2023年九年级数学中考专题训练——二次函数的最值(附答案）).pdf

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1、2023年 中 考 专 题 训 练 二 次 函 数 的 最 值 1.已 知，二 次 函 数=以 2+法-3的 图 象 与 X轴 交 于 A,5两 点(点 A 在 点 8 的 左 边)，与 y轴 交 于 C 点，点 A 的 坐 标 为(-1,0),R O B=OC.(1)求 二 次 函 数 的 解 析 式；(2)当 04xW4时，求 二 次 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 多 少？设 点 C，与 点 C 关 于 该 抛 物 线 的 对 称 轴 对 称.在 y轴 上 是 否 存 在 点 P,使 PCC与 相 似，且 P C与 尸。是 对 应 边？若 存 在，求 出 点 尸 的

2、坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.2.如 图 1,抛 物 线=一 和-手 工+石 与 x 轴 交 于 A、B 两 点(点 A 在 点 B 的 左 侧)，与)轴 交 于 点 C,过 点 B 作 直 线 直 线 A C,交 抛 物 线 y 于 另 一 点。，点 尸 为 直 线 A C 上 方 抛 物 线 上 一 动 点.(1)求 线 段 AB的 长.过 点 尸 作 尸 尸 y轴 交 A C 于 点 Q,交 直 线 BD于 点 尸,过 点 P 作 PE_L4C于 点 E,求 26 PE+3PF的 最 大 值 及 此 时 点 P 的 坐 标.如 图 2,将 抛 物 线 y=-亭/一 苧 6

3、向 右 平 移 3 个 单 位 得 到 新 抛 物 线 了，点“为 新 抛 物 线 上 一 点，点 N 为 原 抛 物 线 对 称 轴 一 点，直 接 写 出 所 有 使 得 A、B、M、N 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 时 点 N 的 坐 标，并 写 出 其 中 一 个 点 N 的 坐 标 的 求 解 过 程.3.已 知 二 次 函 数 y=的 图 象 经 过 点(3,0),且 对 称 轴 为 直 线 x=l.求 6+c的 值；当-4 M x V 3时，求 了 的 最 大 值；平 移 抛 物 线 使 其 顶 点 始 终 在 二 次 函 数 丫=2/7-1 上，求 平 移

4、 后 所 得 抛 物 线 与 y轴 交 点 纵 坐 标 的 最 小 值.4.已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程（x-l）（x-2）=m+l（为 常 数）.（1）若 它 的 一 个 实 数 根 是 方 程 2（万-1）-4=0的 根，则，=,方 程 的 另 一 个 根 为；（2）若 它 的 一 个 实 数 根 是 关 于 x 的 方 程 2（x-m）-4=0 的 根，求，”的 值；（3）若 它 的 一 个 实 数 根 是 关 于 x 的 方 程 2（x-）-4=0 的 根，求 什 的 最 小 值.5.如 图，抛 物 线 丫=加+灰+3交 x 轴 于 4（3,0）,3（-1,0）两 点

5、，交 y 轴 于 点 C,动 点 尸 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上.（1）求 抛 物 线 的 解 析 式；（2）当 以 P,B,。为 顶 点 的 三 角 形 周 长 最 小 时，求 点 P 的 坐 标 及 APB C的 周 长；（3）若 点 Q 是 平 面 直 角 坐 标 系 内 的 任 意 一 点，是 否 存 在 点 Q,使 得 以 A,C,P,。为 顶 点 的 四 边 形 是 菱 形？若 存 在，请 直 接 写 出 所 有 符 合 条 件 的 点。的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.6.平 面 直 角 坐 标 系 中，二 次 函 数 产 加+灰+。的 顶 点 为，-点），

6、它 的 图 象 与 x 轴 交 于 点 A,B（点 A 在 点 8 左 侧）.（1）若 A B=5,交 y 轴 于 点 C,点。在 y 轴 负 半 轴 上.求 二 次 函 数 的 解 析 式；试 卷 第 2 页，共 7 页 若 自 变 量 X 的 值 增 加 4 时，对 应 的 函 数 值 y 增 大，求 满 足 题 意 的 自 变 量 X 的 取 值 范 围.当 T W x W l 时，函 数 值 y 有 最 小 值 为 求。的 值(其 中。为 二 次 函 数 的 二 次 项 系 数).7.已 知 直 线 丫=+1经 过 点(2,3),与 抛 物 线 y=Y+bx+c的 对 称 轴 交 于

7、点(1)求 女，匕 的 值；(2)抛 物 线 y=f+6x+c与 x轴 交 于(4,0)(七,0)且 34-为 9,p=xf-3x22,求。的 最 大 值;(3)当 T x 0).(1)当 AB=I2时，在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 求 一 点 尸 使 得 30P的 周 长 最 小；(2)当 点 C 在 直 线/上 方 时，求 点 C 到 直 线/距 离 的 最 大 值；(3)若 把 横 坐 标、纵 坐 标 都 是 整 数 的 点 称 为“整 点”.当 加=2021时，求 出 在 抛 物 线 和 直 线。所 围 成 的 封 闭 图 形 的 边 界 上 的“整 点 的 个 数.9.如 图，

8、在 平 面 直 角 坐 标 系 中，抛 物 线 y=r+fev+c经 过 A(0,-1),B(4,1).直 线 4 5 交 x 轴 于 点 C,P 是 直 线 A B 下 方 抛 物 线 上 的 一 个 动 点.过 点 P 作 垂 足 为。，PE x轴,交 A B 于 点 E.备 用 图(1)求 抛 物 线 的 函 数 表 达 式;（2）当 A P O E 的 周 长 取 得 最 大 值 时，求 点 尸 的 坐 标 和 A P D E 周 长 的 最 大 值；（3）把 抛 物 线 y=V+法+c平 移，使 得 新 抛 物 线 的 顶 点 为（2）中 求 得 的 点 P.M 是 新 抛 物 线

9、上 一 点，N 是 新 抛 物 线 对 称 轴 上 一 点，直 接 写 出 所 有 使 得 以 点 A,B,M,N 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 的 点 M 的 坐 标，并 把 求 其 中 一 个 点 M 的 坐 标 的 过 程 写 出 来.710.如 图，抛 物 线%*+法+过 点 4（3,2）,且 与 直 线 y=-x+交 于 8、C 两 点，点 8 的 坐 标 为（4,利）.（1）求 抛 物 线 的 解 析 式；（2）点。为 抛 物 线 上 位 于 直 线 8 c上 方 的 一 点，过 点。作 轴 交 直 线 B C于 点 E,点 尸 为 对 称 轴 上 一 动 点

10、，当 线 段 的 长 度 最 大 时，求 叩+的 最 小 值；（3）设 点 M 为 抛 物 线 的 顶 点，在 y 轴 上 是 否 存 在 点 Q,使 Z A Q M=4 5。？若 存 在，求 点 Q 的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.11.如 图，抛 物 线 尸 以 2+版+4交 九 轴 于 4-3,0）,8（4,0）两 点，与 y 轴 交 于 点 C,连 接 AC,8C.M为 线 段。8 上 的 一 个 动 点，过 点 M 作 尸 轴，交 抛 物 线 于 点 P,交 B C于 点 Q.（1）求 抛 物 线 的 表 达 式；（2）过 点 P 作 P N _ L B C,垂 足

11、为 点 N.求 线 段 P N 的 最 大 值.（3）试 探 究 点 M 在 运 动 过 程 中，是 否 存 在 这 样 的 点 Q,使 得 以 A C,Q为 顶 点 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形.若 存 在，请 求 出 此 时 点。的 坐 标：若 不 存 在，请 说 明 理 由.试 卷 第 4 页，共 7 页12.如 图，已 知 抛 物 线=加+笈+，(。邦)的 对 称 轴 为 直 线 元=一 1,且 抛 物 线 经 过 A(1,O),C(0,3)两 点，与 X轴 交 于 点 B.(1)求 抛 物 线 的 解 析 式(2)若 直 线+经 过 B、C 两 点，求 直 线 B C 的

12、解 析 式；(3)在 抛 物 线 的 对 称 轴 x=-1 上 找 一 点 M,使 点 M 到 点 A 的 距 离 与 到 点。的 距 离 之 和 最 小，求 出 点 M 的 坐 标 及 此 时 距 离 之 和 的 最 小 值 13.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，已 知 抛 物 线 y=o？-2oxl(aVO).(1)抛 物 线 的 对 称 轴 为，抛 物 线 与)，轴 的 交 点 坐 标 为；(2)试 说 明 直 线 y=无 一 2 与 抛 物 线)=加-2ax1(a=加+法-6 的 图 象 交 坐 标 轴 于 A(-2,0),B(3,0)两 点，抛 物 线 与 y轴 相 交 于

13、 点 C,抛 物 线 上 有 一 动 点 P 在 直 线 B C 下 方.(1)求 这 个 二 次 函 数 的 解 析 式；（2）是 否 存 在 点 P,使 POC是 以 0 C 为 底 边 的 等 腰 三 角 形？若 存 在，求 出 P 点 坐 标；（3）动 点 P 运 动 到 什 么 位 置 时，面 积 最 大.求 出 此 时 尸 点 坐 标 和 白?的 最 大 面 积.16.已 知 抛 物 线-bx+c（4 c为 常 数）的 顶 点 坐 标 为（2,-1）.（1）求 该 抛 物 线 的 解 析 式；（2）点 M（L1,y/）,N（t,2）在 该 抛 物 线 上，当，轴 交 于 点 C,且

14、 O C=O 8.试 卷 第 6 页，共 7 页（1）求 点 c 的 坐 标 和 此 抛 物 线 的 解 析 式；（2）若 点 E为 第 二 象 限 抛 物 线 上 一 动 点，连 接 BE,CE,B C,求 ABCE面 积 的 最 大 值；（3）点 P在 抛 物 线 的 对 称 轴 上，若 线 段 PA绕 点 尸 逆 时 针 旋 转 90。后，点 A的 对 应 点 4.恰 好 也 落 在 此 抛 物 线 上，求 点 尸 的 坐 标.1 9.如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，二 次 函 数 y=/+6 x+c的 图 象 与 x 轴 交 于 A,B 两 点，与 y轴 交 于 点 C（0

15、,-3）,A 点 的 坐 标 为（-1,0）.（1）求 二 次 函 数 的 解 析 式；（2）若 点 P 是 抛 物 线 在 第 四 象 限 上 的 一 个 动 点，当 四 边 形 ABPC的 面 积 最 大 时，求 点 P 的 坐 标，并 求 出 四 边 形 ABPC的 最 大 面 积；（3）若 Q 为 抛 物 线 对 称 轴 上 一 动 点，当 Q 在 什 么 位 置 时 QA+QC最 小，求 出 Q 点 的 坐 标，并 求 出 此 时 AQAC的 周 长.2 0.函 数 学 习 中，自 变 量 取 值 范 围 及 相 应 的 函 数 值 范 围 问 题 是 大 家 关 注 的 重 点 之

16、 一，请 解 决 下 面 的 问 题.（1）分 别 求 出 当 2 4 x 4 4时，两 个 函 数：y=2x+l,y=2（x-l+l的 最 大 值 和 最 小 值；（2）若 y=2 的 值 不 大 于 2,求 符 合 条 件 的 龙 的 范 围；X（3）若），当 K xV 2（x/0）时 既 无 最 大 值，又 无 最 小 值，求。的 取 值 范 围.参 考 答 案:1.(l)y=x2-2x-3(2)函 数 的 最 大 值 为 5,最 小 值 为-49 存 在，P(0,-9)或 P(0,-/【分 析】(1)先 求 出 点 C 的 坐 标，得 到 点 B 的 坐 标，再 将 点 A、B 的 坐

17、 标 代 入 解 析 式 计 算 即 可；(2)将 函 数 解 析 式 化 为 顶 点 式，根 据 函 数 的 性 质 解 答 即 可；(3)存 在 点 尸，设 P(O,m),根 据 相 似 三 角 形 对 应 边 成 比 例 列 得 笥=余，代 入 数 值 求 出 机 即 可.【解 析】二 次 函 数 y=加+法 7 的 图 象 与 y 轴 交 于 C 点，.,(),-3).O3=O C,点 A 在 点 B 的 左 边，.8(3,0).又 点 A 的 坐 标 为(-1,0),。=1h=-2 二 次 函 数 的 解 析 式 为-2*-3.(2)y=r-2x 3=(xI)、*二 次 函 数 顶

18、点 坐 标 为(1,T),.当 x=i时，y敢 小 他=-4,.当 04x41时，随 着 x 的 增 大 而 减 小，当 x=0时，Mg大 值=-3,.当 lx44时，y 随 着 x 的 增 大 而 增 大，二 当 x=4时，大 值=5.，当 0 W x W 4 时，函 数 的 最 大 值 为 5,最 小 值 为-4.(3)存 在 点 尸,如 图,设 尸(0,向，0=9a+3b-3由 题 意 可 得:。-,解 得:-.CC/OB,且 P C 与 P。是 相 似 三 角 形 的 对 应 边,PC _ C C m M-(-3)|_ 2PO OB|m|39解 得：rn=-9 m=-,一(0,-9)或

19、 0,1).【点 评】此 题 考 查 了 二 次 函 数 与 图 形 问 题，待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 的 解 析 式，二 次 函 数 的 对 称 性，相 似 三 角 形 的 性 质，二 次 函 数 的 最 值，正 确 掌 握 二 次 函 数 的 综 合 知 识 是 解 题 的 关 键.2.(1)4 当 f=-:时，2巧 尸 E+3 P F有 最 大 值 为 上 叵，此 时 P-；，呼；2 2 k 2 5)N g),竿 和 卜，一*【分 析】(I)令-g w-挛 x+G=o,求 解 即 可；3 3(C、(Ji、(2)求 直 线 AC,8。的 解 析 式，设 点 P 户 一 笠+百

20、，则。八 7+6,1 3 3 J I 3(值 冉 F 一，利 用 NQFC=30。，将 所 求 转 化 为 26 PE+3P尸=3PQ+3 P F,再 求 解 即 可；推 出 平 移 后 的 解 析 式，设 M 5,N(-2,)，分 三 种 情 况 讨 论；再 利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 结 合 中 点 坐 标 求 解 即 可.【解 析】令 一 当 一 挛 升 6=0,3 3解 得 x=l 或 1=-3,A(-3,0),8(1,0),.AB=4；(2).,y=-设 直 线 A C 的 解 析 式 为 y=履+,b=g.直 线 A C的 解 析 式 为 丫=也+百，.AC 殴 5(1

21、,0),直 线 3。的 解 析 式 为 尸 立 x-立，3 3设 点 P)，一 产-,+6，贝|JQ)，4/+0,.-4k 7/V)点 P 为 直 线 A C 上 方 抛 物 线 上 一 动 点，.吟 鸣.雪+6 _ 乌 _ 6=此 一 园 3 3 3 3心 一 乌 拽,+反 乌+上 百+拽，3 3 3 3 3 3OA=3 Q C=0.-.ZC4O=30o,PE LAC,PF LOA,.NQ尸。=30。，z.PE=P Q,当，=-|时，2 G p E+3P/7有 最 大 值 为 必 叵，此 时 尸-之,；2 2 I 2 3 J(3).7=一 冬 2 一 竿 x+&=一 争 X+1).竽，抛 物

22、 线 对 称 轴 为 直 线 4-1,.抛 物 线 y=q e-当 x+6 向 右 平 移 3 个 单 位 得 到 新 抛 物 线 y,，新 抛 物 线 y 的 解 析 式 为 V=_曰(x _ 2)2+竽，.73 2 4 G 86 1 W.M m,-m+-m+-,N(一、3 3 3)当 A 3为 平 行 四 边 形 的 对 角 线 时，一 3+1=加 一 1,0=一 立 m2+生 8 m+述，3 3 3m=1,n=5/3,咱,-M（-1,V 3）；当 A M 为 平 行 四 边 形 的 对 角 线 时，一 3+?=1-1,=-立 机 2+生 叵 m+迪,3 3 3机=，33 当 A N 为

23、平 行 四 边 形 的 对 角 线 时，一 3-1=机+1,-3,/+生 叵?+随=,3 3 33综 上，N 点 坐 标 分 别 为【点 评】本 题 考 查 了 为 此 函 数 的 图 象 和 性 质，直 角 三 角 形 的 性 质，平 行 四 边 形 的 性 质，熟 练 掌 握 知 识 并 能 够 运 用 分 类 讨 论 的 思 想 是 解 题 的 关 键.3.(1)1(2)21 41【分 析】(1)根 据 对 称 轴 公 式 求 出 6,再 有 二 次 函 数 y=/+法-c 的 图 象 经 过 点(3,0),代 入 求 出 c,计 算 即 可；(2)根 据 二 次 函 数 的 增 减 性

24、 可 知，当 4-4时，y 值 最 大，代 入 求 解 即 可；(3)因 为 平 移 抛 物 线 y=x2-2x-3,其 顶 点 始 终 在 二 次 函 数)，=2/7-1 上，故 设 顶 点 坐 标 为(力,2/72-1),可 得 平 移 后 的 解 析 式 为 y=(x-2+2 2-l,可 求 平 移 后 所 得 抛 物 线 与)轴 交 点 纵 坐 标 为 w=3/-/-1,根 据 二 次 函 数 求 最 值 的 方 法 求 解 即 可.(1)解：由 题 意 可 知 x=-g=l,：,b=-2.将(3,0)代 入。=炉-2x-c,得 c=3,b+c=.(2)解：由(1)得 y=f-2x-3

25、=(x-l)J4,.当 x1时-，丫 随%增 大 而 增 大.当 x=T 时，y 取 最 大 值 21.(3)解：平 移 抛 物 线 y=V-2 x-3,其 顶 点 始 终 在 二 次 函 数 y=2x、x-l上，/.设 顶 点 坐 标 为 俏,2-h-),故 平 移 后 的 解 析 式 为 y=(x-疗+2序-1,y=x2-2 h x+h2+2h2-h-=x2-2hx+3h2-h-,设 平 移 后 所 得 抛 物 线 与 丁 轴 交 点 的 纵 坐 标 为 卬，则 W=3/?2%1=3(/2,I 6；12.当=:1 时，平 移 后 所 得 抛 物 线 与 y 轴 交 点 纵 坐 标 的 最

26、小 值 为-13二.6 1 2【点 评】本 题 考 查 了 二 次 函 数 的 性 质，和 最 值，平 移 规 律，熟 练 掌 握 二 次 函 数 的 性 质 和 平 移 规 律 是 解 题 的 关 键.4.(1)1,x=0：(2)肛=1,?=-1；(3)当=一 1 时，机+有 最 小 值 为-2.【分 析】(1)求 方 程 2(x-1)-4=0的 根，代 入(x-1)(x-2)=/n+l中，确 定 m的 值;解(x-1 x-2)=m+,得 到 另 一 个 根；(2)求 方 程 2(x-m)-4=0的 根,代 入(x-1)(x-2)=/n+l中,确 定 相 的 值；(3)求 方 程 2(工 一

27、)-4=0 的 根，代 入(六 1)(%2)=7+1中，用 含 的 代 数 式 表 示“构 造 与 的 二 次 函 数，利 用 二 次 函 数 的 性 质 确 定 最 值.【解 析】(1)V2(x-l)-4=0,，x=3,(3-1)(3-2)=/?+1,解 得 7n=l,(x-1)(x-2)=2,x2-3x=0,*=3,%2=0,故 答 案 为：1,x=0.(2)由 2(x-m)4=0,得 x=2+m.贝 1(2+/%1)(2+加 一 2)=帆+1trr+7=+1,*2 1 m=l,叫=l,=-1.(3)由 2(x)4=0,得x=2+n.则(2+w1)(2+一 2)=帆+1.即/n=2+-1.

28、m+n=n2+2 1=+2；.当=1时，加+有 最 小 值-2.【点 评】本 题 考 查 了 一 元 一 次 方 程，一 元 二 次 方 程，二 次 函 数 的 最 值，熟 练 掌 握 方 程 的 解 法，二 次 函 数 的 最 值 是 解 题 的 关 键.5.(1)y=-+2x+3；(2)P 点 坐 标 为(1,2),ABCP的 周 长 最 小 值 为 痴+3血；(3)Q点 坐 标 存 在，为(2,2)或(4,炳)或(4,-炳)或(_2,3+旧)或(-2,3-V14)【分 析】将 A(3,0),8(1,0)代 入 即 可 求 解；(2)连 接 8P、CP、A P,由 二 次 函 数 对 称

29、性 可 矢 口，B P=A P,得 至 I 8P+CP=AP+CP,当 C、P、A 三 点 共 线 时，A P S C 的 周 长 最 小，由 此 求 出 A C 解 析 式，将 P 点 横 坐 标 代 入 解 析 式 中 即 可 求 解；(3)设 P 点 坐 标 为(1,。，。点 坐 标 为(祖，n),按 A C 为 对 角 线，A P 为 对 角 线，A Q 为 对 角 线 分 三 种 情 况 讨 论 即 可 求 解.【解 析 解：(1)将 4(3,0),3(-1,0)代 入 二 次 函 数 表 达 式 中,JO=9+32+3o=。-。+3，解 得 b=2 二 次 函 数 的 表 达 式

30、为：y=-x2+2x+3；(2)连 接 3P、CP、A P,如 下 图 所 示:由 二 次 函 数 对 称 性 可 知，BP=AP,:.BP+CP=AP+CP,P=BP+CP+BC=PA+CP+BC8。为 定 直 线，当 C、P、A 三 点 共 线 时，24+C尸 有 最 小 值 为 AC,此 时 M C P的 周 长 也 最 小，设 直 线 A C的 解 析 式 为：尸 丘+切，代 入 A(3,0),C(0,3),0=3k+m,3=。+，,解 得 k=-lm=3,直 线 A C的 解 析 式 为：y=-x+3,二 次 函 数 的 对 称 轴 为 x=-Fb=l,代 入 y=-x+3,得 到

31、y=2,2a二 尸 点 坐 标 为(1,2),此 时 ABCP的 周 长 最 小 值=3C+AC=J12+3?+,3?+32=7 1 5+3 0；A(3,0),C(0,3)设 P点 坐 标 为(1,f),。点 坐 标 为(机，)，分 类 讨 论：情 况 一：AC为 菱 形 对 角 线 时，另 一 对 角 线 为 PQ,此 时 由 菱 形 对 角 互 相 平 分 知：A C的 中 点 也 必 定 是 PQ的 中 点，由 菱 形 对 角 线 互 相 垂 直 知：kAC?kPQ-1,3+0=1+m 7 7 7=2，,0+3=/+,解 得=2,tn t,t=1-1-1 itn-点 坐 标 为(1,1)

32、,对 应 的。点 坐 标 为(2,2)；情 况 二：AP为 菱 形 对 角 线 时，另 一 对 角 线 为 CQ,同 理 有:3+1=0+m 0+/=3+-Z-0-n-3=一.、-2 m机=4解 得 y=折 Z=3+V177 7 2=4；=3-717.P点 坐 标 为(1,3+7)或(1,3-x/p7),对 应 的。点 坐 标 为(4,布)或(4,-V17);情 况 三：4。为 菱 形 对 角 线 时，另 一 对 角 线 为 CP,人(3,0),(7(0,3)设 点 坐 标 为(1,/),。点 坐 标 为(相，ri),同 理 有:3+m=0+1,、0+=3+1n-0 t-3 1-=-1jn-3

33、 1m=-2 m=-2解 得 v=3+V14 或=3-V14t=V14 t=-V14.“点 坐 标 为(1,而)或(1,-V 1 4),对 应 的。点 坐 标 为 G2,3+旧)或(2 3-V14);纵 上 所 示，。点 坐 标 存 在，为(2,2)或(4,炳)或(4,-旧)或(-2,3+9)或(-2,3-V14).【点 评】本 题 考 查 了 待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 解 析 式，二 次 函 数 对 称 性 求 线 段 最 值 问 题 及 菱 形 的 存 在 性 问 题，本 题 第 三 问 难 度 大 一 些，熟 练 掌 握 各 图 形 的 性 质 是 解 决 本 题 的 关

34、键.6.(1)y=x2-3 x-4.自 变 量 x 的 取 值 范 围 为 x-3；(2)a 的 值 为 T+师 或 2 8-25-5屈-8,3 25【分 析】(1)二 次 函 数=加+公+,的 顶 点 为(,-1)，可 确 定 二 次 函 数 的 对 称 轴 为 3%=利 用 对 称 轴 求 出 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 4(-1,0),B(4,0),利 用 待 定 系 数 法 可 求 抛 物 线 解 析 式；设 自 变 量 x 的 值 增 加 4 时，的 函 数 为 y/,求 出 新 增 函 数|=/+5，利 用 两 函 数 作 差 8x+40解 不 等 式 即 可；(2)设 二

35、 次 函 数 的 解 析 式 为 卜-野 由-1 2 0 或 a 0,解 得 x _ g;3当-1人 2当 a 0,二 次 函 数 开 口 向 上，在 二 次 函 数 对 称 轴 的 左 侧，y 随 x 的 增 大 而 减 小,.当 x=l时 函 数 取 最 小 值 整 理 得 4/+。-25=0,解 得”7+阿 或 叫 土 回 0（舍 去），8 8当 0（舍 去）.8 8【点 评】本 题 考 查 待 定 系 数 法 求 抛 物 线 解 析 式，利 用 自 变 量 增 大 函 数 值 增 大 构 造 不 等 式，利 用 函 数 的 增 减 性 取 最 小 值 构 造 关 于“的 一 元 二 次

36、 方 程，掌 握 待 定 系 数 法 求 抛 物 线 解 析 式，会 列 不 等 式 与 解 不 等 式,利 用 函 数 的 增 减 性 取 最 小 值 构 造 关 于 a 的 一 元 二 次 方 程 和 解 方 程 是 解 题 关 键.7.（1）k=l,b=l；（2）P最 大 值 为 1；（3）一 3 c V 0或 c=l【分 析】（1）将（2,3）和 分 别 代 入 直 线 表 达 式 中 可 求 得 上 和 值，再 根 据 抛 物 线 的 对 称 轴 公 式 求 解。值 即 可；（2）抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=-g和 3 4 2-%9得 出=-1一%及 一 5%V-2,

37、贝 lj0 _ 3 名 _3（_ f 族+|+|,根 据 二 次 函 数 的 最 值 方 法 求 解 即 可；（3）联 立 方 程 组 可 得/=1-c,对 c讨 论，结 合 方 程 根 取 值 范 围 进 行 求 解 即 可.【解 析】解：（1）把（2,3）代 入 丫=区+1得：22+1=3,贝 U Z=1,抛 物 线 的 对 称 轴 x=-1=,Z?=1；（2）由（1）知 6=1,贝 1=炉+工+。，,抛 物 线 y=炉+x+。与 x轴 交 点 的 横 坐 标 为 为，演 且 电-工 后 3/.x2=-l-xl.2=玉 2-3考=玉 2-3（-1 一%）2=_2 卜|+|）+|、3 4 X

38、?-X 9,3 V（1 尤）王 9 5%4 23V-20且 对 称 轴 为 直 线 x=-j.当-5l时，该 方 程 无 解，不 满 足 题 意；当 c=l时，方 程 的 解 为 x=0满 足 题 意；当 cl时，方 程 的 解 为 4当 即 一 3c40时，满 足 一 lx2时，抛 物 线 y=/+bx+c与 直 线 丫=区+1有 且 只 有 一 个 公 共 点，综 上，满 足 题 意 的 c的 取 值 范 围 为-3cW0或 c=l.【点 评】本 题 考 查 二 次 函 数 与 一 次 函 数 的 综 合，涉 及 待 定 系 数 法 求 函 数 表 达 式、二 次 函 数 的 图 象 与

39、性 质、求 二 次 函 数 的 最 值 问 题、两 个 函 数 图 象 的 交 点 问 题、解 一 元 二 次 方 程、解 一 元 一 次 不 等 式 组 等 知 识，解 答 的 关 键 是 认 真 分 析 题 意，找 寻 知 识 之 间 的 关 联 点，利 用 待 定 系 数法、分 类 讨 论 和 数 形 结 合 思 想 进 行 推 理、探 究 和 计 算.8.(1)(-3,3)；(2)1；(3)4044 个【分 析】(1)先 求 出 点 B 坐 标，B 的 纵 坐 标 减 去 A 的 纵 坐 标 等 于 12求 出 m 值，再 求 出 抛 物 线 的 对 称 轴，根 据 抛 物 线 的 对

40、 称 性 和 两 点 之 间 线 段 最 短 知，当 B、P、。三 点 共 线 时 A。8P周 长 最 短，此 时 点 P 为 直 线。与 对 称 轴 的 交 点，进 而 求 解 即 可；(2)先 求 出 抛 物 线 的 顶 点 C 坐 标(-5,-霍)，由 C 与/的 距 离=(,)=-(m 2)2+1 POB+OP+PB=OB+DP+PB当 B、尸、。三 点 共 线 时 周 长 最 短，此 时 点 P 为 直 线。与 对 称 轴 的 交 点，当 x=_3时，y=x+6=3,P(-3,3)；点 C 在/上 方，二 C 与/的 距 离=-一(-/n)=-(/H-2)2+11,4 4 点 C 与

41、/距 离 的 最 大 值 为 1；(3)当“7=2021时，抛 物 线 解 析 式:y=，+2021x直 线 解 析 式“：y=x+2021v=Y2+202 lx 可 得：=-2021,x2=ly=x+2021.可 知 每 一 个 整 数 x 的 值 都 对 应 的 一 个 整 数 y 值，且-2021和 1之 间(包 括-2021和 D 共 有 2023个 整 数；另 外 要 知 道 所 围 成 的 封 闭 图 形 边 界 分 两 部 分：线 段 和 抛 物 线，二 线 段 和 抛 物 线 上 各 有 2023个 整 数 点，总 计 4046个 点 这 两 段 图 象 交 点 有 2 个 点

42、 重 复，“整 点”的 个 数：4M6-2=4044(个)；故 机=2021时“整 点”的 个 数 为 4044个.【点 评】本 题 考 查 二 次 函 数 的 图 象 与 性 质、一 次 函 数 的 图 象 与 性 质、图 形 与 坐 标、最 短 路 径 问 题、二 次 函 数 的 最 值、两 函 数 图 象 的 交 点 问 题、解 二 元 一 次 方 程 组 等 问 题，综 合 性 强，难 度 适 中，解 答 的 关 键 是 读 懂 题 意，找 寻 相 关 知 识 的 关 联 点，利 用 数 形 结 合 思 想 解 决 问 题.9.(1)y=f 白-1；4 2 时，A P D E 周 长

43、取 得 最 大 值，最 大 值 为 生 5+8,点 P2 5的 坐 标 为(2,-4)；(3)满 足 条 件 的 点 M 的 坐 标 有(2,-4),(6,12),(-2,12),过 程 见 解 析【分 析】(1)利 用 待 定 系 数 法 求 函 数 表 达 式 即 可；(2)先 求 出 直 线 A 8 的 函 数 表 达 式 和 点 C 坐 标，设 其 中 04,则 E证 明 POEs/XHOC,根 据 周 长 之 比 等 于 相 似 比 可 得/=*年 01-2(，一 2)2+8=吗 U(f-2)2+言 5+8,根 据 二 次 函 数 求 最 值 的 方 法 求 解 即 可；(3)分 以

44、 下 情 况 若 A 8 是 平 行 四 边 形 的 对 角 线;若 A B 是 平 行 四 边 形 的 边，1)当 MN/AB时；2)当 时，利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 分 别 进 行 求 解 即 可.【解 析】解(1).抛 物 线 y=f+/?%+c经 过 点 人(0,-1),点 8(4,1),16+4/?+c=1b 解 得 2,c=-17.,该 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 丫=/-乎-1;(2)V/l(0,-I),B(4,1),直 线 AB的 函 数 表 达 式 为 y=；x-l,：.C(2,0),设 尸 其 中 0r4,点 E 在 直 线 y=g x-l上，尸

45、E x轴，g f-l,NOCA=NDEP,：.PE=-2产+8f=-2(f-2)2+8,JP D LA B,：.ZED P=ZCOA,:Z D E S/AOC,：AO=l,OC=2,:AC=亚,AOC的 周 长 为 3+逐，令 A P D E的 周 长 为/,则 2=4,I PE,3/+5 c 2。1 6布+10/0 2 24上。/=-2(/-2)+8)=-(r-2)+$+8，.当 r=2时，A P C E周 长 取 得 最 大 值，最 大 值 为 生 生+8,5此 时 点 P 的 坐 标 为(2,-4),(3)如 图 所 示，满 足 条 件 的 点 例 的 坐 标 有(2,-4),(6,12

46、),(-2,12).由 题 意 可 知，平 移 后 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 y=/-4 x,对 称 轴 为 直 线 x=2.若 A 8是 平 行 四 边 形 的 对 角 线，当 何 N 与 AB互 相 平 分 时，四 边 形 ANBM是 平 行 四 边 形，即 M N经 过 AB的 中 点 C(2,0),.点 N 的 横 坐 标 为 2,点 M 的 横 坐 标 为 2,.点 M 的 坐 标 为(2,-4)；若 是 平 行 四 边 形 的 边，1)用 时，四 边 形 平 行 四 边 形，VA(0,-1),B(4,1),点 N 的 横 坐 标 为 2,.点 M 的 横 坐 标 为

47、2-4=-2,.点 M 的 坐 标 为(-2,12)；2)当 NM AB时，四 边 形 A8MN是 平 行 四 边 形，VA(0,-1),B(4,1),点 N 的 横 坐 标 为 2,点”的 横 坐 标 为 2+4=6,.,.点 M 的 坐 标 为(6,12),综 上，满 足 条 件 的 点 M 的 坐 标 有(2,-4),(6,12),(-2,12).【点 评】本 题 考 查 待 定 系 数 法 求 函 数 的 表 达 式、相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质、求 二 次 函 数 的 最 值、平 行 四 边 形 的 性 质 等 知 识，解 答 的 关 键 是 熟 练 掌 握 二 次 函

48、 数 的 性 质，运 用 平 行 四 边 形 的 性 质，结 合 数 形 结 合 和 分 类 讨 论 的 思 想 方 法 进 行 探 究、推 导 和 计 算.10.(1)y=-1x2+x+1;|石；(3)存 在，点。的 坐 标 为 2(0,2-6)、(22(0,2+73)分 析(1)先 将 点 B 的 坐 标 为(4,加)代 入 代 入 直 线 解 析 式 中，求 得 点 B 的 坐 标，再 利 用 A B坐 标，待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 解 析 式；(2)设 一 万?-+?+,则 一?+/),DE=-2)+2,当?=2时，D E W最 大 值 为 2,此 时 Q(2,|,作 点

49、 A 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 A,连 接 A。，与 对 称 轴 交 于 点 P,/+4=9+8 4=4。此 时 包+4最 小，勾 股 定 理 即 可 求 得；(3)作 AH_Ly 轴 于 点 H,连 接 A M、A Q、M Q、HA,H Q,由 ZA Q M=45。可 知 Z A Q M=Z A H M,继 而 可 得：Q H=HA=H M=2,设。(0),勾 股 定 理 即 可 求 得 点。的 坐 标【解 析】解：(1)将 点 8 的 坐 标 为(4,租)代 入 7y=-x+,.1 1 i=-4+=,2 28的 坐 标 为(4,-；)，将 4 3,2),代 入 y=-x2+bx+

50、c f2-x32+3b+c=2,2-x 42+4方+c=2 27解 得 6=1,c=,i 7 抛 物 线 的 解 析 式 y=-；/+x+j(2)设+，”+g,)=(；/+机+(1(一 加+()=g”/+2乃=g(/-2)2+2,当 他=2时，O E有 最 大 值 为 2此 时 D Q g),作 点 A关 于 对 称 轴 的 对 称 点 A，连 接 AE),与 对 称 轴 交 于 点 P.此 时 PZ)+P4最 小，4(3,2),Z.A(-I,2),A=/(-1-2尸+(21)=|/5 即 P D+R 4 的 最 小 值 为；(3)作 A”_Ly 轴 于 点“，连 接 A M、A Q、例。、H