5年高考题、3年模拟题分类汇编2.pdf

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1、第 二 节 圆 锥 曲 线 第 一 部 分 五 年 高 考 荟 萃 2009年 高 考 题 2 0 0 9年 高 考 数 学 试 题 分 类 汇 编 圆 锥 曲 线 一、选 择 题 V-2 V21.（2009全 国 卷 I理）设 双 曲 线 r-=l（a0,b0）的 渐 近 线 与 抛 物 线 y=x，l相 切，a b则 该 双 曲 线 的 离 心 率 等 于（）A.V3 B.2 C.V5 D.V6【解 析】设 切 点 尸“0，%），则 切 线 的 斜 率 为 y lx=%=2xo.由 题 意 有&=2%又=x02+1%解 得：x02=1,.,.=2,e=+（）2=V5.【答 案】C2.（20

2、09全 国 卷 I理）已 知 椭 圆 C:万+y2=1 的 右 焦 点 为 F,右 准 线 为/，点 A e/,线 段 A F 交 C 于 点 B,若 丽=3而，则|丽=（）A.V2 B.2 C.也 D.3 解 析 过 点 B 作 5 M _L/于 M,并 设 右 准 线 I与 X轴 的 交 点 为 N,易 知 FN=1.山 题 意 西=3而,故|=g.又 由 椭 圆 的 第 二 定 义，得|6尸|=#彳=*：.|A F|=J L 故 选 A【答 案】A/v23.（2009浙 江 理）过 双 曲 线 一 r二=1（。0/0）的 右 顶 点 4 作 斜 率 为-1的 直 线，该 直 a b 1

3、线 与 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 的 交 点 分 别 为 8,。,若 A B=B C,则 双 曲 线 的 离 心 率 是（）2A.V2 B.V3 C.V5 D.V10【解 析】对 于 A(o,0),则 直 线 方 程 为 冗+丁-。=0,直 线 与 两 渐 近 线 的 交 点 为 B,C,(a1 ah)a2 a h、一 B-,C(-则 I 有(Q+Z?a+bJ a-b a-b前=(/乂 义 2),而/-也,也,因 2通=比,.4/=从=6a2-h2 a2-b2 I a+b a+b)【答 案】C4.(2009浙 江 文)已 知 椭 圆 x2二+v 42=1(a 6 0)的 左 焦 点

4、为 尸，右 顶 点 为 A,点 8 在 椭 圆 上，且 5F_Lx轴,直 线 A B 交 y 轴 于 点 P.若 而=2而，则 椭 圆 的 离 心 率 是 A 3 口 近 B.-1 1C.-D.一 2 2 3 2【解 析】对 于 椭 圆，因 为 而=2而，则 O A：=2OF,a=2c,:.e=2【答 案】D5.(2009北 京 理)点 P 在 直 线/:y=x-1上，若 存 在 过 P 的 直 线 交 抛 物 线 y=X?于 4 1 两 点，且|PA=AB,则 称 点 P 为“X 点”，那 么 下 列 结 论 中 正 确 的 是()A.直 线/上 的 所 有 点 都 是“力 点”B.直 线/

5、上 仅 有 有 限 个 点 是“，嫉 点”C.直 线/上 的 所 有 点 都 不 是“，嫉 点”D.直 线/上 有 无 穷 多 个 点(点 不 是 所 有 的 点)是 点”【解 析】本 题 主 要 考 查 阅 读 与 理 解、信 息 迁 移 以 解 决 问 题 的 能 力.属 于 创 新 题 型.本 题 采 作 数 形 结 合 法 易 于 求 解，如 图，则 B(2m x,2/?-x-2),*.*A,8在 y=x2_t,及 学 生 的 学 习 潜 力,考 查 学 生 分 析 问 题 和 0 x/n-m2-x+1=(2m-x)2消 去，整 理 得 关 于 x 的 方 程 x2-（4/n-l）x+

6、2 m 2-1=0（1）/A=（4 m-I）2-4（2加 2-1）=8加 2-8机+5 0恒 成 立,二 方 程（1）恒 有 实 数 解，,应 选 A.【答 案】A6.（2009山 东 卷 理）设 双 曲 线 j 4=l的 一 条 渐 近 线 与 抛 物 线 尸？+1 只 有 一 个 公 共 点,a2 h2则 双 曲 线 的 离 心 率 为（）.A.-B.5 C.-D.y/54 2【解 析】双 曲 线 0-=1的 一 条 渐 近 线 为 y=由 方 程 组 1 y aX，消 去 y,得 a b a 2,iy=x+12 x+i=o 有 唯 一 解，所 以=（2）24=0,2 b _ c a+b

7、L,b、飞 匚“3所 以 一=2,e=-=.11+()-=V 5，故 选 D.a a a a【答 案】D【命 题 立 意】：本 题 考 查 了 双 曲 线 的 渐 近 线 的 方 程 和 离 心 率 的 概 念，以 及 直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系，只 有 一 个 公 共 点,则 解 方 程 组 有 唯 一 解.本 题 较 好 地 考 查 了 基 本 概 念 基 本 方 法 和 基 本 技 能.7.（2009山 东 卷 文）设 斜 率 为 2 的 直 线/过 抛 物 线 y2=ax（*0）的 焦 点 F,且 和 y 轴 交 于 点 4,若。4尸（。为 坐 标 原 点）的 面 积

8、为 4,则 抛 物 线 方 程 为（）.A.y2=4x B.y2=Sx C.y2=4x D.y2=8x【解 析】抛 物 线 y 2=（。工 0）的 焦 点/坐 标 为（3,0）,则 直 线/的 方 程 为=2（%-4）,4 4它 与 y 轴 的 交 点 为 A（0,-,，所 以 OAF的 面 积 为 g|夕.|夕=4,解 得。=8.所 以 抛 物 线 方 程 为 9=8,故 选 B.【答 案】B【命 题 立 意】：本 题 考 查 了 抛 物 线 的 标 准 方 程 和 焦 点 坐 标 以 及 直 线 的 点 斜 式 方 程 和 三 角 形 面积 的 计 算.考 查 数 形 结 合 的 数 学

9、思 想，其 中 还 隐 含 着 分 类 讨 论 的 思 想,因 参 数。的 符 号 不 定 而 引 发 的 抛 物 线 开 口 方 向 的 不 定 以 及 焦 点 位 置 的 相 应 变 化 有 两 种 情 况，这 里 加 绝 对 值 号 可 以 做 到 合 二 为 一.8.（2009全 国 卷 n 文）双 曲 线 2-=1 的 渐 近 线 与 圆（x 3）2+V=厂 2任 0）相 切，6 3则 广（）A.V3 B.2 C.3 D.6【解 析】本 题 考 查 双 曲 线 性 质 及 圆 的 切 线 知 识，由 圆 心 到 渐 近 线 的 距 离 等 于 r,可 求 尸【答 案】A9.（2009

10、全 国 卷 II文）已 知 直 线=M x+2）（火 0）与 抛 物 线 C:y2=8 x 相 交 力、8 两 点,|必|=21五 同 及 第 二 定 义 知/+2=2（4+2）联 立 方 程 用 根 与 系 数 关 系 可 求 k=尸 为 C 的 焦 点。若|E4=2 忻 阳,则 Q()1 V2A.-B.3 3C 2 D巫 3 3【解 析】本 题 考 查 抛 物 线 的 第 二 定 义，由 直 线 方 程 知 直 线 过 定 点 即 抛 物 线 焦 点（2,0）,由【答 案】D1 0.（2009安 徽 卷 理）下 列 曲 线 中 离 心 率 为 理 的 是 2A.-21=1 BX-Z=I C

11、._ f=D._=12 4 4 2 4 6 4 10【解 析】由 6=V 6V得 弓=|，1+!3 H 1、八 一，丁=一，选 B.2 a2 2【答 案】B11.（2009福 建 卷 文）若 双 曲 线 一 斗=l（a o）的 离 心 率 为 2,则 a 等 于（）a 33A.2 B.6 C.-D.12【解 析】由 乌-二=1可 知 虚 轴 b=V,而 离 心 率 e 扬+3=2,解 得 a=l或 a 3 a aa=3,参 照 选 项 知 而 应 选 D.【答 案】D j-12.（2009安 徽 卷 文）下 列 曲 线 中 离 心 率 为 的 字 是（.（）.=1 W.J i W.=1A.2

12、4 B 4 2 c.4 6 D.4 10【解 析】依 据 双 曲 线 与 一 二=1的 离 心 率 e=可 判 断 得.e=$=逅.选 B。a2 b a a 2【答 案】BX y213.（2009江 西 卷 文）设 片 和 工 为 双 曲 线-彳=1（a 0/0）的 两 个 焦 点，若 耳，居,a bP（0,2。）是 正 三 角 形 的 三 个 顶 点,则 双 曲 线 的 离 心 率 为 3 c 5A.-B.2 C.-D.32 2【解 析】由 tan工=s=也 有 3c2=4b2=4（。？/）,则 6=2,故 选 B.6 2b 3 a【答 案】B2 214.（2009江 西 卷 理）过 椭 圆

13、，+=1（。人 0）的 左 焦 点 与 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 点 a bP，%为 右 焦 点，若/P 用=60,则 椭 圆 的 离 心 率 为,V2A.-B GC.-1D.-2 3 2 3【解 析】因 为 P（c,土 也），再 由=60有 丝=2a,从 而 可 得 0=正，故 选 Ba a a 3【答 案】B2 215.（2009天 津 卷 文）设 双 曲 线 二 一 二=1（。0/0）的 虚 轴 长 为 2,焦 距 为 2百，则 a b双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为（）I y 2.1A.y=j2x B.y=2x C.y=-x D.y=x【解 析】由 已 知 得 到

14、b=l,c=/=啦,因 为 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上，故 渐 h5近 线 方 程 为 丁=/元=芋 元【答 案】C【考 点 定 位】本 试 题 主 要 考 查 了 双 曲 线 的 几 何 性 质 和 运 用。考 察 了 同 学 们 的 运 算 能 力 和 推 理 能 力。2 2 2 216.（2009湖 北 卷 理）已 知 双 曲 线 土-匕=1 的 准 线 过 椭 圆 上+与=1 的 焦 点，则 直 线 2 2y=履+2 与 椭 圆 至 多 有 一 个 交 点 的 充 要 条 件 是（A.K C.K e【解 析】易 得 准 线 方 程 是 彳=2=1b 2所 以=4-=1 即/

15、=3 所 以 方 程 是 工+工=1联 立 y=h+2 可 得 33+（41）的 左、右 焦 点 分 别 是 耳、F2,其 一 条 渐 近 线 方 程 为 y=x,点 2（省,九）在 双 曲 线 上 测 所 玩=（）A.12 B.-2 C.0【解 析】由 渐 近 线 方 程 为 y=x 知 双 曲 线 是 等 轴 双 曲 线，.双 曲 线 方 程 是 彳 2-丁=2,于 是 两 焦 点 坐 标 分 别 是（一 2,0）和（2,0）,且 P（四,1）或 P（心 1）.不 妨 去 则 丽=（-2-百 1）,P=（2-V3,-l）.丽 丽=（-2-7 3-1）（2-V 3-1）=-（2+73）（2-

16、7 3）+1=0【答 案】C18.（2009全 国 卷 H 理）已 知 直 线 丁=A（+2）伙 0）与 抛 物 线。：、2=8 相 交 于 4 B 两 点，F 为 C 的 焦 点，若|E4|=2|EB|,则 女=（）272【解 析】设 抛 物 线 C：V=8 尤 的 准 线 为/:x=-2直 线 y=M x+2)(A0)恒 过 定 点 P(2,0).如 图 过 4 B分 别 作 A M _U 于 M JJ 于 N,由|E4|=2|EB|,则|A M|=2|B N|,点 B 为 A P 的 中 点.连 结 O B，则|。研=；|,.|OB|=|BF|点 B 的 横 坐 标 为 1,故 点 5

17、的 坐 标 为(1,2.)=20 一 0=,故 选 D.1-(-2)3【答 案】D2 219.(2009全 国 卷 H 理)已 知 双 曲 线 C：0-白=1(。0/0)的 右 焦 点 为 尸，过 尸 且 斜 率 为 g 的 直 线 交 C 于 A、B 两 点，若 而=4 而，则 C 的 离 心 率 为()6 妨 7 5、9A.-B.-C.-D.一 5 5 8 5【解 析】设 双 曲 线 C：)r2一 与 v2=1 的 右 准 线 为/，过 A、B 分 别 作 A M 于 M,BN J J 于 a bN,8。_L A M 于。，山 直 线 A B 的 斜 率 为 G,知 直 线 A B 的 倾

18、 斜 角 60 N B A D=60。,|A O|=；|,由 双 曲 线 的 第 二 定 义 有 1 1 1 一 一.A M-BN|=|A D|=-(|A F|-1 F B|)=-1 A B|=-(|A F|+1 FB|).e 2 2 1 5 6又 A b=4.一 3 1/8|=一|户 方|.e=一.e 2 5【答 案】A20.(2009湖 南 卷 文)抛 物 线 y2=-8x的 焦 点 坐 标 是()A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)【解 析】由 V=-8 x,易 知 焦 点 坐 标 是(3 0)=(-2,0),故 选 B.【答 案】B2 221.(2009宁 夏

19、海 南 卷 理)双 曲 线 上-2-=1 的 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 为()4 12A.2 G B.2 C.y/3 D.lX2 y2 r 13 x 4-o|【解 析】双 曲 线 亍-台=1的 焦 点（4,0）到 渐 近 线=瓜 的 距 离 为 d=-一-=2 6【答 案】A22.（2009陕 西 卷 文）“m 0”是“方 程 机 X?+盯 2=1”表 示 焦 点 在 y轴 上 的 椭 圆，的 A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 2 2【解 析】将 方 程 加/+），2=1转 化 为

20、f+、_=,根 据 椭 圆 的 定 义，要 使 焦 点 在 y 轴 上 必 m n须 满 足 上 0 0,所 以 m n n m【答 案】C2 223.（2009全 国 卷 I文）设 双 曲 线 亍 一 方=l（a0,b0）的 渐 近 线 与 抛 物 线 y=x?+l相 切，则 该 双 曲 线 的 离 心 率 等 于（）A.V3 B.2 C.V5 D.V6 bx【解 析】由 题 双 曲 线 与 一 3=1（。0,b0）的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y=,代 入 抛 物 线 方 程 整 理 得 好：一 加+。=0,因 渐 近 线 与 抛 物 线 相 切，所 以 从 一 加 2=0,即 c2

21、=5a2 0 e=Vs,故 选 择 C.【答 案】C2 2 2 224.（2009湖 北 卷 文）已 知 双 曲 线 二 一 二 二 1的 准 线 经 过 椭 圆 士+3=1 0）的 焦 点，则 2 2 4 b2b=（）A.3 B.y/5 C.V3 D.VI2 _【解 析】可 得 双 曲 线 的 准 线 为 x=1,又 因 为 椭 圆 焦 点 为（J I*0）所 以 有 C“-从=1.即 代 3 故 炉 百.故 C.【答 案】C27.（2009天 津 卷 理）设 抛 物 线 V=2 x 的 焦 点 为 F,过 点 M（0，0）的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于 A,8 两 点,与 抛 物

22、线 的 准 线 相 交 于 C,忸 日=2,则 B C F 与 A C F 的 面 积 之 比 二 二=（）SACF又 I BF 1=x1 3B4=2=-V32 2由 A、8、M 三 点 共 线 有 上 也 二 XM-XA“M-“3 V3-xA万 一。故 工 4=2,.9 口=丸 山=土 乂=3,故 选 择 A。S.e r 2*A+1 4+1 5【答 案】A28.（2009四 川 卷 理）已 知 直 线 4:4x-3y+6=0 和 直 线 4：x=-l，抛 物 线 V=4 x 上 一)37D.16动 点 P 到 直 线 4 和 直 线 4 的 距 离 之 和 的 最 小 值 是（11A.2 B

23、.3 C.5【考 点 定 位】本 小 题 考 查 抛 物 线 的 定 义、点 到 直 线 的 距 离，综 合 题。【解 析 I】直 线/2：x=-l为 抛 物 线 y 2=4 x 的 准 线，由 抛 物线 的 定 义 知，夕 到 人 的 距 离 等 于 夕 到 抛 物 线 的 焦 点 b（L0）的 距 离，故 本 题 化 为 在 抛 物 线 V=4x 上 找 个 点 P 使 得 P 到 点 歹（1,0）和 直 线 乙 的 距 离 之 和 最 小，最 小 值 为 歹（1,0）到 直 14-0+61线 4：4尤 一 3），+6=0 的 距 离，即 dmin=-=2,故 选 择 A。【解 析 2】如

24、 图，由 题 意 可 知 d=%i+61=2S+42【答 案】A二、填 空 题 29.（2009宁 夏 海 南 卷 理）设 已 知 抛 物 线 C 的 顶 点 在 坐 标 原 点，焦 点 为 F（l,0）,直 线/与 抛 物 线 C 相 交 于 A，B 两 点。若 A B 的 中 点 为（2,2）,则 直 线/的 方 程 为.【解 析】抛 物 线 的 方 程 为 2=4x,f y2=4x4（芯,凹）,8（,必）,则 有 玉*2，（；两 式 相 减 得，N 4=4（x x,）,.江*_=一=1玉 一 超,+2 直 线 1的 方 程 为 y-2=x-2,即 y=x【答 案】尸 X2 y230.（2

25、009重 庆 卷 文、理）已 知 椭 圆 j+=l（a b 0）的 左、右 焦 点 分 别 为 a ba c片（-C,O），B（C,O）,若 椭 圆 上 存 在 一 点 尸 使-=-,则 该 椭 圆 的 离 心 率 的 sin PFyF2 sin PF2FX取 值 范 围 为【解 析 1】因 为 在 尸 片 鸟 中，由 正 弦 定 理 得 尸 二 二 P sin PFF2 sin PF2F则 由 已 知，得 3=上，即 E=cPF,r PF r2 r PF r设 点（玉）,%）由 焦 点 半 径 公 式，得 尸 片=a+eXo，PF?=。-0%则。（+6/）=（?（。一”：0）记 得 x0=/

26、二 D 由 椭 圆 的 几 何 性 质 知 X。则 叱 a a,整 理 得 e（c-a）e（e+l）e（e+l）2+2e 1 0,解 得 e-V2 1或 e 亚 1,又 e e(0,1)，故 椭 圆 的 离 心 率 e e(0 1,1)【解 析 2】由 解 析 1知 P=尸 工 由 椭 圆 的 定 义 知 ac 2 a 2夕”+尸 巴=2。则 一 户 尸 2+?居=2 即 尸 居=，山 椭 圆 的 几 何 性 质 知 a c+a2P 8 a+c,则 幺 一 0,所 以 e?+2e 1 0,以 下 同 解 析 1.c+a【答 案】（夜-1,1）31.（2009北 京 文、理）椭 圆 土+匕=1的

27、 焦 点 为 工，点 P 在 椭 圆 上，若|PFJ=4,9 2则|P 8|=；尸 入 的 大 小 为.【解 析】本 题 主 要 考 查 椭 圆 的 定 义、焦 点、长 轴、短 轴、焦 距 之 间 的 关 系 以 及 余 弦 定 理.属 于 基 础 知 识、基 本 运 算 的 考 查.a2=9,b2=3,c-yja2 b 9 2=V 7,.闺 周=2疗,又|PH|=4,|P周+|PB|=2a=6,.1P周 22+42-(277?1又 由 余 弦 定 理，得 cos ZFiPF2=-L=2x2x4 2/6 2 工=120,故 应 填 2,120.32.（2009广 东 卷 理）巳 知 椭 圆 G

28、 的 中 心 在 坐 标 原 点，长 轴 在 x 轴 上，离 心 率 为 立，2且 G 上 一 点 到 G 的 两 个 焦 点 的 距 离 之 和 为 12,则 椭 圆 G 的 方 程 为 同 2 2【解 析】e=Y2,2a=12,a=6,b=3,则 所 求 椭 圆 方 程 为 二+二=1.2 36 92 2【答 案】二+=136 933.（2009四 川 卷 文）抛 物 线 y2=4x的 焦 点 到 准 线 的 距 离 是.【解 析】焦 点 产（1,0）,准 线 方 程 犬=-1,.焦 点 到 准 线 的 距 离 是 2.【答 案】2v.2 234.（2009湖 南 卷 文）过 双 曲 线

29、C：一，=1（4 0,。0）的 一 个 焦 点 作 圆/+2=/a b的 两 条 切 线，切 点 分 别 为 4 B,若/4。8=120（。是 坐 标 原 点），则 双 曲 线 线 C 的 离 心 率 为 _t【解 析】Z A 0 5=120 n Z/1O F=60 n Z A P。=30 n c=2 a e=2.a【答 案】235.（2 0 0 9福 建 卷 理）过 抛 物 线/=2Px（p 0）的 焦 点 尸 作 倾 斜 角 为 4 5 的 直 线 交 抛 物 线 于 A、B 两 点，若 线 段 4 8 的 长 为 8,则=【解 析】由 题 意 可 知 过 焦 点 的 直 线 方 程 为

30、y=x-,联 立 有 2y2=2 px 2 _ I 2=联 立 方 程 组，消 去 y,得：x2kx0,X,+x2 k2 X 2,故 y 2=4 x.【答 案】y 2=4 x38.（2009湖 南 卷 理）已 知 以 双 曲 线 C 的 两 个 焦 点 及 虚 轴 的 两 个 端 点 为 原 点 的 四 边 形 中，有 一 个 内 角 为 60,则 双 曲 线 C 的 离 心 率 为,【解 析】连 虚 轴 一 个 端 点、一 个 焦 点 及 原 点 的 三 角 形，由 条 件 知，这 个 三 角 形 的 两 边 直 角 分 别 是 b,c（b 是 虚 半 轴 长，c 是 焦 半 距），且 一

31、个 内 角 是 3 0,即 得 2=ta n 3 0,所 以 c=技，C所 以 a=离 心 率 e=3=a V2 2【答 案】2r2 V239.（2009年 上 海 卷 理）已 知 甚、乃 是 椭 圆。：=+彳=1（a b 0）的 两 个 焦 点，Pa b为 椭 圆 C 上 一 点，且 丽，虫.若 公 巴”2的 面 积 为 9，则 b=.I P K I+I P B t 2a【解 析】依 题 意，有|2 尸 2 1=18，可 得 4c2+3 6=4/，即/一,2=9,J PF,2+PF22 4 C2故 有 b=3。【答 案】3三、解 答 题 40.（2009年 广 东 卷 文）（本 小 题 满

32、分 14分）已 知 椭 圆 G 的 中 心 在 坐 标 原 点,长 轴 在 x 轴 上，离 心 率 为 母，两 个 焦 点 分 别 为 和 工，椭 圆 G上 一 点 到 6 和 F2的 距 离 之 和 为 12.圆：/+丁+2Ax 4y-21=0 伏 w R）的 圆 心 为 点 求 椭 圆 G 的 方 程 求 片 工 的 面 积 问 是 否 存 在 圆 G 包 围 椭 圆 G?请 说 明 理 由.解（1）设 椭 圆 G 的 方 程 为：=+4=1（。匕 0）半 焦 距 为 c;a h2a 12 r/=6、贝 M e G,解 得 厂，./=。2 _。2=3 6 27=9=c=332所 求 椭 圆

33、 G 的 方 程 为：二+二=1.36 9（2）点 儿 的 坐 标 为（K,2）5V F,F2=|X F,F2X 2=1 X 6 V 3 X 2=6V3（3）若 女 2 0,由 62+02+12K 0 21=15+12K 0 可 知 点（6,0）在 圆 G.外，若 2 0 可 知 点（-6,0）在 圆 Q 外;不 论 K 为 何 值 圆 Ck都 不 能 包 围 椭 圆 G.41.（2009浙 江 理）（本 题 满 分 15分）2 2已 知 椭 圆 G：与+=1（。6 0）的 右 顶 点 为 4（1,0）,过 G 的 焦 点 且 垂 直 长 轴 的 弦 a b长 为 1.（I）求 椭 圆 的 方

34、 程；（II）设 点 P 在 抛 物 线 G：y x2+h（h e R）k,。2在 点 尸 处 的 切 线 与 G 交 于 点 M,N.当 线 段 A P 的 中 点 与 M N 的 中 点 的 横 坐 标 相 等 时，求 Zi的 最 小 值.b=1 f n 2解（I）由 题 意 得 4 b2 a=2，所 求 的 椭 圆 方 程 为 v.2=1 b=l 4.a（II）不 妨 设”（和 弘）川（,2），。，/+人），则 抛 物 线。2在 点 P 处 的 切 线 斜 率 为 yx=l=2t,直 线 M N 的 方 程 为 y=2fx-+力，将 上 式 代 入 椭 圆 Q 的 方 程 中，得 4x2

35、+（2tx-r+h）2-4=0,即 4（1+/）/一 4f（/一 力 口+（/一 力 一 4=。，因 为 直 线 M N 与 椭 圆 G 有 两 个 不 同 的 交 点，所 以 有 4=16-f4+2（/z+2）r-/i2+40,设 线 段 M N 的 中 点 的 横 坐 标 是 七，则 与=上 土 区=2 2噂（1-T，I t）设 线 段 M 的 中 点 的 横 坐 标 是 X4,则=（，由 题 意 得 七=/，即 有/+（1+/2），+1=0,其 中 的 42=（1+力）2-40,，/121或%4 3；当 一 3 时 有/?+20,4/0 不 成 立；因 此/?21,当 G=1时 代 入

36、方 程+（+力+1=0 得，=一 1,将=1/=1代 入 不等 式 A=16，+2(/I+2)*W+4 O成 立,因 此 九 的 最 小 值 为 1.42.(2009浙 江 文)(本 题 满 分 15分)17已 知 抛 物 线 C：X2=2py(p 0)上 一 点 4 加,4)到 其 焦 点 的 距 离 为 一.4(I)求 与 m 的 值；(I I)设 抛 物 线 C 上 一 点 P 的 横 坐 标 为 f。0),过 尸 的 直 线 交。于 另 一 点。，交 x 轴 于 点 M,过 点 Q 作 P Q 的 垂 线 交 C 于 另 一 点 N.若 M N 是 C 的 切 线，求 t的 最 小 值

37、.解(I)由 抛 物 线 方 程 得 其 准 线 方 程：=-，根 据 抛 物 线 定 义 点 4)到 焦 点 的 距 离 等 于 它 到 准 线 的 距 离，即 4+畀 g 解 得 p 抛 物 线 方 程 为：/=，将 A(m,4)代 入 抛 物 线 方 程，解 得 机=2(I I)由 题 意 知，过 点 尸 的 直 线 尸。斜 率 存 在 且 不 为 0,设 其 为 上。.2.1.2.1.则/po：y 当 y=0,x=_,则 M(一,0)。k k联 立 方 程 整 理 得：x2-kx+t(k-t)=Ox=y即：(x-t)x-(Z：-r)=0,解 得 x=，或 x=Q(k-t,(k-t)2)

38、,而 Q N L Q P,.直 线 NQ 斜 率 为 工 k整 理 得：X2+x-(k-t)-(k-t)2=0,即：kx2+x-(k-t)k(k-t)+lOk kkx+k(k-t)+lx-(k-t)O,解 得：.=_ 0(J 1,或=_/k,N(H k T)+l 卜 伙 T)+l k k伙(I)+l2.K=H_,(-+1)2NM _ k(J)+l-t2+kt-k(t2-k2-Y)k k而 抛 物 线 在 点 N 处 切 线 斜 率：切=y*（火-，）+1-2 k（k-t）-2F l J J J.U/J-A Z 1.n Z J-kt+1）2k（k f）2M N是 抛 物 线 的 切 线，J 1

39、一=-，k（t2-k2-l）k整 理 得 r+成+1-2/=02 7 2v A=r2-4（l-2 r2）o,解 得 t v（舍 去），或.mm=43.（2009北 京 文）（本 小 题 共 14分）已 知 双 曲 线 C:二 一 二=1（。0力 0）的 离 心 率 为 V3,右 准 线 方 程 为 x=.a b 3（I）求 双 曲 线 C 的 方 程；（H）已 知 直 线 x y+机=0 与 双 曲 线 C 交 于 不 同 的 两 点 A,B,且 线 段 A 8 的 中 点 在 圆/+y2=5 上，求 机 的 值.【解 析】本 题 主 要 考 查 双 曲 线 的 标 准 方 程、圆 的 切 线

40、 方 程 等 基 础 知 识，考 查 曲 线 和 方 程 的 关 系 等 解 析 几 何 的 基 本 思 想 方 法，考 查 推 理、运 算 能 力.4=在 解（1）由 题 意，得 1 0 3,解 得 a=l,c=J J,av2=C?/=2,所 求 双 曲 线 C 的 方 程 为 一 一 2 _ 二 1.2（I I）设 A、8 两 点 的 坐 标 分 别 为（,必）,（工 2，%），线 段 A 3的 中 点 为 M（%,/）,由 f 上=12-得 一 一 2mx/2=0（判 别 式（）,x+y+m=0.X.+X2 c x0-2/y o xo+m 2?，.点”（X。，）在 圆 2+y2=5 上，

41、m2+（2 6=5,./”=1.44.（2009北 京 理）（本 小 题 共 14分）X2已 知 双 曲 线 C:二 ay2=1伍 0/0）的 离 心 率 为 百，右 准 线 方 程 为 x=等（I）求 双 曲 线 C 的 方 程；（I I）设 直 线/是 圆。：/+2=2上 动 点 2（与,%）（入 0%。0）处 的 切 线，/与 双 曲 线。交 于 不 同 的 两 点 A,6,证 明 N A 0 8的 大 小 为 定 值.【解 法 1】本 题 主 要 考 查 双 曲 线 的 标 准 方 程、圆 的 切 线 方 程 等 基 础 知 识，考 查 曲 线 和 方 程 的 关 系 等 解 析 几

42、何 的 基 本 思 想 方 法，考 查 推 理、运 算 能 力.（I）由 题 意，得 且=也 c 3,解 得 4=1,。=百=6a：.h2=。2 _/=2,.所 求 双 曲 线。的 方 程 为 一 _2=1.2（I I）点 2（/，比 乂*。/）在 圆/+）2=2上,圆 在 点 尸（%,%）处 的 切 线 方 程 为 丫 一 为（x-X o）,化 简 得 X o X+%y=2.f 上=i,.,由.2 及+=2 得（3x；-4*一 4xx+8-2 x；=0,*0%+%）=2.切 线/与 双 曲 线 C交 于 不 同 的 两 点 A、B,月.0（片 2,A3XQ-40,且 3=16%-4（3,-4

43、）（8-2年）0,设 A、B两 点 的 坐 标 分 别 为，贝 i j,M+X）=-4xn,x,x.-8-z,-3 x-4 2 3x-4./.c*OA OB 口 cosNA08.,且 OA-OB=x1x2+必 必=xix2+（2-XOX1）（2-XOX2）,玉+7 T 4-2x0（X|+x2）+X；玉 2 一%=8-2 片+1 L 8片 片（8-2引 3x；4 2-xj 3Xg 4 3x（4二-2 x；8-2史 3xg 4 3XQ 4Z 4。8 的 大 小 为 90.【解 法 2】（I）同 解 法 1.（I I）点 尸（工 0，0）（入 0%/0）在 圆%?+y2=2 上,圆 在 点 尸（入

44、0，0）处 的 切 线 方 程 为 y-凡=（x-x0）,X2 _ Z=1化 简 得 x0 x+%y=2.由，2-及 片+巾=2 得 xQx+y0y 2（3x；-4）r-4x0 x+8-2芯=0（3x；-4）y 2 _ 8%x-8+2x；=0.切 线/与 双 曲 线 C 交 于 不 同 的 两 点 A、B,月.0 x：2,.3片 一 4 力 0,设 A、B 两 点 的 坐 标 分 别 为（,弘）,（,），则 XX28 2x3 2 腐 8OA-OB=xtx2+yty2=0,NAQB 的 大 小 为 90.（；x；+y：=2 且*0,，0 x：2,0 y；0）的 直 线 交 抛 物 线 C 于。、

45、E 两 点，ME=2DM,记。和 E 两 点 间 的 距 离 为/（m）,求/（加）关 于 机 的 表 达 式。（第 22题 图）解：(1)由 庖 意，可 设 抛 物 线。的 标 准 方 程 为，=2 p x因 为 点 A(2.2)在 抛 物 线 C 上,所 以 p=1.因 此，抛 物 残 C 的 标 准 方 程 为 y2=lx.(2)由(1)可 得 焦 点 F 的 坐 标 是(；.0),又 直 线 0 A 的 斜 率 为 T=1.故 与 直 线。1垂 直 的 直 线 的 斜 率 为-1.因 此,所 求 直 线 的 方 程 是 x+y-十=0.(3)解 法 一：设 点。和 E的 坐 标 分 别

46、 为(斫”1)和(七.打),直 线。的 方 程 是 y=k(x-m).w a 将 x=+m 代 人 尸=上,有 4-2 y-2 h n=0,解 得“=由 ME=2DM知 1+/I+2m A:=2(/1 不 工-1).化 简 得 犬=人.因 此 m=(*t-x,)1+(y,-y,)2=(1+3)(力-力 尸=(*+F)l=T(m+4m).所 以/(m)=+4m(m 0).解 法 二：设。令，s),E(y,1).由 点 M(m.O)及 证=2 而 得 4?-m=2(m-y)t I-0=2(0-s).因 此，=-2 itm=.所 以/(m)=DE=/(2 J2-(-2i-3)2=m3+4m(m 0)

47、.、-246.(2009山 东 卷 理)(本 小 题 满 分 14分)2 2设 椭 圆 E:J+2r=1(力 0)过 M(2,V2),N(遍,1)两 点，O 为 坐 标 原 点，a b(I)求 椭 圆 E 的 方 程；(I I)是 否 存 在 圆 心 在 原 点 的 圆，使 得 该 圆 的 任 意 一 条 切 线 与 椭 圆 E 恒 有 两 个 交 点 A,8,且 苏，无？若 存 在，写 出 该 圆 的 方 程，并 求 M B|的 取 值 范 围，若 不 存 在 说 明 理 由。x2 y2 广 解：(1)因 为 椭 圆 E:+=1(a,b 0)过 M(2,V2)a h以 所,N(瓜 1)两 点

48、,4，2=解 得=1F1FT+76一 2aY 8 所 以.1 1IF=4/=，一 8椭 圆 E 的 方 程 为 r土 2+v匕 2=1=4 8 4(2)假 设 存 在 圆 心 在 原 点 的 圆，使 得 该 圆 的 任 意 一 条 切 线 与 椭 圆 E 恒 有 两 个 交 点 A,8,且OA 1 O B，设 该 圆 的 切 线 方 程 为 ykx+m 解 方 程 组 y=kx+mx2 y2 得 x2+2(kx+m)2=8,+=18 4即(1+2%2+4kmx+2m2-8=0,则=16/一 直+2/)(2相 2-8)=8(8/-m2+4)0，即 8二 一 M？+4 0玉+工 2=4km1+2k

49、2xx2=2/n2-81+2k2yx y2=(kx+m)(kx2+m)=k2xx2+km(xi+x2)+m1A:2(2m2-8)1+2公 4k2 m21+2公 2+mm2-Sk21+2公 要 使 况 J_无，需 使 玉+）1%=，即 2m2-8 m2-Sk21+2-+1+2/=0,所 以 3机 2 8/一 8=0,所 以 k23/7 2 _o-0 又 8/册 2+40,所 以 48 晨,所 以 Y，即 加 考 或 2r“2 4-黄，因 为 直 线=履+用 为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线，所 以 圆 的 半 径 为 mT 7 P2=0T=一 生 一=-,r=，所 求 的 圆

50、为 x2+/=-，此 时 圆 的 切+kz,3m2-8 3 3 31+-8线 丁=乙+用 都 满 足 机 2 城 或 用 4-亚，而 当 切 线 的 斜 率 不 存 在 时 切 线 为 x=城 3 3 3与 椭 圆 江+广=1的 两 个 交 点 为（亚,3鸟 或（-亚,冬 鸟 满 足 _L无，综 上,8 4 3 3 3 3,0 8存 在 圆 心 在 原 点 的 圆 f+y2=一，使 得 该 圆 的 任 意 一 条 切 线 与 椭 圆 E 恒 有 两 个 交 点 A,8,且 30AL0B.X1+x2因 为 4km-1+2/2/一 81+2产所 以（王 一 工 2）2=（玉+）2 4不 工 2=（