中考数学精创专题复习---二次函数与等腰直角三角形综合压轴题+考前冲刺达标测评+.docx

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1、学科网（北京）股份有限公司九年级数学中考复习二次函数与等腰直角三角形综合压轴题九年级数学中考复习二次函数与等腰直角三角形综合压轴题考前冲刺达标测评（附答案）考前冲刺达标测评（附答案）1如图，抛物线?a m?经过?th，?两点，且与?轴交于点?ht?，抛物线的对称轴是直线?a?（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线与直线?a?交于?、?两点，?点在?轴上且位于点?的左侧，若以?、?、?为顶点的三角形与?相似，求点?的坐标；（3）?是直线?上一动点，?为抛物线上一动点，若?为等腰直角三角形，请直接写出点?的坐标2如图，二次函数?a m?的图象交?轴于点?th，点?th，交?轴于点?ht?（1）求

2、二次函数的解析式；（2）连接?，在直线?上方的抛物线上有一点?，过点?作?轴的平行线，交直线?于点?，设点?的横坐标为?，线段?的长为?，求?关于?的函数关系式；（3）若点?在?轴上，是否存在点?，使以?、?、?为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点?的坐标；若不存在，说明理由3已知：如图，直线?a?交坐标轴于 A、C 两点，抛物线?a?过 A、C学科网（北京）股份有限公司两点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为抛物线位于第三象限上一动点，连接 PA，PC，试问PAC 是否存在最大值，若存在，请求出APC 取最大值以及点 P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点 M 为抛物线上

3、一点，点 N 为抛物线对称轴上一点，若NMC 是以NMC 为直角的等腰直角三角形，请直接写出点 M 的坐标4 如图，一次函数 y=4x4 的图像与 x 轴、y 轴分别交于 A、C 两点，抛物线 y=?的图像经过 A、C 两点，且与 x 轴交于点 B（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点 E,使点 E 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出此点 E 的坐标；（3）作直线 MN 平行于 x 轴，分别交线段 AC、BC 于点 M、N问在 x 轴上是否存在点 P，使得PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由5如图，在平面

4、直角坐标系中，将一块腰长为?的等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点 C 的坐标为(1，0)，点 B 在抛物线 y=ax2+ax2 上（1）点 A 的坐标为，点 B 的坐标为；抛物线的解析式为；学科网（北京）股份有限公司（2）设抛物线的顶点为 D，求DBC 的面积；（3）在抛物线上是否还存在点 P(点 B 除外)，使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由6 已知抛物线?a m?m?mhm?h?（1）求抛物线顶点 P 的坐标（用含 a 的式子表示）（2）若该抛物线与 x 轴交于点 A、B，当?是等腰

5、直角三角形时，求 a 的值（3）将点?hht?向右平移 3 个单位长度，得到点 N，若抛物线与线段 MN 只有一个公共点，求 a 的取值范围7如图，抛物线 y?x2?x3?交轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，点 D 为点 C 关于抛物线对称轴的对称点（1）若点 P 是抛物线上位于直线 AD 下方的一个动点，在 y 轴上有一动点 E，x 轴上有一动点 F，当PAD 的面积最大时，一动点 G 从点 P 出发以每秒 1 个单位的速度沿 PEF 的路径运动到点 F，再沿线段 FB 以每秒 2 个单位的速度运动到 B 点后停止，当点 F 的坐标是学科网（北京）股份有限公司多少时，动点 G 的运动过

6、程中所用的时间最少？（2）如图，在（1）问的条件下，将抛物线沿直线 PB 进行平移，点 P、B 平移后的对应点分别记为点 P、B，请问在 y 轴上是否存在一动点 Q，使得PQB为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由8如图，抛物线 y?x2+2x6?交 x 轴于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴于 C点，D 点是该抛物线的顶点，连接 AC、AD、CD（1）求ACD 的面积；（2）如图，点 P 是线段 AD 下方的抛物线上的一点，过 P 作 PEy 轴分别交 AC 于点 E，交AD 于点 F，过 P 作 PGAD 于点 G，求 EF

7、+?FG 的最大值，以及此时 P 点的坐标；（3）如图，在对称轴左侧抛物线上有一动点 M，在 y 轴上有一动点 N，是否存在以 BN 为直角边的等腰 RtBMN？若存在，求出点 M 的横坐标，若不存在，请说明理由9 二次函数?a m?的图象交 x 轴于点?th，点?th 两点，交 y 轴于点 C 动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，过点 M 作?轴交直线 BC 于点 N，交抛物线于点 D，连接 AC，设运动的时间为 t 秒学科网（北京）股份有限公司（1）求二次函数?a m?的表达式；（2）在直线 MN 上存在一点 P，当?是以?为直角的等腰直角三角形时，求

8、此时点 D 的坐标；（3）当?a?时，在直线 MN 上存在一点 Q，使得?t?a?h?，求点 Q 的坐标10定义：函数?a?h?h?的伴随函数是?a?如：函数?a?的伴随函数是?a?（1）函数?a?的图像经过点h?，h?，hh，?，求它的伴随函数；（2）函数?a?的图像与它的伴随函数图像交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与伴随函数的对称轴交于点 P，它的伴随函数图像交?轴于 C，D 两点（点 C 在点 D 的左侧），伴随函数的图像经过点(-l，0)设?的面积为 S函数?a?与它的伴随函数图像交于点(_，_)，(_，_)（用含 b 的代数式表示）；当伴随函数的对称轴在直线?a?右侧

9、时，求 S 与 b 之间的函数关系式；（3）函数?a?图像与它的伴随函数图像交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧）与 x轴交于点 Q，点 A 关千它的伴随函数对称轴的对称点为点?，当?t?是等腰直角三角形时，直接写出 c 的值11如图，在平面直角坐标系中，抛物线?a m?hm h?与?轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C学科网（北京）股份有限公司（1）若 A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）求抛物线的解析式；若点 P 为?轴上一点，点 Q 为抛物线上一点，?CPQ 是以 CQ 为斜边的等腰直角三角形，求出点 P 的坐标；（2）如图 2，若直线?a

10、?h?与抛物线交于点 M、点 N（点 M 在对称轴左侧）直线 AM 交 y 轴于点 E，直线 AN 交 y 轴于点 D试说明点 C 是线段 DE 的中点12如图，在平面直角坐标系?中，抛物线?a m?hm?h?与?轴交于?、?两点（?在?的左侧），与?轴交于点?，其中?h?th?ttan?a?（1）求该抛物线的解析式；（2）如图 1，点?、?是线段?上的两点（?在?的右侧），?a?，过点?作?轴交直线?上方抛物线于点?，过点?作?轴于点?，连接?、?，当?面积最大时，求点?的坐标及?面积的最大值；（3）如图 2，在（2）的条件下，将抛物线水平向左平移，使得平移后的抛物线恰好经过点?t?为平移后

11、的抛物线的对称轴直线?上一动点，连接?，将线段沿直线?平移，平移后的线段记为?，是否存在以?为直角边的等腰?？若存在，请直接写出点?的坐标，若不存在，请说明理由参考答案参考答案1解：（1）抛物线的对称轴是直线?a?，且过点?th，点?的坐标为?th.将?th、?th、?ht?代入?a m?，得：学科网（北京）股份有限公司m?a h?m?a h?a?，解得：m a?a?a?，抛物线的函数表达式为?a?.（2）联立直线?和抛物线的函数关系式成方程组，得：?a?a?，解得：?a?a h，?a?a?，点?的坐标为?t?，?a?h?a?.点?的坐标为?th，点?的坐标为 ht?，?a?，?a?.直线?的

12、函数表达式为?a?，?a?a?.设点?的坐标为?th，则?a?.以?、?、?为顶点的三角形与?相似，?a?或?a?，?a?或?a?，解得：?a?或?a?,点?的坐标为?th 或?th.（3）点?的坐标为?th 或?t?.?a?，存在两种情况（如图 2）.取点?与点?重合，过点?作?轴，交直线?于点?,?a?，?a?h?，此时?为等腰直角三角形，点?的坐标为?th；取点?体 ht?，连接?体，延长?体交抛物线于点?，过点?作?轴，交直线?于点?，点?、?体关于?轴对称，?a?，?体 a?h?，?a?体，?体为等腰直角三角形，?轴，?为等腰直角三角形.点?th，点?体 ht?，直线?体的函数关系式

13、为?a?，联立直线?体和抛物线的函数关系式成方程组，得：?a?a?，解得：?a?a?，?a?a h，点?的坐标为?t?.综上所述：点?的坐标为?th 或?t?.学科网（北京）股份有限公司2解：（1）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（-2，0），B（1，0），设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），把 C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），a=-1，y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，故抛物线的表达式为：y=-x2-x+2；（2）设直线 AC 的解析式为：y=kx+b，把 A（-2，0）、C（0，2）代入得：?aha?，解得：?a?a?，直线 A

14、C 的解析式为：y=x+2，设点 N（n，-n2-n+2），则点 F（n，n+2），l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；（3）存在，分三种情况：如图 2，当 BC=CM1时，M1（-1，0）；学科网（北京）股份有限公司如图 2，由勾股定理得：BC=?a?，以 B 为圆心，以 BC 为半径画圆，交 x 轴于 M2、M3，则 BC=BM2=BM3=?，此时，M2（1-?，0），M3（1+?，0）；如图 3，作 BC 的中垂线，交 x 轴于 M4，连接 CM4，则 CM4=BM4，设 OM4=x，则 CM4=BM4=x+1，由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，解得：x=?，M4在 x

15、轴的负半轴上，M4（-?，0），综上，点 M 的坐标为：（-1，0）或（1+?，0）或（1-?，0）或（-?，0）3解：（1）?a?交 x 轴于 A（-3，0），交 y 轴于 C（0，-3），抛物线?a?经过点 A（-3，0），点 C（0，-3），?a?h a?，解得 a?a?，抛物线解析式为：?a?；（2）如图 2，过点 P 作 PQx 轴，垂足为 Q，直线 PQ，AC 交于点 P，学科网（北京）股份有限公司设点 P 的坐标为（?，?），则点 D 的坐标为（?，?），线段 PD 的长为：（?）-（?）=?，?a?t，?a?t，?=?=?t?t=?=?，m a?h，当?a?时候，PAC 的面积

16、又最大值，最大值为?，此时点 P 的坐标为（?，?）；（3）如图 3，当点 M 在对称轴左侧时，构造矩形 EFCG，设点 M 的坐标为（?，?），NMC 是以NMC 为直角的等腰直角三角形NME+CMF=90，FCM+CMF=90NME=FCM又E=F=90，MN=MCMENCFM，抛物线?a?的对称轴为直线 x=-1，MF=?=?，NE=?，MF=NE，?a?，解得?a?（舍），?a?，故点 M 的坐标为?，?；如图 6，作 MFy 轴，垂足为 F，MF 交对称轴于点 E；设点 M 的坐标为（?，?），则 ME=?，CF=?，由同理可证MNECFM，ME=CF，故?a?，解得：?a?（舍），

17、?a?，故点 M 的坐标为（?，?）；如图 5，当点 M 在对称轴的右侧时，过点 M 作 EFx 轴，分别交对称轴与 y 轴于点 E 和点 F学科网（北京）股份有限公司设点 M 的坐标为（?，?），由同理可证MENMFC，抛物线对称轴为直线 x=-1，则 ME=?=?，CF=?=?，ME=CF，?a?，解得：?a?（舍），?a?，故的点 M 的坐标 为?，?；如图 4，作 ME对称轴，垂足为 E，ME 交 NC，交点为 F设点 M 的坐标为（?，?），则 ME=?，CF=?，由同理可证MNECFM，ME=CF，故?a?，解得：?a?，?a?（舍），故点 M 的坐标为（?，?）；综上可得点 M

18、的坐标为：?，?或?，?或（?，?）或（?，?）4解：（1）一次函数 y=4x4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、C 两点，A（1，0），C（0，4），把 A（1，0），C（0，4）代入?a?得学科网（北京）股份有限公司?a h?a?，解得 a?a?，?a?；（2）?a?=?h?t?，对称轴是直线 x=1，A,B 关于直线 x=1 对称直线 BC 与对称轴直线 x=1 的交点即为 E 点此时点 E 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小把 y=0 代入?a?，得?a h，解得：?a?，?a?，Bh?th?，Chht?，易求直线 CB 的解析式为?a?，把 x=1 代入?a?，得 y=

19、?，Eh?t?，（3）DPAB设 M、N 的纵坐标为 a，AC 所在直线的解析式为 y=4x4,BC 所在直线的解析式为：?a?，则 Mh?m?tm?，Nh?m?tm?，当PMN=90，MN=a+4，PM=a，因为是等腰直角三角形，则a=a+4 则 a=2 则 P的横坐标为?，即 P 点坐标为h?th?；当PNM=90，PN=MN，同上，a=2，则 P 的横坐标为?h?a?，即 P 点坐标为h?th?；当MPN=90，作 MN 的中点 Q，连接 PQ，则 PQ=a，又 PM=PN，PQMN，则 MN=2PQ，即：a+4=2a，学科网（北京）股份有限公司解得：a=?，点 P 的横坐标为：?m?m

20、?am?a?，即 P 点的坐标为h?th?综合上述 P 坐标为h?th?或h?th?或h?th?5解：（1）C（-1，0），AC=?，OA=?a?=2，A（0，2）；过点 B 作 BFx 轴于 F，垂足为 F，ACO+CAO=90，ACO+BCF=90，CAO=BCF，在AOC 和CFB 中，?a?a?a?，AOCCFB，CF=AO=2，BF=CO=1，OF=3，B(-3，1)；把 B(-3，1)代入 y=ax2+ax2 中，得：1=9a-3a-2，解得：a=?，抛物线的解析式为 y=?x2+?x2，故答案为：A（0，2）；B（?，1）；?a?；（2）由?a?a?h?知，抛物线的顶点坐标 D(

21、?，?)，设直线 BD 的关系式为 y=kx+b，将点 B、D 的坐标代入得：?a?a?，学科网（北京）股份有限公司解得：?a?a?，直线 BD 的解析式为?a?，设直线 BD 与 x 轴交于点 E，则点 E（?，0），CE=t?，S?DBC=S?CEB+S?CED=?t?t?=?；（3）假设存在点 P，使得ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形：若以点 C 为直角顶点；则延长 BC 至点 P1，使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点 P1作 P1Mx 轴，CP1=BC，MCP1=BCF，P1MC=BFC=90，MP1CFBCCM=CF=2，P1M=BF=1，P1(1，

22、-1)；若以点 A 为直角顶点；则过点 A 作 AP2CA，且使得 AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点 P2作 P2Ny 轴，同理可证AP2NCAO，NP2=OA=2，AN=OC=1，P2(2，1)，经检验，点 P1(1，-1)与点 P2(2，1)都在抛物线?a?上综上所述，满足条件的 P 坐标为（?，?）或（2，1）.6解：（1）y=ax2-2ax-3a=a（x2-2x+1）-4a=a（x-1）2-4a顶点 P 的坐标为（1，-4a）；（2）令 y=0，ax2-2ax-3a=0得 x1=-1，x2=3，学科网（北京）股份有限公司当ABP 是等腰直角三角形时，|-4a|=2，解得

23、a=?；（3）由题知：ax2-2ax-3a=4（0 x3），只有一个解，即 x2-2x-3=?m（0 x3）只有一个解，（x-1）2=?m+4，当 a=-1 时，只有一解，符合题意；当 a-1 时，x1=1+?m?，x2=1-?m?，?h?，解得?m hh?（舍），或h?h，解得?m?hm?，综上：a0 时，?hh，?，?h?b，?b?，点 A 关于对称轴?a?的对称点?h，?，当?a?h?时，?a t?a，等腰直角三角形?t?中?ta?a?，?a?；当?t a?h?时，?t a t?，?a，th?，h?，?ta?，?a?，?a?；当 b0 时，?hh，?，?h?b，?b?，点 A 关于对称轴

24、?a?的对称点?h，?，当?a?h?时，?a t?a，等腰直角三角形?t?中?ta?a?，?a?；当?t a?h?时，?t a t?，?a，th?，h?，?ta?，?a?，?a?；综上所述，c=1，1，?.11解：（1）将 A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）代入解析式可得m?a h?m?a h?a?m a?a?a?；抛物线的解析式为：?a?如图，B（3，0）C（0，-3），OB=OC，当点 P 与点 O 重合，点 B 与点 D 重合时，PC=PQ，?CPQ 是以 CQ 为斜边的等腰直角三角形，学科网（北京）股份有限公司点 P 的坐标为（0，0）；如图，过点 P 作直线 EFy 轴，过点

25、C，Q 分别作 x 轴的平行线交 EF 于 F 点，E 点，易证QEP?PFC，QE=PF，EP=CF设点 P（m，0），点 Q（n，n?），点 E，F 的坐标分别为（m，n?），（m，-3），当 m0 时，QE=m-n，PF=3，EP=n?，CF=m，?a?n?a?，解得m?a?a?，?a?a?，点 P 的坐标为（?，0）或（?，0）当 m?0 时，如图，QE=n-m，PF=3，EP=n?，CF=-m，学科网（北京）股份有限公司?a?n?a?，解得?a?a?，m?a h?a?，点 P 的坐标为（0，0）或（-5，0）综上所述，点 P 的坐标为（-5，0）或（0，0）或（?，0）或（?，0）；

26、（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），如图 2联立方程得?a?a?a h则有 x1+x2=2+b，x1x2=-3-t，设直线 AM 的解析式为 y=kx+m，分别将 M 点坐标和 A 点坐标代入直线 AM 解析式，可求出直线 AM 的解析式为?a?点 E 是直线 AM 与 y 轴的交点，则 E（0，y?）同理可求 D（0，y?）学科网（北京）股份有限公司则?a?=?a?t=b-4=-6=2yc点 C 是线段 DE 的中点12解：（1）A（?，0），AO2，tan?a?，CO6，C（0，6），将 A、C 的坐标代入?a m?hm?h?得，?m?a h?a t，m a?a t，抛物线的解析

27、式为：ya?x2?x+6；（2）如图 1 所示,延长 PD 交 x 轴于点 H，过点 E 作 ERPH 于点 R,设直线 BC 解析式为：ykx+b，由（1）ya?x2?x+6=?h?h?与 x 轴交于 A(-2,0),B 两点，B 点坐标为(8,0)，将 B（8，0）、C（0，6）分别代入 ykx+b 得：?a h a t，解得?a?a t，直线 BC 解析式为：ya?x+6，学科网（北京）股份有限公司 ER/x 轴，PH x 轴,DP/y 轴,DER=CBO,即 cosDER=cosCBO,?a?即?a?,B 点坐标为(8,0),OB=8,Rt OBC 中,?a?at?a?h,?a?，?a

28、?h?a?EFx 轴，PHx 轴，ERPH,ERH=RHF=EFH=90四边形 EFFR 为矩形，则 FH=ER=2?a?t a?a?设 P（t，?t2?t），则 D（t，?t），?a?a?t?h?t?a?a?h?a?h?t?0当 t=4 时，PD 最大值为 6 即?的面积最大值为 6，当 t=4 时，?t2?t=9P(4，9)当 P(4，9)时，?的面积最大值为 6；(3)由(2)可知?ta?a?，t?a?F 点坐标为(6,0)，将原抛物线水平向左平移使其恰好经过点 F(6,0)，则水平向左平移 2个单位长度,原抛物线与 x 轴交点为 A(-2,0)，B(8,0)向左平移 2 个单位长度后抛

29、物线与 x 轴交（-4，0)，(6，0)，.平移后的抛物线对称轴为直线?a?t?a?点 G 为平移后抛物线对称轴 l 上一动点，设点 G 坐标为(1，n)，学科网（北京）股份有限公司点 B(8，0)，P(4，9)，将线段 BP 沿直线 BC：ya?x+6 平移得到线段?设?h?t?，则?h?t?当?a?h?，?a?时，如图 2 所示，过点?做 MNy 轴，过点?作?于点 M，过点 G 作 GNMN 于点 N,GN BBM P=90M BP+NBG=90N BG+NG B=90NG B=M BP?a?GN BBM P?a?，?a?，?h?t?，?a?a?h?a?，?a?a?a?a?，?a?h?t?G 坐标为(1,n),?t?点的横坐标=1+9=108-m=10,解得 m=-2?h?ht?h?t?学科网（北京）股份有限公司当?a?h?，?a?时，如图 3 所示，过点?做 STy 轴，过点 G 作?于点 S，过点 B作 BTST 于点 T,同理可得PS GBTP?a?，?a?，?h?t?，?a?a?h?a?，?a?a?a?，?a?，?a?h?t?G 坐标为(1,n),?t?点的横坐标=1-9=-84-m=-8,解得 m=12?h?t?h?t?综上所述，当 G（1，?）或（1,22）时，存在以?为直角边的等腰?