高一数学专题-正弦定理与余弦定理的综合应用.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）正弦定理与余弦定理的应用 !#$%&()*+,-./001.2!2$3./04!.4 5 1./0/678.4 5 2./098.5 5 3:;.6 5 4$?ABCDEFGH4!.8 5 1 IJKLMN.8 5 2)*+O./PQN.10 5 3 RSPQN.11 知识点一正弦定理、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则 定理 正弦

2、定理 余弦定理 内容 asin Absin Bcsin C2R a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC 变形 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；abcsin Asin Bsin C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A cos Ab2c2a22bc；cos Bc2a2b22ac；cos Ca2b2c22ab 使用条件 1.两角一边求角 2.两边对应角 1.三边求角 2.两边一角求边 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网

3、（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）注意：上表中 A 为锐角时，absin A，无解A 为钝角或直角时，ab，a 0，则,-.一定是锐角三角形【变式 1-1】2（2022高一课时练习）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若coscos$=#!=2，则该三角形一定是（）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形【变式 1-1】3（2022 春吉林长春高一长春吉大附中实验学校校考期末）在,-.中，角,-,.的对边分别为%,(，已知三个向量2 33=5%,cos2

4、6，7 3=5,cos$26,8 =5(,cos&26共线，则,-.的形状为（）A等边三角形 B钝角三角形 C有一个角是6的直角三角形 D等腰直角三角形【变式 1-1】4（2023高一课时练习）在,-.中，sin.=sin(sin$cos(cos$，则,-.的形状为_【变式 1-1】5.在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状.【变式 1-1】6(多选)（2023全国高一专题练习）在,-.中，角,-,.所对的边分别为%,(，下列说法中正确的是（）A若,-，则sin,sin-B若!cos$=#cos，则,-.为等腰直角三角形 C!sin=#+%si

5、n$+sin&D若tan,+tan-+tan.0，则,-.为钝角三角形【变式 1-1】7（2023高一课时练习）在,-.中，已知2%sin,=(2+()sin-+(2(+) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）(1)求,；(2)若sin-+sin.=1，判断,-.的形状#2!2!3./043./04!【方法总结】（1）在多三角形中，隐含条件是邻补角ADC 与ADB，邻补角的正弦值相等，余弦值互为相反数；（2）三角形外找关系，三角形内

6、用定理。5#5#1 1./0/678./0/678【例题 2-1】（2022 春江苏宿迁高一沭阳县修远中学校考期末）在,-.中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且满足2%#=1+tantan$角 A 的内角平分线交-.于点 M，若-9=2.9，则)$&=（）A23 B32 C12 D2【变式 2-1】1（2022 春江苏苏州高一校联考期末）已知,-.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足sinsin$(sin&+#sin$#sin(%sin$=1(1)求角 C；(2)CD 是,.-的角平分线，若.:=433，,-.的面积为23，求 c 的值.【变式 2-1】2（202

7、2全国高一假期作业）在ABC 中，内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且满足cos$(&2=%sin-(1)求 A 的大小；(2)若%=23，-,33333,.33333=32，AD 是ABC 的角平分线，求 AD 的长 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）【变式 2-1】3（2022 春江苏苏州高一校考期末）如图，设,-.中的角 A，B，C 所对的边是 a，b，c，,:为-,.的角平分线，已知,-=1，,:33333=

8、34,-33333+14,.33333，$+|$+|&+|&+|=12，点 E，F 分别为边,-，,.上的动点，线段=交,:于点 G，且,33333=的面积 5#5#2 2./098./098【例题 2-2】（2022 春河南驻马店高一统考期末）设,-.中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，AD为,-.的边 BC 上的中线，且=4，(=2，cos-,:=63，则?/&=_【变式 2-2】1（2022 春北京高一清华附中校考期末）,-.中，已知3cos53-6+cos56+-6=0.,.边上的中线为-:.(1)求-；(2)从以下三个条件中选择两个，使,-.存在且唯一确定，并求,.和-:的

9、长度.条件：%2 2+(2 3(=0；条件%=6；条件?$&=153.【变式 2-2】2（2022 春福建泉州高一统考期末）在%sin2-=sin,；(2(%)cos-=cos,；sin2,sin,sin.+sin2.=sin2-这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答 ,-.三个内角,-,.的对应边分别为%,(，且满足 (1)求角 B 的大小；(2)若 D 为边 AC 的中点，且%=3,(=4，求中线 BD 长 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 学习资

10、料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）【变式 2-2】3（2022 春福建龙岩高一统考期末）在,-.中,，-，.的对边分别为%，(，已知sin2.sin2-=sin2,+sin,sin-.(1)求.的大小；(2)若(=2cos-，_，求,.边上的中线-9的长.在“.,33333.-33333=2；周长为4+23；,-.的面积为3.”这三个条件中任选一个填入上述空格中.【变式 2-2】4（2022 春四川成都高一四川省成都市新都一中校联考期末）在ABC 中，若,.=23，,=6，再从下列、这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求 BC

11、边上的中线长.条件：BC2；条件：?$&=3；条件：ABC 的周长为 6.【变式 2-2】5（多选）（2022 春湖北襄阳高一襄阳五中校考阶段练习）,-.中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，%=2，BC 边上的中线,:=2，则下列说法正确的有：（）A,-33333,.33333=3 B2+(2=10 C35 cos,1 DBAD 的最大值为 60 5#5#3 3:;#:;#【例题 2-3】如图，在中，是边上的点，且，则的值为（）A B C D 【变式 2-3】1.已知，点为延长线上一点，连结，则的面积是_，=_【变式 2-3】2.如图中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，则的长

12、为_ ABCDAC,23ABADABBD=2BCBD=sinC33366366ABCD4ABAC=2BC=DAB2BD=CDBDCDcosBDCABCD2 2sin3BAC=3 2AB=3AD=BDBACD 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）【变式 2-3】3.在中，点在线段上，若，则_，_.【变式 2-3】4.在;这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在中，角的对边分别为，已知 ，.(1)求;(2)如图

13、，为边上一点，求的面积 5#5#4 4=0#=0#【例题 2-4】在面积，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.如图，在平面四边形中，_，求.【变式 2-4】1.在平面四边形中，(1)求；(2)若，求【变式 2-4】2.如图，在平面四边形中，ABCDABC90ABC=4AB=3BC=DAC45BDC=BD=cosABD=34asinCccosA=252BCbsinasinB+=ABC!,A B C,a b c3 2a=sinAMAC,2MCMBABMp=ABC!ABCD2ABCSD=6ADCp=ACABCD34ABCp=BACDAC=24CDAB=ACABCD90ADC=!45A=!2A

14、B=5BD=cosADB2 2DC=BCABCD045DAC=030BAC=045ABD=075DBC=3AB= 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）（1）求的长；（2）求的长 【变式 2-4】3.（2023 秋浙江杭州高一浙江省杭州第二中学校考期末）为了迎接亚运会，滨江区决定改造一个公园，准备在道路 AB 的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路 AB 长为 4km，四边形的另外两个顶点 C，D 设计在以 AB 为直径的半

15、圆B上.记.B-=C 50 C!?ABCDEFGH4?ABCDEFGH4!5#5#1 1 IJKLMNIJKLMN【例题 3-1】（2023全国高一专题练习）设,-.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知,-.的外接圆面积为16D，且cos2.cos2-=sin2,+sin,sin.，则%+(的最大值为_【变式 3-1】1（多选）（2022 春吉林长春高一长春市实验中学校考期末）已知E为,-.的垂心，面积为?，%=cos.+%2，-E333333-.33333=6，则一定有（）A-=60 B?=33 C 23 D-E333333=13G-.33333+-,33333H【变式 3-1】

16、2（多选）（2023全国高一专题练习）在,-.中，角,-,.所对的边分别为%,(，已知-=60,=4，则下列判断中正确的是（）A若,=4，则%=463 B若%=92，则该三角形有两解 ADCD 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）C,-.周长有最大值 12 D,-.面积有最小值43【变式 3-1】3（2023全国高一专题练习）,-.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设3sin,=%(2+cos-)(1)求 B；(2)若,

17、-.的面积等于3，求,-.的周长的最小值【变式 3-1】4.（2022 春浙江杭州高一杭十四中校考期中）在cos2-+2cos2$2=1；2sin,=%tan-；(%()sin,+(sin(,+-)=sin-，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知,-.的内角,-,.所对的边分别是%,(，若_.(1)求角-；(2)若=1，且,-.的面积?50,3126，求,-.的周长J的取值范围.【变式 3-1】5（2022 春浙江金华高一浙江金华第一中学校考阶段练习）在,-.中，角,-,.所对的边分别是%,(，设向量2 33=(2cos.,%2),7 3=(!2,1)，且2 33 7 3

18、(1)求角 A 的值；(2)若%=2，求,-.的周长 l 的取值范围【变式 3-1】6.（2022 春河南信阳高一信阳高中校考期末）设,-.的内角,，-，.的对边分别为%，(，且sin-+%sin,=sin,+(sin.(1)求角.；(2)若(=23，求%+的最大值.【变式 3-1】7（2022 春黑龙江佳木斯高一建三江分局第一中学校考期末）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，=23，sin2,+sin2.+sin,sin.=sin2-，(1)求角 B 的大小；(2)若 AD 是BAC 的内角平分线，当ABC 面积最大时，求 AD 的长 学科网（北京）股份有限公司 学科网（

19、北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）5#5#2 2)*+O./PQN)*+O./PQN【例题 3-2】在ABC中，若C2B，则cb的取值范围为_.【变式 3-2】1（2022 春河南洛阳高一统考期末）在,-.中，A，B，C 分别为,-.三边 a，b，c 所对的角，若cos-+3sin-=2，且cos$#+cos&%=2sinsin$3sin&，则%+(的最大值是（）A1 B3 C2 D23【变式 3-2】2（多选）（2023全国高一专题练习）在锐角三角形,-.中，%

20、,(分别是角,-,.的对边，已知(=2，若sin2,+sin2-sin,sin-=sin2.，则下列说法正确的是（）A.=3 B,L6,2M C-L3,2M D%+G23,4H【变式 3-2】3（2022 春江苏苏州高一统考期末）已知锐角三角形,-.中，角,-,.所对的边分别为%,(,-.的面积为?，且(2(2)sin-=2?，若%=N(，则N的取值范围是（）A(1,2)B(0,3)C(1,3)D(0,2)【变式 3-2】4（2022 春广西桂林高一校考期末）在锐角,-.中，%,(分别是角,-,.所对的边，且2#0%!=cos&cos.(1)求角,；(2)若%=2，求+(的取值范围.【变式 3

21、-2】5（2023全国高一专题练习）在%+%cos.=3(sin,，(%+()(%+()=3%，(%)sin(-+.)+sin-=(sin.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知锐角三角形,-.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_，且?$&=3(1)求角 C 的值；(2)求 a 的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分【变式 3-2】6（2022

22、春天津河东高一统考期中）已知,-.中，角,-,.所对的边分别是%,(，向量2 33=G+%+(,3H，7 3=53(,%+(6，且2 33/7 3.(1)求,的值；(2)若%=3，求,-.周长的取值范围.【变式 3-2】7（2022 春辽宁沈阳高一新民市第一高级中学校考阶段练习）已知三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2(%=2cos,(1)求角 B 的大小；(2)若=23，求%+(的最大值【变式 3-2】8（2023全国高一专题练习）在,-.中，-.=3,.，-,.=3，点:与点-分别在直线,.的两侧，且,:=1，:.=3，则-:的长度的最大值是（）A3 B33

23、 C3 D32 5#5#3 3 RSPQNRSPQN【例题 3-3】在锐角中，,=2-，则$&的取值范围是（）A B(1,2)C(2,3)D(1,3)【变式 3-3】1.已知为等腰三角形，,-=,.，:是,.的中点，且-:=4，则面积的最大值为_【变式 3-3】2（2023全国高一专题练习）记锐角,-.的角,-,.所对的边分别为%,(已知!cos+#cos$+%cos&=#sin&3cos$cos&(1)求角,的大小；(2)若%=2，求-.边上的高的取值范围【变式 3-3】3（2022 春辽宁抚顺高一抚顺一中校考阶段练习）如图，记锐角,-.的内角 A，B，C 的 学科网（北京）股份有限公司 学

24、科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）对边分别为 a，b，c，(=2=4，A 的角平分线交 BC 于点 D，O 为,-.的重心，过 O 作BP-.，交AD 于点 P，过 P 作P ,-于点 E.(1)求%的取值范围；(2)若四边形 BDPE 与,-.的面积之比为Q，求Q的取值范围.【变式 3-3】4（2022 春浙江宁波高一统考期末）如图，设,-.中角,-,.所对的边分别为%,(,:为-.边上的中线，已知(=1且 2(%cos-=%2 2+14(，cos-,:=

25、217.(1)求 b 边的长度；(2)求-,.的余弦值；(3)设点，=分别为边,-,.上的动点，线段=交,:于 G，且,33333=33333的最小值 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 专题-正弦定理与余弦定理的应用 !#$%&()*+,-./001.14!2$3./04!.20 5 1./0/678.20 5 2./098.25 5 3:;.32 5 4$?ABCDEFGH4!.38 5 1 IJKLMN.38 5 2)*+O./PQN.46 5 3 RSPQN.54 知识点一正弦定理、余弦定理 在ABC 中

26、，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 asin Absin Bcsin C2R a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC 变形 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；abcsin Asin Bsin C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A cos Ab2c2a22bc；cos Bc2a2b22ac；cos Ca2b2c22ab 使用条件 1.两角一边求角 2.两边对应角 1.三

27、边求角 2.两边一角求边 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 注意：上表中 A 为锐角时，absin A，无解A 为钝角或直角时，ab，a 0，则,-.一定是锐角三角形【答案】A【分析】由正弦定理化边为角变形判断 AB，举特例判断 C，由余弦定理及锐角三角形的定义判断 D 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16【详解】由正弦定理!456=#456$=%456&，若!cos=#cos$=%cos&，则tan,=tan-=tan.，,-,.

28、为三角形内角，所以,=-=.，三角形是等边三角形，A 正确；若%cos,=cos-，由正弦定理得sin,cos,=sin-cos-，即sin2,=sin2-，,-(0,)，则2,=2-或2,+2-=，即,=-或,+-=2，三角形为等腰三角形或直角三角形，B 错；例如=3，.=1，-=7，满足cos.+cos-=，但此时,-.不是等腰三角形，C 错；%2+2(2 0时，由余弦定理可得cos.=!(#!0%!2!#0，即.为锐角，但,-是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D 错 故选：A【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断，解题时利用正弦定理、余弦定理进行边角转换后再进行

29、变形判断是常用方法，解题时注意三角函数性质的正确应用，如选项 B，在由sin2,=sin2-得结论时不能直接得出2,=2-，否则会出现漏解，在判断三角形形状时，锐角三角形需要三个内角都是锐角，直角三角形只有一个角是直角，钝角三角形只有一个角是钝角，它们判断方法有一些区别，这些是易错点【变式 1-1】2（2022高一课时练习）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若894894$=#!=2，则该三角形一定是（）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形【答案】A【分析】由余弦定理得到%2(2+(2%2)=2(%2+(2 2)，结合#!=2，得到(2=%2+2，判

30、断出三角形为直角三角形.【详解】894894$=#!，%cos,=cos-，由余弦定理可得：%#!(%!0!2#%=!(%!0#!2!%，整理可得：%2(2+(2%2)=2(%2+(2 2)， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17#!=2，2=2%2，由得(2=3%2=%2+2，该三角形是直角三角形.故选：A【变式 1-1】3（2022 春吉林长春高一长春吉大附中实验学校校考期末）在,-.中，角,-,.的对边分别为%,(，已知三个向量2 33=5%,cos26，7 3=5,cos$26,8 =5(,cos&26共线

31、，则,-.的形状为（）A等边三角形 B钝角三角形 C有一个角是7的直角三角形 D等腰直角三角形【答案】A【分析】由向量共线的坐标运算可得%cos$2=cos2，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得sin2=sin$2，结合角的范围求得,=-，同理可得-=.，则答案可求【详解】向量2 33=(%,cos2)，7 3=(,cos$2)共线，%cos$2=cos2，由正弦定理得：sin,cos$2=sin-cos2，2sin2cos2cos$2=2sin$2cos$2cos2，则sin2=sin$2，0 22，0$2-，则sin,sin-B若!cos$=#cos，则,-.为等腰直角三角形

32、C!sin=#+%sin$+sin&D若tan,+tan-+tan.-，所以%，利用正弦定理可得2_sin,2_sin-，所以sin,sin-，故 A 正确；对于 B，由于!cos$=#cos，利用正弦定理可得sin,cos,=sin-cos-，整理得12sin2,=12sin2-，即sin2,=sin2-，所以2,=2-或2,+2-=，所以,=-或,+-=2，所以,-.为等腰三角形或直角三角形，故 B 错误；对于 C，由正弦定理!sin=#sin$=%sin&=2_，所以#+%sin$+sin&=2:sin$+2:sin&sin$+sin&=2_=!sin，故 C 正确；对于 D，由于tan

33、,+tan-+tan.0，所以tan,+tan-+tan.=tan(,+-)51tan,tan-6+tan.=tan.+tan.+tan,tan-tan.=tan,tan-tan.0，因为0,-,.，所以,-,.中必有一个钝角，故,-.为钝角三角形，故 D 正确.故选：ACD.【变式 1-1】7（2023高一课时练习）在,-.中，已知2%sin,=(2+()sin-+(2(+)sin.(1)求,；(2)若sin-+sin.=1，判断,-.的形状【答案】(1)21(2),-.是等腰的钝角三角形 【分析】(1)由正弦定理边化角，再结合余弦定理，可求出角 A 的余弦值.(2)利用三角形内角和关系计算

34、出 B、C 角,根据角度判断三角形形状.【详解】（1）由正弦定理得2%2=(2+()+(2(+)(=22+2(2+2(；余弦定理%2=2+(2 2(cos,2(=4(cos,，cos,=32, 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 而,为三角形内角，,=21（2）,-.中，,+-+.=，,=21,-L0,1M sin-+sin.=sin-+sinL-+21M=32sin-+12cos-=sinL-+1M=1，因为1-+121，-=7，.=7，,-.是等腰的钝角三角形.#2!2!3./043./04!【方法总结】（1

35、）在多三角形中，隐含条件是邻补角ADC 与ADB，邻补角的正弦值相等，余弦值互为相反数；（2）三角形外找关系，三角形内用定理。5#5#1 1./0/678./0/678【例题 2-1】（2022 春江苏宿迁高一沭阳县修远中学校考期末）在,-.中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且满足2%#=1+;6;0,sin.0，则2456&456$=456&456$894，即cos,=32，又,(0,D)，则,=1 由,9为.,-的角平分线，则$&=$)&)=2,即,-=2,.则.,9=-,9=30 在,.9中，cos.,9=&!()!0&)!2&)=12 即,.2+,92.92=3,.,9

36、 在在,.9中，cos.9,=&)!()!0&!2&)在,-9中，cos-9,=$)!()!0$!2$)=&)!()!0&!&)由-9,+.9,=180，则&)!()!0&!2&)+&)!()!0&!&)=0 化简得到：,92=2,.2 2.92 将代入可得：,9=211,.将代入可得：.9=11,.,所以-.=3,.所以)$&=!/&1&=21 故选：A 【变式 2-1】1（2022 春江苏苏州高一校联考期末）已知,-.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足456456$(456&+#456$#456(%456$=1(1)求角 C；(2)CD 是,.-的角平分线，若.:=11，,

37、-.的面积为23，求 c 的值.【答案】(1).=1； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22(2)(=23 【分析】（1）先由正弦定理得!#(%+#!#!(%#=1，化简整理得%2+2(2=%，再由余弦定理求得cos.，即可求解；（2）先由面积求得%=8，再由角平分线得/$/=#!，结合平面向量得.:33333=!(#.,33333+#!(#.-33333，平方整理求得%+=6，再由（1）中%2+2(2=%即可求出 c 的值.【详解】（1）由正弦定理得!#(%+#!#!(%#=1，即!#(%+#!(%=1，整理得%

38、(%+()+(+()=(%+()(+()，化简得%2+2(2=%，由余弦定理得cos.=!(#!0%!2!#=32，又.(0,D)，则.=1；（2）由面积公式得32%sin.=32%12=23，解得%=8，又 CD 是,.-的角平分线，则A*12A-12=3!&/456453!&$&/45645=&$=/$/，即/$/=#!，则.:33333=.,33333+,:33333=.,33333+#!(#,-33333=.,33333+#!(#G.-33333.,33333H=!(#.,33333+#!(#.-33333，所以.:333332=5!(#.,33333+#!(#.-3333362=!(

39、!(#)!.,333332+2!#(!(#)!.,33333.-33333+#!(!(#)!.-333332，即371=!#!(!(#)!+2!#(!(#)!%32+!#!(!(#)!，整理得371=1!#!(!(#)!，又%=8，解得%+=6，则%2+2=(%+)2 2%=20，由（1）知(2=%2+2%=20 8=12，则(=23.【变式 2-1】2（2022全国高一假期作业）在ABC 中，内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且满足cos$(&2=%sin-(1)求 A 的大小；(2)若%=23，-,33333,.33333=12，AD 是ABC 的角平分线，求 AD 的长 学

40、科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 23【答案】(1)21；(2)3BB.【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再由三角恒等变换化简即可求出角 A；（2）由数量积公式可得(，再由余弦定理求出+(，根据三角形面积公式利用?$&=?$/+?&/建立方程求解即可.【详解】（1）因为cos$(&2=%sin-，sin-sin2=sin,sin-，因为-(0,D)，所以sin-0，所以sin2=2sin2cos2，又,(0,D)，cos2=32，所以2=1，即,=21.（2）由-,33333,.33333=12，得(cos1=12，

41、(=3，又%=23，%2=2+(2 2(cos,=(+()2 2(+(=12，可得+(=12+3=15，?$&=?$/+?&/，32(sin21=32 ,:sin1+32(,:sin1，所以,:=#%456!4/(#(%)4564/=1/!3B/!=3BB.【变式 2-1】3（2022 春江苏苏州高一校考期末）如图，设,-.中的角 A，B，C 所对的边是 a，b，c，,:为-,.的角平分线，已知,-=1，,:33333=1,-33333+3,.33333，$+|$+|&+|&+|=32，点 E，F 分别为边,-，,.上的动点，线段=交,:于点 G，且,33333=的面积【答案】(1)7(2)D

42、12C 【分析】（1）根据$+|$+|&+|&+|=32，可求得,，再根据,:为-,.的角平分线，结合平面向量基本定理可求得，再根据余弦定理即可得出答案；（2）设,33333=N,:33333（0 Q，f，N 1），根据,33333，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】（1）解：由$+|$+|&+|&+|=32，得cos,=32，因为,(0,D)，所以,=1；因为,:为-,.的角平分线，所以$/&=$&=3#，所以-:333333=33(#-.33333，,:33333=,-33333+-:333333=,-33333+33(#-.33333=,-33333+33(#(,.33333,-3

43、3333)=#3(#,-33333+33(#,.33333，又,:33333=1,-33333+3,.33333，所以#3(#=1，得=3，因为%2=2+(2 2(cos,=7，所以-.=%=7；（2）解：设,33333=N,:33333（0 Q，f，N 1）， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 25 因为,=的面积是,-.面积的一半，所以32|,33333=1F,33333=N,:33333=1N,-33333+3N,.33333333，又=33333=,=33333,33333 33333 33333 33333

44、=H,:33333得,=11H，所以?IJ=?I&=32,.sin30=3211H 3 32=D12C 5#5#2 2./098./098【例题 2-2】（2022 春河南驻马店高一统考期末）设,-.中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，AD为,-.的边 BC 上的中线，且=4，(=2，cos-,:=71，则?/&=_ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 26【答案】33(21【分析】先求出sin-,:，然后在,-:和,:.分别利用正弦定理，结合sin,:-=sin,:.可得sin.,:=32sin-,:=17

45、，再求出cos.,:，再利用两角和的正弦公式可求出sin-,.=sin(-,:+.,:)，从而可得?/&=32?$&.【详解】因为cos-,:=71，0 -,:D，所以sin-,:=h1 cos2-,:=h1 7D=11，在,-:中，由正弦定理得$/456$/=$456/$，&!456$/=2456/$，在,:.中，由正弦定理得$/456&/=&456/&，&!456&/=456/&，因为sin,:-=sin,:.，所以两式相除，得sin.,:=32sin-,:=17,因为0 -,.D，所以0 .,:2,所以cos.,:=h1 sin2.,:=h1 117=117，所以sin-,.=sin(-

46、,:+.,:)=sin-,:cos.,:+cos-,:sin.,:=11117+7117=33(27，所以?/&=32?$&=3232 2 4 33(27=33(21，故答案为：33(21【变式 2-2】1（2022 春北京高一清华附中校考期末）,-.中，已知3cos51-6+cos57+-6=0.,.边上的中线为-:.(1)求-；(2)从以下三个条件中选择两个，使,-.存在且唯一确定，并求,.和-:的长度 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27 条件：%2 2+(2 3(=0；条件%=6；条件?$&=153.【答案

47、】(1)-=21(2)选择条件和条件；,.=14,-:=19.【分析】（1）利用三角恒等变换对已知等式进行化简，即可求解；（2）根据（1）的结果，利用余弦定理可判断条件错误；根据条件和条件，利用三角形面积公式可得(=10，利用余弦定理可得=14，在,-.中，利用正弦定理可得sin,=113，进而得到cos,=313，在,-:中利用余弦定理可得-:=19.【详解】（1）解：因为3cos51-6+cos57+-6=0，则35cos1cos-+sin1sin-6+5cos7cos-sin7sin-6=0，3532cos-+12sin-6+512cos-32sin-6=3cos-+sin-=2sin5

48、-+16=0，又0 -D，解得：-+1=D，故-=21.（2）解：由（1）得,-.=21，又余弦定理得：cos,-.=!(%!0#!2!%=32，所以%2+(2 2=%(，而条件中%2 2+(2 3(=0，所以%=3，显然不符合题意，即条件错误，由条件%=6，条件?$&=32%(sin,-.=153，解得(=10，由余弦定理可得2=%2+(2 2%(cos,-.=36+100+60=196，所以=14.在,-.中，由正弦定理可得!456=#456$&，解得sin,=113，又0 ,%,-=1或21D，所以三角形有两解，与已知不相符，所以舍去；如果选择条件：由题得32 23 (32=3,(=2.

49、由余弦定理得%=h12+4 2 23 2 12=2，所以,-.=120,所以 BC 边上的中线,:=h4+1 2 2 1 (32)=7.所以 BC 边上的中线长为7.如果选择条件：由题得%2=12+(2 43(12=(2 6(+12 （1），由%+(=6 23 （2）,解（1）（2）得(=6,%=23 0.所以该三角形无解，与已知不相符.【变式 2-2】5（多选）（2022 春湖北襄阳高一襄阳五中校考阶段练习）,-.中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，%=2，BC 边上的中线,:=2，则下列说法正确的有：（）A,-33333,.33333=3 B2+(2=10 C1B cos,1

50、DBAD 的最大值为 60【答案】ABC 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 32【分析】利用向量的数量积公式,余弦定理及基本不等式对各个选项进行判断即可.【详解】,-33333,.33333=G,:33333+:-333333H G,:33333:-333333H=,:333332:-3333332=4 1=3A 正确；cos,:.=cos,:-，2+(2=,:2+:.2 2,:.cos,:.+,:2+:-2 2,:-cos,:-=2,:2+:-2+:.2=2 22+1+1=10，故 B 正确；由余弦定理及基本不等式