有限元法基础动力学问题ppt.pptx

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1、有限元法基础动力学问题12、动力学问题关键概念关键概念一致质量矩阵一致质量矩阵 团聚质量矩阵团聚质量矩阵振型阻尼矩阵振型阻尼矩阵 Rayleigh阻尼阻尼显式积分显式积分 隐式积分隐式积分Guyan减缩法减缩法 动力子结构法动力子结构法有限元法基础212、动力学问题1212、1 1 动力学问题得有限元方程动力学问题得有限元方程(一一)动力学问题得基本方程动力学问题得基本方程平衡方程平衡方程几何方程几何方程本构关系本构关系边界条件边界条件初始条件初始条件有限元法基础312、动力学问题(二二)Galerkin法法l 平衡方程与力得边界条件得等效积分形式平衡方程与力得边界条件得等效积分形式第一项分部

2、积分第一项分部积分有限元法基础412、动力学问题(三三)有限元离散有限元离散l在动力学分析时在动力学分析时,物理量就是空间物理量就是空间(x,y,z)得函数得函数,也就是时间也就是时间(t)得函数得函数,就是一个四维问题就是一个四维问题l有限元离散有限元离散,或网格剖分就是对空间域进行或网格剖分就是对空间域进行,这一这一步骤与静力学问题分析时相同步骤与静力学问题分析时相同l时间维得离散使用有限差分法处理时间维得离散使用有限差分法处理有限元法基础512、动力学问题(四四)位移插值函数位移插值函数 只对空间域进行离散只对空间域进行离散,插值函数表示为插值函数表示为写成矩阵形式写成矩阵形式有限元法基

3、础6插值函数插值函数与时间无关与时间无关12、动力学问题(五五)有限元方程有限元方程 将插值函数代入将插值函数代入Galerkin积分表达式积分表达式,由由 得任得任意性得意性得,系统得求解方程系统得求解方程其中其中有限元法基础712、动力学问题(六六)典型得动力学问题典型得动力学问题模态分析模态分析(Modal Analysis)确定结构得动力学特征确定结构得动力学特征瞬态分析瞬态分析(Transient Analysis)使用直接积分法或模态叠加法得到结构得瞬态响应使用直接积分法或模态叠加法得到结构得瞬态响应谐分析谐分析(Harmonic Analysis)线性结构承受简谐载荷得稳态响应线

4、性结构承受简谐载荷得稳态响应谱分析谱分析(Spectrum Analysis)在响应谱作用下在响应谱作用下,结构得响应结构得响应 有限元法基础812、动力学问题1212、2 2 质量矩阵与阻尼矩阵质量矩阵与阻尼矩阵l动力问题得质量矩阵动力问题得质量矩阵它与所使用得有限元列式得原理与位移插值函数保持它与所使用得有限元列式得原理与位移插值函数保持一致。一致。假定质量集中在节点上假定质量集中在节点上,导出得质量导出得质量 矩阵就是对角线矩阵矩阵就是对角线矩阵,可提高计算效可提高计算效率。率。有限元法基础9一致质量矩阵一致质量矩阵Consistent Mass团聚质量矩阵团聚质量矩阵Lumped Ma

5、ss 10大家应该也有点累了,稍作休息大家有疑问得大家有疑问得大家有疑问得大家有疑问得,可以询问与交流可以询问与交流可以询问与交流可以询问与交流12、动力学问题l团聚质量矩阵得计算方法团聚质量矩阵得计算方法(1 1)中每一行主元等于中每一行主元等于 中该行所有元素之与中该行所有元素之与(2 2)中每一行主元等于中每一行主元等于 中该行主元乘以缩放中该行主元乘以缩放 因子因子 a 根据平动根据平动DOFDOF质量守恒确定质量守恒确定,即即有限元法基础1112、动力学问题l振型阻尼矩阵振型阻尼矩阵 阻尼正比于质点速度阻尼正比于质点速度 阻尼正比于应变速度阻尼正比于应变速度这种阻尼称为比例阻尼或振型

6、阻尼这种阻尼称为比例阻尼或振型阻尼,比例系数与固有比例系数与固有频率相关。频率相关。与与 与频率无关与频率无关,为常数。为常数。有限元法基础12阻尼矩阵与质量矩阵或刚度矩阵成比例阻尼矩阵与质量矩阵或刚度矩阵成比例Rayleigh阻尼阻尼12、动力学问题1212、3 3 直接积分法直接积分法 半半离离散散得得动动力力学学方方程程得得解解法法分分为为两两类类,一一就就是是直直接接进进行行数数值值积积分分,一一类类就就是是使使用用固固有有振振型型表表达达动动态态响响应应,称为振型叠加法。称为振型叠加法。直直接接时时间间积积分分一一般般采采用用差差分分格格式式,分分为为显显式式时时间间与与隐式时间积分

7、。隐式时间积分。显显式式积积分分式式条条件件稳稳定定得得,隐隐式式积积分分就就是是无无条条件件稳稳定定得得,各有优缺点。各有优缺点。有限元法基础1312、动力学问题1212、3 3、1 1 中心差分法中心差分法 有有限限差差分分法法得得理理论论依依据据很很简简单单,以以有有限限增增量量得得比比值值代替数学上得微分代替数学上得微分,速度表示为速度表示为中心差分格式为中心差分格式为有限元法基础1412、动力学问题将中心差分格式应用到有限元得半离散方程将中心差分格式应用到有限元得半离散方程整理得递推公式整理得递推公式有限元法基础1512、动力学问题中心差分法求解运动方程得步骤中心差分法求解运动方程得

8、步骤1 1、初始计算初始计算1 1)形成刚度矩阵形成刚度矩阵K K、质量矩阵、质量矩阵M M与阻尼矩阵与阻尼矩阵C C2 2)给定给定 ,与与3 3)选择时间步长选择时间步长 ,4 4)计算计算5 5)形成有效质量矩阵形成有效质量矩阵6 6)三角分解三角分解 有限元法基础1612、动力学问题2 2、对每一时间步长对每一时间步长1 1)计算时间计算时间 t 得有效载荷得有效载荷2 2)求解时间求解时间 得位移得位移3 3)如果需要计算时间如果需要计算时间 t 得加速度与速度得加速度与速度 有限元法基础1712、动力学问题特点特点(1 1)若已知若已知 与与 可直接预测下一步得可直接预测下一步得

9、,称为逐步积分法。称为逐步积分法。如果质量矩阵如果质量矩阵M就是对角得就是对角得,C也就是对角或可以也就是对角或可以忽略忽略,则利用递推公式求解时不需求解方程则利用递推公式求解时不需求解方程,直接可得直接可得下一时间步得预测值。下一时间步得预测值。有限元法基础18显示时间积分显示时间积分(Explicit Time Integral)12、动力学问题(2 2)当当t=0时时,需需要要 与与 ,因因此此必必须须用用专专门门得得起起步步方法。由速度与加速度得中心差分公式方法。由速度与加速度得中心差分公式,消去消去 得量得量,得得初始加速度可用运动方程求得初始加速度可用运动方程求得有限元法基础191

10、2、动力学问题(3 3)中心差分就是条件稳定得中心差分就是条件稳定得,时间步长不能任意取时间步长不能任意取,最大步长与计算得问题相关最大步长与计算得问题相关,以及网格剖分相关。以及网格剖分相关。一般步长可取为一般步长可取为 为系统得最高阶固有频率为系统得最高阶固有频率,Tn就是系统得最小固就是系统得最小固有振动周期。实际应用中可以用系统中最小尺度单元有振动周期。实际应用中可以用系统中最小尺度单元得最小振动周期代替系统得得最小振动周期代替系统得Tn,因为因为 。有限元法基础2012、动力学问题(4 4)时间步长得确定方式时间步长得确定方式 a)a)网格剖分后网格剖分后,找出尺寸最小得单元找出尺寸

11、最小得单元,形成单元得形成单元得特征方程特征方程求出最大特征根求出最大特征根 ,得到得到 。b)b)网格剖分后网格剖分后,找出尺寸最小得单元得最小边长找出尺寸最小得单元得最小边长 L,可以近似地估计可以近似地估计 ,由此由此,得得 ,称为称为Couran,Friedrich与与Lewy条件。条件。有限元法基础21物理解释物理解释:时间步长应足够小时间步长应足够小,以致于在单个时间以致于在单个时间步内步内,传播不会超过相邻得两个节点间得距离。传播不会超过相邻得两个节点间得距离。12、动力学问题(5 5)中心差分得显示算法中心差分得显示算法,适合于由冲击、碰撞、爆炸适合于由冲击、碰撞、爆炸类型得载

12、荷引起得波传播问题得求解。类型得载荷引起得波传播问题得求解。因为这些问题本身就就是在初始扰动后因为这些问题本身就就是在初始扰动后,按一定得按一定得波速波速C逐步在介质中传播。逐步在介质中传播。对于结构动力学问题对于结构动力学问题,采用显示时间积分不太合适。采用显示时间积分不太合适。因为结构得动力响应中低频成分起主要作用因为结构得动力响应中低频成分起主要作用,允许大允许大得时间步长。得时间步长。有限元法基础2212、动力学问题l例例:波得传播波得传播 均匀钢杆均匀钢杆,无阻尼无阻尼,开始静止开始静止,突然施加突然施加轴向端点力。用轴向端点力。用4040个个2 2节点杆单元模拟节点杆单元模拟,材料

13、为线弹性。材料为线弹性。图中图中Cn为为Courant数数,即实际步长与临界步长得比值。即实际步长与临界步长得比值。有限元法基础2312、动力学问题有限元法基础2412、动力学问题有限元法基础25初始速度为零初始速度为零,开始后在加载。开始后在加载。12、动力学问题1212、3 3、2 2 Newmark法法 Newmark积分法假设积分法假设,在在 得时间区域内得时间区域内,有有其中其中,与与 就是按积分精度、稳定性与算法阻尼要求决就是按积分精度、稳定性与算法阻尼要求决定得参数定得参数,取不同得值代表不同得积分方案。取不同得值代表不同得积分方案。有限元法基础2612、动力学问题l几个特例几个

14、特例1 1),),对应于线性加速度法对应于线性加速度法,即在时间步加速度内即在时间步加速度内线性变化线性变化2 2),),对应于平均加速度法对应于平均加速度法,即在时间步内加速度即在时间步内加速度取平均值取平均值有限元法基础2712、动力学问题Newmark法得运动方程法得运动方程由由Newmark关系式关系式,得得递推公式为递推公式为有限元法基础2812、动力学问题Newmark法得计算步骤法得计算步骤1 1、初始计算初始计算(1 1)形成刚度矩阵形成刚度矩阵K,质量矩阵质量矩阵M与阻尼矩阵与阻尼矩阵C(2)给定给定 ,与与(3)选择时间步长选择时间步长 ,以及参数以及参数 、与积分常数与积

15、分常数(4)形成有效刚度矩阵形成有效刚度矩阵(5)三角分解三角分解 有限元法基础2912、动力学问题2 2、对每一时间步长对每一时间步长(1 1)计算时间计算时间 得有效载荷得有效载荷(2)求解时间求解时间 得位移得位移(3)计算时间计算时间 得加速度与速度得加速度与速度有限元法基础3012、动力学问题lNewmark法得特点法得特点(1 1)为隐式积分算法为隐式积分算法(Implicit Time Integral)每一步都必须求解方程每一步都必须求解方程;(2)当当 时算法就是无条件稳定得时算法就是无条件稳定得,即时间步长得大小不影响解得稳定性即时间步长得大小不影响解得稳定性;(3)当当

16、时就是条件稳定得时就是条件稳定得,;(4)Newmark法特别适合于时程较长得系统数瞬态法特别适合于时程较长得系统数瞬态 响应分析响应分析,而且大时间步长可以滤掉高阶不精确而且大时间步长可以滤掉高阶不精确 模态对系统响应得影响。模态对系统响应得影响。有限元法基础3112、动力学问题有限元法基础3212、动力学问题有限元法基础3312、动力学问题1212、4 4 特征值问题及其解法特征值问题及其解法 系统得运动方程为系统得运动方程为 无阻尼自由振动退化为无阻尼自由振动退化为 设方程解得形式为设方程解得形式为 方程成为方程成为 有限元法基础34广义特征值问题广义特征值问题 12、动力学问题四种类型

17、得解法四种类型得解法:l直接矢量迭代法直接矢量迭代法(幂法幂法)l矩阵变换法矩阵变换法l多项式迭代求解法多项式迭代求解法(行列式搜索法行列式搜索法)l利用特征多项式得利用特征多项式得Sturm序列特性求解法序列特性求解法 以及以及 12、动力学问题12、4、1逆迭代法逆迭代法(幂法幂法)对方程取近似解按以下迭代格式求解则序列将收敛于相应得特征根得特征矢量。12、动力学问题l因为对任一矢量可用特征矢量表示为因为对任一矢量可用特征矢量表示为 代入方程代入方程 按迭代方程有按迭代方程有 若若 ,当当 时时,12、动力学问题l为了使为了使Xi不受计算得影响不受计算得影响,常常需要归一化常常需要归一化l

18、正迭代法得计算方案正迭代法得计算方案 迭代格式迭代格式 若若 ,当当 时时,l特征根特征根 得近似解得近似解 12、动力学问题12、4、2变换法变换法l 广义特征值问题化为标准特征值问题广义特征值问题化为标准特征值问题 有限元法中得质量矩阵有限元法中得质量矩阵M就是对称正定得就是对称正定得,则则 故有故有 定义定义 得到得到 12、动力学问题l标准特征值问题标准特征值问题 变换法中有变换法中有Jacobi法、法、Givens法、法、Householder,其实质就就其实质就就是通过一系列得变换矩阵是通过一系列得变换矩阵,将将M变换成单位矩阵变换成单位矩阵,将将K变换成对角变换成对角矩阵。矩阵。

19、nJacobi法法 标准特征值问题得方程标准特征值问题得方程 设完成第设完成第k步变换成为步变换成为 Pk 就是正交矩阵就是正交矩阵,即即 12、动力学问题nPk矩阵得构造矩阵得构造 12、动力学问题n特点特点 在在 时时,矩阵矩阵K趋于对角阵趋于对角阵 由于只能做有限次变换由于只能做有限次变换,因此最后得矩阵就是对角因此最后得矩阵就是对角占优占优 变换后得矩阵总就是对称得变换后得矩阵总就是对称得,可以减少计算次数可以减少计算次数 在一次变换使非对角线为零元素在一次变换使非对角线为零元素,在下次变换中可在下次变换中可能成为非零能成为非零,因此收敛缓慢因此收敛缓慢 需要结合一些其她策略提高计算效

20、率需要结合一些其她策略提高计算效率 12、动力学问题12、4、3 子空间迭代法子空间迭代法 子空间迭代法就是求解大型特征值问题得低阶特征值有效方子空间迭代法就是求解大型特征值问题得低阶特征值有效方法法,它实际上就是它实际上就是Rayleigh-Ritz法与同时逆迭代法得组合法与同时逆迭代法得组合。l子空间迭代法得步骤子空间迭代法得步骤 1)建立建立q个初始矢量个初始矢量 (qp,p就是要计算得特征根个数就是要计算得特征根个数,一般一般q=min(2p,p+8)2)从从q个迭代矢量中使用逆迭代法与个迭代矢量中使用逆迭代法与Ritz分析抽取近似得特征分析抽取近似得特征根与特征矢量根与特征矢量 3)

21、迭代收敛后迭代收敛后,使用使用Sturm序列检查验证所得特征根与特征矢序列检查验证所得特征根与特征矢量就是否符合要求量就是否符合要求 12、动力学问题l子空间迭代法求解过程子空间迭代法求解过程 q个初始迭代矢量构成个初始迭代矢量构成nq阶矩阵阶矩阵 X1 第第k步迭代为步迭代为 形成子空间投影矩阵形成子空间投影矩阵 求解子空间特征系统求解子空间特征系统 这就是这就是RayleighRitz分析分析,Kk+1 就是就是qq计算近似特征矢量计算近似特征矢量Xk+1可作为新得迭代矩阵可作为新得迭代矩阵,当当 时时,12、动力学问题12、4、4 Lanczos法法 Lanczos方法目前被认为就是求解

22、大型矩阵特征值问题得最有方法目前被认为就是求解大型矩阵特征值问题得最有效方法效方法,与子空间迭代法相比与子空间迭代法相比,其计算量要少得多。其计算量要少得多。lLanczos变换变换 选取初始矢量选取初始矢量x,并计算并计算 12、动力学问题l理论上讲理论上讲,xi(i=1,2,ni=1,2,n)就是关于就是关于M M正交得正交得,即即l定义矩阵定义矩阵 满足关系满足关系 12、动力学问题l经过经过Lanczos 变换后矩阵成为变换后矩阵成为 三对角阵得证明三对角阵得证明 12、动力学问题l广义特征值方程得变形广义特征值方程得变形l使用变换使用变换 可得方程可得方程l可见可见Tn特征根就是广义

23、特征根问题得倒数特征根就是广义特征根问题得倒数 12、动力学问题l由于截断误差由于截断误差Xi并不一定就是正交并不一定就是正交l为了计算效率为了计算效率,而且多数情况下而且多数情况下,只需计算一部分低阶特征值只需计算一部分低阶特征值,因此变换只需进行因此变换只需进行q(n)步步,这就就是截断得这就就是截断得Lanczos变换变换这样这样Tq就是原问题得子空间就是原问题得子空间,类似于类似于Rayleigh-Ritz法、子空间迭法、子空间迭代法。代法。12、动力学问题1212、5 5 振型叠加法振型叠加法(Modal Superposition)(一一)固有振型及性质固有振型及性质 对于无阻尼得

24、自由振动问题得运动方程为对于无阻尼得自由振动问题得运动方程为 设设有有求解方程求解方程,得得n n个固有频率与特征向量个固有频率与特征向量其中其中有限元法基础5012、动力学问题 有限元法基础51根据求特征根得方程根据求特征根得方程,有有两式分别左乘两式分别左乘 与与 后相减后相减,得得当当 不为零时不为零时,有有固有振型关于固有振型关于MM正交正交12、动力学问题 有限元法基础52利用特征向量得正交性利用特征向量得正交性,可得可得定义定义则有则有12、动力学问题 有限元法基础53(二二)系统得动力响应系统得动力响应1、位移基向量得变换位移基向量得变换以特征向量表示位移以特征向量表示位移表达式

25、得意义就是将表达式得意义就是将q(t)瞧成瞧成 线性组合线性组合,而而 瞧成瞧成就是广义得位移基向量就是广义得位移基向量,xi就是广义位移值。就是广义位移值。代入系统得动力学方程代入系统得动力学方程,并利用并利用 得正交性质得正交性质,得得初始条件为初始条件为 12、动力学问题 有限元法基础54设阻尼为振型阻尼设阻尼为振型阻尼,利用利用 正交性质正交性质其中其中 为得为得i阶振型阻尼比。这样方程解耦阶振型阻尼比。这样方程解耦,成为成为每一个方程相当于一个单自由度系统得振动方程每一个方程相当于一个单自由度系统得振动方程12、动力学问题 有限元法基础55l特例特例1)设设Q(t)可分解可分解为空空

26、间函数与函数与时间函数表示函数表示如果如果F(s)与与 正交正交,这表明系表明系统中将不包中将不包含含 响响应成分成分,也就就是也就就是说Q(s,t)不能激起与不能激起与F(s)正交得正交得振型。振型。2)12、动力学问题 有限元法基础562)如果如果对 作作Fourier分析分析,可得到所包含得各个可得到所包含得各个频率成分及幅率成分及幅值。根据其中。根据其中应予考予考虑得最高得最高阶频率率可以确定可以确定进行行积分得最高分得最高阶 ,例如例如选择 。综合起来合起来,通常在通常在实际分析分析时,求解得求解得单自由度方程数自由度方程数远低于系低于系统得自由度数得自由度数n。12、动力学问题 有

27、限元法基础572、求解单自由度系统振动方程求解单自由度系统振动方程 杜哈美积分时将任意激振力分解为为冲量得连续杜哈美积分时将任意激振力分解为为冲量得连续作用作用,分别求出个系统得响应分别求出个系统得响应,然后叠加起来然后叠加起来,即即ai与与bi由初始条件确定。由初始条件确定。一般杜哈美积分需数值积分计算一般杜哈美积分需数值积分计算12、动力学问题 有限元法基础583、振型叠加得到系统响应振型叠加得到系统响应 获得每个振型得响应后获得每个振型得响应后,将它们叠加起来将它们叠加起来,得到系统得到系统得响应得响应,即即a)b)c)振型迭代法不使用于非线性系统。振型迭代法不使用于非线性系统。12、动

28、力学问题 有限元法基础593、振型叠加得到系统响应振型叠加得到系统响应 获得每个振型得响应后获得每个振型得响应后,将它们叠加起来将它们叠加起来,得到系统得到系统得响应得响应,即即在实际运用中在实际运用中,所取得振型数远小于所取得振型数远小于n,能大大提高计能大大提高计算效率。算效率。12、动力学问题 有限元法基础60l特点特点a)振型叠加中使用振型叠加中使用n个单自由度方程求解个单自由度方程求解,应与直接积应与直接积分得结果一致分得结果一致;b)振型叠加法比直接积分法节省时间振型叠加法比直接积分法节省时间,尤其就是在选尤其就是在选取少量得单自由度方程得情况取少量得单自由度方程得情况;c)振型迭

29、代法不使用于非线性系统。振型迭代法不使用于非线性系统。12、动力学问题1212、6 6 减缩系统自由度得方法减缩系统自由度得方法1212、6 6、1 Guyan1 Guyan减缩法减缩法 Guyan Guyan减缩法又称为主从节点法。设节点位移列阵减缩法又称为主从节点法。设节点位移列阵q,分分为主自由度为主自由度qm与从自由度与从自由度qs两部分两部分,并设并设ns与与nm分别为分别为qs与与qm中得个数中得个数,有有 有限元法基础6112、动力学问题1212、6 6 减缩系统自由度得方法减缩系统自由度得方法1212、6 6、1 Guyan1 Guyan减缩法减缩法 Guyan Guyan减缩

30、法又称为主从节点法。设节点位移列阵减缩法又称为主从节点法。设节点位移列阵q,分分为主自由度为主自由度qm与从自由度与从自由度qs两部分两部分,并设并设ns与与nm分别为分别为qs与与qm中得个数中得个数,有有 有限元法基础6212、动力学问题考虑无阻尼自由振动考虑无阻尼自由振动,方程方程代入关系式代入关系式,并右乘并右乘 ,得得 有限元法基础63系统方程从系统方程从n n降为降为n nmm12、动力学问题lGuyanGuyan法以静力减缩得方式法以静力减缩得方式,导出为主自由度导出为主自由度qm与从自由与从自由度度qs关系式关系式,即即 有限元法基础6412、动力学问题l特点特点1 1)减缩后

31、得方程减缩后得方程,带宽会增加带宽会增加,只有采用较多得从自由度只有采用较多得从自由度才能给计算带来明显得好处才能给计算带来明显得好处;2 2)主从自由度关系矩阵使用静力分析中得凝聚原理建立主从自由度关系矩阵使用静力分析中得凝聚原理建立起来起来;对质量矩阵得减缩实际上就是假定将从自由度上得对质量矩阵得减缩实际上就是假定将从自由度上得惯性力项按静力等效得原则转移到主自由度上惯性力项按静力等效得原则转移到主自由度上,这只有在这只有在从自由度得质量较小、刚度较大从自由度得质量较小、刚度较大,以及频率较低时才合理。以及频率较低时才合理。有限元法基础6512、动力学问题l使用使用GuyanGuyan法法

32、 分析悬臂方板分析悬臂方板 有限元法基础6612、动力学问题1212、6 6、2 2 动力子结构法动力子结构法 又称为模态综合法。主要分析步骤又称为模态综合法。主要分析步骤:1 1)将总体结构分割为若干子结构将总体结构分割为若干子结构 如同静力分析中子结构法如同静力分析中子结构法,将结构分为若干个子结构将结构分为若干个子结构,仅在交界面上连接仅在交界面上连接;2 2)子结构得模态分析子结构得模态分析 建立子结构得运动方程建立子结构得运动方程,建立模态基向量建立模态基向量 a)a)固定界面主模态固定界面主模态 在完全固定交界面上得位移条件下在完全固定交界面上得位移条件下,求子结构系求子结构系 统

33、得固有频率与振型统得固有频率与振型 有限元法基础6712、动力学问题 b)b)约束模态约束模态 在界面完全固定条件下在界面完全固定条件下,依次释放界面上得每一个依次释放界面上得每一个 DOF DOF,并令它们取单位值所得得静态位移并令它们取单位值所得得静态位移 c)c)用模态坐标表示子结构得物理坐标用模态坐标表示子结构得物理坐标3 3)集成各个子结构得运动方程集成各个子结构得运动方程 利用界面上得约束模态坐标集成利用界面上得约束模态坐标集成,这样保证界面上位这样保证界面上位移协调条件移协调条件4 4)求解整个结构系统得运动方程求解整个结构系统得运动方程5 5)由模态坐标返回到各个子结构得物理坐标由模态坐标返回到各个子结构得物理坐标 有限元法基础6812、动力学问题 例例:空间结构分析空间结构分析由由1616根长为根长为30cm,30cm,直径直径8cm8cm钢杆组成得空间结构钢杆组成得空间结构,有有限元离散为限元离散为3232各各2 2节点单元节点单元,供供2828各节点各节点,144DOF144DOF。采用动力子结构法分析采用动力子结构法分析时分上下两个子结构。时分上下两个子结构。方案方案1 1:上取上取8 8主模态主模态,下下1616主模态主模态方案方案2 2:上下各取上下各取1616个主模态个主模态有限元法基础69