【公开课】数系的扩充和复数的概念课件-2022-2023学年高一下学期人教A版（2019）数学必修第二册.pptx

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1、 对于一元二次方程 ，当 时，没有实数根因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，诸如此类问题将无法解决 引入引入如何解决数学家在研究解方程问题时遇到的负实数开平方问题呢？问题问题 从方程的角度看，负实数能不能开平方，实际上就是方程x2=-a（a0）有没有解的问题把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程x2+1=0有没有解的问题.x2+1=0在实数集中无解，能否引入新数，适当地扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？7.1.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念人 教A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册今天真顺，可是我今天真顺，可是我现在现在共捕了多少头野猪共捕了多少

2、头野猪呢呢？有办法了，用结绳来计数！有办法了，用结绳来计数！我真是天才！我真是天才！计数的需要自然数被被“数数”出来的自然数出来的自然数远古时期的人类，远古时期的人类，用划痕、用划痕、石子、石子、结绳记数，创造了结绳记数，创造了自然数自然数1.2.3.4.1.2.3.4.55自然数是现实世界自然数是现实世界最基本的数量，是最基本的数量，是全部数学的发源地全部数学的发源地.相反量的需要负数被“欠”出来的负数东汉初期的东汉初期的“九章算术九章算术”中就有负中就有负数的说法数的说法负数的引入，解决了在负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾数集中不够减的矛盾.记出入账记出入账等额公平分配的需要分数被“

3、分”出来的分数分数的引入分数的引入,解决解决了在整数中不能了在整数中不能整除的矛盾整除的矛盾.大约在春秋战国大约在春秋战国时期时期九章算术(东汉初年东汉初年):第二章“粟米”：粮食的按比例折换；第三章“衰分”：比例分配问题；第六章“均输”：合理摊派赋税；第八章“方程”：解一次方程组.无论是负数、分数的确切定义和科学表示，无论是负数、分数的确切定义和科学表示，还是它们的运算，最早建立起来的都是还是它们的运算，最早建立起来的都是中国中国，比欧洲早比欧洲早14001400年年.毕达哥拉斯（约公元前毕达哥拉斯（约公元前560560480480年）年）11?x2=2度量计算的需要无理数边长为1的正方形的

4、对角线长是多少?被“推”出来的无理数 约约25002500年前，年前，古希腊的毕达哥拉古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为边长为1 1的正方形的对角线是个奇怪的正方形的对角线是个奇怪的数的数,引起了数学史上的第一次危机，引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数。进而建立了无理数。无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.自然数集整数集有理数集实数集刻画相反意义的量引入了负数解决测量等分问题引入了分数解决度量正方体对角线等问题引入了无理数自然数负整数整数无理数有理数分数实数u 从社会实践来看随着社会发展，数系在不断

5、扩充计数的需要引入了自然数u从数学发展的角度来看（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R无解有解无解有解有解无解（3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题（4）在实数集中求x2+1=0方程的解无解有解？引入引入新数新数（1）在自然集中求方程x+1=0的解；如果没有运算，数只是孤立的符号！有理数集有理数集实数集实数集运算运算运算律运算律交换律交换律结合律结合律分配律分配律交换律交换律结合律结合律分配律分配律数系扩充规则：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致

6、，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律引入了引入了无理数无理数（）（）（）（）（）（）问题问题 数系经过扩充后，在运算上遵循了什么规则？回到问题：求下列方程的解希望希望：引进一个新数使方程有解：引进一个新数使方程有解设想设想：引入的新数能像实数那样进行加法、乘法运算，保持原有的：引入的新数能像实数那样进行加法、乘法运算，保持原有的（实数）加法、乘法运算律仍成立（实数）加法、乘法运算律仍成立1、引进一个新数历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的.我们可以引入一个数“i”，使i2=-1，这样x=i

7、就是方程x2+1=0的解 实数新数i加法运算乘法运算a+ibia+bi(a，bR)3+i2i3+2i依据规则：在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致(1)形如 的数叫做复数,通常用字母z 表示.(2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C 表示.实部虚部2、复数与数系的扩充 i 叫虚数单位3、复数的分类实数纯虚数虚数实数R纯虚数虚数复数集C4、复数相等规定：如果两复数能比较大小，那么这两复数一定为实数。思考:任意两个复数可以比大小吗？例1.将下列复数分类，分出实数、纯虚数和虚数，并指出虚数的实部与虚部。复数集C实数R纯虚数虚数复数集C(2)当 ，即 时，

8、复数 z 是虚数例2 实数m取什么值时，复数 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)当 ，即 时，复数 z 是实数(3)当 ，且 ，即 时，复数 z 是纯虚数 作业作业1.半期同步测试题（一）半期同步测试题（一）；2.半期复习半期复习.在几何上，在几何上，我们用什么我们用什么来表示实数来表示实数?实数的几何意义实数的几何意义类比类比实数的实数的表示，可以表示，可以用什么来表用什么来表示复数？示复数？实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。实数实数 数轴数轴上的点上的点(形形)(数数)一一对应一一对应 复数的复数的一般形一般形式？式？Z=a+bi(a,b R)实部实部!虚部虚部!一个复数一个复数由什么唯由什么唯一确定？一确定？由一个有序实数对（由一个有序实数对（a,b）唯一确定）唯一确定