大一高数期末考试题.pdf

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1、一、单 项 选 择 题(本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 4 分，共 16分)1.设/(x)=cos x(x+卜 也 x|),则 在 x=0处 有().(A)r(0)=2(B)/，(0)=1(C)r(0)=0(D)/(x)不 可 导.设 a(x)=x)=3-3次，贝！当 x f l 时()2.1+x.(A)与 仪 幻 是 同 阶 无 穷 小，但 不 是 等 价 无 穷 小；(B)。(外 与 伙 是 等 价 无 穷 小；(C)矶 灯 是 比 夕(%)高 阶 的 无 穷 小；(D)P(x)是 比 a(x)高 阶 的 无 穷 小.3.若 F(x)=I(2x)/)力，其 中/(x)在 区 间 上

2、(-1,1)二 阶 可 导 且/(x)0,则().(A)函 数 尸(X)必 在 x=()处 取 得 极 大 值；(B)函 数 R(x)必 在 x=0 处 取 得 极 小 值；(c)函 数 A 在 x=o处 没 有 极 值，但 点(，/)为 曲 线 y=x)的 拐 点；(D)函 数/(X)在 x=0 处 没 有 极 值，点(0,尸)也 不 是 曲 线 y=尸(幻 的 拐 点。4 设/(x)是 连 续 函 数，且/(x)=x+2/(f)市，贝 i j“X)=()x2+2(A)2(B)2+(C)x-1(D)x+2.二、填 空 题(本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 4 分，共 16分)2_ li

3、m(l+3x)sin*=5.XT0.已 知 吧 是/(x)的 一 个 原 函 数，则 7(x)七 dx=O*X7.1.4/2 227r 2 1、lim(cos+cos+cos-)=T8 n n n nir x2 arcsin x+1,-1-ax=8.三、解 答 题(本 大 题 有 5 小 题，每 小 题 8 分，共 4 0分)9.设 函 数 J=M x)由 方 程 e*+sin(盯)=1确 定，求 7(*)以 及 7(0).求 j J 7 dx.10.(1+1)xe x,x 0,ri设/(x)=.-求 f f(x)dx.11 V2x-x2,0 x 1 g（x）=f x t）dt i m f l

4、=A12.设 函 数/（X）连 续，。，且 1。x,4 为 常 数.求 g（x）并 讨 论 g（x）在 X=o处 的 连 续 性.y（l）=-13.求 微 分 方 程 盯+2）=*加 工 满 足 9 的 解.四、解 答 题（本 大 题 10分）14.已 知 上 半 平 面 内 一 曲 线 7=双 外 a z o）,过 点（o,i）,且 曲 线 上 任 一 点 加（/，打）处 切 线 斜 率 数 值 上 等 于 此 曲 线 与 x轴、y轴、直 线 x=/所 围 成 面 积 的 2倍 与 该 点 纵 坐 标 之 和，求 此 曲 线 方 程.五、解 答 题（本 大 题 10分）15.过 坐 标 原

5、点 作 曲 线 y=in X 的 切 线，该 切 线 与 曲 线 y=in X 及 X 轴 围 成 平 面 图 形 D.（1）求 D 的 面 积 A；（2）求 D绕 直 线 x=e 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积 V.六、证 明 题（本 大 题 有 2 小 题，每 小 题 4 分，共 8 分）16.设 函 数 八 外 在 上 连 续 且 单 调 递 减，证 明 对 任 意 的,4 1 f（x）d x q f（x）dx0 01tr/（X）J X=017.设 函 数/（x）在 W，句 上 连 续，且 才，f（x）cos x dx=Qo.证 明：在（0，句 内 至 少 存 在 两 个

6、 不 同 的 点 5/2,Xr/八 n F（x）=使/（4）=/（$）=0.（提 示：设 0）一、单 项 选 择 题（本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 4 分，共 16分）1、D 2、A 3、C 4、C二、填 空 题（本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 4 分，共 16分）1,C O S X、2“6-(-)+Ce.6.2 xn2.三、解 答 题(本 大 题 有 5 小 题，每 小 题 8 分,9.解：方 程 两 边 求 导 ex+y(1+y)+cos(xy)(xyr+y)=0v(x ex+y+ycos(xy)ex+y+xcos(xy)n8.i共 4 0分)x=o,y=o,y(o)=-

7、i10.解：w=x7 7x6dx=du原 式=；J(:一)*“=J-二)du7 J w(l+w)7 J“w+1=y(In I w I-2In I w+11)+c=-lnlx7l-lnll+x7l+C7 711.解:f J。心=x e+f S x ddx=产 d(-e)+y|l-(x-l)2dx=T C-。+Jcos2(令 x-l=sin。)12.解：由/（。）=0,知 g（0）=。ig(x)=f(xt)dt0(xwO)xf(x)-jf(u)dug(x):-润-1。x2-。2xA 2xf(x)-J/(u)Julim g(x)=lim-匕-xfO X T O%1,A A=A-=2 2,g(x)在

8、x=0 处 连 续。13.解:生+2y=mxdx xy=e ix(JeJx InxZx+C)四、v(l)=-,C=0 v=-xlnx-x9,3 9解 答 题(本 大 题 10分)14.解：由 已 知 且 y=2 ydx+y将 此 方 程 关 于 x 求 导 得 V=2y+特 征 方 程：r2-r-2=0 解 出 特 征 根：A=T，r2=2.其 通 解 为 y=Cxex+C2elxc=二 c=二 代 入 初 始 条 件 y()=y=1，得 3 2 3y=ex+e2x故 所 求 曲 线 方 程 为：3 3五、解 答 题(本 大 题 10分)V-ln xn=(x-x)1 5.解：(1)根 据 题

9、意，先 设 切 点 为(XoJnx。)，切 线 方 程：X。1V=x由 于 切 线 过 原 点，解 出“o=e,从 而 切 线 方 程 为：J e1 A=(ey-ey)dy=-e-1则 平 面 图 形 面 积 0 2V=n e2(2)三 角 形 绕 直 线 x=e一 周 所 得 圆 锥 体 体 积 记 为 匕，则 3曲 线 y=h ix与*轴 及 直 线*=e所 围 成 的 图 形 绕 直 线 x=e一 周 所 得 旋 转 体 体 积 为 V21V2=(e-ey)2dyV=V.-V2=-(5 e-12e+3)D绕 直 线 x=e 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积 2 6六、证 明

10、 题(本 大 题 有 2 小 题，每 小 题 4 分，共 12分)0故 有：夕 i f(x)d x q f(x)d xo。证 毕。17.XF(x)=f(t)d t,0 x 证:构 造 辅 助 函 数：0。其 满 足 在 0，如 上 连 续，在(0，万)上 可 导。F,(x)=/(x),且 尸(0)=歹(%)=0T C n n0=f(x)co sxd x=fcosxrfF(x)=F(x)cosx|+|sinx F(x)dx由 题 设，有 才 0 0,|F(x)sinxJx=0有 才，由 积 分 中 值 定 理，存 在 J G(。，加),使 J)sing=即 户 C)=0综 上 可 知 尸(。)=

11、尸 e)=F(;r)=O,J w(0,%).在 区 间 0看,%上 分 别 应 用 罗 尔 定 理，知 存 在 一 5 0 4)和 蜃 心 矶 使 尸(或)=0及 尸)=0,即/砥)=/)=0.高 等 数 学 I 解 答 一、单 项 选 择 题(在 每 个 小 题 四 个 备 选 答 案 中 选 出 一 个 正 确 答 案，填 在 题 末 的 括 号 中)(本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 4 分，共 16分)1.当 x f。时，a(H，尸(x)都 是 无 穷 小，则 当 x f 与 时(D)不 一 定 是 无 穷 小.|响+忸(C)lnl+a(x).夕(刈 smx1lim-2.极 限-

12、0)5.极 限 1。x 的 值 是 共 16分)a.6.由 ex y+ynx=cos2x 确 定 函 数）6）,则 导 函 数 二 2 sin 2x+1+yexy_x_xexy+Inx7.直 线/过 点 加（123）且 与 两 平 面 x+2y-z=0,2x-3y+5z=6 都 平 行，则 直 x-l _ y-2 _ z-3线/的 方 程 为 丁 一 二 r 一 二 r8.求 函 数 V=2x-ln（4x）2的 单 调 递 增 区 间 为（一 8,0）和（1,+00）.三、解 答 题（本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 8分，共 32分）(l+x)x-elim-9.计 算 极 限 i。%.

13、ln(l+jr)-l.(l+x)A-e.ex-1.ln(l+x)-x elim-=e lim-=e lim-；-=解：X X X 210.已 知：1 a=3,京 1=26,展 5=3 0,求 1 1 x 5 1。cos0-，g,sin8=71-cos2 0-解：同 W 13 13,|，x+7 2XF(x)=(x x G a,h11.设/(x)在 3,b上 连 续，且“，试 求 出 F M oX XF(x)=xjf(t)dt-tf(t)dt解：a aF(x)=jf(t)dt+xf(x)-xf(x)=f(t)dta aF(x)=/(x)f COS X.I X-T-uX.12.求 J sin Xr

14、cosx=_J_ fxj sin-2 x解：J sin3 x 2 J=x sin x H fsin xdx=x sin-x cot x 4-C2 2 J 2 2四、解 答 题（本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 8 分，共 32分）2r dx13.求 令-x2 Xylx2-1V 3 出 叵=2-=arcsint _ 二%7 1 7 5=%2xy=-14.求 函 数 7 1+x2的 极 值 与 拐 点.解：函 数 的 定 义 域（8,+8）,2(1-x)(l+x)-4x(3-x2)y(i+x2)2/(i+x2)3令 了=得 x=i,2=-i产 i是 极 大 值 点，y(T)x2=t 是 极

15、小 值 点 极 大 值 y（D=i,极 小 值 y（D=T令=。得 X3=0,X 4=8,X 5=-6X(-0 0,-V 3)(-百,0)(0,5（百,+8）y+一+V3 V3故 拐 点（-6,-2）,（o,o）（6,2）is.求 由 曲 线 与 y=3x-x2所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积.V-ft?:-=3 x-x2,x3-12x+4x2=0,43 2/10.3 2 X3 X(-X+)J+(x-16 2 3 i 2 3 16x3=2.=45+2-=47-3 316.设 抛 物 线 y=4-x2上 有 两 点 A(-1,3),B(3,-5),在 弧 A B上，求 一 点 P（x，

16、y）使 AA8P的 面 积 最 大.解：连 线 方 程：y+2x-l=0|明=4 A万 点 P到 A8的 距 离 一+；7=一 一+#+3V 5 V 5(-lx3)AA8P的 面 积S(x)=4 6 F 3=2(_X2+3)2 V5S，(x)=-4 x+4 当 x=l S，(x)=OS(x)=4 0,试 证 e2*(l-x)0,f(x)0,因 此/(x)在(o,+oo)内 递 减。在(0,+00)内，/(x)/(0)=0,/(x)在(0,+00)内 递 减,在(0,+oo)内，/(x)/(0),即 e(l-x)-(1+x)0 时，e(l-x)l+x。高 等 数 学 I A一、单 项 选 择 题

17、(在 每 个 小 题 四 个 备 选 答 案 中 选 出 一 个 正 确 答 案，填 在 题 末 的 括 号 中)(本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 4 分，共 16分)18.函 数 ln(x+1)x-1f(x)=tan x,0 x 1x+sin x,x,贝 i j()(A)尸(0)/(I)-/(0)(B)(0)/(I)-/(O)广(C)/，(1)/，(0)/(1)-/(0)(D)/(1)-/(0)/，(1)/，(0)Mn2 4r sin x cos x21.则(A)(C).1+X2)M N PP M N2V 3dx,N-J(sin3式 2x+cos(B)P N M(D)N M 1 d（

18、x2 arctan V x-1）=（设 7。）公=$拍+。,贝 47）。）公=（)尤 一 4 二 y直 线 方 程 2-加 Z-53.6+P,与 xoy平 面，yoz平 面 都 平 行,那 么 小，P 的 值 各 为（=)4.)三 解 答 题（本 大 题 有 3 小 题，每 小 题 8 分，共 24分）1 11.计 算 lind Vsin x x2/（元）二 x2cos-,x 0 x2.设 xX-试 讨 论/（x）的 可 导 性，并 在 可 导 处 求 出/（x）3.设 函 数）=/C O 在（-8,+00）连 续，在/0 时 二 阶 可 导，且 其 导 函 数 f M 的 图 形 如 图 所

19、 示，给 出/a）的 极 大 值 点、极 小 值 点 以 及 曲 线 y=/a）的 拐 点。四 解 答 题（本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 9 分，共 36分）1.求 不 定 积 分 x+2 2 dx 一 x-1 Xej|ln dx2.计 算 定 积 分 J/.3.已 知 直 线 1y z-l x-1 _ y-2 _ 2-32-5 一 丁，求 过 直 线 乙 且 平 行 于 直 线 A 的 平 面 方 程。812-兀 4.过 原 点 的 抛 物 线 y 及 尸 0,41所 围 成 的 平 面 图 形 绕 x轴 一 周 的 体 积 为 5,确 定 抛 物 线 方 程 中 的 a,并 求

20、该 抛 物 线 绕)，轴 一 周 所 成 的 旋 转 体 体 积。五、综 合 题(本 大 题 有 2 小 题，每 小 题 4 分，共 8 分)1.设/。)=(%-1)2/()，其 中/(x)在 区 间”,2上 二 阶 可 导 且 有/(2)=,试 证 明 存 在 4(1 0)2.o(1)求/(X)的 最 大 值 点；/(%)0 x3 X1-COSX _ 13x2-31f(x)=10.(8 分)设 x cos,x 0 xx x-0,试 讨 论/(x)的 可 导 性，并 在 可 导 处 求 出x Q,f(x)=2xcos+sin 解：当 X X；当 xo+A Y A I O-A%/2xcos+si

21、n x 0J=)x x故/(x)在 x=0处 不 可 导。11 x 011.(8分)设 函 数 了=/(尤)在(-0，+8)连 续，在 X H。时 二 阶 可 导，且 其 导 函 数/(x)的 图 形 如 图.给 出/(龙)的 极 大 值 点、极 小 值 点 以 及 曲 线 y=x)的 拐 点.解：极 大 值 点：X=ax=d 极 小 值 点：x=h拐 点(0J(0),(cJ(c)四 解 答 题(本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 9 分，共 36分)(尤-2 尸-宁 dx12.(9分)求 不 定 积 分 晨(尤-1尸.f,4 1-31(-1-7 H-)dx解：原 式 二 J%(工 一 1

22、)x i41n|x|-31n|x-l|+c=x-1J,|ln x dx13.(9分)计 算 定 积 分 e.f(-lnx)rfx+J Inxdx解：原 式=。=-(xlnx-x)i+xlnx-x；2二 e.,x _ y _ z-.x-1 _ y-2 _ z-314.(9分)已 知 直 线 一 万 一 亍，2.行 一 三 一 丁，求 过 直 线 人 且 平 行 于 直 线/2的 平 面 方 程.解:元=豆、耳=(1,2,3)x(2,5,4)=(7,2,1)取 直 线/i上 一 点 M1(OQ1)于 是 所 求 平 面 方 程 为-7x+2y+(z-l)=015.(9 分)过 原 点 的 抛 物

23、线 5 0)及 尸 0,所 围 成 的 平 面 图 形 绕 X81-71轴 一 周 的 体 积 为 5.求 心 并 求 该 抛 物 线 绕 y轴 一 周 所 成 的 旋 转 体 体 积.1x5 1 2V=j7r(a x2)2dx-n o1一 _解：。5 o 57ia2 _ 81万 由 已 知 得 5 5 故。=9 抛 物 线 为：y=9/)r4 1 9V=27rx 9x2dx=1STT=兀 J 4?绕 y轴 一 周 所 成 的 旋 转 体 体 积：。4 o 2五 综 合 题(每 小 题 4 分，共 8 分)16.(4 分)设 尸=U-l)2/W,其 中/(x)在 区 间 1,2 上 二 阶 可

24、 导 且 有:=。.证 明：存 在 4(1 2)使 得 尸=0。证 明：由/(X)在 1,2 上 二 阶 可 导，故 尸(x)在 1,2 二 阶 可 导，因/(2)=0,故 尸(1)=尸(2)=0在 1,2 上 用 罗 尔 定 理，至 少 有 一 点 Xo，(lx()2)使 尸(/)=尸(x)=2(x l)/(x)+(x-1尸 尸(x)得 FX1)=0在 1,X。上 对 歹(幻 用 罗 尔 定 理，至 少 有 点 4(14X。2)/C)=17.(4 分).解：(1)=1为/(X)的 最 大 值 点。/,(x)=(x-x2)sin2,x,当 0 x0.当 xl,r(x)=(x-x2)sin2(,

25、x 0o/为 极 大 值，也 为 最 大 值。(2)/(x)=(z-/2)sin2n/Jr/(l)/(1)=f(/-z2)sin2H/Jr(t-t2)rdt=-小(2+2)(2+3)高 等 数 学 上 B(07)解 答 一、填 空 题：(共 24分，每 小 题 4 分)dy _1 y=sinsin(x2),贝 i j dx 2xcossin(x2)cos x2 o 一 rdx=7i2.已 知+x,a=1J|In xdx=2-3.e。4.)=过 原 点 的 切 线 方 程 为 y=。r/(lnx)5.已 知/(x)=,则 J%A=x+co_3 96.a=2,b=2时，点（L3）是 曲 线。=江+

26、凉 的 拐 点。二、计 算 下 列 各 题：（共 36分，每 小 题 6 分）1.求 y=(sinx)cs的 导 数。解：V=(exinsinxy=6，限 出(_ n x In sin X+cot XCOS X)2 求 Jsin In xdx解 jsinInxdx=xsinInx-JcosInxdx=xsin Inx-xcoslnx-jsin In xdx=g(x sin In x 一 x cos In x)+C 兴 心 3.求 JJx o解:x+5 J 1 rtZ(x2-l)J,dx=-,-dx+2 J V 7 T Tyjx I+5 In I x+y/x I+C4.设 I*+Lx 0 x 0

27、+xk=1v z1 1 1、lim(H-/H-1-1)5.求 极 限 dn、l2 J-+22 J r+r o解：lim(-+,-H-F/=)=,d x11=ln(x+J1+.2)|=ln(l+V2)x+2y-z+l=0 J2x-y+z=O6.求 过 点 Q，2,0)且 与 两 直 线 x-y+z-1=0 和 1x-y+z=O 平 行 的 平 面 方 程。解：两 直 线 的 方 向 向 量 分 别 为 5,=(1,2-1)x(1,-1,1)=(1,-2,-3),S2=(2,-1,1)x(1,T,1)=(0,-1,-1),平 面 的 法 向 量 n=(l,-2,-3)x(0,-l,-l)=(-l,

28、l,-l)o平 面 方 程 为 x-y+z=o。三、解 答 下 列 各 题：(共 28分，每 小 题 7 分)X=Rcost/2 a)1.设 1 f s i n j 求 病。=(-cotr)=-.3dx-R snt Rsm t2.求 F(x)=辿 在 T，2上 的 最 大 值 和 最 小 值。解.Fr(x)=x(x-1)=0,x=0,x=1F(0)=0,F(l)=1(1)力=一 6/_)=r p _ i)d t=_ j F(2)=1)力=一*6 A 32 5最 大 值 为 3,最 小 值 为 6。3.设 y=）（x）由 方 程 x（l+y）-ln（x2+2y）=0 确 定，求 y（0）。解：方

29、 程%（1+/）-ln（x2+2y）=0 两 边 同 时 对 x求 导（1+。）+2 盯 y _ 2：+?=ox+2yc 1x=0,y=将 2 代 入 上 式 y,（o）=jo9 24.求 由 y=厂 与 y=围 成 的 图 形 绕 y 轴 旋 转 所 得 的 旋 转 体 的 体 积。解=上（-对 办 3=n10四、证 明 题：（共 12分，每 小 题 6 分）1.证 明 过 双 曲 线 xy=1任 何 一 点 之 切 线 与 x,y二 个 坐 标 轴 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 常 数。证 明：双 曲 线 盯=1上 任 何 一 点(左 内 的 切 线 方 程 为 y-y-(x

30、-x)X(0,y 4),(2x,0)切 线 与 x轴、y 轴 的 交 点 为 尸 八 s=x(/y+1)、=2c故 切 线 与 x,y二 个 坐 标 轴 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 2.设 函 数/(X)与 g(x)在 闭 区 间 也，句 上 连 续，证 明：至 少 存 在 一 点 4使 得/C)g(x)dx=g 记)f(x)dx证 明：令 x)=fg(x)dxf7(x)dxF(a)=F(b)=0,由 Roue定 理，存 在 点 自 出，切，使 尸 C)=,即/)gxdx=g)f f(x)dx高 等 数 学 上 解 答(0 7)一、单 项 选 择 题(每 小 题 4 分，共 1

31、6分)1.f M=xcosxe-ls,nd(-oo x 4-oo)是 A(A)奇 函 数；(B)周 期 函 数；(C)有 界 函 数;(D)单 调 函 数 2.当 x-O n 寸，/(x)=(l-cosx)ln(l+2/)与 是 同 阶 无 穷 小 量。(A)/；(B)x4；(C)x5；(D)/%2y+z=0V3.直 线 x+)2z=与 平 面 x+y+z=l的 位 置 关 系 是 c。(A)直 线 在 平 面 内；(B)平 行；(C)垂 直；(D)相 交 但 不 垂 直。4.设 有 三 非 零 向 量 H A。若 7B=0,axc=O,贝 力。(A)0；(B)-1；(C)1；(D)3二、填

32、空 题(每 小 题 4 分，共 16分)1.曲 线 y=lnx上 一 点 尸 的 切 线 经 过 原 点(0,0),点 尸 的 坐 标 为(e,l)。tan x-x 1lim-=-2.1。2(/一 1)3 03.方 程？+6孙+-1=()确 定 隐 函 数 y=y(x),贝 U，(O)=Q。24.曲 线 y=x-、x=l与 X 轴 所 围 图 形 绕 X轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积 为 7T三、解 下 列 各 题(每 小 题 6 分，共 30分).2r,7-S in-X/(x)=lim(-)r，/、1.已 知+8 t，求/(X)。.2/(x)=lim(S Xy=e J解：

33、f a tf(x)=-e-sialxsin2xfln(ln x)+-dx2.求 不 定 积 分 Inx o解：回(】nx)+5=xln(ln x)-dx=,vln(lnx)+Cr1 2/sin尤 h/I x(-+-x)dx3.计 算 定 积 分 L 1+/解:f,*(泻+=(*比 石 dx+f 产 2 _dx=(fjlY)dx+0 x=sin/=2 I2 sin21cos2 tdt_ 71-Ir 1+sinx.-dx4.求 不 定 积 分 Jl+cosx解:1+sinx.r 1.-dx=-dx+1+cos x J1+cos xsinx,-axl+cosx1 c 2 冗，r d cosx=sec

34、 a x-2 2 J1+cos xx=tan In 11+cos x I+C25.已 知 r(lnx)=x,且/=e+l,求/(x)。解：令 lnx=f,ft)=e x)=e+C/=e+l,/(x)=+l四、（8 分）设，（x）对 任 意 x 有/（x+D=2/（x）,且 2。求 八 1）。解：由/。+1)=2/(无)，/=2/(0)加)=1)7 1 x-1*=7lim+1)一/t=丽 丝 上*r-0 f=2/(0)=-l五、(8 分)证 明：当 x l 时，(-Dlnx(x-1)2。证 明：只 需 证 明(x+1)lnxx-1。令/(x)=(x+1)In x-x+1/z(x)=lnx+-0

35、ri、X,f(x)在 1，+)单 调 递 增。/=0,当 X1 时，f(x)0 o gp(x2-l)lnx(x-l)2 o六、(8 分)已 知、)=卜 一,)/(/(x)连 续，且 当 X-O时，/(X)与 一 为 等 价 无 穷 小 量。求 广()。r尸(x).lim z=1解：s 尸/(X)=X2-t2)ft)dt=X2尸(x)=2x fWt+x2fx)-x-fx-)=2x f W tlim=limX T O X-02xr(/劝 x221r(0)/ff(o)=|七、(8 分)设 有 曲 线 y=4/(0 xl)和 直 线 y=c(0c4)。记 它 们 与 y 轴 所 围 图 形 的 面 积

36、 为 4,它 们 与 直 线=1所 围 图 形 的 面 积 为 42。问 c 为 何 值 时，可 使 4=4+4 最 小？并 求 出 A 的 最 小 值。A=A+解：A，(c)=4c令 A，(c)=Vc-1A=02,+f(1-0,得 c=1。c=l为 最 小 值 点。min A=+(1-=1八、设，(x)在(a/)内 的 点 X。处 取 得 最 大 值，且(x)KK(axb证 明：f(a)+f(b)K(b-a)证 明：八%)=在。，/对 f M 应 用 拉 格 朗 日 定 理 fx0)-fa)=-a)(a g)fa)=1r&)(4一-),fa)l K(x0-a)在%，W 对 f M 应 用 拉

37、 格 朗 日 定 理 f(b)-f(xo)=f2)(b-Xo)(x02b)r s)=_ r&)s-/),f(b)2答()3、(A)(C)11-x1的 阶 麦 克 劳 林 展 开 式 的 拉 格 朗 日 型 余 项 尺(x)=()(式 中 0。1)x+(B)(-1)(+1)(1-严 xn+l(l-0 x)n+2x+x，+，(+l)(l-Ox 严 1答()设/在 x=。的 某 邻 域 内 连 续，且/(。)=。,勤 离 2 则 点.。(A)是/(X)的 极 大 值 点(C)不 是/Xx)的 驻 点(B)是/(x)的 极 小 值 点(D)是/1(x)的 驻 点 但 不 是 极 值 点 答()5、曲

38、线 y=2x+4上 点 o(O,4)处 的 切 线 与 曲 线 V=2(x-1)所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 A=21 4 9 13 二(B)-(C)-()4 9 4 12答（）二、填 空 题（将 正 确 答 案 填 在 横 线 上）（本 大 题 分 5 小 题，每 小 题 3 分，共 15分）设 y=lnA/l+tan（x+-）,则 旷=_1、V x2、用 切 线 法 求 方 程/-2/-51-1=0在（-1,0）内 的 近 似 根 吐 选 X0并 相 应 求 得 下 一 个 近 似 值 X1。则 xo,K 分 别 为。x-1 _ y+1 _ z-13、设 空 间 两 直 线

39、2-4 与 x+=y=z 相 交 于 一 点，则 九 二。sin x+ux 1 j/（x）=x TX，在 x=0处 连 续，则 4=.4、a,当 工=05、f|x|dx=,其 中 力 是 实 数.三、解 答 下 列 各 题（本 大 题 4分）设 平 面 兀 与 两 个 向 量。=3i+了 和 5=i+了 一 4万 平 行，证 明：向 量 0=2 一 6了 一 上 与 平 面 兀 垂 直。四、解 答 下 列 各 题（本 大 题 8分）讨 论 积 分 的 敛 散 性.五、解 答 下 列 各 题,（本 大 题 11分）导 出 计 算 积 分=一 之 一 的 递 推 公 式，其 中 为 自 然 数。J

40、 xVx2+l六、解 答 下 列 各 题（本 大 题 4分）x+2y-z-5=0自：,求 过 耳（4,2,3）与 平 面 兀:x+y+z 10=0 平 行 且 与 直 线 b 一 10=0 垂 直 的 直 线 方 程。七、解 答 下 列 各 题（本 大 题 6分）计 算 极 限 1加 也 8/-您 生 io xtanx八、解 答 下 列 各 题（本 大 题 7分）试 求=J（Inx）办 的 递 推 公 式（为 自 然 数），并 计 算 积 分 j（lnx）3dx.九、解 答 下 列 各 题,（本 大 题 8分）设/1（X）在 他 力）内 可 微，但 无 界，试 证 明 尸（x）在（a,。）内

41、无 界。十、解 答 下 列 各 题（本 大 题 5分）设 1而 甲（幻=“0，1血/3）=/（0）,证 明：lim/（p（x）=/（Mo）x A0 f 0 X f*O十 一、解 答 下 列 各 题（本 大 题 4 分）在 半 径 为 R 的 球 内，求 体 积 最 大 的 内 接 圆 柱 体 的 高 十 二、解 答 下 列 各 题（本 大 题 5 分）12 44 cos a=,cosB=重 量 为 P 的 重 物 用 绳 索 挂 在 A,8 两 个 钉 子 上，如 图。设 13 5,求 十 三、解 答 下 列 各 题（本 大 题 6 分）一 质 点，沿 抛 物 线 y=x（10-x）运 动,其

42、 横 坐 标 随 着 时 间/的 变 化 规 律 为 x=的 单 位 是 秒,x的 单 位 是 米），求 该 质 点 的 纵 坐 标 在 点 M（8,6）处 的 变 化 速 率.十 四、解 答 下 列 各 题（本 大 题 7 分）设 曲 线 x=7 及,=0,围 成 一 平 面 图 形.求 这 个 平 面 图 形 的 面 积;（2）求 此 平 面 图 形 绕 r轴 旋 转 而 成 的 立 体 的 体 积.、单 项 选 择 题（在 每 个 小 题 四 个 备 选 答 案 中 选 出 一 个 正 确 答 案，填 在 题 末 的 括 号 中）（本 大 题 分 5 小 题，每 小 题 2 分，共 10

43、分）1、C2、答：B3、C 10 分 4、（B）5、C二、填 空 题（将 正 确 答 案 填 在 横 线 上）（本 大 题 分 5 小 题，每 小 题 3 分，共 15分）（1-sec（x H）x x2（1+tan（x+）1、x 10 分 2、%=5 分 1X,=5 10分53、44、-1 0,6=010分 三、解 答 下 列 各 题（本 大 题 4 分）in=a xb=3平 面 法 向 量 1n=-2c为 与 3 平 行 从 而 平 面 与 C 垂 直。四、解 答 下 列 各 题（本 大 题 8 分）J k1 0=-4,12,21-44 分 8 分 10分 当 p w l 时,r dx 1l

44、im=hm(-T+O T+O plim1(1-?-)2+。1-P P-；=+85 分 7 分 10分 77TTxn+23 分 1,-,p 1当 P=1时，f1*4dx dx I=I=lim Inx4 X”X T+0 时 收 敛，当 p 21时 发 散.五、解 答 下 列 各 题（本 大 题 11分）解：法 一）=+1二（+1）jV x2+1/n r下+(+l)R1+x2dxxn+(M+1)j-n+277TiHx+(n+1)|一 dx7 x2+1+(+l)/“+2+(+1)/“故 却 2lx2+1 n(n+l)xn+l n+17 分 In7i+x2 iX X+c-yl x+1 2-7i-r+-/

45、(“一 l)xT n-1(2)/0=lnvl+x2+x+c(法 二)令 犬=1211/dx=sec2 tdt,r sec-f力=-J tan tsectsect,-dttan t10分 3 分 5 分=:二 1+(+1)(/+2+/)7 x2+1(n+l)xn+12-n r/c、+-/_2(2)n-1-1-+l 7 x2+1(I)/一 7 分/,=InVl+x2X1 FCX/0=In 71+x2+x+c.六、解 答 下 列 各 题（本 大 题 4 分）10分 兀 的 法 向 量 为=1，1i j k=1 2-1=2-1,0L 的 方 向 向 量 为 0 0 1所 求 直 线 方 向 向 量 为

46、 5=/J x 5|=1,2,3从 而 所 求 直 线 方 程 为 3 分 7 分 x-4 y 2 z+31-210分 七、解 答 下 列 各 题(本 大 题 6 分)原 式=limA-0l+xsinx-cos2 2xx tan x(Jl+xsinx+cos2x)1z xsinx sin2lim(-+-)2 s x tan x x tan x=1(1+4)=(2 2八、解 答 下 列 各 题(本 大 题 7 分)3 分 7 分 10分 I,=(lnx)”dx=xln-(lnx)n-l(7x于 是 In=e-ne+(-l)e-F(-l)nn dx4 分=e-ne+n(ji-l)e-+n(ji-1

47、)2e+(-l)wn!(e-1)7 分 所 以 j(lnx)3dx=e-3e+6e-6(e-1)=6-2e 0 分 九、解 答 下 列 各 题(本 大 题 8 分)证 明:反 证 设 尸(九)在 3,8)内 有 界,B|J3A/。则 X/x G(,/?)有(x)|4M 2 分 取 XoG(a,b)则 对 Vx e(a,b),x/在 以 与 与 x为 端 点 的 区 间 上/(x)满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 条 件，则 至 少 存 在 匕 介 于 与 x之 间，使 f(x)-f(x0)=f)(x-x0)5 分=|/(*0)|+何 S-&)记 为 K 8 分即/(X)在(。力)内

48、有 界 与 题 意 矛 盾,故 假 设 不 正 确，即 尸(x)在 3 力)内 无 界.10分 十、解 答 下 列 各 题(本 大 题 5分)由 lim/()=/(%)任 给 o,存 在 月 o使 当 M-o|T|时，恒 有/()-/(0)|又 lim(p(x)=M。，取|=中 存 在 3 0使 当 0k_/|3时,|(p(x)_ o|r|故 当 0 卜-/|加 寸，就 有|/。()-/30)|成 立 因 此|山/夕(切=/(劭)十 一、解 答 下 列 各 题(本 大 题 4分)设 内 接 圆 柱 体 的 高 为，则 圆 柱 体 的 底 面 半 径 r=旧 _(争 2其 体 积 为 V=7t/

49、2(/?2-A-)o A 2/?aV，=I(R2-h2)唯 一 驻 点 h=R33V”=成 02故/?=时，圆 柱 体 体 积 最 大 3十 二、解 答 下 列 各 题(本 大 题 5分)按 点。受 力 平 衡，应 有 f cos a+f2 cos/?=p12 4+-/,=p13 1 5 25,3,八（4分）I r v n（f，2=0（8分）力 sina/2sm，=0,即 13J1 5J2,3 9,25解 得 56 56（10分）十 三、解 答 下 列 各 题（本 大 题 6分）当 x=8时，f=4 2分dxdt=23 产-2t=4=3(米/秒)f=44 分 dy 八 八 八、dx c=(10

50、-2x)-x=8dt dt=-18(米/秒)x(f)=3答：质 点 的 纵 坐 标 在 M（8,16）处 的 变 化 率 为-18（米/秒）十 四、解 答 下 列 各 题（本 大 题 7 分）10分 解:(1)x=4y x=2-y2 交 点(1).S=卜 2dx+x2 dx H+arcs 得 1 1 71 71-3-2 4_ 71 1 4-69(2)Vx=乃,+乃(2_，)dx3 分 5 分 8 分 分 一、单 项 选 择 题（在 每 个 小 题 四 个 备 选 答 案 中 选 出 一 个 正 确 答 案，填 在 题 末 的 括 号 中）（本 大 题 分 4 小 题，每 小 题 3 分，共 1