第17章 勾股定理 期末压轴题训练 人教版八年级数学下册.docx

《第17章 勾股定理 期末压轴题训练 人教版八年级数学下册.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第17章 勾股定理 期末压轴题训练 人教版八年级数学下册.docx（44页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第17章 勾股定理 期末压轴题训练1如图1所示，等边ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分BAC，且ADBC，则有BAD=30，BD=CD=AB于是可得出结论“直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半”请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，B=30时，ACD的周长= （2）如图3所示，在ABC中，AB=AC，A=120，D是BC的中点，DEAB，垂足为E，那么BE：EA= （3）如图4所示，在等边ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=D

2、C，AD、BE交于点P，作BQAD于Q，若BP=2，求BQ的长2定义：若三角形三个内角的度数分别是x，y和z，满足x2y2z2，则称这个三角形为勾股三角形(1)根据上述定义，判断“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由；(2)已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x，y和z，且xy2160，求xy的值；(3)如图，在ABC中，AB，BC2，AC1，求证：ABC是勾股三角形.3如图，在RtABC中，ABC90，AB8，BC6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒点D运动的速度为每秒1个单位长度 (1)当t2时，CD

3、 ， AD ；(2)求当t为何值时，CBD是直角三角形，说明理由； (3)求当t为何值时，CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由 4我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点特例感知等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；如图1，已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高若，试求线段CD的长度深入探究如图2，已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CACB，CD是AB边上的高试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；推广应用如图3，等腰ABC为勾股高三角形，其中

4、，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E若，试求线段DE的长度5在ABC中，AB=AC，BAC=90，点D为线段BC上的一个动点，以AD为直角边向右作等腰RtADF，使AD=AF，DAF=90（1）如图1，连结CF，求证：ABDACF；（2）如图2，过A点作ADF的对称轴交BC于点E，猜想BD2，DE，CE关系，并证明你的结论；（3）点E在BC的延长线上时，其他条件都不变时，上述（2）的结论还能成立吗？如果不能成立，请说明理由；如果能成立，请证明结论6类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形（）如图，四边形中，平分，求证：四边形为等邻边四边形

5、（）如图，中，将沿的平分线的方向平移，得到，连接、，若平移后的四边形是等邻边四边形，求平移的距离（）如图，在等邻边四边形中，和为四边形对角线，为等边三角形，试探究和的数量关系7（1）问题发现：如图1，ACB和DCE均为等边三角形，当DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证BCEACD则：BEC；线段AD、BE之间的数量关系是（2）拓展研究：如图2，ACB和DCE均为等腰三角形，且ACBDCE90，点A、D、E在同一直线上，若AE15，DE7，求AB的长度（3）探究发现：如图3，P为等边ABC内一点，且APC150，且APD30，AP5，CP4，DP8，求BD的长 8如图1，在等边A

6、BC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边CDE，连接BE（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；（2）如图2，若AB=8，点P、Q两点在直线BE上且CP=CQ=5，试求PQ的长；（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由9如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，CD是ACB的角平分线，点E、F分别是边AC、BC上的动点AB=，设AE=x，BF=y（1）AC的长是 ；（2）若x+y=3，求四边形CEDF的面积；（3）当

7、DEDF时，试探索x、y的数量关系10如图，将两块腰长相等的三角尺（ABC和DEF，其中ACB=DFE=90）置于水平面上，直角边BC=EF=1cm，且始终紧贴在水平直线上（1）在图中，当边DF与边AC重合时，AB与AE的大小关系是_；（2）将三角板ABC以1cm/s的速度从图的位置沿直线向右平移，设平移的时间为t (s)，如图所示当0t1时，DE分别交AC、AB于点G、H，DF分别交AB、BG于点P、Q，连结BG、AE求证：BG=AE；在平移过程中，是否存在某时刻t，使得以点D、G、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由11【问题情境】徐老师给爱好学习的小敏

8、和小捷提出这样一个问题：如图1，ABC中，B=2C，AD是BAC的平分线求证：AB+BD=AC小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，连接DE（如图2）小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE可以证得：AE=DE（如图3）请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明【变式探究】“AD是BAC的平分线”改成“AD是BC边上的高”，其它条件不变（如图4）AB+BD=AC成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出你的正确结论，并说明理由【迁移拓展】ABC中，B=2C求证：（如图5）12如图，为线段上一动点，分别过点作，连接已知，设(1)用含的代数式表示的值；(2)探究：当点满足什么条件时，

9、的值最小？最小值是多少？(3)根据(2)中的结论，请构造图形求代数式的最小值13如图，在等腰直角三角形BCD中，BDC90， BF平分DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DADF（1）求证：FBDACD；（2）延长BF交AC于点E，且BEAC，求证：CEBF；（3）在（2）的条件下，H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点G，如图试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论14如图1，ABC中，C90，点D在AC上，过点D作DEAB于点E，过点D作直线lAC，点E和E关于l对称，射线DE与三角形的另一边交于点F设AD的长度为x，ABC在线段DF右侧部分的面积为y，y与x的函数图

10、象如图2所示（其中0xm，mx8时，函数的解析式不同）（1）填空：AC的长度为 ，BC长度为 ；（2）求m的值；（3）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围15已知：ACD和BCE都是等腰直角三角形，ACD=BCE=90（1）如图,摆放ACD和BCE时（点A、C、B在同一条直线上，点E在CD上），连接AE、BD线段AE 与BD的数量关系是 ，位置关系是 （直接写出答案）（2）如图,摆放ACD和BCE时，连接AE、BD，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图,摆放ACD和BCE时，连接AE、DE若有AE2=DE2+2CE2，试求DEC的度数16在菱形ABCD中，点Q为AB边上一

11、点，点F为BC边上一点连接DQ、DF和QF（1）如图1，若ADQ=FDQ，FQD=90，求证：AQ=BQ；（2）如图2，在（1）的条件下，BAD=120，对角线AC、BD相交于点P，以点P为顶点作MPN=60，PM与AB交于点M，PN与AD交于点N，求证：DN+QM=AB；（3）如图3，在（1）（2）的条件下，延长NP交BC于点E，延长CN到点K，使CK=CA，连接AK并延长和CD的延长线交于点T，若AM：DN=1：5，S四边形MBEP=12，求线段DT的长17如图1，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FGCE分别交AB、CD于F、G，垂足为O（1）求证：CE=FG；（2）如图2，连接OB

12、，若AD=3DE，OBC=2DCE求的值；若AD=3，则OE的长为 （直接写出结果） 18如图，在ABC中，ACB90，ACBC，AB2，CD是边AB的高线，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动设E的运动时间为t（s）（t0）（1）AE （用含t的代数式表示），BCD的大小是 度；（2）点E在边AC上运动时，求证：ADECDF；（3）点E在边AC上运动时，求EDF的度数；（4）连结BE，当CEAD时，直接写出t的值和此时BE对应的值试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案：1（1）15

13、cm；（2）3：1；（3）BQ=【解析】整体分析：(1)由“直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半”求AC的长；(2)连接AD，由“三线合一”得BAD=60，利用直角三角形中的30角所对的直角边的性质，分别把BE，EA用BD表示；(3)证明BAEACD，得BPQ=60，结合勾股定理求解.解：(1)DE是线段BC的垂直平分线，ACB=90，CD=BD，AD=BD又在ABC中，ACB=90，B=30，AC=AB，ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm故答案为15cm；(2)连接AD，如图所示在ABC中，AB=AC，A=120，D是BC的中点，BAD=60又DEAB，B=ADE=30，B

14、E=BD，EA=AD，BD=AD，EA=AD=BD.BE:EA=BD:AD，BE:AE=3:1故答案为3:1(3)ABC为等边三角形AB=AC，BAC=ACB=60，在BAE和ACD中，AE=CD，BAC=ACB，AB=AC，BAEACD(SAS)，ABE=CADBPQ为ABP外角，BPQ=ABE+BADBPQ=CAD+BAD=BAC=60，BQAD，PBQ=30，BP=2PQ=2，PQ=1，BQ=2(1)“直角三角形是勾股三角形”是假命题；(2)102；(3) ABC是勾股三角形【解析】试题分析：（1）直接根据“勾股三角形”的定义，判断得出结论即可；（2）利用已知得出等量量关系组成方程组，进

15、而求出x+y的值；（3）过B作BHAC于H，设AH=x，利用勾股定理首先得出AH=BH=，HC=1，进而得出A=45，C=60，B=75，即可得出结论试题解析：（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题理由如下：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x、y和z，若满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形，无法得到所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；（2）解：由题意可得：，解得：x+y=102；（3）证明：过B作BHAC于H，如图所示，设AH=xRtABH中，BH=，RtCBH中，解得：x=，AH=BH=，HC=1，A=ABH=45BC=2，HC=1，HBC=30，BCH=60，

16、ABC=75，452+602=752，ABC是勾股三角形点评：本题主要考查了新定义、多元方程组解法、勾股定理，利用勾股定理得出AH，HC的长是解题的关键3（1）2，8；（2）t3.6秒或10秒（3）t6秒或7.2秒时【解析】试题分析：（1）根据CD=速度时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解；（2）分CDB=90时，利用ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程速度计算；CBD=90时，点D和点A重合，然后根据时间=路程速度计算即可得解；（3）分CD=BC时，CD=6；BD=BC时，过点B作BFA

17、C于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答试题解析：（1）t=2时，CD=21=2，ABC=90，AB=8，BC=6，AC=10，AD=AC-CD=10-2=8；故答案是：2；8（2）CDB=90时，SABC=ACBD=ABBC，即10BD=86，解得BD=4.8，CD=3.6，t=3.61=3.6秒；CBD=90时，点D和点A重合，t=101=10秒，综上所述，t=3.6或10秒；故答案为（1）2，8；（2）3.6或10秒；（3）CD=BC时，CD=6，t=61=6；BD=BC时，如图2，过点B作BFAC于F，则CF=3.6，CD=2CF=3.62=7.2，t

18、=7.21=7.2，综上所述，t=6秒或7.2秒时，CBD是以BD或CD为底的等腰三角形4特例感知:是；深入探究：，理由见解析；推广应用：2a【分析】特例感知根据勾股高三角形的定义进行判断即可；设根据勾股定理可得：，根据勾股高三角形的定义列出方程，解方程即可；深入探究：根据勾股高三角形的定义结合勾股定理即可得出它们之间的关系；推广应用：运用探究的结果进行运算即可【解析】解：特例感知等腰直角三角形是勾股高三角形，故答案为：是；设根据勾股定理可得：，于是，；深入探究：由可得：，而，即；推广应用过点A向ED引垂线，垂足为G，“勾股高三角形”ABC为等腰三角形，且，只能是，由上问可知又EDBC，而，A

19、GDCDB（AAS），ADE与ABC均为等腰三角形，根据三线合一原理可知又，5（1）证明见解析；（2）DE2=CE2+BD2，理由见解析；（3）结论成立，证明见解析【分析】（1）由已知条件可知：AB=AC，AD=AE，BAC=DAF=90，由此可得BAD=CAF，从而可由“SAS”证得ABDACF；（2）由（1）中所得结论ABDACF可得：CF=BD，ACF=B=ACB=45，从而可得ECF=45+45=90；由AE是等腰直角ADF的对称轴可得：AE垂直平分DF，由此可得DE=EF；在RtEFC中，由EF2=CE2+CF2，结合前面结论可得：DE2=CE2+BD2（3）如图3，由已知条件可证A

20、BDACF，由此可得CF=BD，ACF=B=ACB=45，从而可得DCF=ACB+ACF=90，则ECF=90；由AE是等腰直角ADF的对称轴可得：AE垂直平分DF，从而可得DE=EF；在RtECF中，由EF2=CE2+CF2结合前面结论可得：DE2=CE2+BD2，即（2）中结论成立【解析】（1）BAD+DAC=90，DAC+CAF=90，BAD=CAF，在ABD与ACF中，AB=AC，BAD=CAF，AD=AF，ABDACF；（2）ABDACF，ACF=B=45，DB=CF，又ACD=45，FCD=FCA+ACD=90，EF2=CE2+CF2，AE是DAF的对称轴，DE=EF，DE2=CE

21、2+BD2 ；（3）结论成立，易证ABDACF，ACF=B=45，DB=CF，ECF=180-BCF=90，EF2=CE2+CF2，AE是DAF的对称轴，DE=EF，DE2=CE2+BD2【点评】（1）解决第2问的关键是通过证：ECF=90，EF=DE，BD=CF，这样就可把在同一直线上的三条线段：BD、DE、EC集中到RtEFC中，通过勾股定理来证明它们之间的数量关系；（2）解决第3问的关键是按题意在备用图中画出符合题意的图形，然后参照第2问的思路即可证明在新的图形中，第2问中的结论仍然成立6（1）证明见解析；（2）平移距离可为、2、；（3）.【解析】试题分析：（1）由已知条件通过证ABCA

22、DC可得结论；（2）由已知易得：平移距离，由，易得再分以下四种情况讨论计算即可：时；时；时；（3）如图，把ABC绕点逆时针转到ADC处，连接CC，通过证ACCABD及证CCD是等腰直角三角形即可求得AC与AB间的数量关系.试题解析：（）平分，是等邻边四边形（）由平移可知平移距离，由，由勾股定理可得：时，时，时，如图1，延长CB交AB于点H，设BH=x，则在RtBCH中，有，易得，（舍），时，如图1，则在RtBCH中，有，易得，（舍），综上，平移距离可为、；（），理由如下：将绕旋转至处，连接，则由旋转的性质和已知可得：CAC=DAB，AC=AC，AD=AB，CD=BC=DC，由此可得：，5=2，

23、6=4，1+5+3+6=90，ADC+ADC=180+180-90=270，CDC=360-270=90.又CD=BC=DC，CDC是等腰直角三角形，与的相似比为，点评：解第（2）小问时，需注意两点：根据“等邻边四边形”的定义可知：使四边形是等邻边四边形，存在四种可能性，每种都要分析讨论到，不要忽略了任何一种情况；在讨论后两种情况时，抓住BB是直角的平分线这一点，通过延长CB交AB于点H构造等腰直角三角形问题就很容易解决了.7（1）120，ADBE；（2）AB=17；（3）BD的长为13.【解析】解：（1）ACB和DCE均为等边三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60ACDBCE在ACD和

24、BCE中，ACDBCE（SAS）ADCBECDCE为等边三角形，CDECED60点A，D，E在同一直线上，ADC120BEC120故答案为：120由得：ACDBCE，ADBE；故答案为：ADBE（2）ACB和DCE均为等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90ACDBCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）ADBEAEDE1578，ADCBEC，DCE为等腰直角三角形CDECED45点A，D，E在同一直线上，ADC135BEC135AEBBECCED90AB17；（3）把APC绕点C逆时针旋转60得BEC，连接PE，如图所示：则BECAPC，CECP，PCE60，BEAP5，B

25、ECAPC150，PCE是等边三角形，EPCPEC60，PECP4，BEDBECPEC90，APD30，DPC15030120，又DPEDPC+EPC120+60180，即D、P、E在同一条直线上，DEDP+PE8+412，在RtBDE中，即BD的长为138（1）AD=BE；（2）PQ=2PN=23=6；（3）是定值，见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再求出ACD=BCE，然后利用“边角边”证明ACD和BCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）过点C作CNBQ于点N，根据等腰三角形三线合一的性质可得PQ=2PN，CMAD，根据全等三角形对应边上的高线

26、相等可得CN=CM，然后利用勾股定理列式求出PN的长度，从而得解；（3）根据（2）的结论，点C到PQ的距离等于CM的长度，是定值，所以，PQ的长是定值不变【解析】解：（1）AD=BE理由如下：ABC，CDE都是等边三角形，AC=BC，CD=CE，ACD+BCD=ACB=60，BCE+BCD=DCE=60，ACD=BCE，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），AD=BE；（2）如图，过点C作CNBQ于点N，CP=CQ，PQ=2PN，ABC是等边三角形，AM是中线，CMAD，CM=BC=8=4， CN=CM=4（全等三角形对应边上的高相等），CP=CQ=5，PN=3， PQ=2PN=23=6

27、；（3）PQ的长为定值6点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，ACD和BCE全等，对应边AD、BE上的高线对应相等，CN=CM=4是定值，PQ的长是定值【点评】此题考查了等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质9（1）4；（2）5；（3）x+y=4【分析】（1）根据锐角三角函数得到AC的长；（2）过点D作DGAC于点G，DHBC于点H，由ACB=90，AC=BC，CD是ACB的角平分线得到A=B=ACD=BCD=45，CDAB，AD=CD=BD，在等腰直角三角形ACD中，DGAC，A=45求出DG=AG=AC=2，DH=2，求出四边形CEDF的面积；（3）当DEDF时，EDF=90，又因

28、为CDAB得到ADE+EDC=EDC+CDF=90，证得ADECDF，AE=CF，AE+BF=CF+BF=BC，即x+y=4【解析】（1）在RtABC中，ACB=90，AC=BC，AC=AB， AB=， AC=4；（2）如图，过点D作DGAC于点G，DHBC于点H ACB=90，AC=BC，CD是ACB的角平分线A=B=ACD=BCD=45，CDABAD=CD=BD在等腰直角三角形ACD中，DGAC，A=45DG=AG=AC=2 同理DH=2SCDE=CEDG=4x，SCDF=CFDH=4y，S四边形CEDF=SCDE+SCDF=（4x）+（4y）=8（x+y）=8-3=5；（3）当DEDF时

29、，EDF=90CDABADE+EDC=EDC+CDF=90ADE=CDF，又A=DCF=45，AD=CD在ADE与CDF中， ADECDFAE=CFAE+BF=CF+BF=BC 即x+y=410（1）AB=AE；（2）BG=AE；【解析】试题分析：试题解析：（1）AB=AE；（2）证明：ABC和DEF都是等腰直角三角形AC=BC，DF=EF，ACB=DFE=900，DEF=D=450，GCE是等腰直角三角形同理可证BFP是等腰直角三角形CG=CEACB=ACE=900，BCGACE(SAS)BG=AE存在D=450，可分三种情况讨论：）当DGB=D=450时，DGB=DEB+GBE=450+G

30、BE，GBE=00，即t=1平移时间0t1，当DGB=D=450时，不符合题意 9分）同理可证，当DQG=D=450时，不符合题意 10分）当DGB=DQG时，DGB=DEB+GBE=450+GBE，DQG=BPQ+PBQ=450+PBQ，GBE=PBQ11分由已知易得BHE=ACB=900，GH=GC当平移时间为ts时，CF=tcm，CE=CG=GH=(1-t)cm，AG=1-(1-t)=tcm，BC=AC=1cm，AB= 12分，解得（s） 14分考点: 全等三角形；等腰直角三角形的性质与判定11证明见试题解析【分析】问题情境小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，由角平分线的性质就可以

31、得出DAB=DAE，再证明ADBADE就可以得出结论；小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE就可以得出E=C，就有AE=AC，进而得出AE=ED即可；变式探究CD上截取DE=DB，连接AE，由ADBC就可以得出AE=AB，AED=B，由AED=C+CAE就有C=CAE得出AE=EC，进而得出结论；迁移拓展过点A作ADBC于D由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，AC2=CD2+AD2，AC2-AB2=CD2-BD2=BC（CD-BD），由（2）的结论就可以得出AC2-AB2=BC（CD-BD）=BCAB即可【解析】解：问题情境小敏的证明思路是：如图2，在AC上截取AE=AB，

32、连接DE（如图2）AD是BAC的平分线，BAD=EAD在ABD和AED中，ABDAED（SAS），BD=DE，ABD=AED AED=EDC+C，B=2C，EDC=C，DE=EC， 即AB+BD=AC；小捷的证明思路是：如图3，延长CB至点E，使BE=AB，连接AEE=BAEABC=E+BAE，ABC=2EABC=2C，E=C，AEC是等腰三角形AD是BAC的平分线，BAD=DACADE=DAC+C，DAE=BAD+BAEADE=DAE，EA=ED=AC，AB+BD=AC；变式探究AB+BD=AC不成立 正确结论：AB+BD=CD理由：如图4，在CD上截取DE=DB，连接AE，ADBC，AD是

33、BE的中垂线，AE=AB，B=AEDAED=C+CAE，且B=2C，C=CAE，AE=EC即AB+BD=CD；迁移拓展证明：如图5，过点A作ADBC于D由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，AC2=CD2+AD2，AC2-AB2=CD2-BD2=（CD+BD）（CD-BD）=BC（CD-BD）AB+BD=CD，CD-BD=AB，AC2-AB2=BC（CD-BD）=BCAB，即AC2=AB2+ABBC【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的外角一内角的关系的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等及运用勾股定理是关键12（1）；

34、（2）三点共线时；（3）13【分析】（1）由于ABC和CDE都是直角三角形，故可由勾股定理表示；（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和大于第三边知，AC+CEAE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作ABBD，过点D作EDBD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，RtAFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值【解析】（1）；（2）当三点共线时，的值最小 （3）如下图所示，作，过点作，过点作，使，连接交于点，的长即为代数式的最小值过点作交的延长线于点，得矩

35、形，则，12所以，即的最小值为13考点：本题考查的是轴对称最短路线问题【点评】本题利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解13（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），理由见解析【分析】（1）由已知等腰直角三角形DBC可推出DB=DC，且BDF=ADC=90，与已知DA=DF通过SAS证得FBDACD；（2）先由（1）FBDACD得出BF=AC，再由BF平分DBC和BEAC通过ASA证得ABECBE，即得CE=AE=AC，从而得出结论；（3）连接CG，由H是BC边的中点和等腰直角三角形DBC得出BG=CG，再由直角三角形CEG得出，从而得出CE，GE

36、，BG的关系【解析】（1）证明：BCD是等腰直角三角形，且BDC90，BDCD，BDCCDA90在FBD和ACD中，FBDACD(SAS)；（2）证明：BEAC，BEABEC90.BF平分DBC，ABECBE，又BEBE，ABECBE(ASA)，AECE.CEAC由（1）知FBDACD，BFCA，CEBF；（3）解：证明如下：如图，连接CG，H是BC边的中点，BDCD，HD垂直平分BC，BGCG(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)BEAC，在RtCEG中，【点评】考查的知识点是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，运用好SAS、ASA判定三角形全等

37、及勾股定理是关键14（1）8，6；（2）；（3）y 【分析】（1）利用图象信息求出、即可；（2）如图3中，当点与重合时，解直角三角形求出即可解决问题；（3）分两种情形：如图4中，当时，作交于.根据，计算即可；如图5中，当时，根据，计算即可.【解析】解：（1）由题意：AC8，ACBC24，BC6，故答案为8，6（2）如图3中，当点F与B重合时，ADm设直线l交AB于点H直线lAC，DEAB，AEDADHC90，DHBC，BDHDBC，EDHBDH，DBCEDH，ADE+A90，ADE+EDH90，AEDHDBC，tanAtanDBC，CD，ADACCD8，m（3）如图4中，当0x时，作BGDF交

38、AC于G由（2）可知：AG，CG，AB10，DFBG，AD：AGAF：AB，x：AF：10，AFx，DEADsinAx，ySABCSADF24xxx2+24/如图5中，当x8时，ySDFCDCCF（8x）（8x）（8x）2，综上所述，y 【点评】本题属于三角形综合题，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.15（1）AE=BD；AEBD（2）结论AE=BD，AEBD仍然成立（3）45【分析】（1）可直接证明三角形全等；（2）证明ACEDCB （SAS）；（3）先证明ACEDCB （SAS），再利用勾股定理和等

39、量代换，从而证明BED=90.【解析】解：（1）AE=BD；AEBD（2）结论AE=BD，AEBD仍然成立ACD和BCE是等腰直角三角形，ACD=BCE=90，AC=CD，CE=CB，又ACE+ECD=90，BCD+ECD=90，ACE=BCD，在ACE和DCB 中，AC=DC，ACE=DCB，CE=CB，ACEDCB （SAS），AE=BD，EAC=BDC. 延长AE交BD于点F，交DC于点G，在ACG和DFG中，EAC=BDC，AGC=DGF，DFG=ACG=90，即AEBD. （3）连接BD，ACD和BCE是等腰直角三角形，ACD=BCE=90，AC=CD，CE=CB，又ACE=ACB+

40、90，BCD=ACB+90，ACE=BCD，在ACE和DCB 中，AC=DC，ACE=DCB，CE=CB，ACEDCB （SAS），AE=BD BCE是等腰直角三角形，BCE=90，BEC=45，CE=CB，CE2+CB2=BE2，2CE2=BE2，AE2=DE2+2CE2，BD2=DE2+BE2BED=90DEC=BEDBEC=45【点评】本题主要考查三角形的全等和勾股定理，从而证明线段的位置和数量关系，关键要熟练掌握证明全等的方法，积累常见全等的模型.16（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DT=4【分析】（1）作辅助线，证明FQDLQD和ALQBFQ，可得结论；（2）如图2，连接QP，由AQ=BQ，并根据直角三角形斜边中线的性质得：PA=PQ，所以APQ是等边三角形，证明PQMPAN（ASA），则QM=AN，根据AB=AD=DN+AN，代入可得结论；（3）如图3，作辅