2023年九年级数学中考综合培优测试卷《四边形综合》压轴题【含答案】.pdf

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1、2023年九年级数学中考综合培优测试卷 四边形综合压轴题1.如图四边形/B C D,A D/B C,A B L A C,A B=A C,A C,B D 交于点 F,E 是/。上一点,且 C E1 B D.(1)在 图1中找出与N/8尸相等的角，并证明你的结论(2)在 图1中设8。与C E交于点尸，连接尸4探究P/、P B、尸C三者之间的关系，并证明.(3)如图2,若8。平分乙4 B C,E C=2,求E F的长.1个单位长度的速度沿。1向点”运动，同时点E从 点/出 发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，以D C、D E为邻边作平行四边形D E F C,当点E到达点B时,点D也随之停

2、止运动，设点D运动的时间为t秒.(1)用含f的 代 数 式 表 示 的 长；(2)当。E 8 C时，求f的值；(3)当点F落在4 8 C一边的垂直平分线上时，直接写出，的值.3.实践与探究操作一：如图是一张矩形纸片，点E在边4 8上，把8 C E沿直线C E翻折，使点8落在对角线Z C上的点尸处，连结。尸，且点E、F、。在同一直线上.(1)若N C E B=7 0 ,则 .(2)当Z E=2时，求8 E的长.小明对求B E的长进行了解答，下面是部分解答过程：如图，设 8E的长为x,则由折叠知，EF=EB=x,N D E C=N B E C.:四边形/8 C O 是矩形，：.A B/C D,DC

3、=A B=2+x.：.Z D C E=ZB EC,.ZDC E=ZDEC,：.DE=DC=2+x.：.DF=2.请你补全余下的解答过程.操作二：如图，矩形纸片中，A B=3,8 c=2,点 G是 8c的中点，点 E是 Z 8边上的一动点，将沿EG所在直线翻折得到式EG,连结。凡 则线段。尸的最小值图4.如图，在 R tZ/8 C 中，N A C B=9 Q ,A B=1 0,AC=8,。是/C 的中点.动点 P 从点 4出发，沿 以 每 秒 5个单位的速度向终点8运 动.连 结 P。，当点P不与点/重合时，以尸。、8 为邻边作平行四边形C D P 0.设点P的运动时间为f (秒).(1)的长是

4、(2)当。时，求 f 的值.(3)设平行四边形C D P Q 与 R t a/B C 重叠部分图形的面积为S,求 S 与 f 之间的函数关系式.(4)若点N为线段月 8中点，当aNCB的某一边把平行四边形C Q P。面积分为1：2两部分时，直接写出f 的值.5.已知：如图，在 RtZvlBC 中，/C=9 0 ,A C=Scm,B C=6 c m.直线 PE 从 8 点出发,以2cw/s的速度向点/方向运动，并始终与8 c 平行，与 4 C 交于点.同时，点尸从C 点出发，以 cm/s的速度沿CB向点B运动，设运动时间为t(s)(0 /AB,过点 8 作 8 E_ L 4 D 于 E.过C作C

5、 r _ L 3尸于点凡 试证明：BE=D E,并求B E的长；若M是/。边上的动点，求 8 C M周长的最小值.图1图2 备用图1 0.【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决(1)若四边形/8 C D是菱形，边长为2,N 4 8 C=6 0,点P是射线8。上一动点，以/尸为 边 向 右 侧 作 等 边 如 图1,连 接C E、则8 P与C E的数量关系为,O E长 度 的 最 小 值 为.【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决：(2)如图2,若四边形/8 C。是正方形，边长为2,点。为8。中点，点P是射线8。上一动点，以N P为斜边在/P边的右侧作等腰/

6、A EP=9 0,连接O E、D E.求：8 P与 的 数 量 关 系；求D E长度的最小值.【拓展应用】(3)如图3,在(2)的基础上，当尸是对角线8。的延长线上一动点时，以N P为直角边在Z P边的右侧作等腰Rt Z i/P E,N A P E=9 Q：连接8 E,若/8=2,B E=6,求5 P E的面积.f EA图1图2A图31 1 .(1)如 图1,四 边 形 是 正 方 形，点E是/。边上的一个动点，以C E为边在C E的右侧作正方形C EF G,连接。G、B E,判断线段。G与8 E的数量关系并说明理由；(2)如图2,四边形488是矩形，A B=3,8 c=6,点E是/。边上的一

7、个动点，以C E为边在C E的右侧作矩形C EF G,且C G：C E=1：2,连接。G、B E.判断线段。G与8 E又有怎样的数量关系，并说明理由；(3)如图3,在(2)的条件下，连接8 G,求2 8 G+8 E的最小值.1 2 .如图，在菱形4 B C D 中,N/8 C=6 0,点E是8。上任意一点，连接Z E,将/E 绕点X逆时针旋转6 0得到线段/凡 连接E R FD.(1)如 图1,当点尸在8。上时，E D与E F的数量关系是；(2)如图2,当点尸在8。外时，(1)的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由.(3)当D E与N Z)满足什么条件时，以4 D,E,尸为顶点的

8、四边形为菱形，直接写出结论.1 3 .如 图1,在 N B C中，/Z C B为锐角，点。为射线8 c上一点，连接Z D,以/。为一边且在AD的右侧作正方形A DEF.(1)如果/8=Z C,ZB A C=9 0,当 点。在线段5 c上 时(与 点8不重合)，如图2,线段C F、8。所在直线的位置关系为，线段C F、8。的数量关系为；当 点。在线段8 C的延长线上时，如图3,中的结论是否仍然成立，并说明理由；(2)如果/8 W/C,/历I C是锐角，点。在线段8 c上，当N/C 8满足什么条件时,C FV B C C,尸不重合)，并说明理由.图 21 4.将边长为4的正方形/8 C D与边长为

9、5的正方形4 EF G按 图1位置放置，与/E在同一条直线上，与/G在同一条直线上.将正方形Z 8 C。绕点力逆时针旋转一周,直线E B与直线D G交于点P.(1)DG与8 E的数量关系:；O G与 的 位 置 关 系:(2)如图2,当点8在线段。G上时，求a z O G的面积.(3)连接P凡 当尸E=4加 时，求尸尸的值.1 5 .如图，在矩形Z 8 C。中，A B=6 cm,B C=1 2 cm,点 P从点、4 沿 4 B向点B以 l cm/s 的速度移动，同时点。从点8沿8 c边向点C以2 c m/s的速度移动.当其中一点达到终点时，另一点也随之停止.设P,。两点移动的时间为xs,求：(

10、1)当x为何值时，尸8 0为等腰三角形；(2)当x为何值时，P B。的面积为5 c/；(3)当x为何值时，P。为等腰三角形.1 6 .如图，矩形Z 8 C。中，A B=4,8 c=8.点E从点“出发沿4。向终点。运动，同时点F从点C出发沿CB向终点B运动，满足A E=CF=a,点。与点D关于直线E F对称，交直线C 8于点G.(1)当点。与点/重合时，求E F的长；(2)若点G在线段8 c上；请直接给出a的取值范围;当8 G=F C时，求G尸的长；(3)以。为直径作。则在点E,F运动过程中，点E是否有可能恰好在。上？若可能，求出。的值：若不可能，请说明理由.1 7.利 用“平行+垂直”作延长线

11、或借助“平行+角平分线”构造等腰三角形是我们解决几何问题的常用方法.(1)发现:如 图1,A B/C D,C 8平分/N C。，求证：4 8 C是等腰三角形.(2)探究:如图 2,A D/B C,B D 平分N 4B C,8 D _ L C 于 O,若 B C=6,求(3)应用:如图3,在。中，点E在40上，且8 E平分乙4 8 C,过点E作E F Y B E交5 c的延长线于点凡 交CD 于 点、M,延 长 到N使8 N=D W,若A D=1,C F=3,tan ZEB F=3,求 M N.图2图31 8.如图，平面直角坐标系中，矩形0/8 C的对角线/C、0 8交于点E,点8的坐标为(1

12、2,6).(1)E点的坐标是：(2)直线A/N过点E,交B C 于点、M,交。/于 点N；把矩形。/8 C沿 直 线 对 折，使点工落在点C处，求Q 0的长；若直线M N绕点E旋转，连接OM,线段B C上是否存在点 ，使得31平分N C M N?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.19.【操作与发现】如图 ，在正方形N8CD中,点、N,朋1分别在边8。、C D h.连接AM、A N、M N.ZM A N=45 ,将4WD绕点/顺时针旋转90,点。与点8重合,得到/8 E.易证：/A N M 迫AANE,从而可得：D M+B N=M N.【实践探究】(1)在图条件下，若C N=6

13、,。0=8,则正方形/8C D的边长是.(2)如图，在 正 方 形 中，点、N分别在边。C、BC上,连接AM、A N、M N,NM4N=45,若tan/BAN，求证：M 是 8 的中点.3【拓展】(3)如图，在矩形N8CZ)中，A B=6,4 0=8,点M、N分别在边OC、BC上,连接 4W、AN,己知/M4N=45,BN=2,则 DW 的长是.20.(1)阅读理解：如图 ，在/8C中，若 A B=8,A C=1 2,求8 C边上的中线4 9的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长/。到点E使。再连接8E(或将绕着点。逆时针旋转180得到E8。)，把“8、A C,24。集中在中，体现了转化和

14、化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断.中线AD的取值范围是(2)问题解决:如图，在 N 8 C中，。是8c边上的中点，DMLDN干点、D,DM交4B于点、M,DN 交 AC 千点、N,连接 M V,求证：BM+CNMN；(3)问题拓展：如图，在四边形 N 8 C Z)中，N 8+N Z)=1 8 0 ,CB=CD,1 1 0 ,以 C 为顶点作一个5 5 角，角的两边分别交4 8,/D于、N两点，连接九W,探索线段BM,DN,M N之间的数量关系，并加以证明.图 图图参考答案1.解：(1)NABF=NACE,理由如下：；CE1BD,AB1.AC,：.ZABC+ZACB=90a=ZDBC

15、+ZECB,：.ZABF+ZDBC+ZACB=ZDBC+ZACB+ZACE,：.NABF=ZACEi(2)PB=PC+aPA,理由如下：如图1,过点工作交BP于点H,：.ZPAH=90=NBAC,:.NBAH=NCAP,：AB=AC,NABF=NACE,:4ABHm 4ACP(ASA),：AH=AP,BH=CP,:AH=AP,/PAH=90,:.H P=A P,：.BP=BH+HP=PC+AP；(3)如图2,延长比1,CE交于点H,设 6 0 与 C E的交点为O,：ABA.AC,AB=AC,：.ZBAC=ZCAH=90,ZABC=ZACB=45,；BD平分乙4BC,:NABD=/CBD=22

16、.5,；N4BD=NACE=22.5,A ZH=61.5=/B C H,:BC=BH,:CELBD,:CO=HO,:ADBC,：.ZHAD=ZABC=45,ZDAC=ZACB=45,:NDAH=/DAC=45,VZ/7=67.5,:/AEH=67.5,：AB=AC,ZBAC=ZCAH=90,NABF=/ACE,ABFm LACH(ASA),：.AF=AH,NAFB=/H=67.5,又：/D A H=/D A C,AE=AE,AHE会 4AFE(SZS),:.EH=EF,NH=N4FE=67.5,ZAEH=Z JE F=67.5,：.ZOEF=ZOFE=45,:OE=OF,:.E F=O E,:

17、EC=2,：.EO+CO=29：.EO+HO=EO+EH+EO=2EOEF=2EO+42EO=2,:EO=2-近,:.EF=2版-2.2.解：V ZACB=90,AC=3f BC=4,”=JA C2+BC2=A/9+16=5,：.AE=2t,：.BE=AB-AE=5-2t；(2):AE=2l,CD=t,C.AD=?-i,:DE/BC,：./XADEsAACB,.A D A E -fA C A B 2 t 3-t5 3解得：尸 生；1 1(3)四边形。EFC是平行四边形，J.EF/AC,EF=CD=t,当点尸在8 c 边的垂直平分线上时，如 图 1,延长E尸交8 c 于点J,A、D-j图1：.B

18、J=CJ,9：EF/AC,.BE B J AE C.T；.8 E=/E=L 8=a,2 2;.2 r=22解得：t,4当点尸在ZC边的垂直平分线上时，如图2,设力。边的垂直平分线交4 c于点、H,G,：.HGAC,V ZACB=90,J.HG/BC,:.N B=N EH F,空=幽=1,BH CG:.BH=AH=LB=旦,2 2：Ef/AC,：.ZHEF=ZA,:.EFHsACB,.EH EF -,AB AC5-3解得：1=生2 2如图3,点 尸 在 边 的 垂 直 平 分 线 上 时，设 边 的 垂 直 平 分 线 交 于 点K,图3J.FKVAB,B K=4 K=LB=,2 2：.NEKF

19、=NACB=90,：EF/AC,：.ZK E F=ZA,.EFKsAABC,.E K E F -，A C A B,-T3 5解得：z=2 5,2 6综上所述，当点F落在N 8 C 一边的垂直平分线上时，/的 值 为 型 或 空 或2 2 2 6 43 .解：(1):把8 C E沿直线C E翻折，：.ZCEB=ZDEC=70,/.ZDEB=40,:A B II3,：.ZEDC+ZDEB=180,：NEDC=40,故答案为：4 0；(2)如图，设B E的长为x,则由折叠知，EF=EB=x,ZDEC=ZBEC,四边形4 8 C。是矩形，:.ABCD,DC=AB=2+x,：.4DCE=4BEC,：.Z

20、DCE=ZDEC,D E DC2+x.D F=2,：ABH CD,AEFs/CDF,.D C D F,A E E F x+-2-_-2，2 x-1 或 x=-V5-1 （舍去）,.BE的 长 为&-1；:.CD=AB=3,NC=90,；点 G 是 8 c 的中点，：.BG=CG=BC=,2*-DG=VD C2-K：G2=V9+I=Vi o，由翻折得FG=8G=1,:DF+FG?DG,/.O F+IVTO，/.D F&VTO-1,.F的最小值为 记-1.故答案为：V io-1.4.解：（1）V ZACB=90,AB=0,AC=S,BC=VAB2-A C2=V1 02-82=6-故答案为：6；(2

21、)如 图 1中,25(3)如图2-1 中，当 0 tW l时，重叠部分是四边形。P 0,过点P 作尸/L 4 C 于点H.5如图2-2 中，当 l=3但 (1 0 -5f)+5 X 3/=-6 f 2+驾.2 5 21 2 t(0 t l)(4)如图3-1中，设C N交P。于点7.,:P T A C,.P T =NPA C NA.1一5-5t6 5:“=旦.6如图3-2中，设C N交O P于点T,过点。作。G C N交 于 点G.当。7=2尸7时，满足条件.：AD=DC,DG/CN,：.AG=GN=2.5,：TN/DG,P T =P ND T 丽 5t-5 _ 1 2.5 T4如图3-3中，设

22、B C交尸0于点K,当0 K=2 P K时，满足条件.（10-3 5.,_ 5 I-.3综上所述，满足条件的t 的值为5或5或6 4 35.解：（1）在 R tZ /8C 中，VZC=90 ,/C=8,BC=6,VAC2+B C2=V82+62=10,：PE/BC,PA=PE=AE*AB BC 而，.10-2t _PE_AEib-V V：.PE=(10-2r),4E=&(10-2t),5 5当PE=C尸时，四边形PEC产是矩形，(10-2t)=t,5解得，=毁.11(2)S=PECE2=JLX3(io-2?)X8-A (10-2t)12 5 5=-处於+骂.25 5(3)当尸E=8尸时，尸F经

23、过BE的中点，则有3(10-2/)=6-t,5解得，=0,不合题意，.不存在某一时刻3使尸尸经过8 的中点.6.(1)解：I在Z8C 中，NC=90 中，BC=4,AB=5,Z C=VAB2-BC2=VS2-42=3,故答案为：3；(2)证明：在 中，NDO4=90,：.OD2+OA2=AD2,同理：OD2+OC2=CD2,OB2+OC2=BC2,OA2+OB2=AB2,:.AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2,AD2+BC2OD2+OA2+OB2+OC2,:.AB2+CD2=AD2+BC2；(3)解：连接CG、A E,设ZG交CE于/,4B交CE于J,如图3所示:：四边形BCFG和

24、四边形ABED都是正方形，：.ZGBC=ZEBA=W,AB=BE=4,BG=BC=3,NGBC+NCBA=NEBA+/CBA,/ABG=ZEBC,在/8G和 E B C中，AB=BEBG=BC:.XABG妾 XEBC(”S),NBAG=/BEC,：NAJI=ZEJB,：.ZEBJ=ZAIJ=90,J.AGLCE,由(2)可得：AC2+GE2=CG2+AE2,在 R tZ C 8G 中，CO=Be+B,即 C G2=32+32=1 8,在 R tZ MB E 中，AE2=BE2+AB2,即 AE2=42+42=32,在 Rt ZWC 中，AB2AC2+BC2,即 42=3+3 2,：.AC2=7

25、,：AC2+GE2=CG2+AE2,即 7+G =1 8+3 2,；.GE2=43.图37.解：（1）结论：EF=BE+DF.理由：如图1,延长C8到点G,使BG=DF,连接/G,图1在a/B G和4。尸中，B A=D A,NA B G=NA D F，BG=DF丝/尸(”S),；.NBAE=NDAG,AFAG,NFAG=NDAB,：ZEAF=ZDAB,2:.NEAF=NEAG,在4E F和 NE G中，AE=AE*ZEAF=ZEAG)AF=AG；./&A 4E G (S S S),：.EF=EG=BE+DF.故答案为：EF=BE+DF-,(2)仍成立，理由：如图2,延长E D到点G,使Q G=

26、8 E,连接NG,图2：ZB+ZADF=O,ZADG+ZADF=SOQ,NB=NADG,在Z 8E和 Z O G中，A B=A D NB=NA D G=90 ，B E=D G:.B E/A/D G (S/S),A ZBAE=ZDAG,AE=AG,：.NFAG=NDAB,NEAF=L/DAB,2：.NEAF=NEAG,在4EF和/E G中，A E=A EA F=A G.,.AEFQAEG(555),:.EF=EG=BE+DF；(3)结论：ZEAF=SO-1 ND4B.理由：如图3,在。C延长线上取一点G,使得DG=BE,连接NG,图3V ZABC+ZADC=180,ZABC+ZABE=180,Z

27、ADC=ZABE,在/BE 和ZZ)G 中，A B=A D,B E=G FA/ABE/ADG(SAS),：.AG=AE,NDAG=NBAE,在/尸和ZGF中，A E=A G,A F=A F E F=G F:.AEF/AAGF(SSS),，ZFAE=NFAG,V ZFAE+ZFAG+ZGAE360,：.2ZFAE+QGAB+NBAE)=360,：.2ZFAE+(ZGAB+ZDAG)=360,即 2/川E+/Z)A8=360,；./E/F=180-L/D A B.28.解：(1)如 图1,连接N C,延长CE交4D于点H,图1.四边形”CZ)是菱形，:.AB=BC,V Z/45C=60,*./AB

28、C是等边三角形，：.AB=4C,/A 4c=60；:/P E是等边三角形，：.AP=AE,ZPAE=60,二 ZBAP=ZCAE=600-APAC,：./BAP/CAE(SAS),:.BP=CE；四边形/8C。是菱形，A ZABP=ZABC=30,2：.NABP=/ACE=30,V ZACB=60,:./BCE=600+30=90，:CEIBC；故答案为：BP=CE,CEBC；(2)(1)中的结论：BP=CE,CELAD仍然成立，理由如下:如图2中，连接力C,设CE与4交于H,图2 菱形 46CQ,NZ8C=60,/8 c和4C O都是等边三角形，；.AB=AC,ZBAD=20,ZBAP=20

29、-/DAP,:ZPE是等边三角形，：.AP=AEf NPAE=60,：.ZCAE=60+60-ZDAP=20-NDAP,：.NBAP=NCAE,:.AABPAACE(SAS)f:.BP=CE,N4CE=N48D=30,：.ZDCE=30,V ZADC=60,:NDCE+NADC=90,：.ZCHD=90,：.CE.LAD；,:ADBC,：.CE1.BC.：.(1)中的结论：BP=CE,CEAD仍然成立；(3)如图3中，当点P在3。的延长线上时，连接力C交8。于点O,连接CE,BE,作 EFL A P 于 F,F.四边形/B C D是菱形，J.A C L B D B D 平分N A B C,：Z

30、 A B C=6 0 ,AB=2e.480=3 0 ,：.A O=A B=43,O B=yf 3A O=3,：.B D=6,由(2)知 C E J_/),.A D/B C,：.C EL B C,：B E=2 T ,B C=AB=2M，C=V (2 V 1 9)2-(2 V 3)2=8，由(2)用 B P=C E=8,：.DP=2,：.O P=5,/尸=、0 A 2 40 P 2 r (时 产+5 2=2后,/是等边三角形，S出=X(24)2=7日，4如图4中，当点尸在。8的延长线上时，同法可得/=1皿2皿2 =(6)2+仔=2 7 1，综上所述，ZU EP的面积为7窝 或 319.解：（1）:

31、将ABC E绕B点旋转,8 c 与 8/重 合，点 E 的对应点尸在D 4 的延长线断：.ZABF=NCBE,BF=BE,.四边形N8CO是正方形,A ZAB C ZD=90,：.N4BE+/CBE=9Q,；.24BE+N4BF=90,即 NE8尸=/。=90,:.NEBF+ND=180,:NEBF=90,BF=BE,二四 边 形 下 是“直等补”四边形.故答案为：是；(2)证明：:四 边 形 4 5 8 是“直等补”四边形,AB=BC=10,8=2,ADAB,：.ZABC=90,/4 8C+NO=180,NQ=90,BE LAD,CF1BE,:NDEF=90,NCFE=90,四边形CQ是矩形

32、，:DE=CF,EF=CD=2,V ZABE+ZA=90,ZABE+ZCBE=90,NA=NCBF,：/A E B=/B F C=90,AB=BC,:.4ABE经 ABCF(AAS)f:.BE=CF,AE=BF,:DE=CF,：.BE=DE；四边形C O M 是矩形，:.EF=CD=2,*.LABE 学 dBCF,：.AE=BF,：.A E=B E-2f设 B E=x,贝 ljR E=x-2,在 RtZXZBE 中，N+(x-2)2=i()2,解得：x=8 或 x=-6 (舍去)，3 E 的长是8；5CM 周长=3C+8A-CA/,当 BM+CM的值最小时，4B C M 的周长最小，如图，延长

33、CD到点G,使。G=C。，连接8 G 交 4。于点，过点G 作 G/L3C,交 B C的延长线于点，V 90 ,.点C与点G关 于 对 称，/.BM+CM=BM+MGBG,B P BM+CMBM+M C,，当点A/与 重合时，BM+M。的值最小，即的周长最小,在 R tA/1 5E 中，=AB2-B E2=V 1 02-82=6，.四边形N8C Z）是“直等补”四边形，4+/8 C D=1 80 ,：ZBCD+ZGCH8O0,NA=NGCH,*：NAEB=NH=90,MABEs XCGH,.B E _ A E _ A B _ 1 0 _ 5 叩 8=8-2 _ 5G H C H C G T 7

34、 G H=C H 蒙：.GH=,C H=,5 5：.BH=BC+CHW+=,5 5,，-SG=VBH2-H3 H2=J （詈）2 +（当）2=2 退 1，5C A Z 周长的最小值为2y l+1 0.1 0.解：（1）连接/C,如图：.四边形4 8 8 是菱形，:.AB=BC=CD=AD,；N4BC=6Q=ZADC,：./ABC和/D C 是等边三角形,J.ABAC,NB4C=60；4P E 是等边三角形，：.AP=AE,ZPAE=60,：.ZBAP=ZCAE=60Q-APAC,:.4BAP丝ACAE(SAS),:.BP=CE；/ABP=NACE,四边形N8CD是菱形，ZABC=60,尸=30

35、,A ZACE=3Q,延长CE交/。于K,则E在射线CK上运动，当。E J_C K,即 与长重合时，DE取最小值，如图：ZACE=30-ZDCK,4 c z)=4 O C=6 0 ,：.NCKD=9/,：.D K=C D=X2=l,2 2.DE的最小值为1,故答案为：BP=CE,1；(2)连接力O,如图：.四边形/8 C D是正方形，。是8。的中点,是等腰直角三角形，:.NB4O=45=N ABO,坦=&,A 0NPE是等腰直角三角形，.ZPAE=45,处=&,A E:.NBAO=NPAE,坦=坦A O A E:.NBAP=NOAE,:A A B P sA A O E,AB P =A B =Z

36、ABP=ZAOE=45a,O E A O:.B P=E O；延 长 OE交于T,如图：V ZAOE=45,在射线07 上运动，当 DEI.O T,即E与 7 重合时,D E取最小值,:正方形N8C D,A ZADB=45,V ZDOT=900-NAOT=90-45=45,AZ O T O=90 ,/o。是等腰直角三角形，.=LZ)=.X2=1,2 2.D E 的最小值为1；(3)连接/C交 8。于点F,过点E作 E G L 8 尸交直线8 P于点G,如图:四边形N 8 C D 是正方形，AB=2,:.BC=AB=2,NBAD=90,ACLBD,；./8。=45,NAFB=NAFD=90,：.Z

37、BAC=45,NFAP+NAPF=9G,：.AF=BF,.BF=AF=ABsin45=&,在 Rtz/PE 中，ZAPE=90,AP=PE,.N/PF+/EPG=90,NFAP=Z.EPG,.EGLBG,：.ZA F P ZPGE90,：.A F A P g/G P E (AAS),：.FP=EG,P G=A F=M，在 RtZXEGB中，由勾股定理得，BE2-=BG2+EG2,设 FP=EG=x,62=(2*/+x)2+X2解得，X I=4-J ,X2-4-5/2(舍去)，:.F P=4-近=EG,BP=FP+BF=4-如+如=4,，S4BPE=LBP.E G=LX4义(4-2)=8-2&-

38、2 211.解：DG=BE.理由：:正方形4 8 8,:.CD=CBNBCD=90,.正方形ECGF,:.CG=CENECG=90,:.NECG=NBCD=90,4DCG=NBCE,在DCG和BCE中，CD=CB：.2BG+BE的最小值为410.1 2.解：(1)I将/E绕点力逆时针旋转60得到线段/尸，：.AE=AF,NE力 尸=60,.NEF是等边三角形，A ZJF=60,EF=AF,.四边形48CO是菱形，.N C=/8C=60,N/O 8=2/O C=30,2A ZDAF=ZAFE-ZADB=60-30=30,：.ZFAD=ZFDA,:.FA=FD,：.FD=EF,故答案为：FD=EF

39、；(2)(1)中结论仍然成立，连接NC,CE,AD由(1)知，ZEF是等边三角形，：.AE=AF,ZEAF=60,四边形Z8CZ)是菱形，:.AD=CD,NAOC=60,8。垂直平分 4C,*.XACD是等边三角形，；.CA=AD,ZCAD=ZEAFf：.ZEAC=ZDAF,：./XAECAFD(SAS),:CE=DF,3 0垂直平分ZC,：AE=CF,：AE=EF,：.EF=DF；(3)当点尸在4)下方时，若四边形NEED是菱形，；AD=AE,同理可得/力 上。=120,NADB=NAED=3Q:.D E=M AE-当点尸在“。的上方时,如图，彳:.AD=MDE,综上：D E=a A E 或

40、 4D=MDE.13.(1)证明：正方形/Q E F 中，AD=AF,:NBAC=NDAF=90,；.NBAD=NC4F,又,：AB=AC,:.D4BWAFAC(SAS),：.CF=BD,ZB=ZAC F,：.ZACB+ZACF90Q,即 CFJ_8.故答案为：垂直，相等；解：当点。在 BC的延长线上时的结论仍成立.由正方形ADM 得ND4/=9 0 度.；NBAC=9Q,/NDAF=NBAC,：.ZDAB=NFAC,又；4B=AC,:./D AB会/FAC(SAS),:.CF=BD,ZACF=ZABD.：ZBAC=90,AB=AC,：.ZABC=45,A ZACF=45a,Z BCF=ZAC

41、B+ZA CF=90 度.即 CFBD.(2)解：当/Z C 8=45 时，CFA.BD(如图).理由：过点/作/G L Z C 交 C 8 的延长线于点G,则N G 4c=90,V ZACB=45,ZAGC=90Q-ZACB,：.ZAGC=90-45=45,NN C 8=/Z G C=45 ,：.AC=AG,：N D 4 G=/F/C (同角的余角相等)，AD=AF,：./GAD/CAF(SAS),A ZACF=Z AGC=45,ZBCF=ZACB+ZACF=450+45=90,B P CFLBC.1 4.解：（1）如图1,四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，:.AD=AB,NDAG=N

42、BAE=9G,AG=AE,在/O G与中，A D=A B,Z D A G=Z B A E A G=A E：.ADG/ABE SAS,；.NAGD=NAEB,DG=BE,在/OG 中 NZGD+N/lOG=90,：.N4EB+N4DG=90,在尸中，NAEB+N4DG+NDPE=18。,:.NDPE=90,:.DGLBE；故答案为：相等，垂直；(2)如图2,当8在线段。G上时，连接ZC交于点C.ACLBD,:.NAOD=/4OB=90,在 R tZ X/O。中，AD=4,：.OD=AO=J-AD=2 /2.2图2在 R tZ X/O G 中，AG=5,O G=VAG2-A 02=7 52-(2

43、V 2)2=V 1 7，:.DG=OG+OD=2 V 2 +71 7-=(2 V 2+V T 7)X 2 V 2=4+V 3 4；(3)如图3,连接G E,则 GE=AE=5瓜由(1)知，DG1.BE,：.ZGPE=90,PG=VGE2-PE2=7(5 V 2)2-(4 V 2)2=3 V 2，延长PE至，.使E”=PG,连接E 4,PH=PE+EH=PE+PG=1,:NGFE=NGPE=90,：.ZFGP+ZFEP=SOQ,:NFEP+NFEH=T80,ZFGP=ZFEH,：FG=FE,:.AFGPAFEH(SAS),：.FP=FH,NGFP=NEFH,ZPFH=ZPFE+ZEFH=ZPFE

44、+ZGFP=ZEFG=90,.P H/是等腰直角三角形，1 5.解：(1)四边形Z 8 8 是矩形，：.CD=AB=6cm,AD=BC=2cm,N4=N8=NC=90,根据题意得：AP=xcm,BQ=2xcm:BP=(6-x)cm,CQ=(12-2x)cm,当PB。为等腰三角形时，BP=BQ,.*.6-x=2x,解得：x=2,即当x=2 时，PB。是等腰三角形；(2)由题意得：A (6-X)2x=5,2整理得：x2-6x+5=0,解得:X=1,X2 5，答：当x 为 1或 5 时，PB。的面积为5a2；(3)根据题意，分两种情况：当时，如 图 1所示：在 RtZX/PD 和 RtZiCZ)。中

45、，由勾股定理得：DP2=x2+22,DQ2=62+(12-2x)2,：.+22=62+(12-2x)2,解得：x=8-2 岳 或 x=8+2行(不合题意舍去)，；.x=8-213；当。=。时，如图2 所示：在 RtZXBP。和 中，2。2=(6-x)2+(2 x)2,OQ2=62+(12-2A-)2,(6-x)2+)2=62+(12-2%)2,解得：X=6A/13-18或 x=-6/石-18(不合题意舍去)，：.x=6y/13-18.综上所述，当x为(8-2 0 5)或(6 0 5-1 8)时，P。是等腰三角形.1 6.解：设。与E F交于点N.(1)如 图1,由折叠的性质可知4 =。,N A

46、 EF=N DEF=9 Q ,四边形NB F E是矩形，：.E F=A B=4；(2)根据点E的运动，当点。与 点 重 合 时，此时。为满足题意的最大值，如图2 -1,由折叠可知B E=D E=8 -a,在 中，/=90 ,由勾股定理可知，A B2+A E2=B E2,即 42+a2=(8-a)2,解得a=5；当点E与点4重合时，a最小，如图2-2,此时a=0,故。的取值范围为：0 W a W 5；故答案为：0 W 0 W 5；如 图3,连接E G,:A E/B C,A E=B G=C F=a,二四边形/8G尸是平行四边形，尸G=8-2 a,D E=S -a,：Z J=90 ,平行四边形NB

47、G F是矩形，A ZA EG ZB G E=9 Q ,EG=A B=4,：.N DEG=N E G C=9 0 ,:.N G EF+N DEF=9 0 ,由折叠可知，NEND=90,；.NEDN+NDEF=90,：.NGEF=NEDN,:A D E GSAEGF,:.DE：EG=EG：G F,即(8-a)：4=4：(8-2a),解得a=6-2代 或“=6+2旧8,舍；.G尸=8-2a=4禽-4；(3)可能，理由如下：如图4-1,当点。在8 c的下方时，由题意可知，OD=OE=OD,NEOD=NEOD=90,：./EOD,/E O D 是等腰直角三角形，A ZODE=ZDEO=ZED)=45：.

48、ZDED=90,设E。与8 c交于点M,V Z J=Z5=90,四 边 形 是 矩 形，：.AE=BM=a,AB=EM=4,NEMF=90,是等腰直角三角形，：.EM=MF=4,:.BM=CF=2,即 a=2：如图4-2,当点。在8 c的上方时，延长。E交BC于 点、M,由题意可知，OD=OE=OD,ZEOD=ZEOD=90,：./EOD,A E O D 是等腰直角三角形，：.NODE=NDEO=/ED)=45：.ZDED=/AEM=90,ZFEM=45Q,；NA=NB=NADC=NBCD=90,，四边形/BME,EA/CQ是矩形，：.AE=BM=a,AB=EM=4,NEMF=90,Of=CA

49、/=8-a,.EA/F是等腰直角三角形，：.EM=MF=4,：.BF+CM=4f即 8-a+8-a=4,解得 a=6；综上，点E是否有可能恰好在OO上，此时。的值为2或6.图11 7.(1)证明：:ABCD,：./B=/B C D,；CB 平 分N4CD,，NACB=NBCD,：.ZB=ZACB,*AC=ABi./8C是等腰三角形:(2)解：如图2,延长54、CD交于点、E,；BD 平分N/BC,工 /D B E=ZDBC,9BD.LCD,：.ZBDE=ZBDC=90,又：BD=BD,:BD E/ABD C CASA）,:.BE=BC=6,ED=CDf:AD/BC,点4是B E的中点，：.AB

50、=BE=3；2（3）解：如图3,延长A 4、F E交于点、G,连接8。，过点8作于点”,/四边形ABCD是平行四边形，:.ABCD,AD/BC,BC=AD=7,:.NAEG=N F,BF=BC+CF=7+3=13BE 平分4 B C,:./G B E=/F B E,：EFA.BE,：/BEG=NBEF=9Q,又,：BE=BE,:.BEGQXBEF（ASA）,：.BG=BF=Q,N G=N尸，:,/G=/A E G,：.AE=AG,同（1）得：AE=AB,.AE=AB=AG=BG=5f2在 R tZ S B E T7 中，ta n/8F=2 2=3,B E:.EF=3BE,设B E=a,则在R