-/(x)-x+21n x 0 i 2 2=4*（2）由（1）知 C是 圆 心 为 A（-l,0），半 径 为 2 的 圆.2由 题

22、设 知，是 过 点 5（0,2）且 关 于 y 轴 对 称 的 两 条 射 线.记）轴 右 边 的 射 线 为/,y轴 左 边 的 射 线 为 由 于 B在 圆 C的 外 面，故 C 与 C有 且 仅 有 三 个 公 共 点 等 2 1 2价 于,与 C 只 有 一 个 公 共 点 且,与 C 有 两 个 公 共 点，或 1 2 2 2,与 c 只 有 一 个 公 共 点 且,与 C 有 两 个 公 共 点.2 2 1 2当,与 C 只 有 一 个 公 共 点 时，A至 力 所 在 直 线 的 距 离 为 1 2 12，所 以 二=2,故 或%=（）.5 2+1 3经 检 验，当 心 0时，/

23、与 c 没 有 公 共 点；当 心，时，/与 I 2 3 1c 只 有 一 个 公 共 点，,与 C 有 两 个 公 共 点.2 2 2当,与 C 只 有 一 个 公 共 点 时，A至 力 所 在 直 线 的 距 离 为 2 2 22，所 以 1+2|=2，故 左=0或%=：一 4 2+1 3经 检 验，当 左=0时，,与 C 没 有 公 共 点；当 心，时，/与 1 2 3 2C 没 有 公 共 点.2综 上，所 求 C 的 方 程 为,=-；同+2 23.选 修 45：不 等 式 选 讲(10分)I L-2,x-1,解:1)当=1 时，/(x)=|x+1|-|x-1|9 B P/W=2 x,-1 x 1.故 不 等 式 的 解 集 为 中(2)当 X(0,1)时 I N|成 立 等 价 于 当 xe(0,1)时|ax-,|1；假 设 a 0,1 k l l 1的 解 集 为 0 x 一，所 以 会 1,故 0 心 2.综 上，的 取 值 范 围 为(0,2.