浅淡中学数学中最值的求解大学毕业论文.docx

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1、本科毕业论文（设计） 题 目： 浅淡中学数学中最值的求解 学 生： 姚雪飞 学号： 201140510448 学 院： 数学与统计学院 专业： 数学与应用数学 入学时间： 2011 年 09 月 15 日指导教师： 汪会玲 职称： 讲师 完成日期： 2015 年 03 月 20 日诚 信 承 诺 我谨在此承诺：本人所写的毕业论文浅淡中学数学中最值的求解均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。 承诺人（签名）： 年 月 日 浅淡中学数学中最值的求解摘要: 最值问题在中学数学中的涉及较广，应用范围较大，难度有难有易，利用最值的求解方法能够更

2、简洁清晰地解决一些问题，但也会有一定的难度。本文介绍了12种求解的方法,其中二次函数法和判别式法是中学范围内最常用的求最值问题的方法，将它们拓展开来的不等式法、代换法还有几何法也是在考试中较常见的考察知识点，另外更深层次的导数法、复数法，等等，是讲高中内容与大学内容接轨,希望这些内容能在中学数学范围内对关于求解最值的问题有一些小的帮助. 关键词: 最大值；最小值;极值；解法；定义域The most value of solving shallow light middle school mathematicsAbstract: the most value problems widely in

3、volved in the middle school mathematics application scope is larger, the difficulty trouble easily, using the value solution method can resolve some problems more concise and clear, but also has the certain difficulty. 12 kinds of solving methods were introduced in this paper, the quadratic function

4、 method and discriminant method is a high school within the scope of the most commonly used to get the most value problem, they are broadening the inequality (lmi) method, substitution method and geometry method is also more common in the examination of knowledge points, the other at a deeper level

5、of derivative method, the complex method, and so on, is about high school content and content of the university community, hope these content can within the scope of the middle school mathematics about solving the most value problem with a little help.Key words: The maximum; The minimum value; The e

6、xtreme; Solutions；domain目 录1 引言12 最值定义的基本知识13 中学数学中常见的最值问题及解决方法13.1 二次函数求解法13.2 导数求解法23.3 判别式求解法23.4 不等式求解法23.4.1 均值不等式求解法23.4.2 柯西不等式求解法33.5 几何求解法33.5.1 可视为距离的函数的最值求解43.5.2 可视为曲线截距的函数的最值求解43.6 代换求解法53.6.1 局部换元求解法53.6.2 三角代换求解法53.6.3 均值换元求解法63.7 构造方差求解法63.8 复数求解法63.9 数形结合求解法73.10 单调性求解法73.11 数列中的最值问

7、题求解83.12 三角函数的最值问题求解84 最值问题求解方法小结9参考文献10致谢101 引言数学中的最值问题是一种非常典型的问题，无论是在学习或是日常生活中都是很常见的，在中学数学中尤其重要，占领着非常重要的地位。最值问题几乎在所有的数学领域中都有涉及，所有就要求我们遇到最值问题要熟练的求解，这样就需要学生熟练掌握相关的知识，综合运用各种技能求解最值问题，本篇文章就最值问题求解方法做出了一些探究。2 最值定义的基本知识一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。最小值：设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意实数xI，都有f(x)M，存在x0I。使得f (x0)=M，那

8、么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。最大值：设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意实数xI，都有f(x)M，存在x0I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数 y=f(x)的最大值。3. 中学数学中常见的最值问题及解决方法 中学数学中有许多相关的最值问题，需要我们准确判断并给与解答，以下是我结合数学学习或实际生活中的问题，从十二个方面说明最值问题的相关计算及解决方法3.1 二次函数求解法 遇到二次函数求解最值，我们需要做的第一步是观察，看看是否需要配方，如需要配方，我们先配方，然后再看看对称轴，开口方向以及顶点坐标，最后判断出它是否有最值。这种方法对于

9、形如y=ax2+bx+c或者可以转化为二次函数的都比较有用，求解时主要有以下两种情况： 1当y=ax2+bx+c的定义域是R时，先配方，得到y=ax+b2a2+4ac-b24a当a0时 开口朝上,有最小值,即x=-b2a ，y=4ac-b24a当a0 ，又因为 2x+1-2x=1 ， 所以 2x+161-2x=42x+161-2x2x+1-2x=20+21-2xx+32x1-2x20+ 221-2xx32x1-2x=36 当且仅当 21-2xx=32x1-2x ，即 x=16 或者 x=-12 舍去时，等号成立故 2x+161-2x 的最小值为36。3.4.2 柯西不等式求解法 近年来柯西不等

10、式现在的应用越来越广泛，对于求解最值越来越重要，需要我们重点的去掌握这种方法。 设有两组数 a1，a2，a3an 和 b1，b2，b3bn ，根据柯西不等式 a1b1+a2b2+a3b3+anbna12+a22+a32+an2b12+b22+b32+bn2当且仅当 a1b1=a2b2=a3b3=anbn 时，等号成立。例5 已知 x2+y2=1 ，y2+z2=2，z2+x2=2 ，求 xy+yz+zx 的最大值。解：因为 x2+y2+y2+z2+z2+x2=5 ，所以 x2+y2+z2=52 则 x2+y2+z2*y2+z2+x2xy+yz+zx2 即 xy+yz+zx52 ，所以 xy+yz

11、+zx 的最大值为 523.5 几何求解法 在求解某些函数的最值时，有些问题的目标函数几何形象比较明显，我们就可以运用它的图象直观性来简便求解。常用到的几何知识有斜率公式、截距、点到直线的距离求法，以及结合图象的一些含义来求解最值问题用几何法求最值时要充分运用数形结合这个知识点。通过应用几何知识来研究函数的最值问题,会使灵活多变、复杂难解的函数最值问题简单化、直观化、浅显化,让我们能够轻松简便的求解函数最值问题,从而激发学生的兴趣,提高学生的综合能力以及训练学生的发散思维能力.3.5.1 可视为距离的函数的求解 例6 函数的最大值是_。解：将函数式变形,得 可知函数的几何意义是：抛物线上的点分

12、别到点和点的距离之差，现在要求计算它们的最大值.因为知，当在的延长线上处时，取得最大值所以3.5.2 可视为曲线截距的函数的最值求解例7 求函数的最大值。解: 令,则,且.则问题转化为:当点在圆上时,双曲线族 (设为常数)在轴上计算的最大值.当时,由方程得 , 由此可知:当时, ;当时, 所以此双曲线族有公共的渐进线和,有公共的中心所以双曲线族与圆的切点是 ,此时纵截距得到一个极大值 ，而,所以求得的极大值就是最大值.因此,所求函数的最大值为3.6 代换求解法3.6.1 局部代换求解法 局部代换法是一种将所求式子的部分用字母代替来达到简化求解最值的方法，这在数学中应用越来越广，需要我们熟练掌握

13、。 例8 已知0a2，求函数y=sinx+acosx+a的最值 解：y=sinxcosx+asinx+cosx+a2，令sinx+cosx=t 则-2t2且sinxcosx=t2-12，于是y=12t+a2+a2-1当t=2时，ymax=a2+2a+12;当t=-a时，ymin=12a2-1注意：若函数中含有sinxcosx和sinx+cosx时，可以考虑用换元法解。3.6.2 三角代换求解法 三角代换求解法是一种运用三角函数代替式子，来达到简化求解最值的目的。 例9 已知x，y R，1x2+y24，求u=x2+xy+y2的最值 解：设x=tsin，y=tcos，（t为参数） 因1x2+y24

14、，故1t24 u=t2cos2+sinxcosx+sin2=t21+12sin2 故当t2=4且sin2=1时，umax=6,；当t2=1且sin2=-1时，umin= 123.6.3 均值换元求解法 均值换元是将一为定值的式子通过分割，不改变其值，来达到简化求解的地步， 例10 已知，求证：的最小值为证明：由于本题中、的取值范围为一切实数，根据其和为，令，()，则 所以的最小值为，在即时取得3.7 构造方差求解法 设有n个数据x1，x2，x3xn， 它们的平均数为x ,则其方差为s2=1nx1-x2+x2-x2+x3-x2+xn-x2显然 s20 (当且仅当x1=x2=x3=xn=x时，等号

15、成立)。应用这一公式 ,可简捷、巧妙地解决许多求解最值问题。并且该方法适应范围广，可用于求解多种情况下的最值。 例11 已知实数a，b，c满足a+b=8，ab=c2+16，求证：a=b. 证明：由题意知，a，b的方差是s2=12a2+b2-12a+b2=12a+b2-2ab-12a+b2=1282-2c2-32-1282=-c20 又因为s20，所以s=0，于是由方差定义知a=b3.8 复数求解法 正复数最值问题,通常包括模的最值、辐角主值的最值、面积最值等。此类问题涉及知识面广,灵活性大,需要我们重点掌握。复数的模的不等式 ： 例12 求函数的最小值。解: 令则 当且仅当时,取等号。于是 即

16、求得当时, 3.9 数形结合求解法 有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观求其最值，常能受到直观明快，化难为易的效果。 例13 若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间，求k的取值范围。 解：令fx=x2+2kx+3k，其图像与x轴交点的横坐标就是方程fx=0y 的解，由y=fx的图像可知，要使两根在-1和3之间，只需f-10， f3 0，f-b2a=f-k0，同时成立，解得-1k0，故k-1,0.x3-1 例14 求函数的最值.解：先将函数式转化成，我们可以先求的最值.把看成，之间连线的斜率，(可以看做单位圆上的点)，则当直线为单位圆的切线时，其斜率取得最值.设切线

17、方程为，即 则圆心到切线的距离为，解得：，从而函数最大值为；最小值为3.10 单调性求解法3.10.1 利用多次“”(或“”)求最值例15 求函数在，内的最小值解：当时，两个 “”中同时取得等号，因而 3.10.2 形如的函数的最值(1)，时，函数在，内递增，在，内递减， 在，内递减，在，内递增。(2)，时，函数在，内递减，在，内递增， 在，内递增，在，内递减。(3)，时，函数在，内递减，在，内递减。(4)，时，函数在，内递增，在，内递增。例16 求函数的最大值.解：令，则，函数在，内递增所以在，内也是递增的当，即时，.3.11 数列中的最值问题求解 正数列中的最值问题是高中数列中的一块重要内

18、容,特别是近几年的高考显得尤为重要.大家知道,数列是一种特殊的函数,因此,在处理数列最值问题时,函数方法仍然是最基本也是最重要的方法。 例17 等差数列中,a1=27 ,s13=s15 ,问数列到第几项之和取得最大,并求出数值. 解：设公差为d，则由a1=27s13=s1513a1+13122d=15a1+14152d,可得.于是sn=27n+nn-12-2=n28-n,所以,到第14项之和最大,为1963.12 三角函数最值问题求解 三角函数的最值问题一般都是关于正弦与余弦的问题，因此我们要熟练掌握关于正弦与余弦的性质及其转换 例18知函数，.求: （I）最大值及取得最大值的自变量的集合；(

19、II) 函数的单调增区间.解：，于是当,即时, 取得最大值.函数的取得最大值的自变量的集合为.4 最值问题求解方法小结上述文字通过常见的最值问题，采用十二种方法全面的解决最值问题的求解，让我们直观，清晰的了解到最值的求解，不会再出现遇到最值问题束手无策，抓耳挠腮的现象，其方法大概如下数形结合配方法直接法均值不等式法单调性代数方法导数法判别式法间接法有界性函数的图像平面几何知识几何方法线性规划解析几何斜率两点间距离当然，求解最值问题的方法远不止这些，还有很多，如复合函数法，放缩法，反函数法等等。遇到最值的问题，我们需要具体问题，具体分析，具体处理。不能盲目下结论，这样对于求解最值是非常不利的，极

20、易出错，因此我们遇到问题需要仔细分析。参考文献1霍梦圆；王韵；函数最值的几何解法J；高师理科学刊；2011年05期2张月华；求函数最值常用的方法J；牡丹江教育学院学报；2011年03期3游波平；函数最值解法技巧探讨J；重庆文理学院学报（自然科学版）；2007年02期4王黎英；求函数最值的常用方法J；保山师专学报；2001年02期5郑丽娜；最值的求法J；甘肃高师学报；2002年05期6陈克胜；求函数最值的方法举例J；高等函授学报（自然科学版）；2006年01期7冯米鸿；求复合三角函数最值时的几何解法J；科技资讯；2008年22期8王宏梅；蔡明星；构造平面向量 求解根式问题J；数学教学；2006年

21、06期9吴艳红；谈三角函数最值的求解J；中学生数理化（高中版 学研版）；2011年02期10龙连风；三角函数最值常见类型解析J；知识窗（教师版）；2011年06期11韩雪；均值不等式的应用；林区教学J；2011年09期12王永艳；用均值不等式求函数最值的常用技巧J；高中数学教与学；2011年13期13解小军；例析最值问题解法策略J；数理化解题研究（初中版）；2011年10期14裴光辉；求函数最值问题的常用方法J；高中数学教与学；2011年12期15康美明；函数最值的几种求法J；数学之友；2011年03期 致谢在此我要特别感谢我的论文指导老师汪会玲老师，她不仅学识渊博，专业精通，而且她诲人不倦与同学们保持着良好的沟通并经常给予科学的指导和热心的勉励。在每次论文遇到问题时是汪老师不辞辛苦的讲解才使得我的论文顺利的进行。从论文的选题到资料的搜集直至最后论文的修改整个过程中，花费了汪老师很多的宝贵时间和精力。汪老师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使我受益终生!。在此，谨向汪老师表示崇高的敬意和最衷心的感谢!四年大学生活即将结束，回顾几年的历程，老师们给了我们很多指导和帮助。他们严谨的治学，优良的作风和敬业的态度，为我们树立了为人师表的典范。在此，我对所有的数学与统计学院的老师表示衷心的感谢，祝你们身体健康，工作顺利！11