高中数学必修1全册知识点总结理科.pdf

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1、高中数学必修高中数学必修 1 知识点知识点第一章集合与函数概念第一章集合与函数概念1.1集合1.1集合【1.1.1】集合的含义与表示【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5

2、）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA（或)AB A 中的任一元素都属于 B(1)AA(2)A(3)若BA 且BC，则AC(4)若BA 且BA，则AB或BA真子集AB（或BA）BA，且 B 中至少有一元素不属于A（1）A（A 为非空子集）(2)若AB且BC，则ACBA集合相等ABA 中的任一元素都属于 B，B 中的任一元素都属于 A(1)AB(2)BAA(B)（7）已知集合A有(1)n n 个元素，则它有2

3、n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它有22n非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集AB|,x xA且xB（1）AAA（2）A （3）ABAABB并集AB|,x xA或xB（1）AAA（2）AA（3）ABAABB补集UA|,x xUxA且1()UAA 2()UAAU()()()UUUABAB痧()()()UUUABAB痧A【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|(0)xa a|xaxa|(0)xa a|

4、x xa 或xa|,|(0)axbc axbc c把axb看成一个整体，化成|xa，|(0)xa a型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24bac 0 0 0 二次函数2(0)yaxbxc a的图象O=OLO一元二次方程20(0)axbxca的根21,242bbacxa（其中12)xx122bxxa 无实根20(0)axbxca的解集1|x xx或2xx|x2bxa R20(0)axbxca的解集12|x xxx1.2函数及其表示1.2函数及其表示【1.2.1】函数的概念【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x

5、，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:fAB函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设,a b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做,a b；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做(,)a b；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区 间，分 别 记 做,)a b，(,a b；满 足,xa xa xb xb的 实 数x的 集 合 分 别 记 做,),(,),(,(,)aabb注意：注意：对于集合

6、|x axb与区间(,)a b，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：()f x是整式时，定义域是全体实数()f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数()f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1tanyx中，()2xkkZ零（负）指数幂的底数不能为零若()f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x的定义域为,a b，其复合函数()f g

7、 x的定义域应由不等式()ag xb解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值配方法：将函数解析式化成含有

8、自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值域或最值判别式法：若函数()yf x可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2()()()0a y xb y xc y，则在()0a y 时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0bya yc y，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2

9、】函数的表示法【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:fAB给定一个集合A到集合B的映射，且,aA bB如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象1.3函数的基本性

10、质1.3函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x x1 1 x x2 2时，都有 f(xf(x 1 1)f(x)f(x 2 2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数增函数x1x2y=f(X)xyf(x)1f(x)2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x x1 1 f(x)

11、f(x 2 2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数减函数y=f(X)yxoxx2f(x)f(x)211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数对于复合函数()yf g x，令，令()ug x，若，若()yf u为增，为增，()ug x为增，则为增，则()yf g x为增；为增

12、；若若()yf u为减，为减，()ug x为减，则为减，则()yf g x为增；若为增；若()yf u为增，为增，()ug x为减，则为减，则()yf g x为减；若为减；若()yf u为减，为减，()ug x为增，则为增，则()yf g x为减为减（2）打“”函数()(0)af xxax的图象与性质()f x分别在(,a、,)a 上为增函数，分别在,0)a、(0,a上为减函数（3）最大（小）值定义一般地，设函数()yf x的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有()f xM；（2）存在0 xI，使得0()f xM那么，我们称M是函数()f x的最大值，记作max()fxM

13、一般地，设函数()yf x的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有()f xm；（2）存在0 xI，使得0()f xm那么，我们称m是函数()f x的最小值，记作max()fxm【1.3.2】奇偶性【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法yxo函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x)f(x),那么函数f(x)叫做奇函数奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x)f(x),那 么 函 数f(

14、x)叫做偶函数偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数()f x为奇函数，且在0 x 处有定义，则(0)0f奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次

15、函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换0,0,|()()hhhhyf xyf xh 左移 个单位右移|个单位0,0,|()()kkkkyf xyf xk 上移 个单位下移|个单位伸缩变换01,1,()()yf xyfx 伸缩01,1,()()AAyf xyAf x 缩伸对称变换()()xyf xyf x 轴()()yyf xyfx 轴()()yf xyfx 原点1()()y xyf xyfx 直线()(|)yyyyf xyfx 去掉 轴左边图象保留 轴右边图象，并作其关于 轴对称图象()|()|xxyf xyf x 保留 轴上方图象将 轴下方图象

16、翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章基本初等函数()第二章基本初等函数()2.1指数函数2.1指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果,1nxa aR xR n，且nN，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次

17、方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0 的n次方根是 0；负数a没有n次方根式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a 根式的性质：()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，(0)|(0)nnaaaaaa（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：(0,mnmnaaam nN且1)n 0 的正分数指数幂等于 0正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,mmmnnnaam nNaa且1)n 0 的负分数指数幂没有意义注意口诀：注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质(0,)rsr saaaa

18、r sR()(0,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba b abrR【2.1.2】指数函数及其性质【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0 xyaa且1)a 叫做指数函数图象1a 01a定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当0 x 时，1y 奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax1(0)1(0)1(0)xxxaxaxaxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低2.2对数函数2.2对数函数【2.2.1】对数与对数运算【2.2.1】对

19、数与对数运算（1）对数的定义若(0,1)xaN aa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaN aaN（2）几个重要的对数恒等式log 10a，log1aa，logbaab（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e）（4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么xay xy(0,1)O1y xay xy(0,1)O1y 加法：logloglog()aaaMNMN减法：logloglogaaaMMNN数乘：loglog(

20、)naanMMnRlogaNaNloglog(0,)bnaanMM bnRb换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且【2.2.2】对数函数及其性质【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log(0ayx a且1)a 叫做对数函数图象1a 01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x 时，0y 奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越

21、靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高(6)反函数的概念设函数()yf x的定义域为A，值域为C，从式子()yf x中解出x，得式子()xy如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yf x的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成xyO(1,0)1x logayx xyO(1,0)1x logayx 1()yfx（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式()yf x中反解出1()xfy；将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质原函数()yf x与

22、反函数1()yfx的图象关于直线yx对称函数()yf x的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域若(,)P a b在原函数()yf x的图象上，则(,)P b a在反函数1()yfx的图象上一般地，函数()yf x要有反函数则它必须为单调函数2.3幂函数2.3幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过

23、定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当qp（其中,p q互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线y

24、x下方补充知识二次函数补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：2()(0)f xaxbxc a顶点式：2()()(0)f xa xhk a两根式：12()()()(0)f xa xxxxa（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x更方便（3）二次函数图象的性质二次函数2()(0)f xaxbxc a的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa 顶点坐标是24(,)24bacbaa当0a 时，抛物线开口向上，函数在(,2ba 上递减

25、，在,)2ba上递增，当2bxa 时，2min4()4acbfxa；当0a 时，抛物线开口向下，函数在(,2ba 上递增，在,)2ba上递减，当2bxa 时，2max4()4acbfxa二次函数2()(0)f xaxbxc a当240bac 时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),|M xM xMMxxa（4）一元二次方程20(0)axbxca根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实

26、根的分布设一元二次方程20(0)axbxca的两实根为12,x x，且12xx令2()f xaxbxc，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：2bxa 判别式：端点函数值符号kx1x2xy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kfx1x2kxy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kfx1kx2af(k)00)(kfxy1x2x0aOkxy1x2xOk0a0)(kfk1x1x2k2xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2有且仅有一个根 x1（或

27、 x2）满足 k1x1（或 x2）k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑 f(k1)=0或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfk1x1k2p1x2p2此结论可直接由推出（5）二次函数2()(0)f xaxbxc a在闭区间,p q上的最值设()f x在区间,p q上的最大值为最大值为M，最小值为，最小值为m，令01()2xpq（）当0a 时（开口向上）若2bpa，则()mf p若2bpqa，则()2bmfa若2bqa，则()mf q若02bxa，则()Mf q02bxa，则()Mf p()2b

28、fa()2bfa()2bfa()2bfa0 x()2bfa0 x()当0a 时(开口向下)若2bpa，则()Mf p若2bpqa，则()2bMfa若2bqa，则()Mf q若02bxa，则()mf q02bxa，则()mf p第三章 函数的应用第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy 的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy 的图象与x轴有交点函数)(xfy 有零点3、函数零点的求法：求函数)(xfy 的零点：1（代数法）求方程0)(xf的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点），方程02cbxax有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点()2bfa()2bfa()2bfa0 x()2bfa()2bfa0 x