2023年黑龙江省实验中学高考数学一模试卷含答案解析版.pdf

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1、2023年黑龙江省实验中学高考数学一模试卷一、单选题。（本题共8 个小题，每小题5 分，总计40分）1.（5 分）（2023 黑龙江一模）已知集 合 =x|y =,。=川、=3,，苫 1,则 PJQ等于（）A.0 B.2 C.1 ,+00）D.0,+o o）2.（5 分）（2023 黑龙江一模）复数z 满足（l +i）2z =2-4 i,则复数z 的共扼复数7 =（）A.1 2/B.2 i C.2+i D .2+i3.（5 分）（2023 黑龙江一模）在平面直角坐标系中，已知点?（3,4）为角a 终边上一点，若co s（a+）=g ,6 e（0,则 co s =（）“3-8 五 行 3 +80

2、 4 +6 拉 r 67 2-415 15 15 154.（5 分）（2021乙卷）将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60 种 B.120 种 C.24 0 种 D.4 8 0 种5.（5 分）（2023 黑龙江一模）已知a=l o g 3 返 力=l o g 4 皈 c=3/，贝 U（）A.b c a B.b a c C.c a b D.a b 0力0）的左、右焦点分别为片，a bF2,一条渐近线为/,过点E 且与/平行的直线交双曲线C于点M ,若耳|=3|g

3、|,则双曲线C的离心率为（）A.V 2 B.A/3 C.45 D.327.（5 分）（2023 黑龙江一模）已知椭圆C:+ay2F=l（q b 0）的左、右焦点分别为月（-c,0）F2（C,0）,若椭圆C上存在一点/使 得 的 内 切 圆 半 径 为 则 椭 圆 C的离心率的取值范围是（）A.(0,1 B.(0,6 C.1,1)D.1,1)8.（5 分）（2023 黑龙江一模）已知函数/（x）=e-出（*-a）+a（a 0）,若存在x 使得关第 1页（共 22页）于x的不等式/（x）0）上的动点，。为坐标原点，0（4,-4）在抛物线C上，过抛物线C的焦点厂的直线/与抛物线C交于4,B 两点,4

4、 1（3,-2）,则（）A.+用的最小值为4B.若 线 段 的 中 点 为 M,则弦长48的长度为8C.若线段 8的 中 点 为 则三角形。的面积为D.过点E（l,2）作两条直线与抛物线C分别交于点G,H,且 满 足 铲 平 分 N G E”,则直线G”的斜率为定值I I.（5 分）（2023 黑龙江一模）已知函数/（x）的定义域为R ,且/（x +1）为奇函数，/（x +2）为偶函数,且对任意的西，x2e（l,2）,且占都有也2二9 0,则下列结论正确占一的为（）A./（X）是偶函数 B./（20 23）=07 1 oC./（X）的图象关于（-1,0）对称 D./（-）0 ,且函数/（x）的

5、两个相邻零点间的距离为/,（1）求。的值及函数/（x）的对称轴方程；（2）在A 4 8 C 中，a,b,c 分别是角4,B,C的对边，若/（/）=-l,a=6，求。8c周长的取值范围.19.（12分）（20 23 黑龙江一模）如图，在 四 棱 锥 尸 中，四 边 形 是 直 角 梯 形，A B Y A D,ABI I C D ,尸 C _ L 底面 A B C。，AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E 是 P 8 的中点.（I ）求证：平面E Z C _ L 平面P 8 C：（I I）若二面角尸-ZC-E的余弦值为逅，求。的值；3（I I I）在（I I）的条件下求直线P/与平面及1C 所成

6、角的正弦值.20.（12分）（20 23 黑龙江一模）在 A 4 B C 中，内角4,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2c s i n 8=（2a-c）t an C ,角 C的内角平分线与边4 8 交于点E ,（1）求角5 的大小；（2）记 A B C E,&4C E 的面积分别为6，52,c =2,b=y/i ,SM B C=-,b =y/l,AC这两个条件中任选一个作为已知，求 凡 的 值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21.（1 2分）（20 23 黑龙江一模）已知椭圆C:+4 =1（6 0）经过点4（1,近），且椭圆a b 2的长轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（

7、2）设经过点8（-1,0）的直线/与椭圆C相交于0、E两点，点 E关于x 轴的对称点为尸，直线。厂与x 轴相交于点G,求 AT E G的面积S的取值范围.22.（1 2 分）（20 23 黑龙江一模）设函数/。）=（/一狈）（一2）,a c R .第4页（共22页）(1)若曲线y =/(x)在点(2,/(2)处的切线斜率为/,求4的值；(2)若/(x)存在两个极值点X 1 ,x2(X j x2),且对任意x e O,x2,/(x)1 ,则尸（J。等于（）A.0 B.2 C.1 ,+o o）D.0 ,+o o）【解答】解：集合尸=x|y =J3X-X2 =0,3 ,Q=yy=y XI =（3,-

8、H）,故 支1。=，”）故选：D.2.（5分）（20 23黑龙江一模）复数z满足（l +i）2z =2-4/,则复数z的共辗复数彳=（）A.1 2z B 2 i C.2+i D .2+i【解答】解：（l+i）2z =2-4 i,2 4i 2-4/一 .Z =2-2 ,（l +o2 2i：.z=-2+i.故选：C.3.（5分）（20 23黑龙江一模）在平面直角坐标系中，已知点尸（3,4）为角a终边上一点，若co s（a+/7）=；,（0,万），则 co s =（）A3-8 /3 +80c.4+6拉D.6 7 2-41 5 1 51 51 5【解答】解：由题意得：ac（O,2），co s a =-

9、3二一3，sma=442、/9 +1 654 9 +1 65因为夕（0,万），所以a +夕w（0,芸2 T T）,因为 co s（a +月）=；0 ,所以 a +4e（0,5）,故s in（a +夕）=J1 -co s 2（a +夕）=,第6页（共22页）所以 cos p=cos（a +尸）一 a=cos（cr+尸）cos a+sin（a+）sin a =-x +x =.故选：B.4.（5 分）（2021乙卷）将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60 种 B.12

10、0 种 C.240 种 D.480 种【解答】解：5 名志愿者选2 个 1 组，有 C；种方法，然后4 组进行全排列，有种，共有C；/：=240种，故选：C.5.（5 分）（2023黑龙江一模）已知a=log3必”=log4近,c=3/，则（）A.bca B.bac C.c ah D.a b3=1,/.c 1,1 1 i因为 log3 27 log3 迎 logs 揖=log3 4 3 =-log3 4 jlog3 3=-,即:a 1 ,b=log4君=log4 34=-log43 -log4 4=因 止 匕 b a 0 力0）的左、右焦点分别为百，a b区,一条渐近线为/,过点6 且与/平行

11、的直线交双曲线。于点“，若 1 M l=3|M g|,则双曲线。的离心率为（）A.V2 B.V3 C.V5 D.3【解答】解：根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线/的方程为y=因此直线MF2的倾斜角a 的正切值为2，即tana=sn a.sin a=bk,cosa=ak（k 0）,aa cos a所以有（bk+（ak）2=l=d =ln%=cosa=,c c设,MFX 1=3/7?,由双曲线定义可知：|g|-|M E|=2 a =2，n a =m n|M|=a,第7页（共22页）也 用=3 a,由余弦定理可知：(3 a)2=/+(2 c)2 -2 a 2 c =(?=3/=e =.c故选：B.

12、v2 v27.(5 分)(2 0 2 3 黑龙江一模汨知椭圆C：r+r =l(a 6 0)的左、右焦点分别为6(-c。，a h心(c,0),若椭圆C上存在一点M 使 得 .心 的 内 切 圆 半 径 为 则 椭 圆 C的离心率的取值范围是()A.(0,1 B.(0,1 C.1,1)D.1,1)【解答】解：华 匕的面积为:|耳巴川加因为耳&的内切圆半径为 ,所 以 片 的 面 积 可 表 示 为 g(2 a+2 c)x ,所以g x 2 cx|加|=g(2 a+2 c)x|,所以|加|=，因为I 九 区 人 所 以 管 Wb,两边平方得：(g f y w/,而b,所 以(色!与 整 理 得：5。

13、2 +2 加-3%0,因为离心率e =,所以5 e 2+2 e-3 W0，解得：0 冬a5故选：A.8.(5 分)(2 0 2 3 黑龙江一模)己知函数/(X)=e*-。/(办-.)+。(4 0),若存在x 使得关于x的不等式/(X)0,由 ox-a 0可 得 xl,即 函 数 的 定 义 域 为(l,+oo),exf(x)=ex-al na-al n(x-1)+Q0,可得-I na l n(x-1)-1,a即 exI na+x -I na 0,则8 (工)=1+10,故函数g(x)在(0,+8)上单调递增,x所以，g(/一.)g(x l),可得,一.1 一1,x-l na l,h(x)=x

14、l n(x-1),其中 x l,则 (x)=l-,当1 X 2 时,h(x)2 时，h(x)0 ,此时函数(x)单调递增，所以/“a a(x)“R =a(2)=2 ,解得a e 故选：C.二、多选题。(本题共4个小题，每小题5 分，总计2 0 分，少选得2 分)9.(5 分)(2 0 2 3 黑龙江一模)已知S,是等比数列%的前项和，且 5,=2 1+a,则下列说法正确的是()A.a=2B.a=121 3 _ gC.ata2+a2a+al 0attr22 3-8D.”应+咏+生 钎 二 一【解答】解：当”=1 时，4=&=4+a,当 磋 2 时，a=S-S,-=2n+1+a-(2 +a)=2

15、,因为%是等比数列，所以需满足4 =2 i =4 +a,所以a=-2,a =T,故 4正确，B错误;因为+2%见+。a,f l,=21 x 22=8 ,所以数列 a+1a 是以8 为首项，4为公比的等比数列，所以的2 +电能+4。勺=&二 0-4)=,故。错误，。正确.1 4 3故选：AD,1 0.(5 分)(2 0 2 3 黑龙江一模)已知尸为抛物线。:/=2 力(2 0)上的动点，。为坐标原点，0(4,-4)在抛物线C上，过抛物线C的焦点厂的直线/与抛物线C交于/,8两点，M(3,-2),贝 I()A.|P M|+|P F|的最小值为4B.若 线 段 的 中 点 为 M,则弦长48的长度为

16、8第9 页(共2 2 页)C.若线段48的中点为M,则三角形0 4 8 的面积为J ID.过点E(l,2)作两条直线与抛物线C分别交于点G,H,且满足瓦平分N G E”,则直线G”的斜率为定值【解答】解：由。(4,Y)在抛物线C上，得 p =2,二.抛物线C的方程为_/=4 x,尸(1,0),对于/,过点P作抛物线的准线x =-l 的垂线P Z),垂足为。，由抛物线的定义知 PM +PF PM +PD DM ,即“，P,。三点共线时，|P M|+|P 尸|取得最小值，为3 +1 =4,故/正确.对于5,因为M(3,-2)为Z8的中点，点5的横坐标孙，出，则3+/=6,|AB=+xg+2 =8

17、,故 5 正确.对于C ,由直线/过焦点/(1,0)与M(3,-2)求得直线/的方程为歹=-x +1,则点。到直线/的距离d=巨,V 2 2则“阴;=；1/8 卜 d =；x 8 x 孝=2 五,故 C错误；对于。，易知点E(l,2)在抛物线上且轴.设G(江,弘)，”(、,外),易知直线E G,的斜率存在，原=与二2 =一，同理岫”=_ _,左 7 必+2%+244 4因为E F 平分N G E ,E F _ Lx 轴，所以 田+心”=0,即-+-=0,乂 +2 必+2直 线%+2 +%+2 =0,所以必+%=Y，直线G”的斜率左=号 一%=一=-1 为 定 值,故。正确.江 _型 必+”4

18、4故选：ABD.第10页(共22页)1 1.(5 分)(2 0 2 3 黑龙江一模)已知函数/(x)的定义域为R ,且/(x +1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，且对任意的国，x2e(l,2),且片工七，都有八芭)一/二2)(),则下列结论正确的为()A.f(x)是偶函数 B./(2 0 2 3)=0C./(x)的图象关于(-1,0)对称 D./(-：)0 ,即 1 X X?2 时，/(%,)：1，&)/吟)，.，-卜碍，故。错故选：A B C.1 2.(5 分)(2 0 2 3 黑龙江一模)如图，在棱长为1 的正方体/8CO-4A G A 中，P 为梭BB、的中点，。为正方形88CC内一动

19、点(含边界)，则下列说法中正确的是()第 11页(共 22页)B.棱c q与平面4 8。所成角的正切值为近c.若。/平面4 P。，则动点。的轨迹是一条线段D.若 D、Q 当,那么。点的轨迹长度为 万【解答】解：对4选项，以。为坐标原点，以 取，而，而分别为x,y,系，则 J(1,0,1),4(1,0,0),(0,0,1),5(1,1,1),(0,1,0),(1,1,1).丽=(-1,0,1),花=(0,1,1),而=(0,1,；)，设平面48力的法向量力=(x,y,z),A.D=-x +z=0 ,、则，_ L ，取护万48=y+z=0.您=J c j I n,直线N G _ L平面4 8。，故

20、/正 确；对8选项，.兀=(0,0,1),设C G与 平 面 所 成 角 为a ,贝i j s in a=|c o s|=刊=3,：.t a n a=,故 8 错误；|CG I I I 6 2对C选项，设平面4尸。的法向量玩=(a,b,c),则(_L，MX w =(2,-1,2),而 4 0=2 6+c =0.。为正方形8 3 C C内一动点(含边界)，设。(x,1,z)(0 W x W l，O W z W D，z轴建立坐标第 12页(共 22页)又 )/平面 4?。，.丽 J.玩，2 x-l+2 z=0,令x =0,得0(0,；)，此时。为棱C G的中点M,令z=0,得此时。为棱4 G的中点

21、N，.在正方形8 8 C C内。的轨迹为线段M N，故C正确；对。选项，由 A0=,得/+l +z2=|,即 x2+z2=-,2在正方形B B C内Q的轨迹为以G为圆心，半径为4的四分之一圆周,.0点的轨迹长度为、2少 遮=正 万，故。正确.4 2 4故选：A C D .三、填空题。(本题共4 个小题，每小题5 分，总计20分)13.(5分)(2 0 2 3黑龙江一模)已知向量 =(1,1),5=(见4),若 展 -。)=4,则|B|=2 75【解答】解：根 据 题 意,a-(6-5)=(1,1)(;,4)-(1,l)=(l,l)-(w-l,3)=m-l +3=4,解得加=2,此时石=(2,4

22、),贝l j|b|=y|22+42=4 1 0=2 4 5 .故答案为：2遥.14.(5分)(2 0 2 3黑龙江一模)古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点1,8的距离之比为定值制加工1)的点的轨迹是圆在平面直角坐标系中，已知点省-2,1),第 13页(共 22页)PA 1 8(1,1),点 尸 满 足 色=JI,设点P 的轨迹为圆M ,点M 为圆心，若直线乙：x +y+c =O 与圆M 相交于Q,G两点，5.D G =2 710 ,则c =_-l 或-9_.【解答】解：设点尸(x,y),.点 尸 满 足 焉=&,J(X+2)2 +3-1)2 =(x _ l)2+(J _ l

23、)2 ,化为：(x-4)2+3-1)2 =1 8,即点P 的 轨 迹 圆 圆 心”(4,1),半径r =3&.圆心A/(4,l)到直线4:x+y+c=0的距离d|4+l +c|1。+5|TF|D G|=2 =2 V 10 ,小-”=1。解 得 c 一 或 自故答案为：-1或-9.15.(5分)(2 0 2 3黑龙江一模)已知A 4 8 c 的内角4、B、C 的对边分别为a、b、c,且2 ic o s C=2 a +c.若b =4,则A 4 B C 的外接圆半径为-3 2 2 2【解答】解：根据余弦定理由2 b c o s C=2 a +cn2 b-十 一。=2 a +c =/十廿十a,2abK

24、 U h2=a2+c2-2accosB,因 止 匕 有 cosB=,2因为8(0,乃)，所以8=年，由正弦定理可知Z U B C 的外接圆半径为L =1 x*=逑.2 s in B 2 y/3 32故答案为：4百.316.(5 分)(2 0 2 3 黑 龙 江 一 模)已知 数 列%前 项和5,=/,数 列 也 满足bn-/w N,心 为 数 列 4 的前项和.若对任意的 c N,不等式2 7；+9 一 1)恒成立，则实数4的取值范围为_(-8,-2 4)【解答】解：当=1 时，q=S =l；当时，%=S”-S._|=2 _ 5 _ 1)2 =2 _ 1,将 n=1 代入上式，可 得 2 x

25、1-1 =1 =4 ,则 an=2/?-1,(/?G A*)第14页(共22页)b=-=-=(-)，凡 y小 (2 一 1)(2 +1)2 2-1 2 +1,1 八 1 1 1 1 1 、1 八 1 、T=(1-1-1-1-)=(1-)=-,2 3 3 5 2n-l 2 +1 2 2 +1 2 +1代入不等式4 7；+9-(一 1)”,可得；1 +9.(-1)，2n+1整理可得 2 (2 n+1)+9-(-l)n-3 9，n当月为偶数时，不等式为4 2 +1 +9 型 里=2 +2 +1 9,n n令 。，则 X)在(孚+上单调递增，由于/(4)=2 9.2 5 2 7.5=f(2),故/(初

26、“=/(2)=2 7.5,此时几 2 7.5；当为奇数时，不等式为人 2 +1-9 即 里=2 力-2-1 7,n n令 g(x)=2 x-1 7,(x 为奇数且x eN ),x易知 g(x)在(0,+o o)单调递增,则 g(x),“M=g(1)=-2 4,此时 2 -2 4,综上所述，实数2的取值范围为(-8,-2 4).四、解答题。(本题共6 个小题，总计70分)1 7.(1 0 分)(2 0 2 3 黑龙江一模)已知数列 a,，前项和为S“，且满足a向=2 凡,啰 2 ,n w N ,+牝=1 4,57=70 ,等比数列 中，+2=1 2,且b2+6,4成等差数列.(1)求数列 对 和

27、 曲,的通项公式；(2)记c,为区间(a,，6“(e N*)中的整数个数，求数列匕 的前项和.【解答】解：(1)an+l=2a-a_t,nwN*,即，心 2,n w N ，故 见 为等差数列，设公差为d ,故%+6=2 q +4 d =1 4 ,S=7 q+2 I d =70,解得：d =3,4=1,第15页(共22页)所以 a“=%+(-1)0 ,且函数/(x)的两个相邻零点间的距离为,(1)求。的值及函数/(x)的对称轴方程；(2)在 AJ 8 C 中，a,b,c 分别是角 4,B,C 的对边，若/(A)=-l,a=J?,求 A4 8 c周长的取值范围.【解答】解：(1)/(X)=c o

28、s?x)+73 s i n(s)c o s(s)-1=亭叫 蚓 孚 凶-L ,f(x)=s i n(2 e y x +-)，6因为函数f(x)的两个相邻零点间的距离为所以函数/(x)的最小正周期为2 x =，因为外0 ,所以=乃=。=1,即/(%)=s i n(2 x +),2a)6令 2%+工=k;r+(k G Z),解得 x=+(k G Z),6 2 2 6故对称轴为x =+2(k e Z)；2 6第16页(共22页)(2)由/(/)=-1 =$皿2/+马=-1,6因为/e(0,乃)，所以2 4 +C e(C,也)=21+=?=/=空，6 6 6 6 2 3因 为 =行，所以由正弦定理可知

29、：=-=2,解 得b =2 s i nB,s i n J s i n 8 s i nC。3Tc=2 s i nC,所 以 三 角形 的 周 长 为因为 8e（0,。），所以8 +当），因此s i n（B +券亭n2 s i n（8 +.+旨e（2/2+我,所以A 4 8 C周长的取值范围为（2 6,2 +石 .1 9.（1 2分）（2 0 2 3黑龙江一模）如图，在四棱锥尸-Z 8C D中，四边形Z 8C D是直角梯形,A B V A D ,A B HC D ,P C 1 J ec f f i A B C D ,AB=2AD=2CD=4,P C =2a,E 是 P 8 的中点.（1 ）求证：平

30、面E/C_ L平面尸8 C ；（H）若二面角尸-ZC-E的余弦值为逅，求a的值；3（III）在（II）的条件下求直线尸4与平面E/C所成角的正弦值.D IT【解答】（1）证明：尸CJ _底面/S CO,N C u平面48 C ,尸C.AB=4,A D =C D =2,AB V A D ,AB/CD,A C =B C =2/1.A C2+B C2=A B2,:.A C V B C,又B C p l P C u C，.ZC 1平面 P 8 C ./A C u 平面 E A C ,平面E Z C_ L平面尸8 C .第1 7页（共22页）(II)解：如图，以点C 为原点，以 的，CD,C P分别为X

31、 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则 C(0 ,0,0),A(2,2,0),3(2,-2 ,0),设尸(0 ,0,2a)(a 0),贝 U E(1 ,-1 ,a),CA=(2,2,0),CP =(0 ,0,2d),CE=(,-1 ,a),取而=(1,-1 ,0),则 而 而=而 方=0,二比为平面尸/C 的一个法向量.设方=(x,y,z)为平面及1C 的法向量，则万=6 屋=0,f%+V =0 L L t即 ，取 x=a ,y=-a,z =-2 ,则力=(a ,-a,-2),x y+=0依题意，|c o s 而，万|=丽 万 ，解得t z =2.由 1 万 1 Ja2+2 3(I

32、II)解：由(H)可得方=(2,-2 ,-2),PA=(2f 2,-4).设直线。力与平面E4 C 所成角为，则 s in 0=|cosPA,n)|=|P 4下|_|2 x2 +(2)x2 +(2)x(4)|阿 万|4+4+4x7 4+4+1 6 2出x2示旦即直线P/与平面E4 c所成角的正弦值为变32 0.(1 2 分)(2 0 2 3 黑龙江一模)在A 4 8 C 中，内角N,B,C 所对的边分别是a ,b,c,已知2cs in B=(2a-c)ta n C,角C的内角平分线与边A B交于点E,(1)求角B 的大小；(2)记 A8 CE,A 4 C E 的面积分别为E ,S j在0 c=

33、2,b=，S.BC=专，b=不，A C这两个条件中任选一个作为已知，求 显 的 值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.第18页(共22页)【解答】解：（1）因为2csin8=（2 c）tanC,由正弦定理可得2sinCsin B=(2sin力-sinC),山。,cosCB|J 2sin BcosC=2sin J -sinC又由 sin 力二 又 万 一 (8+Q=sin(5+C)=sin Bcos C 4-cos sin C，可得 2cos8sinC=sin C,因为C e(0,m，可得s in C 0,所以cos8=；,又因为8 (0,万)，可得8=(.(2)选：因为c=2,b

34、=也,由t 余人才弦 定理可r/R得 cosc8 =a-+-c-b-=-Q-+-4-3-=1-，2ac 4a 2整理得“2 -2 +1 =0,解得 =1,因为CE为乙4c8 的平分线，令4ACE=4BCE=e,则 S=-5C-Csin6=-xlxC sin6,S,=-C-Csin6=-x/3 xCsin6,1 2 2 2 2 2所 以 工=且，故0L的值为正.S2 V3 3&3选：S B C=于,b=币,AC,由 SgRc=csinfi=ac sin =,解得 ac=3,2 2 3 4又由/?=J7 ,由余弦定理可得=a2+c2-2accosB,即 7=/+c?2 x 3 x L 可得/+c?

35、=10,2又因为 4 C,可得所以(+c)2=/+/+2ac=10+2x3=16,即 a+c=4,联立方程组解得”=3,c =,。+。=4由为/4 C 8 的平分线，令/ACE=/BCE=,所以&=-SC-Csin6=-x 3 x C sin,S,=L c-C E sin O =Lg C E s in O ,2 2 2 2 2所 以 善=；=迈，故 的 值 为 也.S2 V7 7 S2 7第19页（共22页）21.（1 2分）（2023黑龙江一模）已知椭圆C：5 +/=l（a 6 0）经过点4（1,*）,且椭圆的长轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点8（-1,0）的直线/与椭圆C相交

36、于。、E两点，点E关于x轴的对称点为产，直线。尸与x轴相交于点G,求&9EG的面积S的取值范围.【解答】解：（1）因为椭圆C的长轴长为2a=4,则。=2,将点4的坐标代入椭圆C的方程可得上+3-=1,可得b=l,4 b22所以椭圆C的标准方程为三+/=1.4（2）若/与x轴重合，则ADEG不存在，设直线/的方程为了=少-1 ,设点。区，,）、E（X2,y2）f若加=0,则点尸与点。重合，不合乎题意，所以 0,x=my联立I f+y=14,消去x整理得(加2 +4)y2-2m y-3 =0,=4/+1 2(W+4)=1 6(*+3)0,2m 3%+歹2=丁7 7，y 2=-不，m+4 m+4易知

37、点尸(乙，-%)，夕.=&=必+乃,Xt-x2 m(yx-y2)直线D F的方程为y-必=加(凹f)将y=0代 入 直 线。产 的 方 程 可 得x=网 业-1 =-4,即 点G(-4,0),%+%.n 3 A 4dm+31必 一2 1=4(M +、2厂 4必2=所 以%G =|5 G|-|J,-2|=|X42+-=2 2 加 +4_6J加 2 +3+/J加2 +3令1 =+3 石,则函数y=J J+3 +/在(百,+8)上为增函数,jtn2+3第20页（共22页）所以 y=J/+3+4 3,月f 以，S=-G(0,-).,3 7 71+4 2+3故ADEG的面积S的取值范围是(0,手).22

38、.(1 2 分)(2023黑龙江一模)设函数/(x)=(/-o x)(x-2),ae R.(1)若曲线y=/(x)在点(2,f (2)处 的 切 线 斜 率 为 求。的值；(2)若/(X)存在两个极值点再,x2x x2),且 对 任 意 存 入2/(X)0恒成立，求实数4的取值范围.【解答】解：(1)因为/(幻=(女)(工 一2)+-奴)(工 一2)=泥 一 一2+2。，所 以(2)=2e2 e2 4a+2a=e2 解得 =()；(2)fx)=xex-ex-lax+2Q,令 fx)=0 得(x-1)，=2a(x-1),解得x=1,或。时。0且=ln(2a),当 02e 即 OC Q C1时，x

39、2=1,对任意xeO,1,/(x)0恒成立，得/(x)=(e*-ax)(x 一 2)0,X G(0,1,x=0时成立，xwO时，有在xw(0,1 恒成立，x令g(R)=J x w(0J,g，(x)=WO，所以g(x)在xw(0，1 单调递减，xx有g(x)W g(1)=e，所以0 a e即a 时，x?=2a,对 任 意X G0,2a,/(x)0恒 成 立，即/(x)=(ex-ax)(x-2)0 在 x 0,2a上恒成立，因为/(0)=(?。_0)(0-2)0,可得/)。-2)0,/(0(2)=eln2a)-aln(2a)ln(2a)-2 0解得 a ef2当2。=6即4=时，项，/重合，不符合题意，综上所述，0 a -a e,2 2第21页（共22页）实数a的取值范围为（。，f）U（l,e）.第 22页（共 22页）