2023年高考数学一轮复习课时作业第七章　立体几何与空间向量.pdf

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1、第 十 音 立 体 几 何 与 空 间 向 量（必 修 第 二 册+选 择 性 必 修 第 一 册）第 1节 立 体 图 形 及 其 直 观 图、简 单 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积 第 一 课 时 立 体 图 形 及 其 直 观 图、柱 锥 台 的 表 面 积 与 体 积 课 时 作 业 灵 活 小 笈 漕 数 提 髭 选 题 明 细 表 知 识 点、方 法 基 础 巩 固 练 综 合 运 用 练 应 用 创 新 练 空 间 几 何 体 的 几 何 特 征、直 观 图 2,3,4 10空 间 几 何 体 的 体 积 与 表 面 积 1,5,6,8,9 12,13折 叠 与 展 开

2、问 题 7 11综 合 问 题 14,15A级 基 础 巩 固 练 1.算 术 书 竹 简 于 二 十 世 纪 八 十 年 代 在 湖 北 省 江 陵 县 张 家 山 出 土,这 是 我 国 现 存 最 早 的 数 学 著 作,其 中 记 载 有 求“困 盖”的 术:置 如 其 周，令 相 乘 也,又 以 高 乘 之,三 十 六 成 一.该 术 相 当 于 给 出 圆 锥 的 底 面 周 长 11与 高 h,计 算 其 体 积 V 的 近 似 公 式 Vl2h,它 实 际 上 是 将 圆 锥 体 积 公 25式 中 的 圆 周 率 门 近 似 取 3,那 么，近 似 公 式 V l2h 相 当

3、 于 将 圆 锥 体 积 公 式 中 的 孔 近 似 取（C）22 25 157 355A.V B.s-C.so D.U 3t i l l 1 25 157解 析:V=W n r?h=5 冗 由 得:a 仁 5 0.故 选 C.2.（多 选 题）（2021 山 东 潍 坊 调 研）下 列 关 于 空 间 几 何 体 的 叙 述 正 确 的 是（CD）A.底 面 是 正 多 边 形 的 棱 锥 是 正 棱 锥 B.用 平 面 截 圆 柱 得 到 的 截 面 只 能 是 圆 或 矩 形 C.长 方 体 是 直 平 行 六 面 体 D.存 在 每 个 面 都 是 直 角 三 角 形 的 四 面 体

4、解 析：A.当 顶 点 在 底 面 的 射 影 是 正 多 边 形 的 中 心 时 才 是 正 棱 锥，不 正 确;B.当 平 面 与 圆 柱 的 母 线 平 行 或 垂 直 时，截 得 的 截 面 才 为 矩 形 或 圆,否 则 为 椭 圆 或 椭 圆 的 一 部 分，不 正 确;C 正 确;D 正 确，如 图，正 方 体 ABCD-ABCD中 的 三 棱 锥 C-ABC,四 个 面 都 是 直 角 三 角 形.故 选 CD.3.（多 选 题）如 图,将 装 有 水 的 长 方 体 水 槽 固 定 底 面 一 边 后 倾 斜 一 个 角 度，则 倾 斜 后 水 槽 中 的 水 形 成 的 儿

5、 何 体 可 以 是（AC）A.四 棱 柱 B.四 棱 台 C,三 棱 柱 D.三 棱 锥 解 析:根 据 题 图，因 为 有 水 的 部 分 始 终 有 两 个 平 面 平 行,而 其 余 各 面 都 易 证 是 平 行 四 边 形,因 此 形 成 的 儿 何 体 是 四 棱 柱 或 三 棱 柱.故 选 AC.4.如 图，一 个 水 平 放 置 的 平 面 图 形 的 直 观 图（斜 二 测 画 法）是 一 个 底 角 为 45、腰 和 上 底 长 均 为 2 的 等 腰 梯 形，则 这 个 平 面 图 形 的 面 积 是（D）A.2+v B.l+vC.4+2a D.8+46解 析：由 已

6、知 直 观 图 根 据 斜 二 测 画 法 规 则 画 出 原 平 面 图 形，如 图 所 示.由 于。D=2,D C=2,所 以 0D=4,DC=2,在 题 图 中 过 D 作 D HLA B（图 略），易 知 A H=2sin 45史,所 以 AB=A B=2A H+以=2*+2,DC+AB p-故 平 面 图 形 的 面 积 为 S=AD=8+4V Z故 选 D.5.（2021 山 东 聊 城 模 拟）在 九 章 算 术 中，将 有 三 条 棱 互 相 平 行 且 有 一 个 面 为 梯 形 的 五 面 体 称 为“羡 除”.现 有 一 个 羡 除 如 图 所 示,DA，平 面 ABFE

7、,四 边 形 ABFE,CDEF均 为 等 腰 梯 形，AB CD EF,AB=AD=4,EF=8,点 E 到 平 面 ABCD的 距 离 为 6,则 这 个 羡 除 的 体 积 是c)A.96 B.72 C.64 D.58解 析:如 图,将 多 面 体 分 割 为 两 个 三 棱 锥 D-AGE,C-HBF和 一 个 直 三 棱 柱 GAD-HBC.这 个 羡 除 的 体 积 为 V=2X3X2X2X6X4+2X6X4X4=64.故 选 C.6.（2021 河 南 郑 州 调 研）现 有 同 底 等 高 的 圆 锥 和 圆 柱，已 知 圆 柱 的 轴 截 面 是 边 长 为 2 的 正 方

8、形，则 圆 锥 的 侧 面 积 为（D）3*A.3 J t B.T c.q DN解 析:设 底 面 圆 的 半 径 为 R,圆 柱 的 高 为 h,依 题 意 2R=h=2,所 以 R=l.所 以 圆 锥 的 母 线 为 1=-=，因 此 S 咧 锥 侧=兀 R1=1X有 兀 二 号.故 选 D.7.如 图，正 三 棱 柱 ABC-ABG的 侧 棱 长 为 a,底 面 边 长 为 b,一 只 蚂 蚁 从 点 A 出 发 沿 每 个 侧 面 爬 到 A路 线 为 A-M-N-A”则 蚂 蚁 爬 行 的 最 短 路 程 是（A）GVa2+9 h2A.49a2+4D.V4o2+9j2 0 Va2+b

9、2解 析:正 三 棱 柱 的 侧 面 展 开 图 是 如 图 所 示 的 矩 形,矩 形 的 长 为 3b,宽 为 a,则 其 对 角 线 AA,的 长 为 最 短 路 程，因 此 蚂 蚁 爬 行 的 最 短 路 程 为 必 前 故 选 A.8.（2020 浙 江 卷）已 知 圆 锥 的 侧 面 积（单 位:cn?）为 2 冗，且 它 的 侧 面 展 开 图 是 一 个 半 圆，则 这 个 圆 锥 的 底 面 半 径（单 位:cm）是 解 析:如 图，设 圆 锥 的 母 线 长 为 1,底 面 半 径 为 r,则 圆 锥 的 侧 面 积 S侧=n rl=2 n,所 以 r 1=2.又 圆 锥

10、的 侧 面 展 开 图 为 半 圆,所 以 久 r=2汽,所 以 1=2,所 以 r=l.答 案：19.如 图，在 4ABC 中，AB=8,BC=10,AC=6,DBL平 面 ABC,且 AE FC BD,BD=3,FC=4,AE=5.求 此 几 何 体 的 体 积.E:仝 解:法 一 如 图，取 CM=AN=BD,连 接 DM,MN,DN,用“分 割 法”把 原 儿 何 体 分 割 成 一 个 直 三 棱 柱 和 一 个 四 棱 锥.所 以 V 几 何 体=V 三 棱 柱+V 四 棱 锥 由 题 意 知 三 棱 柱 ABC-NDM的 体 积 为 V,=2X8X6X3=72.1 1 1四 棱

11、锥 D-MNEF 的 体 积 为 V2=3-S 梯 形 腕 F DN=3X2X（1+2）X 6X8=24,则 几 何 体 的 体 积 为 V=V.+V2=72+24-96.法 二 用“补 形 法”把 原 几 何 体 补 成 一 个 直 三 棱 柱，使 AA=BB，=CC1 1 1=8,所 以 V 几 何 体=2V 三 梭 柱 二 2 SAABC*AA=2X24X8=96.B级 综 合 运 用 练 10.（多 选 题）（2021 山 东 烟 台 调 研）在 一 个 密 闭 透 明 的 圆 柱 筒 内 装 一 定 体 积 的 水，将 该 圆 柱 筒 分 别 竖 直、水 平、倾 斜 放 置 时,指

12、出 圆 柱 桶 内 的 水 平 面 可 以 呈 现 出 的 几 何 形 状 可 能 是（ABD）A.圆 面 B.矩 形 面 C.梯 形 面 D.椭 圆 面 或 部 分 椭 圆 面 解 析:将 圆 柱 桶 竖 放，水 面 为 圆 面;将 圆 柱 桶 斜 放，水 面 为 椭 圆 面 或 部 分 椭 圆 面;将 圆 柱 桶 水 平 放 置,水 面 为 矩 形 面，但 圆 柱 桶 内 的 水 平 面 不 可 以 呈 现 出 梯 形 面.故 选 ABD.11.（多 选 题）（2021 湖 北 武 汉 模 拟）长 方 体 ABCD-ABCD的 长、宽、高 分 别 为 3,2,1,则（BC）A.长 方 体

13、的 表 面 积 为 20B.长 方 体 的 体 积 为 6C.沿 长 方 体 的 表 面 从 A 到 C,的 最 短 距 离 为 3企 D.沿 长 方 体 的 表 面 从 A 到 G 的 最 短 距 离 为 24解 析:长 方 体 的 表 面 积 为 2 X（3 X 2+3X 1+2X 1）=22,A 错 误.长 方 体 的 体 积 为 3X2X1=6,B正 确.如 图 1 所 示，长 方 体 ABCD-ABCD中,AB=3,BC=2,BB尸 1,将 侧 面 ABB,A,和 侧 面 BCCB展 开,如 图 2 所 示.4 CiA B C图 2连 接 AC则 有 ACJ+I2=旧,即 经 过 侧

14、 面 ABBA和 侧 面 BCCB时,A到。的 最 短 距 离 是 旧;将 侧 面 ABBA和 底 面 A B C D 展 开,如 图 3所 示，连 接 AC贝 I J 有 AG、#十 中=3 0,即 经 过 侧 面 ABBA和 底 面A B C D时,A 至 ij G 的 最 短 距 离 是 3;将 侧 面 ADDA和 底 面 A B C D展 开，如 图 4 所 示.图 4连 接 A G,则 有 A G=2 4,即 经 过 侧 面 ADD.A,和 底 面 A B C D时,A到 G 的 最 短 距 离 是 2 4 因 为 3限 2叫 屈,所 以 沿 长 方 体 表 面 由 A到 C,的 最

15、 短 距 离 是 3,C正 确,D错 误.故 选 BC.12.（2021 重 庆 诊 断）一 件 刚 出 土 的 珍 贵 文 物 要 在 博 物 馆 大 厅 中 央 展 出，如 图，需 要 设 计 各 面 是 玻 璃 平 面 的 无 底 正 四 棱 柱 将 其 罩 住，罩 内 充 满 保 护 文 物 的 无 色 气 体.已 知 文 物 近 似 于 塔 形，高 1.8 m,体 积 0.5 m3,其 底 部 是 直 径 为 0.9 m的 圆 形,要 求 文 物 底 部 与 玻 璃 罩 底 边 至 少 间 隔 0.3 m,文 物 顶 部 与 玻 璃 罩 上 底 面 至 少 间 隔 0.2 m,气 体

16、 每 立 方 米 1 0 0 0元，求 气 体 的 费 用 最 少 为（B）A.4 500 元 B.4 000 元 C.2 880 元 D.2 380 元 解 析：因 为 文 物 底 部 是 直 径 为 0.9 m的 圆 形,文 物 底 部 与 玻 璃 罩 底 边 至少 间 隔 0.3 m,所 以 由 正 方 体 与 圆 的 位 置 关 系 可 知,底 面 正 方 形 的 边 长 最 少 为 0.9+2X0.3=1.5(m).又 文 物 高 1.8 m,文 物 顶 部 与 玻 璃 罩 上 底 面 至 少 间 隔 0.2 m,所 以 正 四 棱 柱 的 高 最 少 为 1.8+0.2=2(m),

17、则 正 四 棱 柱 的 体 积 V=l.52X2=4.5底).因 为 文 物 的 体 积 为 0.5柱 所 以 罩 内 气 体 的 体 积 为 4.5-0.5=4(m)因 为 气 体 每 立 方 米 1 000元,所 以 气 体 的 费 用 最 少 为 4X1 000=4 000(元).故 选 B.13.如 图，六 角 螺 帽 毛 坯 是 由 一 个 正 六 棱 柱 挖 去 一 个 圆 柱 所 构 成 的.已 知 螺 帽 的 底 面 正 六 边 形 边 长 为 2 cm,高 为 2 cm,内 孔 半 径 为 0.5 cm,则 此 六 角 螺 帽 毛 坯 的 体 积 是 cm3.解 析:螺 帽

18、的 底 面 正 六 边 形 的 面 积 为 S=6X2X22Xsin 60=6丫，加),正 六 棱 柱 的 体 积 为 3 6 返 X 2=12*(加)，圆 柱 的 体 积 为 V2=J i.XO.52X2=2(cm3),所 以 此 六 角 螺 帽 毛 坯 的 体 积 为 V=V.-V2=(12-2)(cm3).答 案：(12遍 方)C级 应 用 创 新 练 14.如 图,在 正 四 棱 锥 P-ABCD中,B,为 PB的 中 点,D,为 PD的 中 点，则 棱 锥 A-BCDi与 棱 锥 P-ABCD的 体 积 之 比 是(A)A.1：4 B.3：8 C.1：2 D.2：3解 析:如 图，棱

19、 锥 A-BCDi的 体 积 可 以 看 成 是 正 四 棱 锥 P-ABCD的 体 积 减 去 角 上 的 四 个 小 棱 锥 的 体 积 得 到.因 为 Bi为 PB的 中 点,以 为 PD的 中 点，所 以 棱 锥 B-ABC的 体 积 和 棱 锥 D-ACD的 体 积 都 是 正 四 棱 锥 P-ABCD的 体 积 的 工 棱 锥 C-PB.D）的 体 积 与 1棱 锥 A-PBD的 体 积 之 和 是 正 四 棱 锥 P-ABCD的 体 积 的 彳,则 中 间 剩 下 的 y L 9 V棱 锥 A-B.CD.的 体 积 4一/5 叫 3 X。一 向 7 2 则 止 1 a h：Vp-

20、ABCD=1:4.故 选 A.15.（2021 广 东 佛 山 质 检）已 知 圆 锥 的 顶 点 为 S,底 面 圆 周 上 的 两 点 A,B 满 足 aSAB为 等 边 三 角 形,且 面 积 为 46,又 知 圆 锥 轴 截 面 的 面 积 为 8,则 圆 锥 的 侧 面 积 为 B解 析:设 圆 锥 的 母 线 长 为 1,由 4SAB为 等 边 三 角 形，且 面 积 为 46,所 I-JQ以 2 sin 3=4丫,解 得 1=4.又 设 圆 锥 底 面 半 径 为 r,高 为 h,则 由 轴 截 面 的 面 积 为 8,得 rh=8.又 r2+h2=16,解 得 r=h=2,所

21、以 圆 锥 的 侧 面 积 S=w rl=J i 2义 4=8 R.答 案：82第 二 课 时 球 及 其 表 面 积 与 体 积 灵 活 夕 发 漕 敦 提 混 选 题 明 细 表 课 时 作 业 知 识 点、方 法 基 础 巩 固 练 综 合 运 用 练 应 用 创 新 练 球 的 体 积 与 表 面 积 1,2,3,5球 的 切、接 问 题 4,6,7,8,9综 合 问 题 10,11,12,13,14 15,16A级 基 础 巩 固 练 1.已 知 底 面 边 长 为 1,侧 棱 长 为 V2的 正 四 棱 柱 的 各 顶 点 均 在 同 一 个 球 面 上，则 该 球 的 体 积 为

22、（D）A.石 B.4 n C.2 J i D.了解 析：因 为 该 正 四 棱 柱 的 外 接 球 的 半 径 是 四 棱 柱 体 对 角 线 的 一 半，所 以 半 径 rJ 7 12+l2+（V?）2=1所 以 V球 Wx者.故 选 D.2.（2021 安 徽 安 庆 调 研）已 知 在 四 面 体 PABC中，PA=4,BC=2P B=P C=2 P A _ L平 面 PBC,则 四 面 体 PABC的 外 接 球 的 表 面 积 是（C）A.160 况 B.128 Ji C.40 m D.32 五 解 析：因 为 PB2+PC2=12+12=24=BC2,所 以 PB 1PC,又 PA

23、J_平 面 PBC,所 以 PA1PB,PA 1PC,即 PA,PB,PC两 两 相 互 垂 直,以 PA,PB,PC为 从 同 一 顶 点 出 发 的 三 条 棱 补 成 长 方 体，所 以 该 长 方 体 的 体 对 角 线 长 为 VPA2+PB 2+P C2 V 1 2+1 2+16=2V 1 0故 该 四 面 体 的 外 接 球 半 径 为 于 是 四 面 体 PABC的 外 接 球 的 表 面 积 是 4 n X（府）2=40 n.故 选 C.3.已 知 A,B,C为 球 0 的 球 面 上 的 三 个 点，为 aA B C的 外 接 圆.若。的 面 积 为 4 J I,AB=BC

24、=AC=00I,则 球。的 表 面 积 为（A）A.64 n B.4 8 JI C.36“D.32 Ji解 析:如 图 所 示,设 球 0 的 半 径 为 R,的 半 径 为 r,因 为。Oi的 面 积 AB为 4 兀，所 以 4 冗 二 兀 色 解 得 厂 2,又 A B=BC=A C二 001,所 以 由 向=2 r,解 得 AB=2有，故 00尸 2 所 以 R2=0 tr2=（2百）2+22=16,所 以 球 0 的 表 面 积 S=4 Ji RJ64 JI.故 选 A.4.（多 选 题）已 知 正 方 体 的 外 接 球 与 内 切 球 上 各 有 一 个 动 点 M,N,若 线 段

25、 MN的 最 小 值 为 避-1,则（ABC）A.正 方 体 的 外 接 球 的 表 面 积 为 12 J iB.正 方 体 的 内 切 球 的 体 积 为 了 C.正 方 体 的 棱 长 为 2D.线 段 MN的 最 大 值 为 2避 解 析:设 正 方 体 的 棱 长 为 a,则 正 方 体 外 接 球 的 半 径 为 体 对 角 线 长 的 一 半，即 Ea,内 切 球 的 半 径 为 棱 长 的 一 半，即 2 因 为 M,N分 别 为 外 接 球 和 V3 存 1 后 内 切 球 上 的 动 点,所 以 MNmin=Ta-2=-a=V-1,解 得 a=2,即 正 方 体 的 棱 长

26、为 2,C 正 确;正 方 体 的 外 接 球 的 表 面 积 为 4 贰 X（百）2=12“，A 正 确；正 方 体 的 内 切 球 的 体 积 为 3,B 正 确；线 段 M N 的 最 大 值 为 舟 百 2 a+2=V+1,D 错 误.故 选 ABC.5.如 图，在 圆 柱 0。2内 有 一 个 球 0,该 球 与 圆 柱 的 上、下 底 面 及 母 线 均 相 切.记 圆 柱 o a 的 体 积 为 vb球 o 的 体 积 为 v2,则 皈 的 值 是.解 析:设 圆 柱 内 切 球 的 半 径 为 R,则 由 题 设 可 得 圆 柱 0。的 底 面 圆 的 半 R2-2R&径 为

27、R,高 为 2R,故/=3=23答 案 36.(2021 湖 南 长 沙 检 测)在 封 闭 的 直 三 棱 柱 ABC-ABG内 有 一 个 体 积 为 V 的 球.若 ABBC,AB=6,BC=8,AA,=3,则 V 的 最 大 值 是.解 析：由 ABBC,AB=6,BC=8,得 AC=10.要 使 球 的 体 积 V最 大,则 球 与 直 三 棱 柱 的 部 分 面 相 切,若 球 与 三 个 侧 面 相 切，设 底 面 AABC的 内 切 圆 的 1 1半 径 为 r,则 2X6义 8=2*(6+8+10)r,所 以 r=2,2r=43,不 符 合 题 意.3则 球 与 三 棱 柱

28、的 上、下 底 面 相 切 时,球 的 半 径 R 最 大，则 2R=3,即 R=24 9故 球 的 最 大 体 积 V=3 J I R=2方.9答 案：5n7.已 知 一 个 球 与 一 个 正 三 棱 柱 的 三 个 侧 面 和 两 个 底 面 都 相 切,且 这 个 32球 的 体 积 是 M 3 1,那 么 这 个 三 棱 柱 的 体 积 是.32解 析:设 球 的 半 径 为 r,则 三 兀 兀，得 r=2,则 正 三 棱 柱 的 高 为 2r=4.又 正 三 棱 柱 的 底 面 三 角 形 的 内 切 圆 半 径 与 球 的 半 径 相 等，所 以 底 面 正 三 角 形 的 边

29、长 为 4 迎，所 以 正 三 棱 柱 的 体 积 为 V=TX(4吗 2 X 4=48吗 答 案：48曲 8.(2021 新 高 考 八 省 联 考)圆 台 上、下 底 面 的 圆 周 都 在 一 个 直 径 为 1 0 的 球 面 上，其 上、下 底 面 半 径 分 别 为 4 和 5,则 该 圆 台 的 体 积 为.解 析：因 为 圆 台 的 下 底 面 半 径 为 5,故 下 底 面 在 外 接 球 的 大 圆 上，如 图 所 示.设 球 的 球 心 为 0,圆 台 上 底 面 的 圆 心 为 0,则 圆 台 的 高 00,“O Q 2 c O*2*=3,据 此 可 得 圆 台 的 体

30、 积 为 v=3X3X(52+5X4+42)=61 Ji.答 案：61n9.在 半 径 为 1 5 的 球 0 内 有 一 个 底 面 边 长 为 126 的 内 接 正 三 棱 锥 A-BCD,求 此 正 三 棱 锥 的 体 积.解：如 图 甲 所 示 的 情 形，显 然 0A=0B=0C=0D=15.设 H为 ABCD的 中 心,则 A,0,H 三 点 在 同 一 条 直 线 上.因 为 HB=HC=HD=3X 2 X 12V=12,所 以O H二 g 丽 玛 所 以 正 三 棱 锥 A-BCD的 高 h=9+15=24.又 SA B C D=T X(12遍 产=108件 所 以 V 二

31、棱 锥 A-B C D二*1 0 8 X 2 4=8 6 4.对 于 图 乙 所 示 的 情 形，同 理，可 得 正 三 棱 锥 A-BCD的 高 h=15-9=6,S ABCD=1 0 8V,所 以 V 三 梭 锥 A-B C D=3 义 108 X 6=216.综 上,可 知 正 三 棱 锥 的 体 积 为 8 6 4 b或 2 1 6 b.B级 综 合 运 用 练 1 0.已 知 aABC是 面 积 为 丁 的 等 边 三 角 形,且 其 顶 点 都 在 球 0 的 球 面 上.若 球 0 的 表 面 积 为 1 6 则 0 到 平 面 ABC的 距 离 为（C）V3-A.B.2C.1

32、D.T解 析:设 球 0 的 半 径 为 R,则 4 Ji R2=16 Ji,解 得 R=2.设 4A BC外 接 圆 的93半 径 为 r,边 长 为 a.因 为 A A B C 是 面 积 为 K 的 等 边 三 角 形，所 以 1 6 9735a2.T=T,解 得 a=3,所 以 2-r-3 用,所 以 球 心 0 到 平 面 ABC的 距 离 平 故 选 c.11.已 知 三 棱 锥 P-ABC的 四 个 顶 点 都 在 球 0 的 球 面 上,PA=PB=PC,AABC是 边 长 为 2 的 正 三 角 形,E,F 分 别 是 PA,AB的 中 点，ZCEF=90,则 球 0的 体

33、积 为（D）A.8 冗 B.4 n C.2遍 冗 D.迷 冗 解 析：因 为 点 E,F 分 别 为 PA析 B 的 中 点，所 以 EF PB,因 为 NCEF=90,所 以 EFJLCE,所 以 PBJLCE.取 AC的 中 点 D,连 接 BD,PD,易 证 ACJ_平 面 BDP,所 以 PBJ_AC,又 AC A CE=C,AC,CEu平 面 PAC,所 以 PB_L 平 面 PAC,所 以 PBPA,PBPC,因 为 PA=PB=PC,AABC为 正 三 角 形，所 以 PA_LPC,即 PA,PB,PC两 两 相 互 垂 直,将 三 棱 锥 P-ABC放 在 正 方 体 中.因

34、为 AB=2,所 以 该 正 方 体 的 棱 长 为 0 2,所 以 该 正 方 体 的 体 对 角 线 长 为 V S所 以 三 棱 锥 P-ABC的 外 接 球 的 半 径 R=Z 所 以 球 0 的 体 积 V=3J i R3=3 J i X 3=VO n.故 选 D.12.已 知 两 个 圆 锥 有 公 共 底 面，且 两 圆 锥 的 顶 点 和 底 面 的 圆 周 都 在 同 3一 个 球 面 上.若 圆 锥 底 面 面 积 是 这 个 球 表 面 积 的 话 则 这 两 个 圆 锥 中,体 积 较 小 者 的 高 与 体 积 较 大 者 的 高 的 比 值 为.解 析:如 图,设

35、球 的 半 径 为 R,圆 锥 底 面 半 径 为 r.3由 题 意 得“2=正 4 3 1 R2,3所 以 r2=iR2.根 据 球 的 截 面 的 性 质 可 知 两 圆 锥 的 高 必 过 球 心 0,且 两 圆 锥 的 顶 点 以 及 圆 锥 与 球 的 交 点 是 球 的 大 圆 上 的 点,且 ABO,C,所 以 00尸 麻 R R因 此 体 积 较 小 的 圆 锥 的 高 为 AOL R工=5,R 3体 积 较 大 的 圆 锥 的 高 为 B O FR+Z5R,1故 这 两 个 圆 锥 中，体 积 较 小 者 的 高 与 体 积 较 大 者 的 高 的 比 值 为 工 1答 案：

36、三 13.伟 大 的 阿 基 米 德 的 墓 碑 上 刻 了 一 个 如 图 所 示 的 图 案，图 案 中 球 的直 径 与 圆 柱 底 面 的 直 径 和 圆 柱 的 高 相 等，圆 锥 的 顶 点 为 圆 柱 上 底 面 的 圆 心，圆 锥 的 底 面 是 圆 柱 的 下 底 面.试 计 算 出 图 案 中 圆 锥、球、圆 柱 的 体 积 比.解:设 圆 柱 的 底 面 半 径 为 r,W j为 h,则 V圆 柱=n r2h,1由 题 意 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 r,高 为 h,球 的 半 径 为 r,V圆 锥 行 n r2h,V球 4=3 Ji r3.又 h=2r,1 4

37、2 4所 以 V 圆 锥：V 球：V 圆 柱=Ji r2h 3 JI r3：JI r2h=3 n r 3 JI r3：2 n r3=l:2:3,14.某 组 合 体 的 直 观 图 如 图 所 示,它 的 中 间 为 圆 柱 形,左 右 两 端 均 为 半 球 形,若 图 中 片 1,1=3,试 求 该 组 合 体 的 表 面 积 和 体 积.解:该 组 合 体 的 表 面 积 为 4S=4 五 r2+2 Ji rl=4 Ji X l2+2 Ji X 1X3=10 Ji,该 组 合 体 的 体 积 V=5 五 r3+4JI r2l=3ji X l3+JI X 12X3=-3-.C级 应 用 创

38、 新 练 15.已 知 三 棱 柱 ABC-ABC的 所 有 顶 点 都 在 球 0 的 球 面 上,该 三 棱 柱 的五 个 面 所 在 的 平 面 截 球 面 所 得 的 圆 大 小 相 同.若 球。的 表 面 积 为 20 h,则 三 棱 柱 的 体 积 为.解 析：因 为 三 棱 柱 ABC-ABG的 五 个 面 所 在 的 平 面 截 球 面 所 得 的 圆 的 大 小 相 同，所 以 该 三 棱 柱 的 底 面 是 等 边 三 角 形.设 三 棱 柱 底 面 边 长 为 aa,高 为 h,截 面 圆 的 半 径 为 r,球 半 径 为 R,所 以 厂 国 因 为 球。的 表 面 积

39、 为 20口，所 以 4 五 R2=20 Ji,解 得 R=.因 为 底 面 和 侧 面 截 得 的 圆 的 大 小 相 同，g h 所 以(以+2=(面 2,所 以 a=Q h a又 因 为 2+(/)2=R；由 得 a=2,h=2,所 以 三 棱 柱 的 体 积 为 V=6T X(2r)2X 2=6r.答 案：6百 16.农 历 五 月 初 五 是 端 午 节，民 间 有 吃 粽 子 的 习 俗,粽 子 又 称“粽 粒”，是 端 午 节 大 家 都 会 品 尝 的 食 品.如 图 的 平 行 四 边 形 形 状 的 纸 片 是 由 六 个 边 长 为 1 的 正 三 角 形 组 成 的，将

40、 它 沿 虚 线 折 起 来，可 以 得 到 如 图 的 粽 子 形 状 的 六 面 体,则 该 六 面 体 的 体 积 为；若 该 六 面 体 内 有 一 球,则 该 球 的 体 积 的 最 大 值 为图 图 解 析：由 对 称 性 可 知 该 六 面 体 是 由 两 个 全 等 的 正 四 面 体 合 成 的，正 四 5 _()2.面 体 的 棱 长 为 1,则 正 四 面 体 的 高 为 V 3=1，所 以 正 四 面 体 的 1 1 6 声 0体 积 为 I X 姿 义 守 二 五.因 为 该 六 面 体 的 体 积 是 正 四 面 体 体 积 的 2 倍，所 以 该 六 面 体 的

41、体 积 是 迎 6.要 使 球 的 体 积 达 到 最 大，则 球 与 该 六 面 体 的 六 个 面 都 要 相 切.连 接 球 心 和 六 面 体 的 五 个 顶 点，把 六 面 体 分 成 了 六 个 全 等 的 三 棱 锥.设 球 的)/2 1 1 3 诧 半 径 为 R,则 7=6 X(Q x 5 x i义 妻 R),解 得 R=,所 以 球 的 体 积 t a t a 8V6KVVR3=TX 3=五 相 您 SV6B答 案 了 后 第 2 节 空 间 点、直 线、平 面 之 间 的 位 置 关 系 迪 口 d仔 山 灵 活 彳 强 漕 敦 提 就 选 题 明 细 表 知 识 点、方

42、 法 基 础 巩 固 练 综 合 运 用 练 应 用 创 新 练 平 面 的 基 本 性 质 及 应 用 2,3,4,9空 间 两 条 直 线 的 位 置 关 系 1,5,6,7,8综 合 问 题 10,11,12,13 14,15A级 基 础 巩 固 练 1.如 图 所 示,在 正 方 体 ABCD-ABCD中,E,F分 别 是 AB,AD的 中 点,则 异 面 直 线 B C 与 EF所 成 角 的 大 小 为（C）A.30 B.45C.60 D.90解 析：连 接 BD,DC（图 略），则 BD EF,故 N D B C 为 所 求 的 角，又 BD=BC=DC 所 以 NDBC=60.

43、故 选 C.2.a,b,c是 两 两 不 同 的 三 条 直 线，下 列 四 个 命 题 中，真 命 题 是（C）A.若 直 线 a,b 异 面,b,c 异 面,则 a,c 异 面 B.若 直 线 a,b 相 交,b,c 相 交,则 a,c 相 交 C.若 a b,则 a,b 与 c所 成 的 角 相 等 D.若 ab,bc,贝！J a/c解 析:若 直 线 a,b异 面,b,c异 面,则 a,c相 交、平 行 或 异 面;若 直 线 a,b相 交,b,c 相 交,则 a,c 相 交、平 行 或 异 面;若 a_Lb,b_Lc,则 a,c 相 交、平 行 或 异 面；由 异 面 直 线 所 成

44、 的 角 的 定 义 知 C 正 确.故 选 C.3.给 出 下 列 说 法:梯 形 的 四 个 顶 点 共 面;三 条 平 行 直 线 共 面;有 三 个 公 共 点 的 两 个 平 面 重 合;三 条 直 线 两 两 相 交，可 以 确 定 1 个 或 3个 平 面.其 中 正 确 的 序 号 是（B）A.B.C.D.解 析:显 然 正 确;错 误，三 条 平 行 直 线 可 能 确 定 1 个 或 3 个 平 面;若 三 个 点 共 线,则 两 个 平 面 相 交,故 错 误;显 然 正 确.故 选 B.4.如 图 所 示，平 面 a n 平 面 B=1,A a,Be a,ABni=D,

45、Ce B,CT1,则 平 面 ABC与 平 面 B 的 交 线 是（C）A,直 线 AC B.直 线 ABC.直 线 CD D.直 线 BC解 析：由 题 意 知,Dl,luB,所 以 D B,又 因 为 De AB,所 以 D金 平 面 ABC,所 以 点 D 在 平 面 ABC与 平 面 B 的 交 线 上.又 因 为 C 平 面 ABC,C B,所 以 点 C 在 平 面 B 与 平 面 ABC的 交 线 上，所 以 平 面 ABC C 平 面 B=CD.故 选 C.5.（2021 甘 肃 兰 州 模 拟）如 图 所 示，在 正 方 体 ABCD-ABCD中，若 点 E为 BC的 中 点

46、，点 F 为 B C 的 中 点，则 异 面 直 线 AF与 G E 所 成 角 的 余 弦 值 为（B）2”A.3 B.TC.T2v3D.M解 析:不 妨 设 正 方 体 的 棱 长 为 1,取 A D 的 中 点 G,连 接 AG,FG（图 略），易 知 GA GE,则 NFAG（或 其 补 角）为 异 面 直 线 AF与 G E 所 成 的 角.在+（2 J l2+（y）2?AFG 中，AG=2,AF=2=2,FG=1,于 是 cosZFAG=2 X2X2-=3,故 选 B.6.如 图，在 四 棱 锥 P-ABCD中,0 为 C D 上 的 动 点,“10AB恒 为 定 值，且 PDC是

47、 正 三 角 形,则 直 线 PD与 直 线 AB所 成 角 的 大 小 是.解 析：因 为“10AB为 定 值,所 以 S&B。为 定 值，即。到 AB的 距 离 为 定 值.因 为。为 CD上 的 动 点,所 以 CD AB,所 以 NPDC即 为 异 面 直 线 PD与 AB所 成 的 角.因 为 aPDC为 正 三 角 形，所 以 NPDC=60.所 以 直 线 PD与 直 线 AB所 成 的 角 为 60.答 案:607.已 知 AE是 长 方 体 ABCD-EFGH的 一 条 棱,则 在 这 个 长 方 体 的 十 二 条 棱 中，与 AE异 面 且 垂 直 的 棱 共 有 条.解

48、 析:如 图，作 出 长 方 体 ABCD-EFGH.EHG在 这 个 长 方 体 的 十 二 条 棱 中，与 AE异 面 且 垂 直 的 棱 有 GH,GF,BC,CD,共 4 条.答 案：48.已 知 在 四 面 体 ABCD中,E,F 分 别 是 AC,BD的 中 点.若 AB=2,CD=4,EFAB,则 EF与 CD所 成 角 的 大 小 为.解 析:如 图，设 G 为 A D 的 中 点，连 接 GF,GE,则 GF,G E 分 别 为 AABD,ACD的 中 位 线.由 此 可 得 GF AB,且 GF=2AB=1,GE/7CD,且 GE-CD=2,所 以 NFEG或 其 补 角

49、即 为 EF与 CD所 成 的 角.又 因 为 EFAB,GF/AB,所 以 EFGF,因 此,在 RtAEFG 中，GF=1,GE=2,GF 1sinNFEG=靛=&可 得 NFEG=30,所 以 EF与 CD所 成 角 的 大 小 为 30.答 案：30。9.如 图 所 示,正 方 体 ABCD-A.B,C.D,中,E,F分 别 是 A B 和 AA,的 中 点.求 证：(DE,C,瓦 F 四 点 共 面;(2)CE,DF,DA三 线 共 点.证 明：(1)如 图，连 接 EF,CD15 A,B.因 为 E,F分 别 是 AB,AAi的 中 点，所 以 EF AR又 因 为 AB C,所

50、以 EF CL,所 以 E,C,Di,F四 点 共 面.(2)因 为 EF CDi,EF CDi,所 以 CE与 D,F必 相 交,设 交 点 为 P,则 由 P 直 线 CE,CEu平 面 ABCD,得 P 平 面 ABCD.同 理 P 平 面 ADDA.又 平 面 ABCD A 平 面 ADDA=DA,所 以 P 直 线 DA,所 以 CE,DF,DA三 线 共 点.B级 综 合 运 用 练10.（多 选 题）（2021 北 京 通 州 区 一 模）设 点 B 为 圆 0 上 任 意 一 点,A0垂 直 于 圆 0 所 在 的 平 面,且 A0=0B,对 于 圆 0 所 在 平 面 内 任