2023年电大经济数学基础期末复习指导考点版.pdf

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1、经济数学基础第 一 部 分 微 分 学一、单项选择题1.函数y xl g(x+l)的定义域是（1。且 犬/0）2.若函数/（X）的定义域是 o,1 ,则函数/（2 的定义域是（-0 0,0 ）.3 .下列各函数对中，（/（x）=s i n 2 x +c o s 2 x,g（x）=l）中的两个函数相等.4.设/（%）=工 +1,则/（/（x）=（J）.X 1 +Xx 15 .下列函数中为奇函数的是（y =In-。）.x+l6 .下列函数中，（y =l n（x-l）不是基本初等函数.7.下列结论中，（奇函数的图形关于坐标原点对称）是对的的.J+2x8 .当X -0时，下列变量中（-）是无穷大量.X

2、Y9 .已知/（%）=-1 ,当（X-0）时，/（X）为无穷小量.t a n xs i n x 八.-,xwO1 0 .函数/（x）=,X 在 x=0处连续，则 左=（1。）.k,x =0,1,x 01 1.函数/（尤）=在/=0 处（右 连 续）.1,x 01 11 2.曲 线 y 在 点（0,1）处的切线斜率为（一 一）.V7+T 21 3.曲线y =s i n x 在点（0,0）处的切线方程为（y =x ）.1 4.若函数/(-)=%,则/(x)=(二).X X1 5 .若/(x)=x c o s x ,则/(x)=(2s i n x x c o s x ).1 6 .下列函数在指定区间

3、（-8,+8）上单调增长的是（e ）.1 7 .下列结论对的的有（不 是f（x）的 极 值 点）.1 8 .设需求量q 对价格。的函数为q（）=3 2 J ，则需求弹性为,=（_）.二、填空题x+2,1.函数/(X)=2-5 x 0的定义域是5-区 20 x 22 .函数/(尤)=l n(x +5)r=i=的定义域是(-5,2)y/2-X3.若函数于(x+1)=X?+2 x 5,则 f(x)=x2-6C 7 1 34.设函数/(w)=u -1,u(x)=,则/(2)=x41 0v+10-r5.设/(X)=-,则函数的图形关于四对称.6.已知生产某种产品的成本函数为C(q)=8 0 +2 4,则

4、当产量4二5 0时，该产品的平均成本为注7.已知某商品的需求函数为Q=1 8 0 -4夕，其中为该商品的价格,则该商品的收入函数万(。)=45 0 时，/(%)为无穷小量.X-2-1 ,1 0.已知/(x)=1x-l，若 在(-8.+Q O)内连续，则4=2.a x=l1 1.函数/(X)=1的间断点是X =01 2.函数/(x)=-5-的连续区间是(一0 0,-1),(1,2),(2,+8)(x +l)(x-2)1 3.曲线y =石 在 点(1,1)处的切线斜率是y(l)=0.5.1 4.函数y =X 2+1的单调增长区间为(0,+o o)1 5.已知/(x)=ln2 x,则 f(2)=91

5、 6 .函数y =3(x-l)?的驻点是x =1_p_1 7.需求量g对价格的函数为q(p)=1 0 0 x e 2,则需求弹性为纥,_220 21 8.已知需求函数为0 x.4JV+3.(x-3)(x 1)lim-=lim-s3 sin(x-3)I sin(x-3)tan(x-1).lim-=lirn3 X+X 2 1 1limX-00lim-xlim(x-l)=2tan(x-1)(x+2)(尤一 1)=.l im-1-1-.limta-n-(-x-1-)-=-1 x lt =-1-I x+2 I x-1 3 3(1-2X)5(32+X+2)(-3)6)=limXoo1 -2)5(3+1 +

6、：)X X 厂j 3(1-)(2-)6X X)(-2)5 x 3 _ 3-2-27.解:y(x)=(2,_2)=2,2 _-xsinx-cosxX X c xsinx+cosx=2 In 2+-x8.解 f(x)=2 In 2 sinx+2 cosx+x9.解 由于 y=(52COSJC)/=52COSX In 5(2cosx)r=-2 sin x52cosr In 5C n,兀 7 1 2cos-所以 y(-)=-2 sin-5 2 In5=-21n52-io.解 由于 y=(nx)3(In x)=2(Inx)-3 =2J3x 3x Vin x2所以 dy=-T=6X3x Vin xi i.

7、解 由于 yr=es,nx(sin x)z+5cos4 x(cosx),=es,nxcosx-5cos4 xsinx所以 dy=(es,n cosx-5cos4 xsinx)dx12.解 由 于 yr2 3COS X(x3),+2-ln2(-xy13x2-2 Tc o s x-2r In 23/所以 dy=(-2-x In 2)d xCOS X1 3.解 y(x)=-s i n 2(2*)-c o s x 2(x 2)=-2 s i n 2 In 2-2x c o s%214.解：y(x)=3 In2 龙(In x)+e-(-5 x)31 n2x 5*=-5 ex15.解 在方程等号两边对x求

8、导，得 jl n(l +x)r +(e),=(e2yy l n(l +x)H-F ex v(y +盯)=01 +x l n(l +x)+XQxyy=-y e*v1 +x田 、,，y+(l+x)yexy故 y=-(l +x)l n(l +x)+x eA y16.解对方程两边同时求导，得y c o s y +e，+x e y =0(c o s y+xey)y，=-evy(x)=-c o s y+x e 17.解:方程两边对x求导，得/=ey+x eyy，e，y =-l-x eJ当 x =0时，y =1所以，曳=上Ld x=0 1-O x e11 8.解 在方程等号两边对x求导，得 c o s(x+

9、y)f+(ev)=(九)-s i n(x+y)l +y +e)y =1ey-s i n(x+y)yr=l +s i n(x+y)1 +s i n(x+y)e，-s i n(x+y)故 d y =sin(x+)也e，-s i n(x+y)四、应用题1.设生产某种产品X个单位时的成本函数为：C(x)=1 0 0 +0.25 x 2+6 x(万元)，求：(1)当x =1 0 时的总成本、平均成本和边际成本；(2)当产量X为多少时，平均成本最小？1 .解(1)由于总成本、平均成本和边际成本分别为：C(x)=1 0 0+0.25 +6 xC(x)=+0.25 X+6,C(x)=0.5 x +6X所以，C

10、(1 0)=1 0 0 +0.25 X 1 02+6 x 1 0 =1 8 5C(1 0)=+0.25 x 1 0 +6 =1 8.5,1 0(7(1 0)=0.5 x 1 0 +6 =1 1(2)令 C (x)=+0.25 =0,得 x =20 (x =-20舍去)x由于x =20是其在定义域内唯一驻点,且该问题的确存在最小值，所以当x =2 0 时,平均成本最小.2.某厂生产一批产品,其固定成本为2 0 23元,每生产一吨产品的成本为6 0 元，对这种产品的市场需求规律为4=10 0 0-10/2(4 为需求量，为价格)2.解 (1)成本函数 C(q)=6 0 q+20 23.由于 q-1

11、0 0 0-10/2,即 p =10 0 卡(7，1 1 2所以 收入函数R(q)=p x =(10 0-)=10 0 -.1 2(2)由于利润函数乙(q)=R(q)-C(4)=10 0 q 记 会-(6 0 g+20 23)1 2-4 0 -20 231 ,且 Z/(9)=(40 q-历 产2 0 23)=40-0.2夕令/(4)=0,即40-Q.2 q=0,得q=20 0,它是Z X )在其定义域内的唯一驻点.所以，(7 =20 0 是利润函数乙(“)的坡大值点，即当产量为20 0 吨时利润最大.3.设某工厂生产某产品的固定成本为5 o o o o元，每生产一个单位产品，成本增长10 0元

12、.又己知需求函数q =20 0 0 4，其中p为价格，q为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（D价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？3.解(1)Cp=5 0 0 0 0+1 0 0 得1 =50,%=50(舍去),%=5 0是石 在其定义域内的唯一驻点.所以，/=5 0是C(q)的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品.第二部分 积分学一、单项选择题1.在切线斜率为2%的积分曲线族中,通过点(1,4)的曲线为(y=/+3).2.若 f(2x+A)dx=2,则4=(1).Jo3.下列等式不成立的是(In.rdx=d().xX1 X4.若 j/(x)d x =-e +c,则/z

13、(x)=(-e ).5.jA d(e-)=(x e x+e-x+c).6.若J/(x)e d x =e +c，则/(*)=(3)7.若F(x)是/(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(/(x)dx=F(x)-F(a).J aI e、_ e t8.下列定积分中积分值为0的是(J :y dx)r+8 19.下列无穷积分中收敛的是(|d x).Ji%21 0.设H(g)=10 0-4g,若销售量由1 0单位减少到5单位，则收入户的改变量是(350).11.下列微分方程中，(yy+盯2=e )是线性微分方程.12.微分方程(y)2+y(y)3 +盯4=0的阶是(口二、填空题1.d je-A d r=

14、e-1 d r2.函数/(x)=sin 2 x的原函数是一：cos2x+c(c是任意常数)3.若 J f(x)d x =(x+1)2+c,则 fix)-2(x+1)4.若 J/(x)(lr =尸(x)+c,则 J e-*/(e T)d r=-F(e-*)+cd/25.|ln(x+l)dx=o6 ._ 7 _ j-d x=0（X1 2+1）2=1 z(x2 +c2x、)1l n x-x+c2 4f+0 0 I7 .无穷积分-7d x是收敛的（判别其敛散性）J。（X+1）238 .设边际收入函数为R ）=2+3/*s-J -=dx 4 2 y7 .解 J d r =/1 -d(l +l n x)=

15、2j l +l n x=2 4-l)xV l +l n x J l V l +l n x 1 1n 7 t1 2 1 r-1 2 18 .解 2 xc o s2A d x=x s i n 2 x-2 si n 2A d厂 一c o s2x 二 J。2 o 2 J。4 0 29.解法一 1l n(x+l)d%=xl n(x+1)|-1-J J X dx=e-l-(1-=e -1-x-l n(x+1)Q-1=I n e =i1 0 .由11.解法二 令=X +1,则 l n(x+l)c b:=沈 =e-“；=e-e +1 =119解 由于 尸(x)=，Q(x)=x +1。X-f ld r用公式 y

16、 =e ix J (x2+l)e dd x +c =e-lnq j(x2+l)elnAd x +c=1 r x4+x2 +c.=X3 +X+cX 4 2 4 2 X/八 1 3 1c 7 ,y(l)=i-1=-,得 c=14 2 14X 1所以,特解为 y-1-14 2 x解 将方程分离变量：yeydy=-e3 vd r1 2 1 Q等式两端积分得 一一e-，=一一 e3 v+c2 3将初始条件y(-l)=Q 代入，得-e-32=-e-3+c,c3=-e-36所以,特解为：3 e-厂=2 e3 i+e-31 2.解:方程两端乘以，得Xy 二 I nxx x2 x即(“4X X两边求积分,得 2

17、 =1 y 3 d x =f I n x d(ln x)=%+cx x J 2x ln2 x通解为：y =-+ex2由 M x =1 ,得 C =1x ln2 x所以,满足初始条件的特解为：y =+%1 3.解 将 原 方 程 分 离 变 量-=c otx d x)ln y两端积分得 l n ln y=I n f s i n x通解为 y=ers,n x1 4 .解 将原方程化为：y-l y=-L,它是一阶线性微分方程，x I n xP(x)=-,。(尤)=Jx I n x一f p(X)d Vr /八/、f P(A)d l t ,、f 1用公式 y =e J J Q(x)e d x +c j=

18、eJ x j e)x d v+c j=elnv f e-lnAd x +c =x f !c k +c J I n x J x ln x=x(ln I n x +c)1 5 .解 在微分方程 y=2 x y 中，P(x)=1,Q(x)=2 x由通解公式 y =e，th(j2 A e Ld x +c)=ex(j 2 A e d x +c)=ex(2 xex 2 Jexdx+c)=ex(2 xex-2 e +c)=(2 x-2 +c e-x)1 6 .解：由于尸(x)=,，Q(x)=sinx,由通解公式得xj-d rsinx e x d%+c)=e-I n x(j sin x eln vd r +c

19、)=(jx sin A d%+c)=(-x c osx +sin%+c)x四、应用题1 .投产某产品的固定成本为3 6（万元），且边际成本为C（X）=2 x +4 0（万元/百台）.试 求 产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时，可使平均成本达成最低.1.解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为A C =J：(2 x +4 0)d x=(产+4 0 x)|=1 0 0(万元)CWU +C o又 C(x)=-x+4 0 x +3 6x,4。+至X令 C(x)=1 -=0,解得x =6.x:6是惟一的驻点,而该问题的确存在使平均成本达成最小的值.所以产量为6百台时可使平均成本达

20、成最小.2.已知某产品的边际成本C（力=2（元/件），固定成本为0,边际收益Rf U）=1 2 -0.0 2不问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产5 0件,利润将会发生什么变化？2 .解由于边际利润L(X)=R(X)-c x)=1 2-0.0 2 x -2 =1 0-0.0 2 A-令 Z/(X)=0,得 x =5 0 0 x=5 0 0 是惟一驻点,而该问题的确存在最大值.所以，当产量为5 0 0 件时，利润最大.当产量由5 0 0 件增长至5 5 0 件时，利润改变量为f 5 5 O c|5 5 0L =L o(1 0 O.O2 x)d x =(K)x 0.0 1 尤2 儿

21、 皿=5 00 -5 2 5 =-2 5 (元)即利润将减少2 5 元.3 .生产某产品的边际成本为C (*)=8 x(万元/百台)，边际收入为/?(*)=1 0 0-2 x(万元/百台)，其中x 为产量，问产量为多少时,利润最大?从利润最大时的产量再生产2 百台，利润有什么变化？3 .解 7/(*)=R(x)-C(%)=(1 0 0 -2 x)-8 x =1 0 0 -1 Ox 令 Z/(x)=O,得 x =1 0(百台)又 x=1 0 是 A (x)的唯一驻点，该问题的确存在最大值，故4=1 0 是 Z (x)的最大值点，即当产量为1 0(百台)时，利润最大.又 L =J：L(x)d b

22、c =J：(1 0 0-1 0 x)c k =(1 0 0 x 5/)|：=2 0 a即从利润最大时的产量再生产2 百台,利润将减少2 0 万元.4 .已知某产品的边际成本为C (x)=4 x-3 (万元/百台)，x 为产量(百台)，固定成本为1 8 (万元)，求最低平均成本.4 .解：由于总成本函数为C(x)=J (4 x -3)d x =2 x2-3 x +c当*=0 时，C(0)=1 8,得 c =1 8即 C(x)=2 x2-3 x +1 8“、c(x)c c 1 8又平均成本函数为 A(x)=1=2 x 3 +X X 8令 A(x)=2 一?=O,解得 x=3 (百台)X该题的确存在

23、使平均成本最低的产量.所以当X =3 时，平均成本最低.最底平均成本为1 8A(3)=2 x 3 3 d.-9 (万元/百台)35.设生产某产品的总成本函数为C(x)=3 +x(万元)，其中x 为产量，单位:百吨.销售x 百吨时的边际收入为R(x)=1 5-2 x (万元/百 吨)，求：(1)利润最大时的产量；(2)在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨，利润会发生什么变化？5.解：由于边际成本为C(x)=l,边际利润L(x)=H(x)C(x)=1 4 -2A-令L (x)=O,得 x=7由该题实际意义可知，x =7 为利润函数(x)的极大值点，也是最大值点.因此，当产量为7百吨时利润最大.

24、(2)当产量由7 百吨增长至8 百吨时，利润改变量为r8,|8A L =j7（1 4-2 x）d x=（1 4 x-x ）|7=1 1 2 -6 4 -9 8 +4 9 =-1 （万元）即利润将减少1万元.第三部分线性代数一、单项选择题1.设0为3x2矩阵，5为2x3矩阵，则下列运算中（4?）可以进行.2.设A,6为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A/）T =3.设A,B为同阶可逆方阵，则下列说法对的的是（秩（A+8）=秩（A）+秩）.4.设A,8均为阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（A-1=7 ）5.设A是可逆矩阵，且A+AB=/，则A-I =（/+8 ）.6.设 A =(l 2

25、),B =(-1 3),/是单位矩阵，则 /=-2 3-2 57.设下面矩阵4 B,C能进行乘法运算，那么（4 8=4可逆，则8c）成立.8.设A是“阶可逆矩阵，攵是不为0的常数，则（必）T=（-A-1）.1 2 0 -39 .设4 =0 0-13,则 r()=(2 )24-1-313 12 60-13 1 41 0.设线性方程组4 X =匕的增广矩阵通过初等行变换化为0 0 0 2 -10 0 0 0 0为（1 ）.1 1 .线性方程组%.+%,-1 解的情况是(无解).X1+%2=0-1 Z 21 2.若线性方程组的增广矩阵为A =2 1 0则当；I =（）时线性方程组无解.21 3.线性

26、方程组A X=0只有零解,则A X =。3 w 0）（也许无解）.1 4.设线性方程组9=6中，若r（4 /）=4,r（/l）=3,则该线性方程组（无解）.1 5 .设线性方程组A X=b有唯-解,则相应的齐次方程组A X =O（只有零解）.二、填空题1.两个矩阵A,B既可相加又可相乘的充足必要条件是A与2是同阶矩阵22.0 =r1 3计算矩阵乘积 1 200101-1,则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数3.若矩阵4=-1 1,B=2 -3 1 ,则广生 4 6 24.设 A 为机x 矩阵，8 为s x f 矩阵，若 与 物 都 可 进 行 运 算，则?，s,f 有关系式?=/,=51

27、05.设 A =a 02 323-1当”=攵时，A 是对称矩阵.16.当4 H 3 时,矩阵A =-13可逆a7.设A,B 为两个已知矩阵，且/一 8 可逆，则方程A+3 X =X 的解X =（I-B Y A8.设A 为阶可逆矩阵，则（】）=9.若矩阵42-124 0 2，则 H4)=20-3 310.若 r(4 b)=4,r(4)=3,则线性方程组AT=6 无解1 1.若线性方程组 一12 一 有非零解，则4=-1玉+AX2=01 2.设齐次线性方程组AM X MXXI=0,且秩（=rn,则其一般解中的自由未知量的个数等于0-r13.齐次线性方程组A X =0 的系数矩阵为A00-1 23I

28、0-2则此方程组的一般解为0 00214（其中七，匕 是自由未知量）0I2I014.线性方程组A X =b的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为A T0 42-110 0 0 0d+1则当4 1时,方程组AX=/?有无穷多解.15.若线性方程组A X =8 3 7 0）有唯一解,则A X =0只有。解三、计算题1.设矩阵A =-1-1_ 30212一41,B =-2-10r33_-2 1022.设 矩 阵A,B=0 11-2 00 0求（2/-A，8.2-6 10,C =2 22-4 2计算+C.-1 3-6-33.设矩阵4=-4 -2-1,求*2 110 1 24.设矩阵A =1 4,求逆矩阵A-.

29、2-10讨论当a,6为什么值时，方程组无解，有唯一解,有无穷多解.5.设矩阵A =一110-2-20，B=飞14321，计算（M-1 1-1一1 2-3,6.设 矩 阵A二0 -2 ,B=，计 算（曲）01 22 0-2-3-17.解矩阵方程x =_ 34 _-2 _1 21 -1一8.解矩阵方程X3 5 _2 0-9.设线性方程组X+与=2X +2X2一 X 3=02xl+x2一 叫=bX 1 +2%3=11 0 .设线性方程组 -X）+x2-3X3=2,求其系数矩阵和增广矩阵的秩,并判断其解的情况.22-x2+5 x3=01 1.求下列线性方程组的般解：x+2X3-x4=0 -%1 +x2

30、-3X3+2X4=02 x j -1 2 +5X3-3X4=0i 2.求下列线性方程组的一般解：2 无1 5%2 +2 尤3 =3 玉+2X2-x3=3-2项+1 4X2 6X3=1 21 3.设齐次线性方程组X j-3x2+2 x3=002266.解 由 于8月=0414O2O2OOO2O2 0 11 1 -1-10-245OO2所以(BA)7 =7.解 由 于即-23-2 -33 4-34100113141011-11104-31-3-2T103-20143-3-2所以，x432-2 28.解：由于2103501-02101 1001-5 23-112即-52353-11所以，才-1 1-

31、1-5-8 3-10 49.解 由 于-1-a-2-2ci 2b-A2032512031122021100120b.1012002101210-1-1-a-b-3所以当。=-1且 力。3时,方程组无解;当。一1时，方程组有唯一解当。=-1且b=3时,方程组有无穷多解.i o.解 由于A2-102-f-1 0-11-32-0 12-1500-1-11102-10112-110003所以 r(4)=2,HA)3.又由于r（*r（彳），所以方程组无解.11.解 由 于 系 数 矩 阵1A=-120 21 -3-1 5-1 120所以一般解为-3001-12-11-1 11 f 0-1J o0102-

32、1-1 10 0$=-2X3+x4x2=x3-x4（其中x3,乙是自由未知量）12.解 由于增广矩阵A=-2-52-3 1 2-1 3-1 0-1/9 112-130-94-9-0 1 -4/9 1-2 14-6 120 18-8 180 0 0 0玉1铲3+1所以一般解为（其中它 是自由未知量）4,X2=%3+11 3.解 由 于 系 数 矩 阵A1 -3 21 -3 21 0-12-5 3-0 1 -1告0 1 -13-8 20 1 2-60 0 A-5所以当入=5时,方程组有非零解.且一般解为玉=巧（其中七 是自由未知量）14.解由于增广矩阵1不=2-11 11 -40 511 F12-

33、01J o1 1 I-1-6 2-21 6 21 0-5-1 016 20 0 0/1所以当2=o时,线性方程组有无穷多解,且一般解为:X,=5x,-1（七 是自由未知量）x2-6x3+215.解：当；1 =3时，r（A）=A）=2,方程组有解.1 -1当4=3时，A-0 10 06-30-3301 1 00-0 10 0 03-300 13 00 0X i =1 -3占一般解为 ,其中与，工 4 为自由未知量.x2=3X3-3X4四、证明题四、证明题1.试证：设 儿 6 18 均为/?阶对称矩阵，则 4 6 =胡.1 .证 由于 d =A,B=B,(1 5)T=AB所以 A B =(AB11

34、=B#=BA2.试证:设A是 阶矩阵，若&3=0,则(/-A)T=/+A+A 2.2 .证 由 于(/4)(/+4+屋)=1+A+A2-A-A2-A3=I-A3=I所 以(/A)T =/+A+A21,3.已知矩阵 A =(6 +/),且A-=A ,试证3是可逆矩阵，并求83.证 由于M=工(8+/)2 =,(B2+2 B +/),且4=A，即4 41 9 1-(B2+2 B +Z)=-(B +/),得=/，所以8是可逆矩阵，且8一1=8.4.设阶矩阵A满足A?=/,=/,证明A是对称矩阵.4 .证 由 于A =A Z=A z 4 A1=MT=AT所以A是对称矩阵.5.设A,3 均为n阶对称矩阵，则A B+B A也是对称矩阵.5.证 由于 A1=A,B =B,5.(AB+BA)J=(A B)T+(B A)丁 =Br A1+ATBT。BA+AB=AB+BA所 以 48+从4是对称矩阵.