2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第16讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(解析版）.pdf

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1、第 16讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、课后作业圆、弦、半径等概念确定圆的定理点与圆的位置关系三角形的外接圆圆心角、弦、弧、弦心距等概念圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理I;圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的卷知识一、圆的确定1.圆的概念圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形.圆心：以上概念中的“定点”；以点。为圆心的圆称为“圆 0”，记作。.半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长.2.点与圆的位置关系设一个圆的半径长为R,点尸到圆心的距离为d,则有以下结论:当点P在圆外时，d R；当点尸在圆上时，d=R；当点P在国的时

2、，O W d /(+35)2+(-27+27)2=37,解得 4=2,a2=72.【例 2】在 心 ABC中，Z C =90S AC=3,BC=4,CP、CM 分别是AB上的高和中线，如果圆A是以点4为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（）A.点、P、M均在圆A内;B.点P、M均在圆A外;C.点尸在圆A内，点M在圆A外;D.点尸在圆A外，点M在圆A内.【答 案】c【解 析】解：如 图，；在 RSABC 中，ZACB=90,AC=3,BC=4,cAB=yl32+42=5,CP,CM分别是A B 上的高和中线,/.AM=-AB=2.5,-AB.CP=-CB.CA,2 2 2/.5CP=12

3、,A CP=2.4,*-AP =d A d-C P2=，3 2 -2.4 2 =1.8,V A P=l.8 2,.点P在圆4内、点 M在圆4外.所以A 8,0 都不符合题意，C 符合题意.故选：C.例 3如图，在 A 8C 中，AB=AC,8 c=4,tan B=2,以A B的中点D为圆心,为半径作。，如果点3 在。内，点。在。外，那么一可以取（）A.2B.3C.4D.5【答 案】B【解 析】如 图，过 点A作4尸，BC于 点 凡 连 接CO交A尸 于 点G,9：AB=ACf BC=4,:BF=CF=2,V tanB=2,=2 ,B P AF=4,:.AB=Q*S=2后，.。为A 8的中点,B

4、D=布,G是4 ABC的 重:心,1 4：.G F=-A F=-f3 3CG=J()2+22=,：.CD=CG=y/3,.点8在。内，点C在。外,小 ry/i3,故选8.【例4】如图，作出A 3所在圆的圆心，并补全整个圆.【答案】如图所示.0B【解析】在 AB上任意作两条弦，分别做两条弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心.风【例 5】如图所示，已知矩形A8CO的边=3cm,B C =4 c m,以点A 为圆心，4cm为半径作。A,判断点B,C,。与。A怎样的位置关系.【答 案】点B在。A内，点C在。A外，点。在。A上【解 析】解：连接A C,V A B =3 c m,BC=AD=4cm,

5、AC=5cm,；0 A的半径为4,AB=34,点。在。A外.BC网【例 6】如图，以点O(1,1)为圆心，0 0 为半径画圆，判断点尸(-1,1),点 0(1,0),点 R(2,2)和。0,的位置关系.【答案】。P r,点尸在。O 外；。0 ，点。在。内；07?=，点R在。上.【解 析】解：V OO,=r=V l2+12=V2,O P=(T _ 1)2+(1 _ 1)2=2同理可得：OR=y2，点 P 在。外;O Q r,点。在。，内;O R=r,点 R 在。上.举一反三1.如图，平面直角坐标系中，点 A 是 y 轴正半轴上任意一点，B(-3,0),C(4,0),则当点A 在 y 轴上运动时，

6、AABC的外心不可熊在()A.第三象限B.第一象限C.第四象限D.x轴上【答案】A【解 析】解：,：B(-3,0),C(4,0),:边BC的垂直平分线在y轴的右侧,三角形的外心0在不可能在第二象限或第三象限，故A错误;当 ABC为锐角三角形时，三角形的外心。在三角形内部，并在第一象限，故8正确;当 ABC为钝角三角形时，三角形的外心。在三角形外部，并在第四象限，故C正确;当 ABC为直角三角形时，三角形的外心0在三角形斜边中点处，即在入轴上，故。正确,故选：A.2.已知 ABC中，A B=B C,若以点8为圆心，以A 8为半径作圆，则点C在（)A.在。8上B.在。8外C.在。8内D.不能确定【

7、答案】A【解析】：AB=BC,.点A,C 均在以点8 为圆心，以4 8 为半径的圆上.故选：A.3.在直角坐标平面内，点A的坐标为(1,0),点8的坐标为3,0),圆A的半径为2.下列说法中不氐晒的是()A.当a=-l时，点8在圆A上B.当a l时，点B在圆A内C.当。-1时，点8在圆A外D.当-l a 3时，点B在圆A内【答案】B【解 析】如图:VA(1,O),A 的半径是2,AC=AE=2f：.0E=f 0C=3,A.当。=-1时，点 8 在 E 上，即 8 在圆A 上，正确，故本选项不合题意;B.当=-3 时、8 在 A 外，即说当。2,即说点B 在圆A 外正确，故本选项不合题意;D.当

8、T “3时，8 在 A 内正确，故本选项不合题意;故选:B.4.下列命题中，错误的是（）A.三角形重心是三条中线交点B.三角形外心到各顶点距离相等C.三角形内心到各边距离相等D.等腰三角形重心、内心、外心重合【答案】D【解析】试题分析：A、三角形的重心是三条中线的交点，正确;B、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到各顶点的距离相等，故正确;C、三角形的内心是三角平分线的交点，到各边的距离相等，故正确;D、等边三角形的重心、内心和外心才重合，故错误,故选D.5.在RQAC8中，ZC=90,AC=3,BC=3白，以点A为圆心作圆A,要使8、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长

9、/的取值范围是【答案】3r3,点 B 在圆A 外，则 rV6,因而圆A 半径r的取值范围为3r6.故答案为3 r 3cm,ABAr,点B 在。A 外;(3)DA=2.5cm 3cm,.D A ，则 OC=O,例、N 分别是A。、8。的中点，：,OM=0N,u：CM LAB,D N tA B,OCM AODN,:/COM=ZDON,/.AC=BD.举一反三1.下列说法：弦是直径；半圆是弧；过圆心的线段是直径；圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（）A.1个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】B【解析】解：直径是弦，但弦不一定是直径，故错误;半圆是弧，正确;过圆心的弦是直径，故错误;圆

10、心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误,故选：B.2.如图，在。中，AC=BD 乙4。=150。，/8OC=80。，则乙408 的度数是（）cBA.20B.25C.30D.35【答案】D【解 析】AC=BD，:.AC-BC=B D-B C，AB=CD，.ZAOB=ZCOD.V ZAOD=50,ZBOC=8 0,.ZAOB=-X(150-80)=35,故选：D.3.如 图，已知A B 是。O 的弦，C 是 AB的中点，联结OA,A C,如果/O A B=20。，那么ZCAB的度数是【答案】35【解 析】连接 C8,OB,CO.CB由题意AC=CB，AC=C8,且AA8C是等腰三角形，ZCAO=Z

11、CBO：A O=O B,在 AAOB 中：.ZBAO=ZABO=20：.ZAOB=180-NBAO-NABO=140。：AC=CBZAOC=NBOC=y 4 0 8=7 0。在AAOC 中，AO=CO,ZCAO=ZACO=(180-70)x1=5 5 ZCAB=NCAO-N O 48=5520=35故答案为35.4.如图所示，AB.CD是。的两条直径，CE/AB,求证：BC=AE-D【答 案】见解析.【解 析】证 明:连 接。石,vCE/M B,?.ZBOC=ZC,ZAOE=NE,；OC=OE,/C =NE,/.ZBOC=ZAOE,BC=AE.5.如图，弧 ACMttCB,D,E 分别是半径O

12、A,O B的中点，求证：CD=CEB【答 案】见解析.【解 析】证明：连接oc.-A C=8 C，AZAOC=ZBOC,VOA=OB,D、E 分别是半径OA和 O B的中点,.*.OD=OE,VOC=OC（公共边），/.CODACOE,.CD=CE.6.已知：如图，。是 NAPC的角平分线PB上的一点，。与 P4相交于E,F点,PC相交于G,H点,试确定线段反与G”之间的大小关系，并证明你的结论.GH0【答 案】EF=GH,证明见解析【解 析】解：EF=GH.证明：作 O M J_E FfM,ON1,GH 于 N.V O 是NAOB的角平分线PB 上的一点,.OM=ON,/.EF=GHJ课后作

13、业1.下列说法正确的是（）A.一个三角形只有一个外接圆B.三点确定一个圆C.长度相等的弧是等弧D.三角形的外心到三角形三条边的距离相等【答 案】A【解 析】解：A、一个三角形只有一个外接圆，故本选项正确;8、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误;C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误;。、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误;故选：人2.如图，根据下列尺规作图痕迹，其中表示点。是 ABC外心的是（）【答 案】C【解 析】解：A、此选项作图痕迹是作角平分线的交点，。是内心，不符合题意;B、此选项作图痕迹是作角平分线和垂直平分

14、线的交点，。不是外心，不符合题意;C、此选项作图痕迹是作三角形边的垂直平分线的交点，。是外心，符合题意;D、此选项作图痕迹只作了边BC上的垂直平分线，。不是外心，不符合题意,故选：c.3.在直角坐标平面内，点0是坐标原点，点A的坐标是（3,2）,点B的坐标是（3,-4）.如果以点。为圆心，r为半径的圆O与直线A B相交，且点A、B中有一点在圆O内,另一点在圆O外，那么r的值可以取（)A.5B.4C.3D.2【答 案】B【解 析】点A的坐标是（3,2）,点8的坐标是（3,-4）,。4=行商=9，0 8=5/3 2+4 2 =5,以点。为圆心，r为半径的圆。与直线A8相交，且点A、8中有一点在圆。

15、内，另一点在圆。外,A Vi3r/5)2=j62+(3/5)2=9,V PB=6r 点B 在圆P 内、点 C 在圆P 外，故选C.5.下列说法中，正确的个数共有（)(1)一个三角形只有一个外接圆;(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形;(3)在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等;（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等;A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】C【解析】(1)一个三角形只有一个外接圆，正确;(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确;(3)在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确;(4)三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误;故选C.6.在直

16、角坐标平面内，点d的坐标为(L O),点3的坐标为(0),圆d的半径为2.下列说法中不正确的是()A.当4=一1时，点3在圆d tB.当a l时，点3在圆d内;C.当4 -1时，点3在圆幺外D.当一1 3时，点3在圆幺内.【答 案】B【解 析】VA(1,0),G)A 的半径是 2,；.AC=AE=2,；.OE=1,OC=3,A、当 a=-l时，点 B 在 E 上，即 B 在。A 上，故本选项错误;B、当a=-3时，B在。A外，即说当aVl时，点B在圆A内错误，故本选项正确;C、当a2,即说点B在圆A外正确，故本选项错误;D、当-la NAOB=N C O D.求证：AB=CD.【答案】B【解

17、析】A.AO所对的圆心角应为NAOD,BC所对的圆心角应为N B O C,相等的圆心角应为=故A选项错误;B.AB所对的圆心角为/A O B、所对的弦为AB,CO所对的圆心角为NCOD、所对的弦为C D,故 B 选项正确:C.由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故 c 选项错误;D.由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故 D 选项错误.故选：B.9.下列语句中正确的是（）A.长度相等的两条弧是等弧B.平分弦的直径垂直于弦C.相等的圆心角所对的弧相等D.直径所在直线是圆的对称轴【答案】D【解 析】解：人能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意;8、平

18、 分 弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意:C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以此选项不符合题意;。、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以。选项正确.故选：D.10.若。O 所在平面内一点P到。O 的最大距离为6,最小距离为2,则。0 的半径为【答案】2 或 4【解析】解：当这点在圆外时，则这个圆的半径是(6-2)+2=2；当点在圆内时，则这个圆的半径是(6+2)-2=4.故答案为2 或 4.1 1.已知R S ABC中，ZC=90,AC=3,B C=,C D A B,垂足为点D,以点D 为圆心作O D,使得点A 在。D 外，且点B 在

19、G)D内.设。D 的半径为r,那么r 的取值范围是7 9【答 案】丁一，【解 析】解：,.,RSABC 中，ZACB=90,AC=3,BC=77,.AB=A/32+(/7)2=4.VCD1AB,.CD 二 辿4VADBD=CD2,设 AD=x,BD=4-x.9解得x=，点A在圆外，点B在圆内,7 9 的范围 是 丁7 9故答 案 为 5“1 2.如图，ABC中，Z A=70,。截 ABC的三条边所截得弦长相等，则/B O C=_.【答案】125【解 析】ABC中NA=70。，0截 ABC的三条边所得的弦长相等,.,.O 到三角形三条边的距离相等，即 0 是4 ABC的内心,.*./1=N 2,

20、N 3=N 4,N 1+N 3=g (1 80-/A)=；(1 80-70 尸55；ZBOC=1 80-(Z l +Z 3)=l80-55=1 2 5.故答案为1 2 5.1 3.已知。的直径是4,。上两点8、C分。所得劣弧与优弧之比为1：3,则弦8c的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】2 0【解 析】解：圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧,劣弧的度数为：360按 蓑9。？，劣弧所对的圆心角的度数90。,的直径是4,AOB=OC=2,*-BC=yjoB2+OC2=A/22+22=2V2，故答案为：2垃.1 4.如图，在 ABC中，Z C=90,Z A=25,以点C为圆

21、心，BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则BO的度数为【答 案】50【解 析】解：连 接C D,如图,BZ C=90,ZA=25,.ZB=90-25=65,:CB=CD,N 8=N 8D C=65。,，ZBCD=180o-65O-65o=50,8。的度数为50.15.如图，AABC内接于。，NA=50。，点D是BC的中点，连接。，O B ,O C ,则NBOO=A【答 案】50。【解 析】解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半,ZA=-ZB O C,2/.ZBOC=100,;OB=OC,.B O C 为等腰三角形,又 点。是 BC的中点，根据等腰三角形三线合一,。为N80C的角平分

22、线,，ZfiO/)=50,故答案是：50.1 6.如图所示，己知矩形A8C 的边AB=3c、w,AD=4cm.(1)以点A为圆心，4a”为半径作。A,则点8,C,。与。A的位置关系如何？(2)若以点A 为圆心作。4,使 B,C,。三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外,则0 A的半径，的取值范围是什么？【答案】（1）点B在。A内，点。在。A上，点C在。A外；（2）O A的半径r的取值范围是:3 r 5.【解 析】连 接AC,；AB=3cm,AD=4cm,AC=5cm,.点8 在 0 A 内，点。在。A上，点C 在。A 外;(21.以点A为圆心作。A,使8,C,。三点中至少有一个点在圆内，

23、且至少有一点在圆外,0A的半径r的取值范围是：3r5.1 8.如图：AC=CB，。、E分别是半径。4和0 8的中点，求证：CD=CE.BD【答 案】详见解析【解 析】证明：连接o c.在。中，；AC=C8,NAOC=/BOC,O A =OB,D、E 分别是半径OA和。8 的中点,:.OD=OE,：OC=OC（公共边），：./C O D/C O E (.SAS),：.CD=CE（全等三角形的对应边相等）.1 9.已知如图，点A、点B、点C、点D都在。0上，连接OA、OB、OC、OD、AC、BD,ZA=ZD.DC求证：（1）A C=B D；（2）AB=C D【答案】（1）见解析；（2）见解析【解

24、析】证明：（1）VOA=OC,OB=ODA Z A=Z C,ZB=ZD又.NA=ND NA=NC=NB=ND ZAOC=ZBODAAC=BD 由（1）得：ZAOC=ZBOD.ZAOB=ZCOD*-AB=CD2 0.如图，AB,AC,BC 都是OO 的弦，SLZAOB=ZB O C,求证：ZBAC=ZBCA.C【答 案】详见解析.【解 析】证 明：v ZAOB=ZBOC*AB=BC：.AB=BC：.ZBAC=ZBCA.2 1.已知：如图，在。中，弦ABC 0.求证：A D =BC-【答案】证明过程见解析【解 析】证明：过 点。作O ELA 8于 点E,交C D于点F ,交C D于点M .连 接。

25、4、O B、0 C、O D ,如图:V OEAB,AB/CD：.OF LCD，在中，OA=OB；在 0 8 中，OC=OD:ZAOE=/BOE,4COF=/DOF ZAOE+ADOF=ZBOE+ZCOF，ZAOD=/BO CAD=BC2 2.如图，AB,D E是。O 的直径，C 是O O 上的一点，且 AO=CE.(1)求证：BE=CE；(2)若/B=50。，求/AOC的度数.D【答 案】（1）见解析；（2）20。【解 析】解：（1）证 明：V ZAOD=ZBOE,AD=BE,*AD=CE：BE=C E，BE=CE；(2)V ZB=50,OB=OE,Z BOE=180o-50-50o=80.由（1）知，BE=CE,.,.ZCOE=ZBOE=80,Z AOC=180o-80-80o=20.