高考数学一轮复习-隐形圆专题.pdf

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1、!第 1 页 共 16页学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）隐形圆隐形圆 直线与圆是高中数学的C级知识点,是高中数学中数形结合思想的典型体现但有些时候,在条件中没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题目中的,要通过分析和转化,发现圆(或圆的方程),从而最终可以利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐形圆”问题【思维导图】【思维导图】!第 2 页 共 16页学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）【分类总结分类总结】类型一类型一:定义圆定义圆 若已知到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数若已知到

2、定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数【例【例1】如果圆上总存在两个点到原点的距离为1,则实数A的取值范围是_ 【练习练习】若圆上总存在两点到原点的距离为 1,则实数的取值范围是()A B C D 变式变式:定圆外的切线成定角定圆外的切线成定角【变式变式】由动点向圆引两条切线,切点分别为,则动点的轨迹方程为_ 【专练专练】(1)平面直角坐标系中,圆的方程为,为圆上一点.若存在一个定圆,过作圆的两条切线,切点分别为,当在圆上运动时,使得恒为,则圆的方程为_ 【专练专练】(2)已知圆,圆.若圆上存在点,过点作圆的两条切线,切点为,使得,则实数的取值范围为_ 类型二类型二:定弦长圆定弦长圆

3、 定圆上的定弦长的等分点到圆心距离是定值确定圆定圆上的定弦长的等分点到圆心距离是定值确定圆【例【例2-1】已知圆:的圆心和圆上两点构成等边三角形,则中点的轨迹方程是()ABC D 22(2)(3)4xaya-+-=()22()()90 xayaa+=Oa()0,1()2,2()2,2 2()2,4P221xy+=PAPB、,A B60APB=!xOyC22(1)4xy-+=PCMPMPAPB、,A BPCAPB60!M22:1O xy+=22:()(4)1Mxaya-+-+=MPPO,A B60APB=!aC2240 xyx+=,A BABM()()22211xy+=()()22113+=xy

4、()2212xy+=()2223xy+=!第 3 页 共 16页学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）【练习练习2-1】已知圆,点,内接于圆,且,当在圆上运动时,中点的轨迹方程是()ABC.D 【例【例2-2】若圆上的两个动点满足,点在直线上运动,则的最小值是()A B C D 【练习练习2-2】若圆上的两个动点满足点在圆上运动,则的最小值是()A2 B3 C4 D5 【练习练习2-3】在平面直角坐标系中,已知为圆上的两个动点,为线段的中点,点为圆上一动点,则的最小值为_ 类型三类型三:双定点中点圆双定点中点圆 模型一模型一:直径圆直径圆 动点到两

5、定点的夹角为直角动点到两定点的夹角为直角,则可以得到点的轨迹为圆则可以得到点的轨迹为圆【例【例3-1】(1)若称形如,的方程为圆的直径式方程.已知圆 C 的方程为,则该圆的圆心坐标为()A B C D 221xy+=()1,0AABCD60BAC=,B CBC2212xy+=2214xy+=221122xyx+=221144xyx+=90APB=!5,94,83,72,622:5,O xyA B+=O2,ABM=AB),22(aC)2,22(+aD,A BOCMDa(3,2)P-20kxyk-=(2,4)Q5 2 2-4 26 2xOy1:20lkxy-+=2:20lxky+-=k40 xy-

6、=xOy()1,0P-()2,1Q:0l axbyc+=abcPlHQH!第 5 页 共 16页学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）模型模型三三:圆外定点的割线圆外定点的割线圆圆 过定圆外一过定圆外一定点定点作圆的割线作圆的割线,线段线段的中点的轨迹为圆的中点的轨迹为圆【例【例3-3】已知圆,过点的动直线 与圆相交于两点,线段的中点为,则的轨迹的长度为()A B C D 【练习练习3-3】已知直线被圆截得的弦的中点为 M,若,O为坐标原点,则点 M 的轨迹方程为_,的最大值为_.模型模型四四:平方和定值圆平方和定值圆 到两定点到两定点,动点动点满

7、足满足的轨迹为圆的轨迹为圆【例【例3-4】已知圆:及点,若在圆上有且仅有一个点,使得,则实数的值为()A0 B3 C0 或 3 D或 3 【练习练习3-4】在平面直角坐标系中,已知圆,点,若圆上存在点,满足,则点的纵坐标的取值范围是 【变式变式】在平面直角坐标系中,已知为圆上两点,点,且,则线段的长的取值范围为_ 【专练专练】点为圆内一点,为圆上的动点,且,则线段中点的轨迹方程为_.PABAB22:16C xy+=()8,0PlC,A BABMM8p83434 33:0l axbyc+=22:16C xy+=320abc+-=OM,A BP22+PAPBl=C2240 xyya+-+=()1,

8、0A-()1,2BCP2212PAPB+=a5-xOy22:(1)2Cxy+=(2 0)A，CM2210MAMO+MxOy,B C224xy+=(1,1)AABACBC()1,1A224xy+=,P Q=90PAQPQ!第 6 页 共 16页学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）模型模型五五:数量积定值圆数量积定值圆 两定点两定点,动点动点满足满足的轨迹为圆的轨迹为圆【例【例3-5】(1)已知点,若圆上存在点M满足,则实数的值为()A B C2 D0 【练习练习3-5】(1)已知点,若圆上存在点M满足,则实数 A 的值不可以为()A B C0 D3

9、 【例【例3-5】(2)已知点,点,点在直线上,若满足等式的点P 有两个,则实数 的取值范围是_ 【练习练习3-5】(2)已知等边的边长为 2,点在线段上,若满足等式的点有两个,则实数的取值范围是_ 模型六模型六:阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆 阿波罗尼斯圆：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆。若给定两定点 A,B,动点 P 满足 AP BP(0,1)的关系,则 P 点的轨迹为阿波罗尼斯圆。如图,点为两定点,动点满足,则时,动点的轨迹为直线；当时,动点的轨迹为圆 证：证：设以中点为原点,直线为轴,建立平面直角坐标系,则 又设,则由得,A BPPA PBl=!()()1,0,1,0AB-(

10、)()2221221xaya-+-=3MA MB=!a2-1-()1,0A-()10B,()()22121xaya-+-=8MA MB=!2-1-(2,3)A(6,3)B-P3430 xy-+=20AP BPl+=!ABC!PACPA PBl=!PlBA,PPBPAl=1=lP1lPPBPAmmABl=,02）（ABABx），（0mA-），（0mB），（yxCPBPAl=2222)()(ymxymx+-=+lAPB!第 7 页 共 16页学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）两边平方并化简整理得,当时,轨迹为线段的垂直平分线；当时,轨迹为以点为圆心

11、,长为半径的圆 【例【例3-6】(1)阿波罗尼乌斯(Apollonius,约前 262约前 190)是古希腊时期的数学家、天文学家.师从于欧几里得,他结合前人的研究成果,在没有现代数学符号系统的支持下,以超越常人的智慧写出了经典之作圆锥曲线论.该书共八卷,传下来七卷,其中给出了解析几何的大部分内容的论断和证明.在其第七卷 平面轨迹中提出:如果一个移动的点与两定点之间距离的比是常量(且不等于 1),则它的轨迹是一个圆.现在已知两个定点的坐标分别为,动点满足,则点轨迹方程为()A B C D 【练习练习3-6】(1)公元前 3 世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中,

12、曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中,动点满足,若点的轨迹为一条直线,则_；若,则点的轨迹方程为_；【例【例3-6】(2)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名 他发现:平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆 后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,点满足.当三点不共线时,面积的最大值为()A24 B12 C D 【练习练习3-6】(2)在中,边的中点为,若,则的面积的最大值是 ）（）（）（）（222222211

13、121llll-=-+-myxmx1=l0=xAB1l22222222)1(4)11(-=+-+-llllmymx)0,11(22m-+ll122-llm()1,0A-()2,0BP2PAPB=P22650 xyx+-+=22670 xyx+-+=221070 xyx+-+=2214503xyx+-+=(2 0)A-，0(2)B，P(0)PAPBll=Pl=2l=P,A B(1)l lxOy(2,0)A-(4,0)BP12PAPB=,P A BPAB4 33ABCDBCD2,2ABBCAD=ABCD!第 8 页 共 16页学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：1802013357

14、1（同微信）类型四类型四:定直线的定直线的极极点圆点圆(同同构式直线构式直线)【例【例4】在平面直角坐标系中,已知点,从直线上一点向圆引两条切线,切点分别为,.设线段的中点为,则线段长的最大值为_.【练习练习4】(1)设在圆上运动,且,点在直线上运动.则的最小值是_ 【练习练习4】(2)已知圆,是轴上的动点,分别切圆于两点,则动弦的中点的轨迹方程为_.类型五类型五:由已知轨迹确定圆由已知轨迹确定圆【例【例5-1】在平面直角坐标系中,已知点.若圆上存在唯一点,使得直线在轴上的截距之积为 5,则实数的值为_ 【练习练习5-1】在平面直角坐标系中,圆,圆,点,动点分别在圆和圆上,满足,则线段的取值范

15、围是_ xOy(4,0)A-(0,4)BABP224xy+=PCPDCDCDMAM,A B224xy+=|2 3AB=P34150 xy+-=PAPB+!22:(2)1M xy+-=QxQAQBM,A BABPxOy(1,0),(5,0)AB-22(4)()4M xym-+-=：P,PA PBymxOy221:4Cxy+=222:16Cxy+=(1,0)M,P Q1C2CMPMQPQ!第 9 页 共 16页学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）【例【例5-2】在平面直角坐标系中,若直线上存在一点,圆上存在一点,满足,则实数的最小值为_ 【练习练习5

16、-2】已知是边长为 3 的等边三角形,点是以为圆心的单位圆上一动点,点满足,则的最小值是_.【强强化化训训练练】1已知圆的圆心在直线上,与轴正半轴相切,且被直线:截得的弦长为.(1)求圆的方程；(2)设点在圆上运动,点,且点满足,记点的轨迹为.求的方程,并说明是什么图形；试探究:在直线 上是否存在定点(异于原点),使得对于上任意一点,都有为一常数,若存在,求出所有满足条件的点的坐标,若不存在,说明理由.xOy(3 3)yk x=-P22(1)1xy+-=Q3QPOQ=!kABC!PAQ2133AQAPAC=+!|BQ!C30 xy-=xl0 xy-=2 7CAC()7,6BM2AMMB=!MG

17、GGlTOGPPOPTT!第 10 页 共 16页学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）2已知点圆,点是圆上的动点,点关于点的对称点为点,设点的轨迹为,以为圆心作圆与轴相切于点且与相交于、两点(1)求点的轨迹的方程；(2)证明:直线平分线段；(3)设直线与的交点为,直线,到 的距离记为,试探究轴上是否存在定点,使得为定值,若存在,求出定点坐标和该定值,若不存在,请说明理由 3已知点到的距离是点到的距离的 2 倍.(1)求点的轨迹方程；(2)若点与点关于点对称,点,求的最大值;(3)若过的直线与第二问中的轨迹交于,两点,探索是否为定值？若是,求出该定

18、值；若不是,请说明理由.()2 3,0A-22:1O xy+=QOAQPPGPxNGBCPGBCPNBCPNM10 3:3l x=MldxEMEdlP(2,0)A-P()10B,PPQB(5,8)C22QBQC+BQEFBE BF!第 11 页 共 16页学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）【素质提升素质提升】1在平面直角坐标系中,和是圆上的两点,且,点,则的取值范围是()ABC D 2 在平面直角坐标系中,已知为圆上两个动点,且,若直线上存在唯一的一个点,使得,则实数的值为()A或 B或 C或 D或 3已知直线:与直线:相交于点 P,线段是圆

19、C:的一条动弦,且,点 D 是线段的中点.则的最大值为()A B C D 4阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家,以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹 已知在中,角、所对的边分别为、,且,则面积的最大值为()A B C D 5在平面上有相异两点,设点在同一平面上且满足(其中,且),则点的轨迹是一个圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.设,为正实数,下列说法正确的是()A当时,此阿波罗尼斯圆的半径 B当时,以为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切 C当时,点在阿波罗尼斯圆圆心的左侧 D当时,点在阿波罗尼斯圆外,点在圆内 xOyAB()22:11Cxy-+=2AB=(

20、)2,1P2PAPB-!52,52-+51,51-+62 5,62 5-+72 10,72 10-+xOy,A B22:()(2)4Cxmy-+-=|2 3AB=:2l yx=-P=+!OCPAPBm51+15-15-+15-51-15+51-+15-1l310mxym-+=2l310 xmym+-=AB()()22114xy+=2 3AB=ABPD3 28 25 24 2 1+()0,1l llABC!ABCabcsin2sinAB=coscos3aBbA+=ABC!33 366 3ABPPAPBl=0l1lP(),0Aa-(),0B aa2l=43ra=12l=AB01lAB!第 12 页

21、 共 16页学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）6已知直线与直线相交于点,线段是圆的一条动弦,为弦的中点,下列说法正确的是()A弦的中点轨迹是圆 B直线的交点在定圆上 C线段长的最大值为 D的最小值 7 已知点,点在圆上,则使的点的个数为_ 8 设,直线与直线交于点,则的取值范围是_ 9已知圆为圆上的两个动点,且为弦的中点,.当在圆上运动时,始终有为锐角,则实数的取值范围为_ 10已知集合由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示,中间白色部分形如美丽的“水滴”给出下列结论:“水滴”图形与轴相交,最高点记为,则点的坐标为；在集合中任取一点,则到

22、原点的距离的最大值为 3；阴影部分与轴相交,最高点和最低点分别记为,则；白色“水滴”图形的面积是 其中正确的有_ 1:310lmxym-+=2:310lxmym+-=PAB()()22:114Cxy+=GAB2 3AB=AB12,l lP()()22222xy-+-=PG4 2 1+PA PB!64 2+()2,0A-()0,4BP()()22:345Cxy-+-=90APB=PmR1:0lxmy+=2:240lmxym-=00(,)P xy220002xyx+22:5,O xyA B+=O2,ABM=AB),22(aC)2,22(+aD,A BOCMDa22(,)(cos)(sin)4,0P

23、x yxyqqqp=-+-=PyAA()0,1PMMyCD23CD=+1136p-!第 13 页 共 16页学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）11如图,已知矩形的两条对角线的交点为,点,()求直线和直线的方程；()若平面上动点满足,求点的轨迹方程 12 如图所示,圆与圆的半径都是 1,过动点分别作圆、圆的切线(为切点),使得,试建立适当的坐标系,并求动点的轨迹方程 13在平面直角坐标系中,动点满足(1)求点的轨迹方程；(2)设为圆:上的动点,求的最小值 14已知定点、,动点满足:.(1)求动点的轨迹方程,并说明方程表示的图形；(2)当时,求的最

24、大值和最小值.ABCD3(,0)2M(0,2)A-(4 0)B,BCCDP2PAPB=P1O2O124OO=P1O2O,PM PN,M N|2|PMPN=PxOy()3,0AP2POPA=PQB()2241xy+-=2POPQ+(0,1)A()0,1B-(1,0)CP2AP BPk PC=!P2k=APBP+!第 14 页 共 16页学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）15 如图,已知圆的方程为,是直线上的任意一点,过作圆的两条切线,切点分别是,线段的中点为.(1)当点运动到轴上时,求出点,的坐标；(2)当点在轴上方运动且时,求直线的方程；(3)

25、求证:,并求点的轨迹方程.16 在平面直角坐标系中,已知直线 l:和圆 O:,P 是直线 l 上一点,过点 P 作圆C 的两条切线,切点分别为 A,B.(1)若,求点 P 的坐标；(2)求线段长的最小值；(3)设线段的中点为 Q,是否存在点 T,使得线段长为定值？若存在,求出点 T；若不存在,请说明理由.O222xy+=M2x=-MOPQPQNMxPQMx60PMQ=PQ2OMONOP=NxOy20 xy+=221xy+=PAPBPAABTQ!第 15 页 共 16页学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）17古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前 262公元前 190 年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果,著作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点,则满足的动点的轨迹记为圆.(1)求圆的方程；(2)若点,当在上运动时,记的最大值和最小值分别为和,求的值.(3)过点向圆作切线,切点分别是,求直线的方程.k0k 1k xOy(2 0),(2 2,0)EF，|2|PFPE=PEE(2,2),(2,6),(4,2)ABC-PE222|PAPBPC+MmMm+(3,3)QE,QS QT,S TST?