2022-2023年概率论与数理统计试题及答案.pdf

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1、岁 鬻 蠹 曹 磐 与 数 理统计 2 0 2 2年-2 0 2 3年最新1、概念网络图啰 次1%总屋L 一维随机变量X)-F(x)=P(X 数 字 特 征(期 望、方差)随机事件P(A3)T二 维随机变量(X,丫)-F(x,y)P(X x,Y 数 字 特 征(期 望、方 差、协 方 差、相关系数)大数定律和中心极限定理四大统计分布(正态,2,厂)(多 维 随 机 变 量 的 函 数 分 布)数理统计J 参数估计 假设检验2、最重要的5 个概念(1)古典概型(由比例引入概率)例1：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？例2：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个

2、是黑色的概率？(2)随机变量与随机事件的等价(将事件数字化)P X =x)=P(A)P(X =x,Y =y)=P(AB)例3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数X的数学期望。(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率。例4：将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求(X,Y)的联合分布律。(3)分布函数(将概率与函数联系起来)F(x)=P(X =(%y)：|x+y 区求 x 的边缘密度/(%)。X(9)求二维连续型随机变

3、量的函数分布或者某个区域内的概率，的积分。,f3x例 16：设随机变量(X,Y)的分布密度为中a,y)=0,(10)均匀分布用“几何概型”计算。lf 2例 17：设随机变量(X,Y)的分布密度为：(p(x,y)=0,由画图计算相交部分(正概率区间和所求区域的交集)0 x1,0yx,试求U=x-Y的分布密度。其他.0 x 1,0 y1)。其他.(1 1)关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。2(1 2)二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D快 朝 迎 3申露翳分布来 例 19：设 A,B 为两个随机事件，且 P(A)=,

4、P(3|A)=_,尸(A|8)=_,令4 3 2X=J1，A 发生，8 发生，0,A不发生，0,8不发生.求(I)二维随机变量(X,丫)的概率分布；(II)X 与Y 的 相 关 系 数 P；XY(HI)Z=X2+Y2的概率分布.03)相关系数中的E(XY),对于离散型随机变量，根 据 X Y 的一维分布来求；对于连续型随机变量，按照函数的期望来求。-K0例 20：连续型随机变量：E(XY)=xyfx,y)dxdy-00(M)应用题：设 Y 为题干中要求期望的随机变量，a 为最后题目所求，然 后 找 Y 与 X 的函数关系，再 求 E(Y)例 21：市场上对商品需求量为X U (2000,4 0

5、 0 0),每售出1 吨可得3 万元，若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1 万元，问需要组织多少货源，才能使收益的期望最大？(1 5)切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。2、统计(1)似然函数是联合密度或者联合分布律。连续型：，。，,6)=F I/(x ;0,6,0)1 2 m i 1 2 mi=离散型：L(B,9,o)=F IMX；。,e,e)I 2 tn i 1 2 m/=1例 22：设总体X的概率分别为X()1 2 3 20(1-0)02 1 -201其中8(09 )是未知参数，利用总体X的如下样本值：3,1,3,0,3,1,2,3求 0的矩估计值和最大似然估

6、计值。(2)“无偏”求期望，“有效”求方差，“一致”不管它。都是总体均值u 的无偏估计，并比较有效性。(3)标准正态、分布区间估计和假设检验取关于y 轴对称的分位数,例 23：设，是总体的一个样本，试证n1 2(1)A日 二J_x3+_X+1 x;15 iTo 22 3G =1i5(2)X+X+X ;23 4 212 3AI31(3)日 =_ x+_ x-x.33 i4 212 3义2尸分布取面积对称的分位数。3三、选择题常考的5 个混淆概念1、乘法公式和条件概率2022年-2023年最新例 24：100个学生，60个男生，4 0 个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是

7、棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？P(AB)=P(A)P(B/A)2、独立和互斥设 A#0,B#0,则A 和 B 相互独立与A 和 B 互斥矛盾。例 25：对于任意二事件A和 B,(A)若 AB=。，则A,B一定不独立。(B)若 AB=。，则A,B一定独立。(C)若 ABW。，则 A,B一定独立。(D)若 ABW。，则A,B有可能独立。3、独立和不相关独立是不相关的充分条件。(X,Y)为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。4、X,Y 分别为正态分布，不能推出(X,Y)为二维正态分布；也不能推出X+Y 4 一维正有分布。例 26：已知随机变量X和 Y分别服从正态

8、分布N(l,3z)和 N(0,4z),且X与 Y的相关系数P=一 _，设Z=_+_.XY 23 2(1)求 Z 的数学期望E(Z)和方差D (Z)；(2)求 X与 Z 的相关系数P 丫 7；(3)问X与Z 是否相互独立？为什么？例 27：设随机变量X和 Y都服从正态分布,(A)X与 Y一定独立。(C)X与 Y未必独立。且它们不相关，则(B)(X,Y)服从二维正态分布。(D)X+Y服从一维正态分布。5、几个大数定律的区别切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。例 28：设 X,X,X,是相互独立的随机变量序列，X 服从参数为n 的指数分布(n=l,2,)，则随机I 2 n

9、n变量序列 X,22X).)：(A)服从而比雪夫大数小律。(B)服从辛钦大数定律。(0 同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。(D)既不服从切比雪夫大数定律，也不服从辛钦大数定律。四、解答题常考的6 个题型1、全概和贝叶斯公式例 29：在电源电压不超过200V、在200240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.K 0.001和 0.2,设电源电压XN(220,252),试求(1)该电子元件损坏的概率a；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率0。x 0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40(x)0.530 0.579

10、 0.655 0.726 0.788 0.841().885 0.919表 中 (x)是标准正态分布函数。2、二项分布例 30：设测量误差XN(0,102)。试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6 的概率a,并用泊松分布求出a 的近似值(要求小数点后取两位有效数字)。附表：4202余 年-2023年最新e-X 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.0013、二维山机变量例 3 1：设二维随机变量(x,y)的概率分布为若随机事件 x=o 与 x+y=i 互相独立，则A、=0.2,/?=0.3B、a=0.1,b=C、a=0.3,b

11、=0.2D、。=0.4,0=0.1例 3 2：设随机变量x在区间(0,1)上服从均匀分布，在 X=x(0 x 1).4、数字特征例 3 3：一辆送客汽车，载有m位乘客从起点站开出，沿途有n个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。例 3 4：今有两封信欲投入编号为I、II、III的 3 个邮筒，设 X,Y分别表示投入第I 号和第I I 号邮箱的信的数目，试 求(1)(X,Y)的联合分布；(2)X 与 Y 是否独立；(3)令 U=m a x (X,Y),V=m i n(X,Y),求 E (U)和 E (V)o例35：设 X,

12、X,X (2)为 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量，且 均 服 从 N(0,1 )。记I 2 nX =X,Y-X X,z =1,2,n.n i i i求：(I)y 的方差y,i=1,2,n;(ID y与y的协方差).(HD 比+y o .1 n5、应用题例 36：设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(“，1),内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T (单元：元)与销售零件的内径X有如f-1,若X 1 26、最大似然估计5例 变 函数为,3管标新”0,x 0,4 1.设X,X,X为来自总体X的简单随机样本,

13、1 2 n（I）当a=1时，求未知参数B的矩估计量;(II)当1=1时，求未知参数B的最大似然估计量;(III)当夕=2时，求未知参数a的最大似然估计量。五、考试的2 个技巧1、填空题和选择题的答题技巧例38：设随机变量X（i,j=1,2,U,；2 2）独立同分布，EX=2,则行列式UX11X12X1rty=X21X22x2nXn1Xn2Xnn例39：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件:A=掷第一次出现正面,A=掷第二次出现正面,4=正、反面各出现一次,A=正面出现两次,则事件4（a）相互独立。(B)(C)A,4,A两两独立。1 2 3(D),鸣4两两独立。,的数学期望EY=23/仆、相互独立。

14、自测题（第一章）一、选 择 题（每小题3分，共15分）：1.在某学校学生中任选一名学生，设事件A表示“选出的学生是男生”，B表示“选出的学生是三年级学生”，C表示“选出的学生是篮球运动员”，则ABC的含义是（).(A)(B)(C)(D)选出的学生是三年级男生；选出的学生是三年级男子篮球运动员;选出的学生是男子篮球运动员；选出的学生是三年级篮球运动员；2.在随机事件4 8,C中，4和8两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为（).(A)AC BC(B)ABC（C）ABC ABC A.BC（D）A B-C3.甲乙两人下棋，甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,设A为甲胜，8为乙胜，则

15、甲胜乙输的概率为（6(A)0.6X0,6(B)0.6-0.6X0,4 鼻 琴 房 碑 嚏 新 0.64.下列正确的是().(A)若 P(A)2 P (8),则 B=A(B)若 4 u B,则 P(用 2 P(百(C)若 P(A)=尸(A 8),则 A q B (D)若 10次试验中A 发生了 2 次，则 P(A)=0.25.设 A、B 互为对立事件，且P(A)0,P(8)0,则下列各式中错误的是().(A)P(B|A)=0(B)P(A|B)=0(C)P(A3)=0(D)P(A 8)=1解：1.由交集的定义可知，应 选(8)2.由事件间的关系及运算知，可 选(4)53.基本事件总数为C4,设 4

16、 表 示“恰 有 3 个白球”的事件，A 所包含的基本事件数为Ci=5,故 P(A)=_,故85C 48应 选()。4.由题可知 A、A 互斥，又 0P(A)1,0P(A)0,P(B)0,所以才=A,因而尸(万|A)=P(4|A)=1,故 选(A)二、填空题(每小题3 分，共 15分)：1.A、B、C 代表三件事，事 件“A、B、。至少有二个发生”可表示为_ _ _ _ _ _.2.已知 P(Z豆)=J L，P(AB)=P(A)P(B),P(7B)=P(A 3)，则 P(A)=_.163.A、B 二个事件互不相容，P(A)=0.8,P(8)=0.1,则P(A 8)=.4对同一目标进行三次独立地

17、射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为_ _ _ _ _ _ _ _ _.|95设 4、8、C 两两相互独立，满 足 A8C=,P(A)=P(B)=P(C)，且已知P(A+8+C)=，则2 16P=.解：1.AB+BC+AC2.8 相互独立，：.P(AB)=P(A)P(B)：.P(A U B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.5-0.1=0.63.As B 互不相容,则 P(AB)=0,P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.84.设 A、8、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标

18、可表示为+ABC+式BC,即有P(ABC+ABC+ABC)=P(A)PP(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.365.甲产品滞销或乙产品畅销。三、判断题(正确的打7 ，错误的打“”，每 小 题 2 分 洪 10分)：71.设 人、8 为任意两个互不相容事件，则对的?同年伟强3解 獭 BC 也 互 不 相 容.2.概率为零的事件是不可能事件.3.设 4、6 为任意两个事件，则?伊 一 4 8)=?G)P(A8).4.设 A 表示事件“男足球运动员”，则对立事件不表示“女 足 球 运 动 员 5.设尸(4)=0,且 6 为任一事件，则 4 与 8 互不相容，且相互独立.解

19、：1.正 确 2.不正确3.正确4.不正确5.不正确四(6 分)从 1,1,2,3,3,3,4,4,5,6这 1 0 个数中随机取6 个数，求取到的最大数是4 的概率.解：设 A 表示事件”12名中国人彼此不同属相”，每个人的属相有12种可能，把观察每个人的属相看作一次试验，由乘 法 原 理，这1 2 个 属 相 的 所 有 可 能 排 列 数 为 1 2 1 2,而 事 件A所 包 含 的 形 式 有 0 2 种，则12P12尸(4)=0.000054.12121 1 1五、(6 分)3 人独立地去破译一个密码，他 们能破译的概率分别为若让他们共同破译的概率是多少？5 3 4解：设 A 宗

20、示“第 j 人能译出密码”，/=1,2,3.A,A,相互独立，4 表 示“密码译出”，则 白=，-Ai 1 2 3 1 2 3:.P(A)=1R/O=1 P(/T7F 4)=1 P(刀)尸仔)尸(75)1 2 3 1 2 35 3 4 5六(10分)已知一批产品的次品率为4%,今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为是次品的概率为0.02,而次品被误认为是正品的概率为0.0 5,求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率.解：设 A 表示通过检验认为该产品为正品，B 表示该产品确为正品依题意有P(B A)=P(B)P(AB)=096x0.98=99.8%PBP(AB)+P(B)P(A

21、 8)0.96x0.98+0.04x0.05七 G O 分)假 设 有 3 箱同种型号零件，里面分别装有5 0 件，3 0 件和4 0 件，而一等品分别有2 0 件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回)试求先取出的零件是一等品的概率：并计算两次都取出一等品的概率.解：设 8、B、8 分别表示选出的其中装有一等品为20,12,24件的箱子，八、1 分别表示第一、二次选出的为一等1 2 31 2品，依题意，有P(A)=P(B)P(A B)+P(B)PAB)+P(B)P(A B)1 1 1 1 2 1 2 3 1 31 20 1 12 1 24 7_.+

22、_.+_ .=0.4673 50 3 30 3 40 15P(A A P(B)P(AA B)=1X2X12+1X1X11+1XX,!3=O-22O1 2 /1 2/3 50 49 3 30 29 3 40 39八、(10分)设尸(/=,尸(8)=J .3 21.若,求 尸(由)；2.若求 尸(雨)；3.若尸(A B)=，求?(*).88解：1.户(84)=户(8)-户伊切 因为4 8互斥，陵 饵 相 找02赫 魁 知 尸(8)=；_ 1 P(BA)=P(B)2.P(A)=I,由 Au 8知：尸(A8)=P(A)=!3 3十 1 1 1.P(BK)=P(B)-P(AB)=_-_=一2 3 61

23、1 1 33.P(AB)=-：.P(BA)=P(B)-P(AB)=-8 2 8 8九(1 0 分)一 批 产 品 1 0 件，出厂时经两道检验，第一道检验质量，随 机 取 2 件进行测试，若合格，则进入第二道检验，否则认为这批产品不合格，不准出厂；第二道检验包装，随机取1 件，若合格，则认为包装合格，准予出厂.两道检验中，1 件合格品被认为不合格的概率为0.05,一件不合格品被认为合格的概率为0.01,已知这批产品中质量和包装均有2 件不合格，求这批产品能出厂的概率.解：设 H 表示报名表是第i个 地 区 考 生 的 1,2,3),A 表示第/次抽到的报名表是男生表0=1,2),则/JP(H)

24、=P(H)=P(H)11 2 3 37 8 20尸 气 巴)；尸 巴 阳 2)不；蛇 朋 3)(1)P,一 之=尸(4 XP(H)P(A H)=1(3+7+5)=291i 1 /3 10 15 25 90f=17 8 10 由全概率公式得?供2阳i)G o,产 色 网 方 仔 尸0 2 15 257 8 5尸储/口 闽 力 飞0,同 勺 炉3。P(A)=尸(H)尸(A|H)=1(7+8+20 61X2/2/3 10 15 25 90Z=1P(H)P(AA|H)=1(7+8 5、2+)=3 30 30 0 92因此，。=?伊|八)_ V=201 2 p(A)61 61290十、(8分)设。尸(4

25、)1,0?(8)1,产(4 8)+尸(四 国=1,试证事件了与。相互独立.证 明：,/0尸(人)1,0P(B)1P(A|8)C),p(-A|-B)=HKB)=1 -P(A+B)又 V P(AB)+P(A I 8)=1-P(A)-P(B)+P(AB)1 91P(B)1 -P(B)1.1 -P(A)-P(B)+尸(4 5)_ P(B)2境解出2。2 3年最新1 P(B)P(B)化简，得：P(AB)=P(A)P(B)，事件A、8相互独立自 测 题(第 二 章)一、选择题(每小题3分，共1 5分)：1设随机变量X的分布律为PX =左 =/A*(Z =1,2,)，则().(A)0 A,1,且人=1九-1

26、(B)0 A,1,且=入-1(C)0 九 1,且b=1(D)0 无 0ae t x d x=一巴=1b故选(。)1由 4 个结论验得(B)为正确答案 2022年-2023年最新4 解R X=Y)=P X=1,y=1 +PX=2,Y=2=Lx 1+2 x 3 =2 故选(。3 3 3 3 93.25 解 因 为 用为必须满足条件OWRx)W 1,而只有取a=三，。=一次时，才 会 使 0W网x)W 1满足，故选(A)5 5二、填 空 题(每 小 题 3 分，共1 5 分)：1.二维随机变量(x,丫)的联合分布律为:X121a0.22p0.3则a 与。应满足的条件是,当 相 互 独 立 时，a=.

27、1 x-u y-u1 -(-)2+(2-)2 2 .二维随机变量(X,y)的联合密度为：f(x,y)=e 2 a,a2,则 X的边缘概率密度1 2为-kx2,0 x13.连续型随机变量X 的概率密度为/(x)=,则常数I o,其它-4.设 X N(10,0.0 2 2),已知(2.5)=0.9938,则 R9.95W X10.05=.5.设 X,y 是相互独立的随机变量，X N(2,O2),y N(3,02),且 R|2 X+Y 1 区8.7654=0.9 5,则o=.1 解:ZZ P=1 a+P+0.2+0.3=1 即有a+P=0.5iji j当X,y 相互独立 RX=1,港 1)=RX=1

28、)R心 1).a=(a+o.2)(a+p).a=0.2r f 1 1 “I2 解 :，x(x)二 y)d y=J：短l 邛 不-(d y1 2 一(f _ e 2a 2一 乒 1k3 解=1 .J1 kx2dx=_=1 o oo3fc=34 解 XN(10,0.022),、9.9 5-IO,v 10.05-10 1 rcuy.R9.95WX10.05=P X V=R 2.5 X 2.5=2|)(2.5)-1=2 x0.9 9 3 8-1 =0.98765 解：X,V相到独立 y)=f(x)f(y)X Y1三（12分）随机变量X 的概率密度为/（x）=（b ,试 求（1）系数A；（2）X 的分布

29、函数；（3）0,|汴 三I4x落在（叫 内 的 概 率.n 冗解 ：J 田/(x)d x=l,即 J Z Acos xt/x=Asin|4=J2A=1 so 7L 14 4 A Y71当 时，F(x)=04当|x|W士时，/(x)=J*f(x)d x =P J2 cos xdx=1 +应 sinx-4-o o 2 当 x Z 时，/(x)=J*f(x)dx=J：/cos xdx=1T*24(3)P=J：/(x)d x =R f c o s x d x =四（12分）假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为。=5 的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2h便关

30、机，试求设备每次开机无故障工作的时间丫的分布函数.解：（1）：X 可能的取值为0,1,2,3设 AV 第 i 个元件出故障）i=l,2,3 .P(X =0)=P(A)P(A)P(A)1 2 3=(1-0.2)(1-0.3)(l-0.5)=0.28p(X=l)=P(AA A)+(AA A)+P(A A A)1 2 3 1 2 3 I 2 3=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)1 2 3 1 2 3 1 2 3=0.2x0.7x0.5+0.8x0.3x0.5+0.8x0.7x0.5=0.47同理尸(乂=2尸(A A A)+P(A A A)+P(AA A)=

31、0.22I 2 3 I 2 3 I 2 3P(X =3)=P(A A A)=P(A)P(A)P(A)=o.()3I 2 3 1 2 3.X 的分布律:1Xp。年一如23年最断0.28 0.4 7 0.2230.03(2)由(1)及分布函数的定义知当 x 0 时，F(x)=0当 0 4 1 时，F(x)=P(X=0)=0.28当 1 4 2 时，F(x)=P(X=0)+P(X=l)=0.7 5F(x)=P(X=O)+P(X=1 )+P(X=2)=0.9 7当 x 2 3 时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+PX=2)+P(X=3)=l当2 W x 3时,0 x 00.28 0 x 2尸(x

32、)=.0.7 5 1 x 2 其图为0.9 7 2 x 3f e-x,五(10分)随机变量x的概率密度为/(%)=10,x 0；求y=x 2 的概率密度.x K 0、解：分别记X,丫的分布函数为F x),F(y)由于产N 0,故当yWO时，(y)=o当 y=x2 0 时，有 F y(y)=P(收y)=P(X2 0)=P(-J y WX W J y)/。)如=枭-团=l -e不-4x o将 尸(y)关 于y求导数，即 得y的概率密度为X f 1(1 -e-y)=-e y(-Jy)=y 0o其它fr (、万 L Y(y)=2J yo,其它六(12分)随机变量X和丫均服从区间 0,1 上的均匀分布且

33、相互独立.31写出二维随机变量(x,y)的边缘概率密度和联合概率密度.2.求PX+丫4 _ .2f(y)=b o,其它又 X,Y相互独立f l 0 4x 42 0 y 24o,其它1（2）P X+y/=y）d xd y=乐 曲 成 鳏3年最新2 43 3x+y-2 2900，3 2-J2：d x.J 3r 1d y2七（1 2分）已知随机变量x与 丫的分布律为：X-101Y01p1/41/21/4P1/21/2且已知 Pxy=o =1.（1）求（x,y）的联合分布律；（2）x与y是否相互独立？为什么？解：（1）由 p（xy=o）=L 可见P x=-1,y=i=px=i,y=i=o易 见 px=

34、-i,y=o =px=-i=l4p（x=o,y=i =py=i=12px=i,y=o =PX=-1 4PX=o,r =o =1-（l+l+l）=04 2 4于是，得x和y的联合芬q x|1 ,1p .p（x=o,y=o）=o而P（X=O）尸（y=Q）=j （_+2 4 40012T40:.p（x=o）p（y=o）w p（x=o,y#o）x,y不独立K（1 2分）设x,y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为:。0力 /（）,）=卜X 0,其它 y 1 0,y 0求随机变量z =x +y的概率密度函数.设Z的密度函数为/（z）,则由卷积公式得Z）当 z 0 时，/次）=0,./z Gh O1

35、4b）当 0&l 时，z-l 0,仑015f(z)=J OJZ+P e-d t =-e-2022年-2023年最新z z-1 0c)当 zl 时，z-1 2 0f(z)=J二 e-i d t=e i-z-e-=(eZ z-l0,z 0综述：4=针 一/z,0 z 1自测题(第三章)一、选择题(每小题3分，共6分)：1.对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.7 2,则每次射击的命中率等于().(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.42.若。(X y)=o(x +y),则().(A)x与丫独立(B)D(X)=D(y)(o o(x+y)=o(D)x与y不相关1

36、.选(。)；由题意知：X8(3,0),而。(X)=3-p-(l-p)=0.72p-0.4 o2.选(B)；-：E(X)=!+Xxf(x)d x=d x,而被积函数为对称区间上的奇函数，E(X)=0o w X 2二、判断题(每小题3分，共12分)：1.设随机变量X的概率密度为/(x)=1?-c o x(X)=O 2 X+QN(0 Q 2)3.V；D(X)=E(X2)_E(X)2,o(y)=(y)_E(y)j,1而 E(X)=M,D(X)=2,E(y)=D(Y)=号 中 九=吆X X2 0:；(X2+y2)=(X2)+E(y2)=)(X)+(X)2+D(y)+mK)216=0 2+(12+J+(廿

37、 叫 熊 的 彝 魏。4.X ；参见教材例3.1 4。三、填 空 题(每 空2分，共22分)：1.设二维随机变量(X ,丫)的联合分布律为：X1211/41/2 101/4则 仇x)=,D(X)=,反y)=,o(r)=,c o v(x,y)=,P=XY ax+2,0 J C 1 12 .设连续型随机变量X概率密度为/(x)=,且 仇X)=_,则常数。=I 0,其它 3 -3.设随机变量X 的数学期望E(X)=7 5,.O(X)=5,且P|X7 5|2 k 0.05,则ZN.4 .对圆的直径作近似测量，测量近似值X均匀分布于区间 0,。内，则圆面积的数学期望是,5 .设随机变量X 与丫相互独立，

38、且乂 N(1,2,),Y N(0,1).令2 =-丫+2乂 +3,则。(Z)=,6 .设随机变量(X/)在 区 域Z)=(x,y)|0 x1,|y x 内 服 从 均 匀 分 布，则E(3X+5K+2)=.F 1+2x +、71.w=i x 2 12 A；I )_1 f l 1、2 3D(X)=E(X 2)-E(X)2=1 2 X _+2 2 x|_ +4,(y)=(2X-3)=4D(X)=4 E(X 2)-(x)2=4(4-i 2)=i 2o四(1 0 分)设随机变量(X,Y)的概率密度为：1(x+y),0 x 2,0 1f(x,y)=%o,其它求数学期望E（X）及E（Y）,方差。（X）及。

39、（y）,协方差co v（x,y）及相关系数P.xy、解：（X）=UR/（再 y）d x d y=2 R d/x（x +y）d y00 0012fJ X2+3 o I3 o o119 1 Ax d x =2)E（y）=+y f x,y)d x d y =-O J-O O3：J i(2y 2+2y)d y =:;+oo d y 2y x+y)d x0 0V E(A?)=2x/(x,y)d x d y=J2drj1x2(x+y)d y1j-a?3 o o2/3,1 “16(X 3 +_X2)d x =_,3 o 2169(11)2 _ 23又29 XnH2e-xdx-1 J+M+2 d(-e-x)o

40、 m!o m!o=1 Xtn+2-x Uc _|_ 1 J+00-xd(Xm+2)=加+2 J+oo g-x X?n+1 dxm o m!o m!o=(?+2)(z+1)/.O(X)=E(X2)-E(X)2=(2+2)(m+1)-(加+1)2=m+1 ofox(1-x),0 x 1六、(i o分)设 随 机 变 量x的 分 布 密 度 为/a)=jI 0,其它求 a,E(X),D(X)和P X-E(X)2 jD(X).fx)d x =-x)dx=a-1 =。=1幅 由-,o I.2 3 K 6得：7=6；这时,fx）=6x(1-x)0 x 10 其它E(X)=+xxf(x)dx=Ji x 6x

41、(1-x)dx=6 x 314/o2r 11D(X)=(X 2)-E(X)2=J X2-6x(1-x)dx-_ I=_0 20P|XE(X)|2 产JQ=P(X _ 0,的分布，求 x+丫的分布o x 0时有非零值，/y(z-x)仅 在z-x0,即 x 0时y(z)=f:e-v -e-(z-x)d x=e-i d x-xe：z =ze-：,0 0。即/(z)J z e-z z0。0 z 0(2)E(xr)=E(x)-(y)=i xi=i (,:x、y 均服从入=1 的指数分布)。八、(10 分)设随机变量x 服从泊松分布，瓜 X)=6,证明：P 3 X 1_.3证明：X 兀(入)，且 E(X)

42、=6=九，则 (%)=6根据切比雪夫不等式，有6 1P 3 X 9=P|Z-6|3 1 -_ =_ 3 2 3九、(1 0 分)x为 连 续 型 随 机 变 量，概 率 密 度 满 足：当X a,b时，/(%)=0,证 明：b-aa E(X)b,D(X)(_)2.证明：；a W x W b,5/(x)公=1-0 0a=a!+xf(x)d x E(X)=+xxf x d x +xbf x d x-0 0 -0 0 -0 0=b f x d x=b oa+b容易证明 D(X)Wa-c)2,取 c=(4 (+D(X)W E|x-I I 二广 x-f(x)d x I l 2 乂 J 2 )1+/rb-

43、I f Wx=J f(x)d x-OD 2 /-0 0。一2192022年-2023年最新一、填 空 题(满 分 15分)1.已知0=0 3 P(了 =8)=0.7,且 人与B相互独立，则 尸二 者1PX=0=-2设随机变量X服从参数为入的泊松分布，且 3,则入=。3 设X N(2,c 2),且 P2X 4=0.2,则 PX0=4.已知DX=2,DY=1,且X和Y相互独立，则D(X-2Y)=5.设S2是从N(，D中抽取容量为6的样本方差，则(S2)=3 21.7 2.E 3 3.0.3 4.6 5.15二、选 择 题(满 分15分)L已知事件A,B满足P(g=P(硒，且 尸 =0 4,则P(B

44、)=.(A)0.4,(B)0.5,(C)0.6,(D)0.72有Y个球，随机地放在n个盒子中(R n),则某指定的丫个盒子中各有一球的概率为丫!0 U C(A)丫 (B)丫 (C)7 (D)3.设随机变量X的概率密度为了(=ce-M,贝h=。11(A)-2(B)0(C)2(D)14.掷一颗骰子600次，求“一点”出现次数的均值为。(A)50(B)100(C)120(D)1505.设总体X在(口一 日+上服从均匀分布，则参数四的矩估计量为。1 1 E x 1,(A)(B)-1日(o n 1;=i (D)*1.C 2.A 3.C 4.B 5.D三、计 算 题(满 分60分)I.某商店拥有某产品共计

45、12件，其 中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率。2 6 O O 7 c2 8P =_8_ X _+8 4 X _+_ _ X _=0.67cT To c T 10 C?1012 12 122.设某种电子元件的寿命服从正态分布N(40,100),随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于5 0的概率。/(1)=0.8413=0.9772、50-40PX 50=P _ _ _ _ _ _ _1=0(1)=0.8413I 1 0202 0 2 2年-2 0 2 3年最新x -4 0令-0 则y 3(5,0.8 4 1 3)因此 P r =2 =0 0.8 4

46、1 3(1-0.8 4 1 =0.0 2 8 3,1 1 0 W 1 ,(1/(%)=o 其它/(y)=f o/(x,y)=/(x)/()，)=所以1 63.在区 间(0,1)中随机地取两个数，求事件两数之和小于5”的概率。0 y 1其它170 x l,0 y l PcX +Y 6-t=其它 5 7 5故 l J4.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2,0.3,0.4,各部件的状态相互独立,求需要调整的部件数X的期望E X和方差D X。E(X )=0.9 D(X)=0.6 1f5.从一正态总体中抽取容量为1 0的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在

47、4以上，求总体的标准差(0)(2.0 5 5)=0.9 8,(2.3 2 5)=0.9 9)(52，而/、2 4 _1=o 9 8QI加J-P|X N区4=1 -0.0 2 =0.9 8,故/4 =0.9 9 4 =2.3 2 5、赤)Jn 0 =5.4 4，6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取3 6位考生的成绩，算得平均成绩为6 6.5分，标准差为1 5分，问在显著性水平0.0 5下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为7 0分？并给出检验过程。t(3 5)=2.0 3 0 1 t(3 6)=2.0 2 8 1(0.025,0.025)XN(6 6.5,0 lnH：X=7

48、0,”：X x 7 0设。i则*-H卬=2.0 3 0 5 K/-2,0 3 0 1，故拒绝域为 1 2 2，即由于=1 4不在拒绝域内，故接受四、证明题H0 ,即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.p1.设A,B是两个随机事件，O P(A)1,O P(B)1()吟八，E(X2)=12，故汩X+S2广，因此，X+S2是入的无偏估计 概率论与数理统计试 题(1)一、判断题(本题共1 5分，每小题3分。正确打“J”，错误打“X”)对任意事件A 和 B,必有P(AB)=P(A)P(B)()设 A、B是。中的随机事件，则(AU B)-B=A()若 X服从参数为人的普哇松分布，则E X=D X

49、()(4)假设检验基本思想的依据是小概率事件原理()s 1 个(X 一工)2 样 本 方 差 2=一 是母体方差D X 的无偏估计().=1(1)X；(2)X；(3)V；(4)V；(5)X.二、(2 0 分)设 A、B、C 是。中的随机事件，将下列事件用A、B、C 表示出来 仅 A 发生，B、C 都不发生；A,B,C中至少有两个发生；A,B,C中不多于两个发生；A R C 中恰有两个发生；A,B,C中至多有一个发生。解(1)A B C(2)AB (J A C|jB C 或 AB C UA B QJX B C；(3)X u B|jC或A B C|j A B C u A B C u A B C u

50、 A B C U和C|J犯C；(4)AB C|J AB CJA B C.(5)询j AC|j B C或 A BQJ A BQI Z B C三、(1 5分)把 长 为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率解 设A=三段可构成三角形，又三段的长分别为x,y,a,-x-y,则0 x a,0 y a,0 x+y a,不等式构成平面域S-5分一，八 a 八 a aA发生。0cx 0 y _ x+y a2 2 2不等式确定S的子域A,-i o分所以R A)=%的 面 积=J _ .-i 5 分S的 面 积4吗(1 0 分)已知离散型随机变量X 的分布列为X-2 -1 0 1 3P1 1 1 1 1