高一数学不等式求最值专题.pdf

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1、试卷第 1页，共 3页高一数学不等式求最值专题高一数学不等式求最值专题一、单选题一、单选题1已知0a，0b，若不等式313nabab恒成立，则n的最大值为（）A9B12C16D202已知0m，0n，21nmmn，则2mn的最小值为（）A2 2B2C2D13两直立矮墙成135二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为254m的直角梯形菜园(墙足够长)，则所用篱笆总长度的最小值为（）A16mB18mC22.5mD15 3m4 若不等式11kxyyzxz对满足条件的xyz恒成立，则实数 k 的最大值为（）A2B4C6D85若正数,a b c满足1245abcabbcca，则,a b c中最大的数的

2、最小值为（）A4B5C6D76已知1,1,112xyxy，则24xy的最小值是（）A14B6 26C8D4 267已知0 x，0y，251xy，则1125xy的最小值是（）A2B8C4D6二、填空题二、填空题8已知正数 x，y 满足3xyxyxy，则 y 的最大值为_9 设0,1abab、，且2c，则2222122cacccabc的最小值为_10若实数,a b满足221ab，则22141ab的最小值为_.11若实数 x、y 满足 x2y2xy1，则 xy 的最大值是_.12若 a、bR且 a、0b，且4ab，则 ab 的最大值为_2022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-

3、高中问题答疑-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826试卷第 2页，共 3页三、解答题三、解答题13已知函数 2(0,0,0)f xaxbxc abc的图象经过点1,3(1)求11144abc的最小值；(2)求证：2223bcaabc14已知函数23f xxxa（），1f xg xx（）（）.求：(1)当12g bba（），其中0ab，4ab的最大值；(2)若对任意2x，不等式g x（）1恒成立，求实数 a 的取值范围15 如图，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求点 B 在 AM 上，点 D 在 AN 上，点 C 在 MN 上，3AB 米，2AD 米

4、(1)要使扩建成的花坛面积大于 27 米2，则 AN 的长度应在什么范围内？(2)当 AN 的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积16 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形生态种植园 设生态种植园的长为mx，宽为my(1)若生态种植园面积为272m，则,x y为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m，求12xy的最小值2022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-高中问题答疑-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826试卷第 3页，共 3页17求函数5211xxyxx 的最大值，并求取得最大值时相应

5、的 x 的值18（1）已知54x，求14245yxx的最大值（2）已知102x，求1122yxx的最大值（3）已知0 x，求221xyx的最大值19某建筑队在一块长的矩形地块 AMPN 上施工，规划建设占地如下图中矩形 ABCD的学生公寓，要求定点C在地块的对角线 MN 上，B，D分别在边 AM，AN 上.(1)若30AM m，宽20AN m，求长度 AB 和宽度 AD 分别为多少米时矩形学生公寓ABCD 的面积最大？最大值是多少 m2？(2)若矩形 AMPN 的面积为600m2，问学生公寓 ABCD 的面积是否有最大值？若有，求出最大值？若没有，请说明理由.20某化工厂引进一条先进生产线生产

6、某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005xyx，已知此生产线的年产量最小为 60 吨，最大为 110 吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为 24 万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.2022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-高中问题答疑-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208262022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-高中问题答疑-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120

7、826答案第 1页，共 11页参考答案：参考答案：1B【分析】分离参数，求不含参数这一边的最小值即可求解【详解】0a，0b，若不等式313nabab恒成立，313nabab恒成立0a，0b 3199366212bab aabababab当且仅当3ab时取等号12n，即n的最大值为12故选：B2B【分析】将21nmmn转化为21n mnm，2mn转化为24mn mn即可利用基本不等式进行求解【详解】将21nmmn转化为21n mnm，22222424442mnmmnnmn mnmm，当且仅当2m，222n时取等号，即2mn的最小值为 2故选：B3B【分析】设未知数后根据题意表示，由基本不等式求解

8、【详解】设BDx，设篱笆长度为 y，则CDyx，2AByx，2022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-高中问题答疑-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826答案第 2页，共 11页梯形的面积为2542yxyxx，整理得54332 541822xyx，当5432xx，即6x 时等号成立，所以篱笆总长度最小为 18m故选：B4B【分析】根据已知及基本不等式可得114xyyzxz，可求出实数 k 的最大值【详解】解：根据2112abab(0)ab，当且仅当ab时，取等号，化简可得114abab，因为xyz，所以0 xy，0yz，所以运用114abab，可得114x

9、yyzxz，当且仅当xyyz，即2yxz时，取等号，又因为11kxyyzxz恒成立，所以4k，即 k 的最大值是 4故选：B5B【分析】设max,aab,c，则312a，根据12abc，45abbcca，得到350aa，解得5a，验证5a 时成立，得出答案【详解】不妨设max,aab,c，则312aabc，即4a，因为0abac，所以20aabacbc，所以2120aaabc，所以2122bcaa，又2451212212abbccabcaaaaaa，得350aa，又4a，所以5a，2022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-高中问题答疑-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：

10、527120826答案第 3页，共 11页当5a 时，当且仅当52bc或25bc时，中的等号成立，所以 a，b，c 中最大的数的最小值为 5，故选：B【点睛】此题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意基本不等式成立的条件为一正、二定、三等，以及消元思想的应用，6A【分析】根据给定条件，用含 x 的式子表示24xy，再运用基本不等式求解作答.【详解】因为1,1,112xyxy，则211yx，于是得88824242(1)62 2(1)614111xyxxxxxx，当且仅当82(1)1xx，即3,2xy时取“=”，所以当3,2xy时，24xy取最小值 14.故选：A7C【分析】根据题意，结合“1”的

11、妙用，即可求解.【详解】解析：由251xy得111152522522222425252525yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当5225yxxy，即14x，110y 时，等号成立，所以1125xy的最小值是 4故选：C813【分析】将目标式中的,x y进行分离，用x表达y，利用基本不等式即可其求得y的范围.【详解】因为 x，y 为正数，所以3xyxyxy，故22310 xyxyx，则21310yxyx，故211 3xyyx，所以21 312yxyx，1x 时取等号，整理得23210yy，且0y，解得103y，故 y 的最大值为132022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享

12、-高中问题答疑-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826答案第 4页，共 11页故答案为：13.9332【分析】根据式子结构，对2222122cacccabc等价变换转化为22211211212244122cacccbaccabcabc，利用基本不等式求最值.【详解】因为0,1abab、，且2c所以2222122cacccabc2224214122ccabacabc1121144122baccabc 11212144122baccabc 1121214422ccc 5211422ccc 3132422cc31322422cc332，当且仅当212 3,2333abc时，等号成立，

13、故答案为：3321092#4.5【分析】根据实数,a b满足221ab，利用“1”的代换得到2222222222141141145121211baabababab，再利用基本不等式求解.2022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-高中问题答疑-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826答案第 5页，共 11页【详解】因为实数,a b满足221ab，所以2222222222141141145121211baabababab，2222114952212baab ，当且仅当22222214112baabab，即63,33ab时，等号成立，所以22141ab的最小值为9

14、2，故答案为：92112 33#233【分析】对 x2y2xy1 进行变形，利用基本不等式求解最值.【详解】x2y2xy(xy)2xy1，(xy)2xy1212xy2314xy，xy2 33，当且仅当 xy33时等号成立.故答案为：2 33124【分析】利用基本不等式求得ab的最大值.【详解】依题意22242abab，当且仅当2ab时等号成立.故答案为：413(1)43(2)证明见解析【分析】（1）根据所给的条件，得到 a，b，c 之间的关系，利用基本不等式即可；（2）所求的代数式转化为可以利用基本不等式的形式，再用基本不等式即可证明.（1）因为函数 20,0,0f xaxbxc abc的图象

15、经过点13，2022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-高中问题答疑-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826答案第 6页，共 11页所以3abc，所以1111 1111 3443443 24444abacbcabcabcabcbacacb131114222322243 ，当且仅当22abc，即32a，34b，34c 时等号成立，所以11144abc的最小值为43；（2）因为222bcaabcabc=22222222bcabcaabcabcabcabcabc，当且仅当1abc时取等号，所以222bcaabcabc，即2223bcaabc.14(1)9(2)7a

16、 【分析】（1）由题意可得4baab，求出 a 的范围，再根据4444174abaa，利用基本不等式即可求解；（2）不等式g x（）1恒成立转化为221axx 在2x，恒成立，根据二次函数的性质即可求解(1)解：2312bbaag bbb（），221322abbabbab，4baab，4aba，0ab，2022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-高中问题答疑-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826答案第 7页，共 11页204aa，解得4a，40a，44444174241794414aabaaaaaa ，当且仅当3a 时取等号，4ab的最大值是 9；(2)解

17、：当2x，时，2311xxax恒成立，231xxax在2x，恒成立，2210 xxa 在2x，恒成立，即221axx 在2x，恒成立，221yxx又的对称轴1x ，则221yxx在2x，单调递增，44 17y，7a，7a 15(1)23AN或6AN(2)当 AN 的长度是 4 米时，扩建成的花坛 AMPN 的面积最小，最小值为 24 米2【分析】（1）设ANx（米），（2x），由DCNAMN，得到32xAMx，然后得到花坛 AMPN 的面积SAM AN，再由27S 求解；（2）由（1）的结果变形，然后利用基本不等式求解；(1)解：设ANx（米），则2x DCNAMN，DNDCANAM，即23x

18、xAM，解得32xAMx花坛 AMPN 的面积23(2)2xSAM ANxx由27S，得23272xx，则29180 xx，2022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-高中问题答疑-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826答案第 8页，共 11页解得23x或6x，故 AN 的长度范围是23AN或6AN（米）(2)由2232)424322xxxSxx443243 2242422xxxx，当且仅当422xx，即4x（米）时，等号成立当 AN 的长度是 4 米时，扩建成的花坛 AMPN 的面积最小，最小值为 24 米216(1)x为12m，y为6m；(2)310.【

19、分析】（1）根据题意，可得72xy，篱笆总长为2xy，利用基本不等式可求出2xy的最小值，即可得出对应,x y的值；（2）由题可知230 xy，再利用整体乘“1”法和基本不等式，求得1229xyxy，进而得出12xy的最小值.（1）解：由已知可得72xy，而篱笆总长为2xy，又0,0 xy，则22 224xyxy，当且仅当2xy，即12,6xy时等号成立，菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小（2）解：由已知得230 xy，0,0 xy，又12222225529yxyxxyxyxyxy，12933010 xy，当且仅当xy，即10,10 xy时等号成立，12xy的最小值是310

20、17当3x 时，y 取得最大值，y 的最大值为 12022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-高中问题答疑-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826答案第 9页，共 11页【分析】由已知得141141511xxyxxx，根据基本不等式可求得最大值.【详解】解：214111514415111xxxxyxxxx因为1x ，所以10 x，所以10 x，所以4141xx，所以4154511xx ，当且仅当411xx，即3x 时，等号成立故当3x 时，y 取得最大值，y 的最大值为 118（1）max1y；（2）max116y；（3）max1y.【分析】（1）由已知得1

21、1425434554yxxxx，根据基本不等式可求得最大值（2）由基本不等式得211212212442xxyxx，由此可求得最大值（3）由已知得22211xyxxx根据基本不等式可求得最大值【详解】解：（1）54x，540 x1114254325432+31455454yxxxxxx ，当且仅当15454xx，即1x 时，等号成立故当1x 时，max1y（2）102x，120 x21121 211121 24424416xxyxx，当且仅当121202xxx，即14x 时，等号成立故当14x 时，max116y2022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-高中问题答疑-优秀教

22、师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826答案第 10页，共 11页（3）0 x，22211xyxxx根据基本不等式得1122xxxx，212y，当且仅当1xx，即1x 时，等号成立故当1x 时，max1y19(1)15ABm，10ADm时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是2150m(2)有，最大值为2150m；【分析】（1）通过NDCNAM，求出2203ADx得到矩形ABCD的面积为2220(030)3Sxxx利用基本不等式求解学生公寓ABCD的面积的最大值（2）由三角形相似可得1DCBCAMAN，设ABxm，ADym，即可得到1xyAMAN，再利用基本不等式得到4AM ANxy，

23、由矩形AMPN的面积为2600m，即可得到学生公寓ABCD的面积最大值；（1）解：设ABxm，依题意知NDCNAM，所以DCNDAMNA，即203020 xAD，则2203ADx故矩形ABCD的面积为2220(030)3Sxxx222223020(30)1503332xxSxxxx，当且仅当30 xx，即15x 时，等号成立此时220103ADx故15ABm，10ADm时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是2150m（2）2022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-高中问题答疑-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826答案第 11页，共 11页解：由（1）可

24、得NDCNAM，即DCNCAMNM，同理可得BCCMANMN，设ABxm，ADym，所以1CDMAMNCBCNCMANNM，即1xyAMAN，所以12xyxyAMANAMAN，即4AM ANxy，因为AMPN的面积为2600m，即600AMAN，所以150 xy，当且仅当xyAMAN，即2AMx，2ANy 时取等号，所以学生公寓ABCD的面积有最大值为2150m；20（1）年产量为 100 吨时，平均成本最低为 16 万元；（2）年产量为 110 吨时，最大利润为 860 万元.【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.【详解】（1）2000245yxxx，60,110 x2000224165xx当且仅当20005xx时，即100 x 取“=”，符合题意；年产量为 100 吨时，平均成本最低为 16 万元.（2）2212424200012088055xL xxxx 又60110 x，当110 x 时，max()860L x.答：年产量为 110 吨时，最大利润为 860 万元.2022新高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-高中问题答疑-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826