2023年九年级数学中考专题训练——相似三角形的判定与性质综合.pdf

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1、中 考 专 题 训 练 一 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 综 合 1.在 矩 形 A8C O中，点 E 为 射 线 BC上 一 动 点，连 接 AE.(1)当 点 E 在 边 上 时，将 AABE沿 A E翻 折，使 点 8 恰 好 落 在 对 角 线 8。上 点 尸 处，A E交 8。于 点 G.如 图 1,若 BC=C A B,求 NAFD的 度 数;如 图 2,当 A8=4,且 EF=E C时，求 8 c 的 长.(2)在 所 得 矩 形 ABCD中，将 矩 形 ABCZ)沿 4 E进 行 翻 折，点 C 的 对 应 点 为 C,当 点 E,C,。三 点 共 线 时,求 B

2、E的 长.2.【理 解 概 念】定 义：如 果 三 角 形 有 两 个 内 角 的 差 为 90。，那 么 这 样 的 三 角 形 叫 做“准 直 角 三 角 形”.(1)已 知 ZkABC是“准 直 角 三 角 形“，且 N C 90。.若 ZA=60。，则 N B=;若 NA=40。，则 N 8=；【巩 固 新 知】(2)如 图，在 R ta A B C中，=90,AB=6,BC=2,点。在 A C边 上，若 A BD是“准 直 角 三 角 形”，求 C D的 长；【解 决 问 题】(3)如 图，在 四 边 形 A8C。中，CD=CB,ZABD=ZBCD,AB=5,BD=8,且 是“准 直

3、 角 三 角 形”,求 BC D的 面 积.D图 3.小 华 同 学 利 用 折 纸 探 究 图 形 折 叠 过 程 中 所 蕴 含 的 数 学 道 理，点 E 为 矩 形 纸 片 边 A B上 一 点，小 华 将 VAOE沿 着 D E折 叠 至 AA O E,已 知 AB=12cm,AZ)=8 c m,请 你 帮 助 小 华 解 决 下 列 问 题：操 作 与 实 践：如 图 1,当 点 E与 点 8 重 合 时，8 与 A 8 交 于 点。，求 AOBO的 面 积.探 究 与 发 现：如 图 2,当 点 E为 A 8中 点 时，4 E 与 A C交 于 点 F,求 质 的 长；拓 展 与

4、 延 伸：线 段 D E、射 线 D A 分 别 与 线 段 A C交 于 点 M、N,小 华 在 折 叠 的 过 程 中 发 现 AOMN的 形 状 随 着 4 E长 度 的 4.如 果 四 边 形 的 一 条 对 角 线 把 四 边 形 分 成 两 个 等 腰 三 角 形，且 两 个 等 腰 三 角 形 的 顶 角 顶 点 重 合，则 称 此 四 边 形 为 环 绕 四 边 形，此 顶 点 称 为 该 四 边 形 的 环 绕 点.例 如，有 一 个 角 为 60。的 菱 形 就 是 环 绕 四 边 形，菱 形 钝 角 顶 点 式 环 绕 点.L-J-I I 八 I I I 1-r图 1 图

5、 2(1)在 网 格 的 格 点 上 找 出 所 有 的 点。，使 四 边 形 A 8D C是 环 绕 四 边 形;(2)如 图 1,四 边 形 A8CO是 环 绕 四 边 形，且 A 为 环 绕 点，ZBAD=nO,BC=2,CD=5,求 A C；如 图 2,方 为 正 方 形 ABC。内 部 一 点，四 边 形 ABBD为 环 绕 四 边 形，A 为 环 绕 点，4)=4,过 点。作 直 线 BB的 垂 线，垂 足 为 点 E,连 结 CE,CE=叵,求 的 面 积.5.如 图，在 A ABC中，8C=10,8 c 边 上 的 高 4 0=6,D,E 分 别 是 边 AB,A C 上 的

6、两 个 动 点(点。不 与 点 A、B 重 合)，D E 与 A M 交 于 点、N,且 D E BC,以 D E 为 边,在 点 A 的 下 方 做 正 方 形。EFG.图 1 图 2(1)当 正 方 形 D E F G 的 边 G F 在 8 c 上 时，求 正 方 形 D E F G 的 边 长.(2)设 O E=x,A ABC与 正 方 形 尸 G 重 叠 部 分 的 面 积 为)，则 当 x 为 何 值 时，V 有 最 大 值，最 大 值 是 多 少？6.(1)如 图 1,在 正 方 形 A B C D 中，E 是 上 一 动 点，将 正 方 形 沿 着 踮 折 叠，点 C 落 在

7、点 尸 处，连 接 CF,并 延 长 C F 交 A 于 点 G.求 证：A B C E 金 C D G；(2)在(1)的 条 件 下，如 图 2,延 长 M 交 A D 边 于 点 况 若 会=,求 器 的 值;BC 3 DH(3)如 图 3,四 边 形 4 8 8 为 矩 形，同 样 沿 着 BE折 叠，连 接 C尸，延 长 C R B尸 分 别 交 A O 于 G，两 点,廿 AB _3 D H右 正=W 6万 7.在 平 面 上 任 取 一 个 ABC,则 可 以 定 义 面 积 坐 标：对 平 面 内 任 一 点 尸，记 岳=S.B，52=S.P A C，5=S.(若 点 P 恰 好

8、 在 止 C 的 某 条 边 所 在 的 直 线 上，则 记 相 应 三 角 形 的 面 积 为。)，则 点 尸 的 面 积 坐 标 记 为 侪 52,S3己 知:在 AABC 中,8(3,0),C(3,0).(1)如 图 1,若 点 A的 坐 标 为(0,3).写 出 点。(1,0)的 面 积 坐 标 已 知 几 个 点 的 面 积 坐 标 分 别 为：3,3,3,F 0,2,7,G5,5,1,H 2,2,5,则 其 中 不 在 内 部 的 点 是;把 平 面 内 一 点 M(x,y)的 面 积 坐 标 记 为 见，啊，,.如 图 2,当 点 A的 坐 标 为(-3,3)时，若 见=网，试

9、探 究 丫 与 x 之 间 的 关 系；当 点 A的 坐 标 为(0,3石)时，点”在 以 点 7(3,。为 圆 心，半 径 为 1的 圆 上 运 动，若 点 M 的 面 积 坐 标 始 终 满 足 帆+-询=9石，直 接 写 出/的 取 值 范 围.8.如 图 1,在 梯 形 ABCD中，NA8C=90,A。BC,A8=4,BC=5,A。=2.动 点 P 在 边 BC上，过 点 尸 作 PFCD,与 边 A B 交 于 点 F,过 点 尸 作 尸 E|8 C,与 边 C。交 于 点 E,设 线 段 研=石 PF=y.图 1 图 2 备 用 图(1)求 y 关 于 x 的 函 数 解 析 式，

10、并 写 出 定 义 域；(2)当 是 以 P E为 腰 的 等 腰 三 角 形 时，求 B P的 值；(3)如 图 2,作！正 户 的 外 接 圆 G。，当 点 尸 在 运 动 过 程 中，外 接 圆。的 圆 心。落 在！庄 户 的 内 部 不 包 括 边 上 时，求 出 3 P 的 取 值 范 围.9.如 图 1,已 知 正 方 形 和 正 方 形 C E A G,点 8、C、E 在 同 一 直 线 上，=CE=1.连 接 瓶、BG.求 图 1中 4尸、B G 的 长(用 含 俄 的 代 数 式 表 示).(2)如 图 2,正 方 形 A8C。固 定 不 动，将 图 1中 的 正 方 形 C

11、耳 G 绕 点 C 逆 时 针 旋 转 a 度(0。”或 2,W，=”问 题 探 索(2)如 图 1,已 知 NM4N=30?,点 P 为/M 4 N 内 部 一 点，AP M 为 等 边 三 角 形，点 尸 落 在 A M 上，点 E 落 在A N上，过 点 尸 作 P C 2 A N于 点 C,于 点。，设 P C 的 长 为 x,APEF的 面 积 为 y,若 4C=4 j L求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式；问 题 解 决 如 图 2,在 五 边 形 ABCDM 中，NB=/C=90?,AD BC,/K W=3 0?,BC=6,AM=AB=2x/L 点 E 在 A用 边

12、上，点 尸 在 8 C边 上，NEDF=60?,连 接 E F,请 问 D E F的 面 积 是 否 存 在 最 小 值？若 存 在，求 这 个 最 小 值；若 不 存 在，试 说 明 理 由.1 2.如 图 1,以 Z 4 B C的 边 A 3为 直 径 作。，交 A C于 点 E,连 接 BE,BO平 分/4 B E 交 A C于 F,交。0于 点。，且 ABDE=/CBE.(1)求 证：BC是。0 的 切 线;(2)如 图 2,延 长 E)交 直 线 A 8于 点 P,若 四=AO.p n 求 至 的 值;若 D E=2,求。的 半 径 长.1 3.如 图，在 正 方 形 ABC。中，点

13、 与 点 尸 分 别 在 线 段 A C,8C上，且 四 边 形。E F G是 正 方 形.图(1)试 探 究 线 段 A E与 CG的 关 系，并 说 明 理 由.如 图 若 将 条 件 中 的 四 边 形 4BCD与 四 边 形 DEFG由 正 方 形 改 为 矩 形，AB=3,BC=4.线 段 AE,CG在(1)中 的 关 系 仍 然 成 立 吗？若 成 立，请 证 明，若 不 成 立，请 写 出 你 认 为 正 确 的 关 系，并 说 明 理 由.当(7沱 为 等 腰 三 角 形 时，求 CG的 长.14.如 图 1,在 矩 形 ABCD中，A3=8,A)=10,E是 C 边 上 一

14、点，连 接 A E,将 矩 形 ABC。沿 AE折 叠,顶 点。恰 好 落 在 8 c边 上 点 F 处，延 长 AE交 BC的 延 长 线 于 点 G.(1)求 线 段 CE的 长；(2)如 图 2,M,N 分 别 是 线 段 4G,DG上 的 动 点(与 端 点 不 重 合)，K Z D W=ZZMM,设 ON=x.求 证 四 边 形 A F G D 为 菱 形；是 否 存 在 这 样 的 点 N,使 AOMN是 直 角 三 角 形？若 存 在，请 求 出 x 的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.15.知 识 呈 现(1)如 图 1,在 四 边 形 ABC。中，ZA8C与 NW C

15、互 余，我 们 发 现 四 边 形 ABCD中 这 对 互 余 的 角 可 进 行 拼 合：先 作 NAQF=N A B C,再 过 点 A 作 AE J_ A D交 D尸 于 点 E,连 接 EC后，易 于 发 现 CO,DE,CE之 间 的 数 量 关 系 是；方 法 运 用（2）如 图 2,在 四 边 形 ABC。中，连 接 A C,A B A C=90,点。是 ACD两 边 垂 直 平 分 线 的 交 点，连 接（M,ZOAC=ZABC.求 证：ZABC+ZADC=900.连 接 8 0,如 图 3,已 知=D C=n,=2,求 BO的 长（用 含 加，的 式 子 表 示）.16.在

16、平 面 直 角 坐 标 系 中，点 尸（刀,凶）是 图 形 G1上 的 任 意 一 点，点。（9,力）是 图 形 玲 上 的 任 意 一 点，若 存 在 直 线 y=丘+仇 Z/0）满 足 X 4%+6且 X 2 近 2+8，则 称 直 线/：丫=H+/丘 0）是 图 形 G1与 玲 的“分 离 直 线”，例 如：如 图 1,直 线/：y=-x-4 是 函 数 图 像 与 正 方 形 的 一 条“分 离 直 线”.在 直 线=,%=2乂+3,%=-2*+3中，是 图 1 函 数），=：（x 尸 为 直 径 的。与 8 c 相 交 于 点 E,连 接 EF,Z O F E=Z A.过 点 F 作

17、 FG_LBC于 点 G,交。于 点 H,连 接 EH.A(1)求 证：8 c 是(DO的 切 线;(2)连 接 E,过 点 E 作 EQ _LAB,垂 足 为 Q,E。和 EGH全 等 吗？若 全 等，请 予 以 证 明；若 不 全 等,请 说 明 理 由；(3)当 30=5,BE=4时，求 A E H G的 面 积.1 8.特 例 发 现：如 图 1,点 E 和 点 F 分 别 为 正 方 形 ABC。边 BC和 边 C C上 一 点，当 C E=C F时，则 易 得 BEVDF.(1)如 图 2,点 E 为 正 方 形 ABC。内 一 点，且 N E C F=90。，C F=C E,点、

18、E,尸 在 直 线 C D的 两 侧，连 接 EF,BE,D F,探 究 线 段 BE与。尸 之 间 的 关 系，并 说 明 理 由；(2)如 图 3,在 矩 形 ABC。中，A8：BC=1：2,点 E 在 矩 形 A 8C Q内 部，N E C F=90。，点 E,F 在 直 线 BC的 两 侧，C E：CF=：2,连 接 E E BE,DE,BF,D F.请 探 究 线 段。E,之 间 的 关 系，并 说 明 理 由；(3)若(2)中 矩 形 ABC0 的 边 A B=3,R s C E F的 边 C E=1,当 8 E=O/时，求 B F的 长.1 9.若 一 个 三 角 形 的 两 条

19、 边 的 和 等 于 第 三 条 边 的 两 倍，我 们 把 这 个 三 角 形 叫 做 和 谐 三 角 形.(1)已 知 AABC是 和 谐 三 角 形，AB=3,BC=4,请 直 接 写 出 所 有 满 足 条 件 的 A C的 长；在 AABC中 A 8=4,8 c=8,。为 BC边 上 一 点，BD=2,连 接 A,若 ABD为 和 谐 三 角 形，求 A C的 长;(3)如 图，在 等 腰 A4?C中 4?=A C,。为 AC的 中 点，且/BC=NA,E为 AB上 一 点，满 足 在:8=3:2,连 接 O E.求 证：AO为 和 谐 三 角 形.2 0.问 题 初 探：数 学 兴

20、 趣 小 组 在 研 究 四 边 形 的 旋 转 时，遇 到 了 这 样 的 一 个 问 题.如 图 1,四 边 形 ABCD和 8EFG都 是 正 方 形，8，4 于，延 长 交 CG于 点 M.通 过 测 量 发 现 C M=M G.为 了 证 明 他 们 的 发 现，小 亮 想 到 了 这 样 的 证 明 方 法：过 点 C作 CNJ.BM于 点 N.他 已 经 证 明 了 g B C N,但 接 下 来 的 证 明 过 程，他 有 些 迷 茫 了.(1)请 同 学 们 帮 小 亮 将 剩 余 的 证 明 过 程 补 充 完 整；(2)深 入 研 究：若 将 原 题 中 的“正 方 形

21、改 为 矩 形”(如 图 2 所 示)，且 丝=当=无(其 中 后 0),请 直 接 写 BC BE出 线 段 CM、MG的 数 量 关 系 为；(3)拓 展 应 用：在 图 3 中，在 RtA/WC和 心 AQE中，ZR4C=ZZME=90,NAC8=NAEO=30。，连 接 BD、CE,尸 为 BO中 点，则 4尸 与 CE的 数 量 关 系 为.参 考 答 案:1.120。，4后（2）4点+4或 4啦-4【解 析】（1）解：四 边 形 ABCZ）是 矩 形，A AD=BC,ZBAD=90,BC=拒 AB,，AD=y/3AB,AH：.tanZABD=6AB：.ZABO=60。，由 折 叠

22、的 性 质 得：AF=AB 尸 是 等 边 三 角 形，ZAFB=6O 0,：.ZAFD=180-ZAFB=120；由 折 叠 的 性 质 得：B F L A E,EF=EB,EF=EC,：.EF=EB=EC,：.BC=2BE,四 边 形 A8CO是 矩 形，A ZABC=90,AD=BC=2BE,AD/BC f:4AD G S A EBG,.AG AD.=z,EG BE，AG=2EG,设 EG=x,则 AG=2x,AE=3 x,在 中，BG L A E,AB2=AG AE（射 影 定 理），即 42=2X-3X.解 得：=友（负 值 已 舍 去）,3AE=3x=2-76，BE=ylAE2-A

23、 B2=7（2/6）2-42=2亚，BC=2BE=4 0,即 8 c 的 长 为 4&;（2）当 点 及 C,。三 点 共 线 时，分 两 种 情 况:.四 边 形 A 8 8 是 矩 形，A ZABC=ABCD=90,AD=BC=4 0,CD=AB=4,AD/B C,：.ZDCE=90,NCED=ZBDA,由 折 叠 的 性 质 得：A g=/W=4,ZB=ZABC=90,:.NDCE=NB,DC=AB,：.C D E BAD(AAS),DE=AD=4 6，CE=yjDE2-CD2=4 4 扬?-4?=4，；BE=BC+CE=4 近+4;b、如 图 4,由 折 叠 的 性 质 得：ZAEC=

24、AEC,NBEC=ADEC，ZAEB=ZAED,A D/B C,：.ZAEB=ZDAE,，ZDAE=ZAED,DE=AD=4/2,在 RtZCDE 中，由 勾 股 定 理 得：CE7 DE。-CD。=4耳-4。=4,；BE=BC-CE=4 0-4;综 上 所 述，B E的 长 为 4夜+4 或 4后-4.2.（1）15；10 或 25 CD=&或 也 2 ABCD的 面 积 为 4 8或 24【解 析】（1）当 N C-N A=90。时，则 NC=150,ZB=180-Z C-Z A=-30（不 合 题 意 舍 去），当 N C-N B=90。，则 NC=NB+90。，Z A+Z B+Z C=

25、180,，2ZB=30,ZB=15,综 上 所 述：ZB=15,故 答 案 为：15；当 N C/4=90时，则 NC=130,ZB=1 8 0-Z C-Z A=10,当 N C-N B=90。，则 NC=NB+90。，,Z Z A+Z B+Z C=180,，2ZB=50,4=25。，综 上 所 述：N 3=10。或 25。，故 答 案 为：10或 25；(2)当 4 3 9 4-8 4=90。时，如 图，过 点。作 归 J_A8于 H,B图 在 Rt/ViBC中，ZACB=90,BC=2 AB=6f AC=ylAB2-B C2=62-22=4 7 2，:ABDA-/DBA=90,ABDA=Z

26、DBC+NC=ZDBC+90,:./DBA=/D B C,又：DH 1.AB,D C lB Cf：.DH=D C,.DH BC sin A=-=-=-,AD AB 3:.DH=-A D=D Ct3DC=AC=p2,4当 NBD4-ZA=90。时，V ZBZM-ZA=90,/BDA=/D B C+/C=/D B C+90。,：.ZA=ZDBC,又 NC=NC,:.4 B C D S 4 A C B,BC CD-=-9AC BC2 CD:,南 F，：.CD=,2综 上 所 述：CD=0 或 正；2(3)如 图，过 点。作 CbJ_BD于 R C E 1 A B,交 A 8的 延 长 线 于 巴图

27、设 ZA8O=NBCO=2x,V BC=CD9 CF 上 BD,：NCBD=NCBE=90。一 元 BF=DF=49又：CF1BD,C E lA Bf：.CE=CF,又 BC=BC,在 RlzJ?C石 和 R uB C F中,jCE=CFBC=BC9：.RtABCE RtABCF(HL),:.BE=BF=4,当 NABC ZAC8=90。时，又,:ZABC-ZAEC=ZBCE,I.ZBCA=NBCE,/八 AC AB 5由(2)可 知：-=CE BE 4设 AC=5a,CE=4a,则 AE=3a=9f*.a=3,J CE=12=CF,/.S Hrr iJ)=2xl2x8=48,当 NA8C-N

28、8AC=90。，又,/ZABC-ZAEC=NBCE,NBAC=NBCE,又：NE=NE=90,:ABCE h C A E,CE=B*AE=C E，:,C E=6,B C D=-X6 X8=24,综 上 所 述：BCD的 面 积 为 4 8或 24.3.操 作 与 实 践：?c n?；探 究 与 发 现：卫 姮 cm；拓 展 与 延 伸：乎 或 4旧-123 29 3【解 析】操 作 与 实 践 解：四 边 形 A8C。是 矩 形，AB=Z AO=8,NC=90。，A B/C D,：.CD=AB=12,BC=AD=8,ZABD=ZBDC,由 折 叠 可 知 NAB=NAB。，NBDC=Z A B

29、 D：.OD=OBT&O D=OB=X,则 0 C=C)-0=12 X,/OB2-O C2=BC2A X2-(1 2-X)2=82解 得：X=y即 0Z)=弓 5tSJBDnu=-20-B C=-2x 3 x8=3、(cm2/)探 究 与 发 现：四 边 形 ABC。是 矩 形，ZE4D=ZB=90,*-AC=y/AB2+BC2=V122+82=4VB.点 E 是 A 8的 中 点，/.AE=-A B=62由 折 叠 可 知 A E=A=8,ZE4,D=Z E 4D=90如 图，延 长 E尸 交 CD于 点 G,则 NZMGA=90图 2A B/CD,ZAED=NEDC,：.4EDC=ZAED

30、,，GD=GE,设 AG=y,则。G=EG=EV+AG=6+y,在 Rt AAOG 中，DG2=AG2+AD2,即（6+丫）2=产+82,解 得 尸;，即 A G=L37 75:.OG=-+6=，3 3：.CG=CD-DG=f3:A B/CD.：.NEAF=NGCF,又 ZAFE=/C F G,:AAFES 卫 FG,.AF AE-=-,CF CGAF 6即 4后-4尸 一 1 1，3解 得.二 必 巨；29拓 展 与 延 伸：当 N Z）MN=90。，A在 AC上 时，如 图,四 边 形 ABC。是 矩 形，AD=S,CD=12,2tanZBAC=AB 12 3*.ZADM=900-ZMAD

31、=ZBAC,tan ZADM-,3.AE 2 B1.AE 2A。3 8 3 AE=；3 当 N D W=9 0。时，如 图,ZEA!D=AEAD=90,：.4DNM=4EAD=骄,AE AC,/.ZAME=ZAEM,VADE沿 着 DE折 叠 至 A D E,J ZAEM=ZAEM,：.ZAME=ZAEM f：.AE=AM,:ZAME=NDMC,ZAEM=ZMDC,：.ZDMC=ZMDCfCM=CD=12,AC=ylAB2+BC2=V122+82=4/13，/.AM=A C-C M=4 y/l3-i2,A=4x/13-12,综 上 所 述 A E的 长 为 号 或 4-1 2.4.(1)见 解

32、 析 后 8-岳【解 析】(1)如 图，点，2 即 为 所 求;(2)如 图 1中，过 点。作 Q E J_B C交 3 c 的 延 长 线 于 点 E,连 接 B。，过 点 A作 A/_L3D于 点 J.图 1：AB=AC=A D,/B A O=120,：.Z A B C Z A C B,ZACD=ZA D C,2ZACB+2ZACD=360-120,/.ZACB+ZACD=120,/.NDCE=60,vC)=5,.CE=CD cos600=-,D E=,2 25 9.BE=BC+CE=2=，2 2.BD=ylBE2+DE2=J(|)2+(竽 了=7 3 9,:A 8=AD,AJ 上 BD,

33、2AB=V 1 3,cos 30A C=A 8=A；(3)如 图 2 中，连 接 B O,过 点 A 作 A/_L而 于 点 尸，过 点 夕 作 笈 于 点 M 交 8 于 点 N.图 2AB=AB=AD,BAD=90,.NM)=35。，.NDE=45。，-DEA.BE,.ZBPC=ZZrDE=45,/BD B=NCDE,BD DB r-=/2,DC DE.ABDRACDE,.毁=变，CE DC:CE=0，.BB=DB=2,AJB=AB,.AF_L 明，:.BF=FB=.AF=yjAB2-B F2=V42-12=715，/SiSn D R D ft.=2-AB B,M2=-BB,AF,：.B，

34、M=*=叵,4 2;MN=BC=4,BW=4-,2:.S&CDB，=gxC D x3N=；x4 x（4一 誓）=8-岳.5.正 方 形。即 G 的 边 长 为 与；当 x=5时,y 有 最 大 值 为 15.【解 析】（1）解：当 正 方 形。E FG的 边 G尸 在 8 C上 时，则。石 8 C,A O E s.DE AN*B C-AM）V BC=10,A M=69：.AN=A M M N=6 DE,.DE 6-D E T o-6-解 之 得=:,4当 正 方 形 DEFG的 边 G F在 BC上 时，正 方 形 D EFG的 边 长 为 与；4（2）解：当 正 方 形。瓦 G 在 AABC

35、的 内 部 时，与 正 方 形。EFG重 叠 部 分 的 面 积 为 正 方 形。E FG的 面 积，,:DE=x,/.y=x2（0 x 0,在 对 称 轴 的 右 侧，函 数 y 的 值 随 x 的 增 大 而 增 大，当 时 15，y 取 最 大 值 为 y=（1rS）2=爱；4 4 16 当 正 方 形 Q E F G的 一 部 分 在 W C 的 外 部 时,.DE AN正 一 而 A N=A M-M N=A M-E P,.x 6-E P 一=-，10 6解 得=6-13 x.3所 以 y=x(6-)，3 15即 y=-X2+6x(x 10),3 3 15 3*.*y=%2+6 x=(

36、x 5)+15(-x 10)9 且 0,当=5时，y 有 最 大 值 为 15,.竺=14-5-15,16 16.”山。与 正 方 形 短 E F G重 叠 部 分 的 面 积 的 最 大 值 为 15.6.(1)见 解 析；(2)!；(3)姮【解 析】证 明：如 图 I 中，.B F E是 由 ABCE折 叠 得 到,:.B E C F,ZECF+ZBEC=90,四 边 形 A8CQ是 正 方 形，.-.ZD=ZBC=90,N ECF+NCGD=90,，/B E C=NCGD,在 JS C E和 C O G中，NBCE=ZD NBEC=NCGD,BC=CD.BCE ACZXX A A S)；

37、(2)解：如 图 2 中，连 接 77.图 2QVBCE 学 aCDG,CE=DG 9由 折 叠 可 知 B C=B F,C E=F E,NBCF=/B F C,.四 边 形 4 3 C O是 正 方 形，AD BC,BC=C Df:B C G=/H G F,;NBFC=4 H F G,.ZH F G=Z H G Ff;HF=HG,C E=2一.BC 3设 CE=2 x,贝 lj BC=CD=3x,FE=CE=2x,DE=CDCE=x,设 HF=HG=a,:.DH=DG-HG=2 x-a,，由 折 叠 可 知 ZBFE=ZBCE=90,ZEFH=90,:.HF2+FE2=DH2+DE29/.a

38、2+(2x)2=(2%-a)2+x2,.x=4。或 0(舍 弃)，DH=2 x-a=la,.GH _ a D H 7 a 7；(3)解：如 图 3中，连 接 HE.设 A8=8=3x,8C=4x,rH=4?,HG=5m,由(2)知/=G=5m,.DG=9m,由 折 叠 可 知 NECF+NBEC=90,vZ D=90,ZECF+ZCGD=90 f1./B E C=NCGD,；NBCE=ND=90。,:ACDG s&BCE,DG CD AB 3,CEBCBC499m 3 一，CE 4:.CE=12m=FE,DE=3x-2mv Z D=ZHFE=90:.HF?+FE?=DH?+DE?，.(5机+(

39、12机=(4机)2+(3X-12/?；)2,二.x=4机+或 4机-/7加 舍 弃)，/.DE=3x 12m=12m 4-3f7m-12/n=3/V7m,.DE=3 屈 m _ 叵,E C 2m 7.(1)6,3,0；F、G 3 1 3(2)y=-x+y=-x-；tZ 2+6后 或 1 4-2【解 析】(1)解：4(0,3),8(-3,0),C(3,0),0(1,0),-si=SM B=x 4 x 3=6,S?=S皿 c=；x2x3=3,S3=SP K=0,点 0(1,0)的 面 积 坐 标 为 6,3,0,故 答 案 为：6,3,0；.3,3,3,一 S.EAB S.E A C=S&E B

40、C=3,点 E 是“S C的 重 心，即 矶 0,1),点 E 在 血?C内 部；”0,2,7,1 S-FAB=0，点 尸 在 边 AB所 在 直 线 上；-SqAB=5，S&G A C=5，S、G B C=1，J 不 在 AABC 内 部；-,-H 2,2,5,S AHAB=2，S 4 H A e=2,S 4 H B e=5，”（。，；）在“3。内 部；故 答 案 为：F、G；（2）解:A（3,3）,8（3,0）,C（3,0）,M（x,y）,AB=3,BC=6,叫=SAMABi 3 i=5*3 卜 _（-3）|=/卜+3|,w3=5i）WflC=-x 6|y|=3|y|：tn=砥,3.1.-

41、|x+3|=3|y|,.|y|=g|x+3|,1 3-），=y+/或 y 1 x 32 2 如 图,当 O O在 N C 4 8内 部 时,+S4 M B C-=S4ABe-9V3，即 町+g-lily=9后,当 e T 不 在 N C 4 B的 内 部 时，满 足 条 件，如 图 2,图 2在 M ACDT 中，NZ)C7=30,DT=:.CT=2,同 理 可 得：H T=2,.04_Lx轴，C _Lx轴，ZAOB=ZHCB=9Q,：.ZABO=ZHBC,：.A BOAHBC,.B O OA 1BC H C 2V A(O,35/3),/./C=6/3,c r=2+6/3,.122+6 豆 或

42、 fV-2.8.y=0 x5(2)5 或 g45(3)BP534(1)解：如 图 所 示：过 点 C作 CQLAD交 AZ)延 长 线 于 点 2,再 过 点 O作 垂 线 O N LB C交 E尸 于 点“，交 BC于 点 N,B p N C./ABC=90。，ADI IBC,二 四 边 形 A8CQ是 矩 形，AB=CQ=4,AQ=BC=5,DQ=AQ-AD=3,在 RtZXOQC中，由 勾 股 定 理 得：DC=DQ2+QC2=5,又：PF I/CD,E F/B C,四 边 形 FPCE是 平 行 四 边 形，PF=CE=y,EF=PC=5-x,DM EF,DN 工 BC,EM I IN

43、C,“DEM S Q C N,DE MEDC NC:.DE=D C-CE=5-y,ME=EF-M F=5-x-2=3-x,NC=3,5-y 3-x化 简 得：y=g x,.尸 点 在 8 c 上 运 动，故 定 义 域 为：0WxW5；(2)如 图 所 示，此 时 是 以 尸 E为 腰 的 等 腰 三 角 形，过 点 E作 EQ，3 c 交 BC于 点 Q,.EF/BQ,EQ.LBC 9四 边 形 EFBQ是 矩 形，又 话 是 以 正 为 腰 的 等 腰 三 角 形，PE=PF=y,由（D 得 y=X，BF=Jy2 x2,BQ=EF=PC=5-x,QC=BC-BQ=x,EQ=BF,PQ=PC

44、-QC=5-2 x,在 M d E Q 中，由 勾 股 定 理 得：PE2=PQ2+QE2,y-=（5-2x）2+（/-/）,即 3x2-20 x+25=0,解 得：x 的 值 为 5或 I，因 此，BP的 值 为 5或，(3)解：分 析 P 点 运 动 过 程 可 知，NEP尸 随 P点 向 右 运 动 角 度 不 断 减 小，且 NPEF和/P E E 始 终 是 锐 角.根 据 题 意，令 点 P的 位 置 满 足 4EPF=9 0,则 的 大 于 此 时 对 应 的 长 度 就 可 使 得 外 接 圆 圆。的 圆 心。落 在!户 所 的 内 部.如 下 图 所 示，此 时/日 町=90

45、。，ABC=90,/E P F=90。,Z B F P+/B P F=90,ZEPC+ZBPF=90,NBFP=NEPC（同 角 的 余 角 相 等），同 理 可 得：NBPF=/E C P,M BFPS AEPC,BP PFECCF.=上 y 5-xf5v y=-x,解 得：x 二 弓 45，3445综 上 可 得，当 尸 4 5 时，外 接 圆 圆 0 的 圆 心。落 在！P口 的 内 部.349.(l)B G=4 7 7 i，A F=色 府+2Q)A F=B G 1+百(1)解：延 长 F G交 AB于”，如 图 1,图 1.正 方 形 ABC。和 正 方 形 C E F G,点 B、C

46、、E 在 同 一 直 线 上，：NABC=NBCD=/CGD=NCGH=90。,AB=BC=m,CG=GF=CE=,在 RtZkBCG中，由 勾 股 定 理，得 BG=lB C2+CG2=J+12=7 2+1；ZBHG=90,J 四 边 形 BCGH是 矩 形，ZAHG=90,:GH=BC=m,BH=CG=l,.AH=rn-,在 R S A H G中，由 勾 股 定 理，得 AF=yjAH2+HF2=“-i f+(?+=yj2m2+2;(2)解：连 接 AC、C F,如 图 2,/正 方 形 ABC。和 正 方 形 CEFG,：.NACB=/FCG=45,ZACB+ZACGZ FCG+ZACG

47、,：.NBCG=NACF,在 等 腰 RtAABC中，由 勾 股 定 理，得 AC=6.BC,在 等 腰 Rt 尸 G C中，由 勾 股 定 理，得 CF=yf2CG,.生=生=短,BC CG A C F s B C G,.丝=生=0,BG BC即 AF=6BG；(3)解：连 接 A G 如 图 3,图 3 正 方 形 A8CQ和 正 方 形 CEFG,：.Z CAD=ZCF=45,CD=AD=BC=m,V ZCFE=ZCAF+ZACF,ZCAD=ZCAF+ZFAH,：.ZFAH=ZACFf：/AHF=/CHA,J bAH Fs bCHA,.AH HF 二,CH AH,；正 方 形 CEFG,

48、EF=CE=1,CF=ycE2+EF2=7 2，CH=CF+FH=叵+应=2垃,.AH 42-,=-，2A/2 AH：.AH=2f：.DH=AD-AG=m-2f在 RMCD”中，由 勾 股 定 理，得 CD2+DH2=CH2,即 nr+(加 一 2)=(2&)解 得：5=1+石，生=1-g(不 符 合 题 意，舍 去).？的 值 为 1+6.10.(1)Z E=67.5(2)CD=772(1)解：T A B是 直 径，ZACB=90,8 平 分/A C 8,:.ZACD=ZBCD=ABAD=45,9：CA=C Df1800-45 ZCAD=ZCDA=-=67.5,2J Z G W=67.5-4

49、5=22.5,J 4CBA=90-22.5=67.5,:A B/E D,Z E=Z C a4=67.5；(2)Z A F C Z A F D=90,：A 8是 直 径，ZACB=ZADB=9 0,：CD平 分/A C S,ZACD=NBCD=ZBAD=45,.A A厂 均 为 等 腰 直 角 三 角 形，：。0 的 半 径 为 5,AC=8,=1()，AF=CF=AC.sin 45=4夜，AD=A&sin 450=5及，在 RtAFD 中，FD=A D-A F2=J(5夜 尸 一(4夜 猿=3夜，CO=CF+F)=4夜+3 0=7 近；(3)设 A C B C,在 A C上 取 一 点 N 使

50、 BC=C V,在 Z W 取 点”使。例,NCBN=NCNB=ZLOMM=45,ZANB=ZOMD=135,四 边 形 ACB。是。的 内 接 四 边 形,ZCAD+Z C B D=8 0 f,:4C B N=/D B A=/B A D=4 5，：.NC48+ZABN=45。，,:ZCAB=Z C D B，NCDB+/O D M=45,:.ZABN=/O D M,：AA N B S Q M D,.AN,OATAB 2-=OD 1OM=O O M，.A N 41OM-，则=2 a,OMA C-B C=2OM当 B C A C时，同 理 可 证 组 W G=2&,OMA C-B COM=2上.H