2023年初升高暑假衔接之高一数学1.2 集合间的基本关系（讲义）含解析.docx

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1、2023年初升高暑假衔接之高一数学1.2集合间的基本关系1. 子集一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集，记作.读作“A含于B”(或“B包含A”).2. 真子集如果集合,但存在元素,我们称集合A是集合B的真子集，记作或，读作“真含于或（真包含）”3. 集合相等如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B.4. 空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集5. 集合中元素个数与子集，真子集

2、的关系集合中元素个数子集个数真子集个数1234例1已知集合且，则集合A的子集的个数为（）A15B16C31D32变式1-1集合的真子集的个数是（）A8B7C3D5变式1-2已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（）A2B4C6D8变式1-3设集合，且，若，则集合M的非空真子集的个数为（）A4B6C7D15例2符合的集合的个数为（）A3个B4个C5个D6个变式2-1已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（）A6B7C8D9变式2-2满足条件的集合的个数是（）A1B2C3D4例3写出集合的所有子集和它的真子集.变式3-1写出下列集合的所有子集：(1)；(2)；(3)变式3-2设集合，列出集合A 的

3、子集.变式3-3求集合的子集和真子集.例4已知集合，且；(1)求实数；(2)写出的所有真子集.变式4-1已知集合，且.（1）求a；（2）写出集合A的所有子集.变式4-2已知集合，且.(1)求实数的取值的集合；(2)写出（1）中集合的所有子集.例5已知求变式5-1已知集合M满足关系 ，写出所有的集合M例6设，(1)写出集合A的所有子集；(2)若B为非空集合，求a的值变式6-1已知，若，求实数所构成的集合，并写出的所有非空真子集变式6-2已知(1)当时，写出集合的所有子集，共有多少个？(2)若，求实数的取值范围变式6-3已知，且不是空集，（1）求集合的所有可能情况；（2）求、的值.变式6-4已知集

4、合(1)若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；(2)若，且，求实数的取值集合例7判断下列每对集合之间的关系：(1)，；(2)，是的约数；(3)，.变式7-1指出下列各组集合与之间的关系：，；，；，是的正约数；，变式7-2如图，试说明集合A，B，C之间有什么包含关系变式7-3已知集合，集合，试证明变式7-4指出下列各组中的两个集合与的关系（1），；（2），；（3）是等腰三角形，是等边三角形；（4），变式7-5已知集合，.(1)分别判断元素，与集合A，B的关系；(2)判断集合A与集合B的关系并说明理由.例8已知集合，且，求实数a的取值范围变式8-1已知集合 ，且，求实数的值.变式8-

5、2已知集合，若，且，求实数的值变式8-3若集合，且，求实数m的值.变式8-4已知集合，.若，求实数的取值范围.变式8-5已知.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a的取值范围.变式8-6已知为实数，(1)当时，求的取值集合；(2)当时，求的取值集合.变式8-7已知集合，集合.(1)求；(2)若，求实数的取值集合.变式8-8设集合，.(1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值；(2)若求实数m的值.例9已知集合，若，求a的取值范围变式9-1已知，若，求满足条件的的取值范围变式9-2已知集合，.若，求实数的取值范围.变式9-3设集合.(1)当时，求的非空真子集的个数；(2)若，求的取值范围.变式9

6、-4已知集合，(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.变式9-5已知集合Ax|2x5(1)若BA，Bx|m+1x2m1，求实数m的取值范围；(2)若AB，Bx|m6x2m1，求实数m的取值范围；(3)若AB，Bx|m6x2m1，求实数m的取值范围变式9-6设全集，集合，集合，其中(1)若，求a的取值范围；(2)若，求a的取值范围1.2集合间的基本关系6. 子集一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集，记作.读作“A含于B”(或“B包含A”).7. 真子集如果集合,但存在元素,我们称集合A是集合B

7、的真子集，记作或，读作“真含于或（真包含）”8. 集合相等如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B.9. 空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集10. 集合中元素个数与子集，真子集的关系集合中元素个数子集个数真子集个数1234例1已知集合且，则集合A的子集的个数为（）A15B16C31D32【答案】D【分析】先求出集合中元素的个数，再利用含有个元素的集合的子集个数为，即可求出结果.【详解】因为且，可知，集合中含有5个元素，所以集合的子集个数为.故选：D.变式1-

8、1集合的真子集的个数是（）A8B7C3D5【答案】B【分析】根据公式，直接求真子集个数.【详解】集合中有3个元素，所以集合的真子集个数为个.故选：B变式1-2已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（）A2B4C6D8【答案】D【分析】列出含有元素0的A的子集，求出答案.【详解】含有元素0的A的子集有，故含有元素0的A的子集个数为8.故选：D.变式1-3设集合，且，若，则集合M的非空真子集的个数为（）A4B6C7D15【答案】B【分析】求得集合，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合且，其非空真子集的个数为.故选：B例2符合的集合的个数为（）A3个B4个C5个D6个【答案】A【分析】根据元素个数

9、求子集的个数，可得答案.【详解】由，设，故有个.故选：A.变式2-1已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（）A6B7C8D9【答案】C【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.【详解】因为，所以集合可以为：，共8个，故选：C.变式2-2满足条件的集合的个数是（）A1B2C3D4【答案】D【分析】所求集合的个数即为的子集个数，求解即可.【详解】因为，所以集合的个数即为的子集个数.因为集合的子集个数为，所以满足条件的集合的个数是4.故选:D.例3写出集合的所有子集和它的真子集.【答案】答案见解析.【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可.【详解】集合的所有子集为；集合的所有真子集为.变式3-

10、1写出下列集合的所有子集：(1)；(2)；(3)【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据所给集合列出相应子集即可；（2）根据所给集合列出相应子集即可；（3）根据所给集合列出相应子集即可.（1）解：由题得所有子集有.（2）解：由题得所有子集有（3）解：由题得所有子集有变式3-2设集合，列出集合A 的子集.【答案】A的子集为【分析】先由条件确定集合的元素，再根据子集的定义写出其所有子集.【详解】由化简可得，所以A的子集为变式3-3求集合的子集和真子集.【答案】子集是，真子集是【分析】根据二次方程的解法可得，根据子集和真子集的定义求解即可【详解】集合，集合的子集是，共个；集合的真子集是，共个

11、.例4已知集合，且；(1)求实数；(2)写出的所有真子集.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用集合与元素的关系求解即可；（2）根据真子集的定义写出的所有真子集即可.【详解】（1）因为，所以或，当，即时，不满足集合元素的互异性；当时，解得（不满足集合元素互异性舍去）或，所以当时，综上实数.（2）由（1）得，所以的所有真子集为，.变式4-1已知集合，且.（1）求a；（2）写出集合A的所有子集.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解；（2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解.【详解】（1）由题意，集合，且，可得或，解得或，当时，集合A不满足互异性，

12、所以舍去；当时，经检验，符合题意，故.（2）由（1）知集合，所以集合的子集是，.【点睛】本题主要考查了利用元素与集合的关系求参数，以及集合的子集的概念及应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.变式4-2已知集合，且.(1)求实数的取值的集合；(2)写出（1）中集合的所有子集.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用可求出，再验证合理性，进一步确定值；（2）利用子集的概念作答即可【详解】（1）因为，且，所以或，解得或或，当时，集合中出现两个0，故舍去；当时，符合题意；当时，符合题意；实数的取值的集合（2）因为，所以集合的子集有：例5已知求【答案】或【分析】，则，可得集合【详解】，则，则或变式5

13、-1已知集合M满足关系 ，写出所有的集合M【答案】答案见解析【分析】根据集合的包含关系，一一列举出符合要求的集合即可【详解】满足条件的集合M可以是以下集合：，共8个例6设，(1)写出集合A的所有子集；(2)若B为非空集合，求a的值【答案】(1)；(2)3【分析】（1）求解即可得；（2）由B为非空集合，得或或，分别将元素代入解出a即可.【详解】（1）由解得或，则，故集合A的子集为：；（2）B为非空集合，得或或，由或代入可得，故a的值为3.变式6-1已知，若，求实数所构成的集合，并写出的所有非空真子集【答案】答案见解析【分析】求出集合，根据包含关系确定集合，再由非空真子集定义写出结论【详解】由已知

14、，时，时，时， 时，综上，的所有非空真子集有，变式6-2已知(1)当时，写出集合的所有子集，共有多少个？(2)若，求实数的取值范围【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；（2）由集合间的关系列出关于的不等式，求解即可.（1）当时，,所以集合的子集有，所以共有8个子集.（2）因为，所以，解得，所以实数的取值范围为变式6-3已知，且不是空集，（1）求集合的所有可能情况；（2）求、的值.【答案】（1）或或；（2）或或.【解析】（1）解出集合，根据且可得出所有可能的集合；（2）根据（1）中集合所有可能的情况，结合韦达定理可求得、的值.【详解】（1），且，则或或；（2

15、）若，由韦达定理可得，解得；若，由韦达定理可得，解得；若，由韦达定理可得，解得.综上所述，或或.变式6-4已知集合(1)若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；(2)若，且，求实数的取值集合【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根据集合包含关系和可直接得到结果；（2）分别在和两种情况下，根据构造方程可求得结果.（1），可能的集合为：，；（2）当时，满足；当时，；若，则或或，解得：或或；综上所述：实数的取值集合为.例7判断下列每对集合之间的关系：(1)，；(2)，是的约数；(3)，.【答案】(1)BA(2)(3)【分析】（1）分析A，B集合中元素的关系，即得解；（2）列举法表示集合

16、D，即得解；（3）列举法表示集合E，即得解(1)由题意，任取，有，故且，故BA(2)由于是的约数故(3)由于故变式7-1指出下列各组集合与之间的关系：，；，；，是的正约数；，【答案】；.【分析】根据集合与集合间的关系判断即可.【详解】解：，但集合中的某些元素不属于集合.所以.由，可求得.又由，可知.由集合是的正约数，可求得，由于，则.因为集合表示正整数集，集合表示自然数集，所以.变式7-2如图，试说明集合A，B，C之间有什么包含关系【答案】【分析】由图可得答案.【详解】由图可得故答案为：变式7-3已知集合，集合，试证明【答案】证明见解析【分析】证明且，即得证.【详解】证明：设，则存在，使得，因

17、为，所以，因此，故设，则存在，使得，因为，所以，因此，故综上，变式7-4指出下列各组中的两个集合与的关系（1），；（2），；（3）是等腰三角形，是等边三角形；（4），【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）求出集合与集合比较即可求解；（2）求出集合与集合比较即可求解；（3）根据包含关系的定义即可判断；（4）出集合与集合中的元素即可求解；【详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，所以中的元素都在中，中有元素不在中，所以；（4）因为，所以集合与集合中的元素都是全体奇数，所以.变式7-5已知集合，.(1)分别判断元素，与

18、集合A，B的关系；(2)判断集合A与集合B的关系并说明理由.【答案】(1)，；(2)，理由见解析.【分析】（1）根据集合的描述，判断是否存在使，属于集合A，B即可.（2）法一：由（1）结论，并判断是否有，即知A与B的关系；法二：=x|x是的整数倍，=x|x是的奇数倍，即知A与B的关系；【详解】（1）法一：令，得，故；令，得，故.同理，令，得，故；令，得，故.法二：由题意得：，又，故，；，.（2）法一：由（1）得：，故；又，由，得，故，所以，都有，即，又，所以.法二：由题意得=x|x是的整数倍，=x|x是的奇数倍，因为奇数集是整数集的真子集，所以集合B是集合A的真子集，即.例8已知集合，且，求实

19、数a的取值范围【答案】或【分析】根据题意分和讨论，在时分集合为单元素集和双元素集两种讨论即可.【详解】由题意知，若，则，解得，若， ，解得或，当时，则方程为，解得，此时，不合题意，舍去，当时，则方程为，解得，不合题意，舍去，当，即，解得或，则由题意知，则1,4为方程两根，根据韦达定理得，综上所述的范围是或.变式8-1已知集合 ，且，求实数的值.【答案】【分析】根据题意分与，结合，分别讨论计算，即可得到结果.【详解】因为，当时，符合题意；当时，而，所以或，解得或.所以的取值为变式8-2已知集合，若，且，求实数的值【答案】或或【分析】先求得集合，然后根据进行分类讨论，由此求得的值.【详解】，解得或

20、，所以，依题意，且，.当时，；当时，；当时，综合得或或变式8-3若集合，且，求实数m的值.【答案】或或【分析】分和两种情况讨论，结合已知即可得解.【详解】，当时，当时，因为，所以或，所以或，综上所述，或或.变式8-4已知集合，.若，求实数的取值范围.【答案】或.【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案【详解】由，则.，为方程的解集.若，则，或或，当时有两个相等实根，即不合题意，同理，当时，符合题意；若则，即，综上所述，实数的取值范围为或变式8-5已知.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)或或.【分析】（1）先求出集合，再利用条件，

21、根据集合与集合间的包含关系，即可求出值；（2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围；【详解】（1）由方程，解得或所以，又，所以，即方程的两根为或，利用韦达定理得到：，即；（2）由已知得，又，所以时，则，即，解得或；当时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，当时，满足条件；当时，不满足条件；若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，解得，满足条件.综上，实数a的取值范围是或或.变式8-6已知为实数，(1)当时，求的取值集合；(2)当时，求的取值集合.【答案】(1)(2)【分析】（1）分、两种情况讨论，求出集合，根据可得出关于的等式，即可求得实数的值；（2）分、且三种情

22、况，求出集合、，根据可得出关于的等式，即可解得实数的值.【详解】（1）解：因为，所以当时，当时，又，所以，此时，满足所以当时，的取值集合为（2）解：当时，不成立；当时，成立；当且时，由，得，所以综上，的取值集合为变式8-7已知集合，集合.(1)求；(2)若，求实数的取值集合.【答案】(1)(2)【分析】（1）解中的一元二次方程即可；（2）分和，即分和讨论即可.【详解】（1），解得或，故.（2）当时，符合；当即时，则，由可得或，解得或综上的取值集合为.变式8-8设集合，.(1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值；(2)若求实数m的值.【答案】(1)1(2)m1或m2【分析】（1）解法一：利用十

23、字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案；（2）求得两个方程的根，利用集合之间的关系，根据分类讨论的思想，可得答案.【详解】（1）解法一：因为，整理可得，解得或，又B中只有一个元素，故.解法二：B中有且只有一个元素，所以方程有唯一实根，从而，所以m1.（2）由，解得或， 由，整理可得，解得或，BA，当m1时，B1，满足BA，当m2时，B1，2同样满足BA，故m1或m2.例9已知集合，若，求a的取值范围【答案】【分析】分和两种情况讨论，当时，利用数轴列出不等式组即可.【详解】当时，解得，当时，因为，则，解得，综上.变式9-1已知，若，求满足条

24、件的的取值范围【答案】【分析】对B分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.【详解】当时，满足，此时，有，解得：；当时，要使，只需，解得：.所以实数的取值范围为.变式9-2已知集合，.若，求实数的取值范围.【答案】【分析】利用集合间的包含关系，列出不等式即可求解.【详解】因为，所以分和两种情况：当时，则，解得：，当时，则，解得：，综上，实数的取值范围为变式9-3设集合.(1)当时，求的非空真子集的个数；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)254(2)【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决.【详解】（1）由题知，当时，共8个元素，的非空真子集的个数为个；（2）由题知，显然

25、，因为，所以，解得，所以实数的取值范围是.变式9-4已知集合，(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.【详解】（1）因为，当时：，即符合题意；当时，综上所述：.（2）因为，当时，解得，无解，当时，或，综上所述：.变式9-5已知集合Ax|2x5(1)若BA，Bx|m+1x2m1，求实数m的取值范围；(2)若AB，Bx|m6x2m1，求实数m的取值范围；(3)若AB，Bx|m6x2m1，求实数m的取值范围【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据BA分或两种情况进行解答即可；（2）借助于子集概念得到两集合

26、端点值的关系，求解不等式得到m的范围；（2）借助于相等集合的概念得到两集合端点值的关系，求解等式得到m的范围（1）集合Ax|2x5，Bx|m+1x2m1，由BA得或，即或m+12m1，解得2m3或m2，所以实数m的取值范围是；（2）集合Ax|2x5，Bx|m6x2m1，由AB得，解得3m4，所以实数m的取值范围是3，4；（3）集合Ax|2x5，Bx|m6x2m1，由AB得，无解，所以实数变式9-6设全集，集合，集合，其中(1)若，求a的取值范围；(2)若，求a的取值范围【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据，列出不等式即可得到结果.（2）根据，分与进行讨论，列出不等式，即可得到结果.（1）因为，所以，即a的取值范围是；（2）因为，若，则；若，则，综上所述：