空间曲面与曲线-PPT.ppt

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1、空间曲面与曲线空间曲面与曲线柱体的表面、探照灯的反射面等柱体的表面、探照灯的反射面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：一、曲面的方程一、曲面的方程1.曲面方程的概念曲面方程的概念研究空间曲面有研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程定义定义 以一条平面以一条平面曲线

2、绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴播放播放2.旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴2.旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴2.旋转曲面旋转曲面大

3、家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴2.旋转曲面旋转曲面旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入将将 代入代入得方程得方程求旋转曲面的方程技巧求旋转曲面的方程技巧1)在曲线在曲线C 的方程的方程中，只要将中，只要将y改改成成z不变，不变，同理同理,曲线曲线C绕绕y轴旋转所

4、成的旋转曲面的方程为：轴旋转所成的旋转曲面的方程为：便得曲线便得曲线C绕绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程轴旋转所成的旋转曲面的方程.2）xoy 面上的曲线面上的曲线C：绕绕 x 轴轴绕绕 y 轴轴3）zox 面上的曲线面上的曲线C：绕绕x轴轴绕绕z轴轴解解 圆锥面方程圆锥面方程例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程旋转椭球面旋转椭球面旋转抛物面旋转抛物面播放播放定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.

5、3.3.柱面柱面这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的准线，柱面的准线，动直线动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：xyz0例例解解例例:母线平行于母线平行于y轴的双曲柱面，轴的双曲柱面，准线为准线为其他类推其他类推.例例:抛物柱面抛物柱面 /轴轴思考题思考题1 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？思考题思考题1解答解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中斜率为斜率为1的直线的直线方程方程空间曲线的一般方程空间曲

6、线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：二、曲线的方程二、曲线的方程1.曲线的一般方程曲线的一般方程例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2.曲线的参数

7、方程曲线的参数方程 动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距消去变量消去变量z后得：后得：曲线关于曲线关于 的投影柱面的投影柱面设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：投影柱面的特征：3.空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标

8、面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的面上的投影曲线投影曲线,面上的面上的投影曲线投影曲线,空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.解解（1）消去变量）消去变量z后得后得在在 面上的投影为面上的投影为所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，补充补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空空间间立立体体曲曲面面例例6解解半球面和

9、锥面的交线为半球面和锥面的交线为一个圆一个圆,二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面相应地，平面被称为一次曲面相应地，平面被称为一次曲面讨论二次曲面的形状用所谓的讨论二次曲面的形状用所谓的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌三、二次曲面三、二次曲面（一）椭球面（一）椭球面 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：（二）抛物面（二）抛物面1.椭圆抛物面椭圆抛物面:xyzo（与与 同号）同号）zxyo2.双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）（与与 同号）同号）xyzo（三）双曲面（三）双曲面1.单叶双曲面单叶双曲面 xyoz2.双叶双曲面双叶双曲面:xyo