近五年数学高考压轴题及答案.pdf

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1、 1(本题满分18分)第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分.若实数x、y m满足仇-旭|y-m,则称无比y远离m.(1)若比1远离0,求x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数。、b,证明：J+b3比02从而2远离2ab而；(3)已知函数兀)的定义域)=幻了。曰+?次wZ,xeR.任 取x。，犬 工)等于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数凡r)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明)解析：xe(-oo,-/2)(V2.+oo)；(2)对任意两个不相等的正数 a、b,W o+by lab4cib,crb+atr 2abab,因为|/+)3-2ab猴|一|+ab

2、2-2ab4ab|=(a+b)(a-Z?)20,所以|/+力 一2ab(ab|a2b+ab1-2abab,即 a+b 比 ab+ab1 远离 2abab；/U)=X *兀 H-,k,7t+-)4 4X G(kjr-,k兀 4)4 4性质：ITU)是偶函数，图像关于y轴对称，27U)是周期函数，最小正周期T=工，23。函数段)在区间(竺-工，竺 单调递增，在区间 色,竺+马单调递减，提Z,2 4 2 2 2 44。函数/(的值域为(学,1.2x2(I)设函数/(x)=/(l+x)-,证明：当工 0时，/(x)0；x+2(I I)从编号T到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方

3、式联系抽取20次，设抽得a I的20个号码互不相同的概率为P.证明：P ()190当-1 x 0 时 J(x)0时，f(x)0所以，当x 0时，f(x)0抽 取20次(I I)依题意，所抽号码不得再次出现，:.P =X X X100 100 10099 8 Q99 x 81 =(90 +9)(90 -9)=902-92 90?n x ()21 0 0 1 0 0 1 0同理：98-X1 0 082 ,9、2 97-(-)，-X1 0 0 1 0 1 0 0更 心1 0 0 1 08个 个9151 0 089X-1 0 0抽取20次:.p =1 0 0-X1 0 099 98 81 1 0 0-

4、X-X X-X1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0(急29X90i o o-啕8端哈9即2(K)I 92 x又，在函数/(x)=/(l +x)一二一 中，取/=一x +2,由(I)得f(-)0 ,所以1 0 1 0,9 2 x(-而)-2 2 ,9In In -1 0 1 ,-1 +2 0 1 9 1()1 02 Q Q一 n 1 9打二 2 n /()1 9(z 9、)1 9 (/一9.)1”9 o1 0 1 0 e19 1综上所述，P (一)D 0 ；当 时，g(x)W O,%=1 是 g(x)的最大值点，,g(x)W g(l)=-l综上，a的取值范围是-1,+8).(I I)有

5、(I )知，g(x)W g(l)=-1 即 I nx-x +l W O.当 O V x V l 时，/(%)=(x +l)l nx x +l =x l nx +(l nx x+l)O ；当x l时，f(x)=I n 九+(x l nx 九+1)m=l nx +x(l nx +-1)x=l nx-x(l n-+1)x x2 0所以(x l)/(x)2 O 4 (2 1)(本小题满分1 2 分)(注意：在试题卷上作答无效)已知函数/(幻=1 4一3?+6.(I)讨论/(工)的单调性；（I I）设点P在曲线y=/（x）上，若该曲线在点P处的切线/通过坐标原点，求/的方程【解析】本小题考查导数的应用、

6、函数的单调性，综合题。解：（I ）/v（x）=4 x3-6 x =4x（x+）（x-y ）令/、(x)0 得一 2 2令/(x)v 0 得 x v 或0 v x ，一 产 力 八、c a 2X1+2 x+a .解：f(X)-2 x+-=-(x -l)1+x+xg(x)=2x2+2 x+a,其对称轴为x=g。由题意知王、赴是方程g(x)=O的两个均大于-1的不相等的实根，其充要条件为，A=4-8 a 0，得0 0 2当X(l,石)时,r(x)o,./(x)在(一1,%)内为增函数；(2)当 x e(Ap%2)时，/(X)vO,./(x)在(,尤2)内为减函数；当X(%2+8)时，/./(%)在(

7、%2,+8)内为增函数;19(I I)由 g(O)=a O,:.-x2 -),贝 ij/(x)=2x2(2x+1)加(1+x)2x=-2(2x+1)/(1+x)当 x e,0)时，”(%)0,:.h(x)在 一g,0)单调递增；当xe(0,+oo)时，(x)心；)=，:n2故马)=(无2)1_；2.w.w.w.k,s.5.u.c.o.m6 2 2.(本小题满分12分)设函数/(x)=x-x l n x.数列 q 满足O cq 1,an+l=f(an).(I)证明：函数/(x)在区间(0,1)是增函数；(II)证明：an an+l b.ax nb22.解析:(I)证明：/(%)二尤lnx，r(x

8、)=Inx,当(0,1)时,/(%)=lnx 0故函数/(x)在区间(0,1)是增函数;(H)证明：(数学归纳法证明)(i)当”=1时，0 q l,41nq q由 函 数/(x)在 区 间(0,1)是 增 函 数，且 函 数/(x)在x=l处 连 续，则/(x)在 区 间(。1是增函数,a,=f(aA)=ai-alnai 1,即4 /1 成立;(i i)假设当 x=Z 伏 e N*)时，%十 1 成立，即 0 4 W 4%+i l那么当=左+1时，由/(x)在区间(0,1是增函数，04W%W+1l得/(%)f(ak+l)/(I).而 all+l=f(a.),则 aM=f(ak),ak+2=f(

9、ak+l),ak+l ak+2 1,也就是说当=左+1时，a“a+1也成立；根 据(i)、(i i)可得对任意的正整数，q,a+l恒成立.(H I)证明：由/(x)=x x ln x.。川=/(可)可 得k彩=4-6-Z 1 In 41=1b若存在某i k满足q WZ?,则由知：ak+-b ai-b O2,若对任意i ，则丐k k k=a In a.=a-h-a n h =a1-h-(a in h 石/=i=0,即 ak+x b 成立.7(20)(本小题满分12分)设函数/(x)=e 一e-”.(I)证明：/(尤)的导数/(%)2 2；(I I)若对所有x 2 0都有/(x)2方，求。的取值范

10、围.(20)解：(I)/(%)的导数/(%)=e+e”.由于 e*+e*、2拈 e-=2,故 f(x)2 2.(当且仅当x=0时，等号成立).(II)令g(x)=/(x)-奴，则gx)=fx)一。=e +ex-a,(i )若 a W 2,当工 0 时，g(x)=e +9一 一Q2-QNO,故g(x)在(O,+8)上为增函数，所以，x 2()时，g(x)N g(O),即/(X)2O .(i i)若。2,方程g，(x)=O的正根为玉此时，若x e(O,办)，则g(x)0,故g(x)在该区间为减函数.所以，x e(O,不)时，g(x)g(O)=O,即/(幻 以，与题设/(x)2办相矛盾.综上，满足条

11、件的a的取值范围是(-8,2.【8】20 1 1山东理21.(本小题满分1 2分)某企业拟建(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆半球形，按照设计要求容器的容积为幽立方米，3造如图所示的容器柱形，左右两端均为且/N 2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容器的建造费用为)，千元.(I )写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域;(I I)求该容器的建造费用最小时的匕解析：(I)由题意可知万/+生，=a乃(/，2r)，即/=理_&、2-，则()r 2.3 3 3/3)8 0 4 )容器的建造

12、费用为 y=2/rrlx 3 +4 r xc=67rM?r)+4 r c,3广 3即y =史 史 一8 7产+4夕2c,定义域为.()W 2.(I I)y=-12-16 zrr+8 rc,令 y =0,得 r=020c2令厂=引用-=2,即 c=4.5,c-220(1)当3 c 4.5时，当0 rW 2,y 0,函数y为减函数，当r=2时y有最小值;V c-2(2)当c4.5 时，3,I 2 200 c 20-2,当 0 r J-c c-2 2-N c-2,y 0,20此时当r=3 时y有最小值。V c-29 20 10年 山 东 理(22)(本小题满分14分)已 知 函 数=+-1(a e

13、R).x(I)当a 4；时，讨论/(x)的单调性；(I I)设g(x)=x 2-2Z?x+4.当a=；时，若对任意王e(0,2),存在使f(X l)g(x2),求实数b取值范围.【解析】(I)原函数的定义域为(0,+8),因 为/(x)=-n-=a X-+-1,所以X X X当。=0时，/(幻=可，令/(=1 0得X 1,所以X X此时函数f(x)在(1,+8)上是增函数；在(0,1 )上是减函数；1 1 X X 2+XH 1 1,2 1c i i 2、r.I n，/*,/2 2-x +2x-l-(x-1)M rrH l当。=不 时，/(x)=-z J=-；=-0,所以2 炉 2x2 2x2此

14、时函数f(x)在(0,+oo)是减函数；QX 2+x+Q 1|当4 0得-ax 2+x-l+a 0,解得x l或x 0-ax2+x-l+a 0,解得此时函数2xaf(x)在(1,-1)上是增函数；在(0,1)和(1-1,+8)上是减函数；aa|QX +x+*l 1 I当一 a(K 4 ax 2+x-l+a 0,解得-1X 0 W-a x2+x-l+a 0,可解得0 x x+G ,J,L J 2 2 x 2 4所以2。2口，解得8即实数取值范围是U,+00)。2 4 4【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的

15、最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。10 20 0 9山 东 理(21)(本小题满分12分)两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧月8上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x k m,建在C处的垃圾处理厂对城A和 城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理

16、厂建在RR的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数：(1 1)讨 论(1)中函数的单调性，并判断弧46上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和 城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。4 k解法一：(1)如图，由题意知 AC，BC,8C2=400 x2,y=+-?(0 x20)x 400-%2其中当x=10夜 时，y=0.065,所以k=9/4 9/所以y表示成x的函数为丁=+-7(0 X20)x 400-x *?_4_ 9/8 9 x(-2x)1 8/8(400-f ,2)一丞 +400-x2，)三 (400-y -X3(40

17、0-X2)2-0丁)2,所以f =160,即x=4y/10，当0 x 4所时，18%48(400/)2,即 歹 0所 以 函 数 为 单 调 减 函 数，当4后 x 8(4 0 0-2)2,即 旷 0所以函数为单调增函数所以当=4而 时，即 当c点到城A的距离为4瓦时，函数y=：+J(0 x (13+12)=一 当 且 仅 当 一=即 时m n m n 400 400 m n 400 16 m n m=160取 一4 9 _下面证明函数y=+-在(0,160)上为减函数，在(160,400)上为增函数.m 400-m4 9 4 9设 0cmi vm2160,则 乂 一%=十 -(+-)町 40

18、()-町 叫 40()一加244 9 9 4(7 7?9-mA)9(小网)=(-)+(-)=-1-网网 400-町 400-网 仍处(400-仍)(400-牡)=(,m,-in.、)-4-9-=I (m,-m,)-、-4-(-4-0-0-町-)-(-4-0-0-m-,=)-一-9-m-l-m-2-mm2(400-)(400 mm2(400-Y)(400 m2)因为 0m1m24 X 240 X 240c ri.4(400-m,)(400-)-9in.9 mim20,所以(加2 一町)4(400 一町)(400 一 牡)一 9m%/7t1m2(400 一町)(400 m?)4 9 0即x%函数y

19、=一+-在(o6o)上为减函数.m 400-m4 9同理，函 数 y=+-在(160,400)上为增函数，设 160cmim2V 4 0 0,则m 400-m4 9X-%=-町 400-T T4 9 4(400 m,)(400 9 7 12-+4 0 0-也一犯 m1m2(400-叫)(400-)因为 1600mm2400,所以 4(400-町)(400-6 2)9X 160义 1604(400-町)(400 必)-9mlm2所以-=-l,当”=2时，f(x)=-J-T +aln(x-l),所以/(x)=2z f2(1)当a0时，由/(x)=0得 内=1 +J 2 i,=1-J2 1,a止 匕

20、 时 f(x)=一 公)当x e(l,与)时，f(x)0 ,/(x)单调递增.(2)当aW O时，/(x)()时，/5)在x =l+、口处取得极小值，极小值为/1 +、曰 =2(1 +也2V(Va J 2 1 a当a W O时，/(x)无极值.(I I)证法一：因为。=1,所以/(x)=a ),；+ln(x 1).当为偶数时，-ln(x-l),n则 g (x)=i+F i p1 _ x-2 nx-l(x-l)/,+l(X，2).所以当x e2,+o o)时，g(x)单调递增,又g =0,因此 g(x)=x-l-ln(x-l)N g(2)=0 恒成立，(x-l)所以/(x)W x-l成立.当为奇

21、数时，要证/(x)W x-l,由于1)“0,所以当x22时，恒有(x)0,即ln(x l)|时，判断函数/(x)在定义域上的单调性；(I I)求函数/(x)的极值点；(I I I)证明对任意的正整数n，不等式ln(-+1)二 二都成立.n n IT解：函数/(uf+Z Hna+l)的定义域为(一1,丑0).、c b 2x2+2 x +Z;f (x)=2 x+-=-x +1 x+l令 g(x)=2尤 2+2x+Z?，贝 i j g(x)在(一,+8 上递增,I 2 J在上递减,gO O m i n =g(_ g)=-g +当时，gO O m i n =-g +b ，g(x)=2x2+2 x+/?

22、0 在(-l,4-oo)上恒成立./（x）0,即当时，函 数/（尤）在定义域（1,+）。）上单调递增。（I I）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当人；时函数/（X）无极值点.1 2（x +3（2）当6 =7 时，f x）=”，2 x +1，x w 1 一 L-万 时,f（x）0,X G -J,+oo时，/（X）0,、2）.=g 时，函数/（X）在（一 1,+C Q）上无极值点。（3）当。时，解/（%）=0 得两个不同解=7 2 2/?,/=2 JM z,m 1 J l 2b i -1+-2b i当 6 0 时，x,=-1,1 2 2任（I,”）,/G（-1,-F O O）,此时/（X）在（

23、一 1,物）上有唯一的极小值点=上手11.当 0 b g 时，玉,马（-l,+oo）,/（X）在（一 1,%）,（2，+。）都大于 0,/（X）在（石,2）上小于 0，此时/（X）有一个极大值点玉=2 b和 一 个 极 小 值 点 2b,_ 1 4-J 7h综上可知，0时，/（九）在（一1,+8）上有唯一的极小值点=；0 b (0)=0.即当x (0,+oo)时，有x3f+l n C x+l)。,l n(x+l)/,对任意正整数，取x=L得n n n n13 2011北京理(1 8)(本小题共1 3分)Xf(x)=(x-k)2e(k 0).(I)求/(x)的单调区间；(I I)若对于任意的x

24、e(0,+8),都有/(X)L 求k的取值范围.e1 2【试题解析】(1)/(%)=(%-幻2,%+2(%-女)，K1-(x +k)(x k)ekk当&0时,/(%)在(T O,Q和(匕Z0)上单增，在(匕外上单减；当左 0时(%)在(-O O,-幻 和(女,400)上单增,在(-匕Q上单减；(11)若左0,因/(X)在(0,4)上单减，在(2)上单增，X +8 时,/(X)+8,所以/(X)W 4不可能恒成立；e若 后 0).(I)当&=2,求曲线y =/(x)在点(L/(D)处的切线方程；(I I)求f(x)的单调区间.181解：当攵=2 时，/(x)=l n(l 4-x)-x+x2,/x

25、)=-1 +2元.1+x3由于/(1)=l n(2),/=,所以曲线丁=/(x)在 点(1,/)处的切线方程为3y=l n 2=-(x-l)o 即3x 2y +21n 2 3=0/、/、x(kx-k-V)/1 、(I I)f(x)=-,x e(-l,+oo).l +xX当女二0 时，f x)=-.l +x因此在区间(T,0)上，尸(幻 0；在区间(0,+oo)上，fx)0；所以/(x)的 单 调 递 增 区 间 为 单 调 递 减 区 间 为(0,+oo)；当 0 v 2 0;l +x -ki-b b因此,在区间(-1,0)和(-,+oo)上,f(X)0；在区间(0,-)上，U)i 时，由/%

26、)=咒：-1)=。得耳=0,=1e(T O)；1 -k.-k因此，在区间(-1,-)和(0,+8)上,f(x)0 9 在区间(-,0)上，f(x)0,则当丁 -00,一 一 时，/(x)vo,函数.(%)单调递减,当了 一：,+00,、7时，/(x)0,函数/(x)单调递增,若 k 0,函 数 单 调 递 增,k )当 x/j,+o o,I k7时，/(x)0,则 当 且 仅 当 4-1,即时，函数/(x)(1,1)内单调递增,若左 (),则当且仅当一工21,K即左2-1 时，函数/(x)(-l,l)内单调递增,综上可知，函数/(x)(l,l)内单调递增时，%的取值范围是一 1,0)(0,1.

27、9 r -h【16】2008北京理18.(本小题共13分)已 知 函 数/(幻=士 二，求导函数f(x),并确定了(x)的单调区间.(x-1)18.(共 13 分)解“叱一 2x+2b2(x-1)32 x-0-l)U-1)3令 r(x)=o,得x=b-i.当人一 1 1,即 2 时，/(x)的变化情况如下表:x(c o,Z?-1)b (b 1,1)(L+o o)r(x)-o +当即62 时，r(x)的变化情况如下表：X(00,1)(1,/?1)b 1(Z?1,+o o)r(x)-+o所以，当 2 时，函数/(X)在(-8,1)上单调递减，在(1,人一1)上单调递增，在 3 1,+8)上单调递减

28、.2当人一1 =1,即6 =2 时，/(x)=，所以函数/(x)在(一8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递减.x-l【17】20、(12分)已知函数/(x)=a-2+0-3”，其 中 常 数 满 足 次?#0。若 乃 (),判断函数/(x)的单调性；若 出?/(x)时x的取值范围。20、解；当。0力 0 时，任 意 e 凡玉%2，贝|J/(办)一/(马)=0 2 不2力+仪3$3&).2西 0=a(2 2%)0,37 0=匕(3$一 3*)0,/./(x,)-/(x2)0,函数/(x)在 R上是增函数。当a 0 力 3当。三，则x l o g 15(三)；2 2b 2b当a 0,Z?0

29、时，(一)-,则x 2abfab,crb+ab2 2abab,因为|/+/_2abab|-|crb+ab2 2ab4ab|=(a +b)(a-b)2 0,所以|crb+ab2 2abab,即/+/比 a2b+ab 远离 labyfab；/U)=|s i n x|,xe(k7i:+,k+)|c o s x|,x e(A 7r-?,&i +?)性质：I T U)是偶函数，图像关于y 轴对称，2/(x)是周期函数，最小正周期T =工，23。函数段)在区间(竺-工，”单调递增，在区间 以，竺+马单调递减，林 Z,2 4 2 2 2 44。函数兀0 的值域为(学 19 20(本题满分14分)本题共有2

30、个小题，第 1 小题满分6分，第 2 小题满分8 分。有时可用函数/(%)=,0.1+151n-a-xx 4.4 八-,U 6)I x-4,(x 6)描述学习某学科知识的掌握程度，其 中 x表示某学科知识的学习次数(x w N),/(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关。(1)证明：当 X N 7 时，掌握程度的增加量/(x +1)-/(x)总是下降；(2)根 据 经 验,学 科 甲、乙、丙 对 应 的 a的取值区间分别为(115,12 1 ,(12 1,12 7,(,133。当学习某学 科 知 识 6 次时，掌握程度是8 5%,请确定相应的学科。2 0.证 明(1)当 2

31、 7时，f(x+l)-f(x)=0.4(x-3)(x-4)而当x2 7时，函数y =(x-3)(x-4)单调递增，且&-3)(%-4)0.3 分故/(x+1)/(x)单调递减.当x N 7时，掌握程度的增长量/(x+1)-/(%)总是下降.6 分(2)由题意可知 0.1+15 1n =0.85.9 分a-6整理得一 一=e 5a-60.05解得 a=6=2 0.5 0 x 6=12 3.0,12 3.0 G(12 1,12 7.13 分e 1由此可知，该学科是乙学科.14 分2 1.(本 题 满 分 16分)本题共有2个小题，第 1 小题满分8 分，第 2小题满分8 分。已知双曲线c:V =1

32、,设过点A(3血,0)的直线1的方向向量e=(1,Z)(1)当 直 线 I 与 双 曲 线 C 的一条渐近线m 平行时，求 直 线 I 的 方 程 及 I 与 m 的距离；(2)证明：当女 也 时，在 双 曲 线 C 的右支上不存在点Q,使 之 到 直 线 I 的 距 离 为 布。2201 19.(8+8)已 知 函 数 於=乃 由(1)若，(x)=2,求 x 的值(2)若 2f(2f)+m/)0 对于恒成立，求实数m 的取值范围【解析】(1)当 x 0，x=log2(l+衣 8 分(2)当 te l,2 时，2(2 5*)+加(2 y)2 0.10 分即机(221)之一(241),V 22,

33、-1 0,：,m -(22,+i)13 分V 1,2,/.-(22,+1)G-17,-5故机的取值范围是 一5,+8).16分【21】2007上海理1%(本题满分14分)本题共有2 个小题，第 1小题满分7 分，第 2 小题满分7 分.已 知 函 数/(尤)=/+0 (无彳0,常数aeR).X(1)讨论函数/(X)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数/(%)在 xw2,+8)上为增函数，求。的取值范围.1 9.解：(1)当。=0 时，/(x)=%2,对任意尤(8,0)(0,+oo),/(-x)=(-x)2=X2=f(x),/(X)为偶函数.当。W 0 时，/(x)=x2+3(a#0,1 工0),

34、x取=1,得/(-1)+/(1)=20,/(-1)-/(1)=-20,/(FT。)，/(-i)*/(D)二 函数/(x)既不是奇函数，也不是偶函数.(2)解法一：设 2 W x1V%2,f(xl)-f(x2)=x+-%2 +x2)-a,xx x2 xx2要使函数，(x)在 x e 2,+0 0)上为增函数，必须/(七)一/(%2)。恒成立.内一 马 4,即。4,/.xix2(xl+x2)16.。的取值范围是(-8,16.解法二：当4 =0时，/(X)=X2,显然在 2,+8)为增函数.当。0时，同解法一.2 2 2 0 11浙江理2 2.(本题满分14 分)设函数,f(x)=(x a)2 1n

35、 x M e R(I)若 x=6为丫=/(x)的极值点，求实数a；(I I)求实数a的取值范围，使得对任意的x e(0,3e ,恒有f(x W4 e 2)成立，注：e 为自然对数的底数。2 2.本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满 分 14 分。(I)解：求导得尸(x)=2(x-a)l n x +-(x a)(21nx+l-).x x因为x =e 是/(x)的极值点，所以所(e)=(e -a)(3-)=0,e解得。=6 或。=36经检验，符合题意，所以a =e 或a =3e.(I I)解：当0 x41

36、时，对于任意的实数a,恒有/(x)W 0 4/成立；当l x 4 3 e 时，由题意,首先有，(%)=(3e-a)2 1n(3e)4 首2,2e 2 e解得 3er=a 3 e+.J l n(3e)J l n(3e)由(I)知 f (x)=(x i)(2 I n x+1 ),X令/z(x)=2 1n x +l ，贝肌(1)=-a 0,x且(3 e)=2 l n(3 e)+l-2 l n(3 e)+1-加%)3 e 3 e=2(l n 3 e .)0.V l n 3 e又/z(x)在(0,4 W)内单调递增所以函数%(x)在(0,+)内有唯一零点，记此零点为/，贝也/3 e,1 与 0;当 x

37、e(如 a)时,fx)0.即/(x)在(0,%)内单调递增，在(玉),a)内单调递减，在(a,+8)内单调递增。所以要使f(x)4 e?对比e(l,3 e恒成立，只要f(x0)=(x0-a)2 I n%4 e2,(l)V/(3 e)=(3 e-a)?l n(3 e)4 e2,(2)成立。由 )=2 I n Xg +1.-0 ,知a=2xQnxQ+xQ,(3)将(3)代 入(1)l n3x0 1,注意到函数d h?尤在 l,+oo)内单调递增，故1 毛Ke。再 由(3)以及函数2x l n x+x在(1,+8)内单调递增，可得l v a 4 3 e.由(2)解得，3 e /W a W 3 e H

38、/.J l n(3 e)J l n(3 e)所以 3 e -3a 3 e.J l n(3 e)综上，a的取值范围是3 e =a O于是，假设X，%2是 g(X)=。的两个实根，且 王 入 2(1)当 x 产a或 X2二 a 时，则 x=a 不是f(x)的极值点，此时不合题意。(2)当 X W a 且 Xz W a 时，由于x=a 是 f(x)的极大值点，故 Xi a X2.即 g(a)0即 Q-+(3 Q+b)a+ab Q v 0所以b-a所以b 的取值范围是(H)由(I )可知，假设存在b 及 X4 满足题意，则(1)当一。=。一不时，则=2/。或 =2玉-a于是2。=玉+%2=a-b-3,

39、即匕二一。一3此时九 4 =2%2。=。一人一3 +J (+-1)-+8 a =a +2/6或 匕=2%|_ a=a b 3 +-1)-+8 a=a-2V 6(2)当乙aw。M时，则/一=2(Q X1)或(a X1)=2(%2-。)若 x2-a=2(a-X1)贝ij x4=于是3a-2玉+x23(Q /?3)J(a +b-1)+82即 J(a +-l)2+8=3(a +3)于是Q+Z?-1-9-屈2.a +尤2 2a+(a 人-3)3(a +。+3).o 1 +J l 3此时%4=-=-b-3 =a+-若 a-x1=2(X2-a)则 x4Q+X 2于是3 a =2它+项=%”._ 3)+乎-匕

40、2*即 yl(a-b-l)2+8=-3(+Z?+3)于是。+人一1 =-9+V 1 32u a +X 2a+(t z Z?3)3(a +0 +3),o 1 J l 3此时x4=丁-=-b-3 a-综上所述，存在b满足题意，当 b=一。一 3 时，x4=a +26山 7+屈 1 +V 1 3当 b=a-时，x4=a-2 4 2业八 7-V 1 3 .1-V 1 3当 b=Q-时，xd=a-2 2【24】20 0 9浙江理22.(本题满分1 4分)已知函数/(幻=_?一伏2 一%+1)/+5%-2,g(x)=k2x2+kx+1,其中Z eR.(I)设函数p(x)=/(x)+g(x).若p(x)在区

41、间(0,3)上不单般，求 的取值范围;(I I)设函数q(x)=(g )是否存在女，对任意给定的非零实数占，存在惟一/(%),x 0.的 非 零 实 数 (/。%)，使得/(工2)=/(不)成立？若存在，求后的值；若不存在，请说明理由.解析：(I)因 P(x)=/(x)+g(x)=d+伏-1)+(k+5)-1,()=3 X2+2(左一1)%+供+5),因 p(x)在区间(0,3)上不单加，所以p (x)=0在(0,3)上有实数解，且无重根,由p (x)=0得依 2x+l)=(3/2x+5),(3X2-2X+5)_ 3.K=2x+l 4r a i n-l a2X+2X+1 3，令f=2x W 有

42、r e(l,7),记0#+：则/在(1,3 o上单调递减,在 3,7)上单调递增，所以有4 6,1 0),于是(2x+l)+六0 6,1 0),得左式一5,2 ,而当女=2时有()=0在(0,3)上有两个相等的实根x =l,故舍去，所 以 丘(5,2)；(I I)当x0时有d(x)=g(x)=2 4 2%+左，因为当k=0时不合题意，因此攵力0,下 面 讨 论 的 情 形，记A =6-)，B=(5,4 o o)(i )当%0 H寸，q (x)在(0,+o o)上单调递增，所以要使/(%)=/(玉)成立，只能工2。且因此有42 5,(i i)当玉0且因此左45,综 合(i)(i i)k=5；当&

43、=5时人=8,则X/j q 0,/(x J e 8 =A,即玉?，使得4 (W)=4 (西)成立，因为火 力 在(0,”)上单调递增，所以赴 的值是唯一的；同理，V%0,即存在唯一的非零实数工2(9 W%)，要使q (w)=q (x j成立，所以=5满足题意.2 5 (2 1)(本题15分)已 知a是实数，函数J(x)=(xa)。(I )求函数J(x)的单调区间；(II)设g(a)为J(x)在区间 0,2 上的最小值。(i)写出g(a)的表达式；(i i)求a的取值范围，使得一6 4 g(a)o).2y/x 2Vx若a W0,则/(x)0,/(x)有单调递增区间 0,+8).若 a 0,令/(

44、幻=0,得 x =0,当 0 x 时，/,(x)0./(x)有单调递减区间0,-1,单调递增区间(1,+8 .(H)解:(i)若a W O,/(x)在 0,2 上单调递增，所以g(a)=/(O)=O.什八 f f l、八 八a I的、田佳、由 /Aa o l I的、田 湖右0 Q 6,/(x)在0,上单调递减，在 上 单 调 递 增，所以g(a)=俏卜若 心6,/(x)在 0,2 上单调递减，所以 g(a)=*2)=后(2 a).0,a W 0,综上所述，g(a)=0a6,V2(2-a),a 26.(ii)令-6W g(a)W 2.若aW O,无 解.若0 a 6,解得3W a6.若a 2 6,解得6W&W2+3底.故a的取值范围为3W&W2+3 0.