考研高数习题集(上).pdf

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1、上 册 目 录(1)第 一 讲：极 限 与 连 续.2单 元 一：未 定 型 极 限(1).2单 元 二：未 定 型 极 限(2).3单 元 三：未 定 型 极 限(3).4单 元 四：未 定 型 极 限(4)(含，/(f)力).6单 元 五：特 殊 求 极 限 法.7单 元 六：无 穷 小 比 较.9单 元 七：函 数 连 续 性.10单 元 八：渐 近 线 讨 论.12单 元 九：介 值 定 理.13第 二 讲：导 数 及 应 用.14单 元 一：定 义 求 导.14单 元 二：公 式 与 法 则.16单 元 三：特 殊 求 导 法.18单 元 四：斜 率 与 切 线.20单 元 五：单

2、调 性 与 极 值.20单 元 六：单 调 性 应 用.23单 元 七：二 阶 导 应 用.26单 元 八：中 值 定 理.28单 元 九：泰 勒 公 式.30第 三 讲：一 元 积 分 学.32单 元 一：原 函 数 与 不 定 积 分.32单 元 二：定 积 分 性 质.35单 元 三：定 积 分 计 算.36单 元 四：定 积 分 几 何 应 用.39单 元 五：定 积 分 物 理 应 用.41第 四 讲：微 分 方 程.43单 元 一：一 阶 方 程.43单 元 二：可 降 阶 方 程.44单 元 三：高 阶 线 性 方 程.45单 元 四：应 用 方 程.46第 一 讲：极 限 与

3、连 续 单 元 一：未 定 型 极 限(1)1.若 lim/(x)=4,贝 I：A-2D0 0A:/(2)=4；B:/(2)K 4；O:X W U(2)时/(X)4；O:x w U(2)时,3/(x)5x x%2.(l)lim cos cos-cos-，8 2 4 2(2)lim“TO O1+*3.(1)lim+Vx-y jx-y/x);X f+o Osinx sinxhm-=-f0 2 s in x2x x 0r.2 Gx R x+G+d x a-lim x(J x2+10+x)XT-00 4+10-x=一 5(3)lim(-Vx3+x2-y/x5+x4)lim x(J 1+-5/1+)=l

4、im x(-+0()=Jf X T 8 V X V X 3%5%X 154,设/(x)是 多 项 式，且 lim，I=2,l i m=3,求/(x).X T 8 x x-0 x(x)=2x3+2x2+3x 5.lim lJa x+Z?x+c-(京+d)=0,(a 0),求 3 d 与 a,b,c 的 关 系.X T+00 ax2+b x-c-(k x-d)2/,h lim.-=0,.k=yja,d=4 Nax、bx+c+kx+d 2&6.lim x 2,其 中：(i)%f 3；(2)x co；(3)x-2XT.X(l)lim 4-=0；/(8)=+8 j(+8)=0；/(2)=2 J(2+)=

5、0 x 3 x7.1面=!竺=2,求：4,从 KT2 X-X-2=limX T 2(x-2)(x+4)(x 2)(x+1).Q=2/=_88.2e*+1 1f(x)=.-arctan,求：l i m/。)-,X“TOex-17T(0-)=/(0+)=(单 元 二：未 定 型 极 限(2)1.求 极 限:(10)(l)lim(sinx)tunA.x-2UJ(2)lim(1+4/XT-OO x(OJ 哂(2-X 吟 2姮 lim(3屋-上 ex尸 3 2+工 zsinxA hm()D X”i lim(lnx)x-e2面 1(7)lim(cos x+xsin x)了 I/屋 一 xln、-V(8)h

6、m(-Yio bx-xnb-(ln2a-ln2/?)e2 icot lim。lim(l+ef)”Xf+oO=e=l(1+X)-1-ln(l+x)-l ln(l 4-x)-X 1(10)hm-x hm-ex-1=h m-=J C-O e x-o x x-o/2i2.K,L,/l O,求：limU/T+(1/1)厂 与 工 X T O4.求 极 限.XK x A+(l Z)Z-v(1 l)(AA ID(1 i).vlnLlime*=e x=x-0K 勺 力 3.求 极 限(对 比)/3A+41(i)hm(yXTO 22+4)-皿 2=lime x=X T O3,In 3+4、In 4lime 3*

7、+4、A-0=/3X+4X-(2)limXf+co 2ln(3+4)-ln 2=lim e xX f+00=lim(x-+oo3r In3+4X In 4e 3 3=4 x x(l)lim(cos+Asin);T 0 n n1 2-(2)lim(72 tan)n e3 n-oo(4)lim(cot)sinxln(I+x)2 lim e&=lim e1+x=1XTKO X T+8ri：-cSinxlncotx 八 0 i】f lim e=e=1.r-+0单 元 三：未 定 型 极 限 1.limX f 85x-42.1x sin.5x 4hm-=5 is xx2.求 极 限：看）3sinx+x2

8、 cos(l)lim-2。(l+cos x)ln(l+x)2 13sinx+x cos qlim-=a。2x 2vxx-l(2)lim-i xnx(3)limlnxcot(x2-1)X T lx _ x l n x _ lim-=lim-=It xnx i xlnxr1.Inx-x-l I=-JX T l X2-I A T I X-I 2(4)lim tan 2x tan(-x)二 4471-Xlim cos 2x 4(5)lim.r lIn cos(x-l)l-sin xIn cos t-cosr-1 4lim-=lim-=-i 71 Z1、D 乃 TC1-siriy(l+r)l-cost2

9、(6)1.marctan(x2-2x)x 2 sin 37rx arctan(x2-2x)2t 2，2lim-=lim-=lim-=x-2 sin 3乃 x，一。sin3;r+2)sin 3jvt 3兀 ln(l+x+)+ln(l x+x)(7)lim-ln(l+x2hmI。X5=1 X T Osec x-cos x(8)lim(I y/x)1(x-l)2 1lim-=1x-l(1 7)27 6(1-xy 6Vl+xsinx-Vcosx.1+xsinx-cosx 1(9)lim hm-、.r-0X X T。2x 23.求 极 限（洛 必 达 法 则）：(l)limtan x-sin x-:13

10、J3v-ln3v-l(2)hm-In2 31x-0 x-sinx A T。1-COS Xarctan x-x 1 x-sin(sinx)rl(3)lim.r-0 ln(l+?)3(4)hm-1 0 X可(5)limx-0Ji+x+Jl x 2 r 1,X2 4(6)lime 一/00 x-00(7)limx aax-xax-aa0)afl(lna-l)(8)limX T O(l+x)*-ex八 Insin5x(9)lim-1。In sin 2x1八 八 i-Inx(10)lim-710+ln(sin x)(ll)lim(x-0ax-bx Ina-lnb 1(In2 a-In2/?)2X X).

11、1 r/2+COSX、(12)lim(-)r-l10 元 3 3ri.x i/2+cos八.-sinx、1lim ln()=lim-)=-1。x 3 1。2x(2+cos x)64.求 极 限（对 比）11(l)hmInX T O XXXlim(-)=limex 1 x x-xex-ex+1 _ 1x(ex-l)2 1,靖 一 1(2)lim In-Xf 田 X X/L r xex-ex n,吧(7)一？=随 卡 犷=口 5.lim(x+2)ln(x+2)-2(x+1)ln(x+1)+nIn xXT+OOlim(x+2)ln(l+)+x ln(l 一)=1 1=0I E X4-1 X+16.求

12、 极 限（泰 勒 公 式）Vl+X2-1-(l)lim；-JD(e-cos x)sin x1 12上 191 4cosx-e 2+x(2)lim-此 一 7 x67-360(3)limx-x2 ln(l+-)XT9X4 1 c(4)lim()ln(l+ax)x xa2 27.已 知：limx-0ln(14-x)-(ar+/?x2)x22,求：a,blimx-+O(x2)dx bx2x22,a=1,b=-2单 元 四：未 定 型 极 限(4)(含/力)1.求 极 限：(1+)人/力(1)lim-X T+oo%1遍 为 竽 2 T8 J-4，limx-0+荷 小 p a n x 厂-)vsin t

13、dt=limx f+00力 1xexr.Jtan(sinx)cosxhm:=1 L/sin(tanx)sec-x2.设/(x)=f(14-)f sin dt.(x 0),求 lim/5)sin.Jr 2t yjt f8 f l=l i m=2&X-尤 3.7(x)在 0,+8)上 连 续，lim/(x)=A w O,证 明：lim f f(nx)dx=A.A+oo n oo JD f W 力=lim-=lim-=lim/(x)=AjTOO X T+00 X X-+0+/ln(l+x)f f(t)dt+2x2f(x2)-2x2f(x2)2Af(x2)1lim-；-=lim 八)二-*f o+3x

14、 7+6x 36./(x)连 续，证 明:!吧：(f+/o/(f)力=/(x)/(a)广 丫+力 f(i+h眠 网，力 J单 元 五：特 殊 求 极 限 法 1.求：lim xn“T8rr(l)x=如+3+5”+2009”4=-;a nc 1 1/2 1(3)%=-+(-1)-n n+1+2009 x 20091005a a n a n0 xn-n2(4)x“=1n40 xn 0,求：lim-8 孔!l xn 八 x：(a+1)”,”、lO-N)n n3.a,J非 负 不 增，之 可 发 散，证 明：lim?+4+-+阳=i-4+/+,+%I%+%+-.+%川 v%+%+,+%=a+ai+，,

15、-+a2n-1+00 n-o oa,xn 0 0 J aN f(x)M,f g(x)dx x 0,x“，且 丁 2,则 x“=竽 8.设。“=(1+!)(1+)(1+1)5=2,3,)，证 明：6 收 敛.2-3 n6 1法(1)也(1+-)收 敛；法(2)%=2 n9.ax=y/3,an+l=j3a,求：lima,.n-oo法:准 则%3,1;法：a“=3 寸 厂-310.设 q=2,%M=(%+),(=1,2,3,)，证 明：lima,存 在，并 求 出 其 极 限 a.2 at l5a.=a,-4 1a”2 L。“+|一 a”=g(1-)(。“-i)0,limxn=3n-ao 若 Xj=

16、012.(1)lim(sin Jx+1-sin Vx)(2)lim x2 arctan(x+1)-arctan xx“,xnOO=lim cos(Vx+1-y/x)=0X T+c oI lim-XTW 1+(X+9Y=1J13.(1)limr/(;z+l)(zz+2)-(/?+/7)n oo V(2)lim-A T C O 几 f ln(l+x)dr 4=-e.I sm 一 14.limVi+一 n1 小.i 1 3 广，2-乙 sin 一 乙 sin 乃,hmx“二 I sin 7rxdx-+l 篙 n n,=1 n*兀单 元 六：无 穷 小 比 较 1.当 X T 8 时，变 量 J f+

17、2 2 是 1 的(。)无 穷 小.XA:高 阶；氏 同 阶 不 等 价；C:等 价；。:低 价.2.当 x-0 时,/(1)=2、+3-2 是 了 的 什 么 无 穷 小？2X+3、一 2lim-=In 6 同 阶 不 等 价 1 0 x3.当 工 一 0 时，cosx-川-1 是 V 的 什 么 无 穷 小?r l.C O S X-v l-X2 chm-；-=0,局 阶 1 0 x24.当 x-0 时，是 x 的 什 么 无 穷 小？lim 二=8,低 价 ln|x|xln|x|5.当 一 8 时，(1+工)-6是 的 什 么 无 穷 小？n n(1+-)H-e=e/?ln(l+-)-l，

18、同 阶 不 等 价 n n 2n6.当 x(T 时，Jx+J-+V7 x,求：87.当 X T*(T时,比 较 无 穷 小:a=j cos/?=tan 力,/=，sin 力 的 阶 a=cosx2,fi=2xtanVx 2x2,/1=sinx4x 3-1x3,7x8.当 x-0 时，濯 g X是 次 的 几 阶 无 穷 小？(tanx-x)r=sec2 x-=tan2x x2,ela,1A-ex ev(elanxx-1)tanx-x；马 19.当 x-0 时,(l+x)-是 次 的 几 阶 无 穷 小？1-xln(l+x)1 八、1 a-+ln(l-x)-x3-x 210.当 x-0 时，/(

19、x)kx?,其 中：/(%)=11)(2/+2、)？2X2+ZV-1 2X(2)j ln(l+arctan t)dt?照-X22(3)j arctan(1-x)2力?f arctan/力：/力(4)ln(l+x+x2)-x?；=x+x2-(x+x2)2-x+o(x2)(5)sin(x+x3)-x?=x+x3-(x+x3)3-x+o(x3)2(6)A/1 2x yjl 3x?=1+(-2x)+-)(-2x)2-|)(-3x)2+o(x2)-x2 2 2 2 2 3 2 3 3 211./有 连 续 导 数，且 1 5 旦=。wO,当 x-0 时,F(x)=力?F(x)?F(x)=2x f(t)d

20、t+x2 f(x)-xf(x),lim=-a,F(x)ax1川 l0 x 312.7(x)在 x=0 的 某 邻 域 内 具 有 一 阶 连 续 导 数，且/(O)wO,/(O)wO,若：4(人)+/(2)/(0)在 力-0 时 是 比 高 阶 的 无 穷 小，求：a,b.F(0)=(a+b 1)/(0)=0,(0)=(a+2b)f(0)=0 n a=2 力=-l13.设 a,4 为 无 穷 小，且 aw,(1)证 明:ln(l+a)ln(l+/7)a 夕；ln(l+)-ln(l+y5)=ln(l+y)a-j3(2)问:ln(l+a)+ln(l+)a+?ln(l+a)+ln(l+)a+/7+a

21、,否 单 元 七：函 数 连 续 性 1.设/(X)和 g(X)在(-00,+8)内 有 定 义/(x)为 连 续 函 数，且/(x)HO,g(x)有 间 断 点,则 必 有 间 断 点 的 函 数 是：DA:g(x);B:g(x)F；C:/g(x);0：誓 f M2.考 察 函 数 连 续 性:(D/W1一 0(l)lim/(x)=o o n x=0 无 穷；(2)/(l-)=0 J(l+)=l n x=l跳 跃 X T O/(x)=(1+x)arctan 1二-x(1)lim/(x)=0 n x=-l 可 去；(2)/(1-)=万,/(1+)=-%=工=1跳 跃 X T-13.设/(x)=

22、7 仁 二 型：十 1)一.写 出 连 续 区 间;(2)确 定 间 断 点，并 判 别 其 类 型.J 4+3 光 一 厂 x+1(1)-1,3),(3,4；(2)lim/(x)=-匕 n x=3可 去 x f 3 74.tan(x)求/(x)=(l+x)4 在(0,2万)内 的 间 断 点，并 判 别 类 型)x=2,必 可 去；(2)x=工，2 第 二 类 4 4 4 45.X hpa+qaah na x=bx 十 h/(1)=x-b，确 定 p,q,使 f(x)在 x=b 处 连 续.p+q=0,pab na=ab n a,p=l,q=-l6.考 察/(x)在 x=0 处 为 何 种

23、间 断 点，其 中/(x)：_x/(x)=e 1/(0-)=0,/(0+)=l=x=0 跳 跃 1/(x)=1+x/(0-)=1 J(0+)=0 n X=0 跳 跃 1/(x)=1 lim/(x)=0,/(0)=1 n x=0 可 去 X T O7.设/(x)=x2X1x x 22(x-l),2 x 5,r g(x)=1lg(x)连 续，g(x)=l n x=l 时,/g(x)为 跳 跃 间 断 点 8.求 f(x)=lim T o O(H-1)Xnx1+1的 间 断 点，并 判 别 类 型.。)=x,x=0无 穷 0 x=0单 元 八：渐 近 线 讨 论 1.求 曲 线/()=*皿 6+3(

24、%0)的 渐 近 线.Xlim/(x)=00,lim f(x)=0,。=lim=l,b=lim/(%)-A-=-=y=x+-.r-+0+Xf+oo X XT+8 g eIn Y2.求 曲 线/(x)=3x+-+l的 渐 近 线 方 程.2x(l)x=0;(2)y=3x+l3.考 察 下 列 函 数 曲 线 的 渐 近 线.1(l)y=xsin X1y=i(2)y-xcos Xy=x/1、1(3)y=(x+l)cos Xy=x+l/八 1(4)y=(x+l)cos-y=ryJX1y=x+-2(5)y=xex4.已 知 limx(l+)一 办 一 切=0,求：a,b.XT8 Jy=x+i1 1(i

25、+万 一 e ea=lim(l+)，=e b=limfx(l+)v-ex=lim-=Jx is x-o t 2单 元 九：介 值 定 理 1./(%)在 0,+8)上 连 续，且(/(彳 世 一；，咧 乂 0=0,证 明：道(0,+8),使:/(=0./(x)=/(x)+x,f F(x)dx%0,1,9/(修)1,9 F(X2)0,/.(0,+co),?=0 Xf+QO J Q2.y=f(x)在 0,1 上 非 负 连 续,(1)证 明:e(0,1)，使 在 0,x0 上 以/(X。)为 高 的 矩 形 面 积 等 于 在 与 上 以 y=/(x)为 曲 边 的 梯 形 面 积(2)又 若/(

26、x)在(0,1)内 可 导，且/(x)祖 则 证 明(1)中 的 是 唯 一 的 X(x)=#(x)-1/办,(0)0,=2/(x)+犷(x)Oj3.f(x)在 0川 上 连 续,非 负，K/(0)=/(1)=0,证 明:3/(0/1),邙 0,1,使 得:/(9=/+/)尸(无)=/(无)一%+/)=尸(0)=/(/),1(1一/)=/(1一/)异 号=/4)=0 4.若/（尤）在 a,句 上 连 续，加,2 0,证 明：三 右 a,b,使 得:(m+)/4)=mf(a)+nf(b)mf+*b)I J min,J m ax m+n第 二 讲：导 数 及 应 用 单 元 一：定 义 求 导 1

27、.设/(O)=1J(O)=2,求：lig x)c o s l=/(x)cosx,|t=0=-2j l i m/(x)(c o s x-l)+/(x)-/(0)=i xo+尸 _ _2 X2.设/(x)可 导，O)=1/(O)H O,求：/rv/(sinx)-/(O)x-0 sinx f i l m-x-x-=1 1K sinx-0 In/(x)-ln/(O)xc-n.r f M-b.sin/(x)-sinb3.设=A,求：lim-.xa x-a x-arl.sin/(x)-sin&f(x)-blim-x=A cos b xf f(x)-b x-a4.设/5+1)=4。),1(0)=匕(。力 7

28、0),求：/(I).1=lim+D T=信 3-()=沏 XTO X 1 X5.设/(l+x)3/(l x)=8x(l+|sinx|),并 且/(x)可 导，求 尸./(I)=0,u+3/(1)=lim/(1+X)3/(1X)=lim8(1+二 由=&1=2A-0%x-0 R6.y=y(x)满 足:Ay=lntan(x+Ax)Ax+o(Ax),求:y=lim=ln(tanx),y=-Ax sin x cos x7.若 丁=/(x)在 x=/处 有：y=(l+x)-1+(x)2,则 在 x=/处 有:dy=?8.求 尸，其 中 x)分 别 为：/(x)=(X-Q)(x),/连 续；lim。)。(

29、二 9)X f a x-a(2)f(x)=x-a(p(x),(p连 续,9 5)=0;lim=0i X-Q/(x)=(x-a)2(p(x)，夕 有 界.limgx-a=09./(X)=2M,f a).f(a)=T n 2,f(a)=ln2,尸(a)不 存 在 10.7(%)，8。)在(-00,+00)上 满 足：(D/(x+y)=f(x)g(y)+g(x)/(y)(2)f(0)=0,g(0)=l/(0)=l,g，(0)=0,证 明：/(x)=g(x)./,U)=lim C L=-=f M g(0)+g(x)/(0)=g(x)11.问/（x）在 x=0 处 是 否 连 续?可 导？/(x)=0/

30、G，其 中 且 卜)有 界 x2(x),x 0 X T T 8 2，0(4)/(%)=s(xcos-xwo g(x)cos-x 5，且 g(O)=g(O)=O.f,(0)=lim-=0X T O x0 x=0(x+sinx)/(x)12.奇 函 数/(x)在 x=0 处 可 导，问:尸(x)=x*在 x=0 处 是 否 连 续？0 x=0可 导？(0)=0,F(0)=lim(x+sin；v)-/(v)=2 f(0)X Xf,1 cos_ X u13.设 0(x)T F 且/(x)在 x=0 处 可 导，令 尸(x)=。(x),求 尸(0)0 x=0夕(0)=0 6(0)=0 尸(0)=/S(O

31、)取(0)=/(0)0=014.设 函 数(x)在(-oo,+oo)上 连 续，又/(x)=coso(x),/Cr)=sin 0(x),证 明:对 满 足 夕（x）工 几 切 的 一 切 x,（p x）=-1.coso(x+x)cos(x)./(x)=lim-=-s in夕(元)(p(x)X T O xxarctan 15.考 察 函 数/(九)=|x|在 x=0 处 的 连 续 性,可 导 性，以 及/(x)的 连 续 性.0 x=01 71 1 x 7C(0)=lim arctan=fx)=arctan-J-L-(x w 0),lim f x)=f*(0)3。|x|2|x|14-X2 5

32、216.若/(x)有 连 续 的 导 数，目./(0)=0,设/(幻=乒 1)芯*,确 定 常 数 0,使 c x=0F(x)连 续，并 问 此 时 尸(x)是 否 连 续？/,(0)x2f(x)-2 f(0)limF(0)=0=c,F(0)=,F(x)=-Jim F(x)=io 3 x3 io 3单 元 二：公 式 与 法 则、门“3X-2、r,、2 4 dy,“3X-2、12 31.设 y=/(-)，且/(x)=arctanf,求:一.=/(-)x-=一 乃 3x+2 dx A._o 3x+2(3X+2)2 n 42./(x)在 x=l处 具 有 连 续 导 数，且/(I)=2,求 lim

33、/(cos J7).XTO+dxlim f*(cos Vx)(-sin Vx)，=-13+2dx3./可 导,/(0)=/(1)=-2,/(0)=/(l)=-l,F(x)=ef Mf(n x)，求:仁 dF=ef(x)(f,(x)/(ln x)+f(l n X)dx,dFx=e-2dxP r4.求 y:(l)y=ln-/=Vx2+x+l11 X.r(2)y=xA-sineV 1+x y=/F T),e 2x+ly=l+-X 2(x 4-x+l)y=1-sin ex f+一+cot exVl+x x x2-l 2y=2 g _ 3)i n x+(1)(D X(4)y=Jxjx+cosx加 质=琮

34、+占 黑 y5.),/x2-a2e3+1 问 9 为 何 值 时，/可 导，并 求 八 x)求 y：(Dy=-/、x+yjx-axyjx2-a2-x2-a2,1 r lx2-a2.n-u 一 也 6.7.(2)y=7e(x+y)2dy(3)y=ln(l+|x|)(4)y=/(X+o(x+/),求 y/(x)=y=广 力,，=即 2-产 吗 Ja+xy=.-,x 0.x+1y-f(x+(px+x2)1+(1+2x)(px+A:2)ln(x+e)x 0 诡.。，伍)，求 a 使/()存 在/(0+)=/(0-)=1,Z(O)=-，Z(O)=ln,a=正 e选 定 参 数 A,C,使 立 方 抛 物

35、 线:y=A(x-a)(x-/?)(%-C),(x b)与 曲 线 y=1k.(x-a)x h“=占+女%Q+(a b)ki+k2/_(a)=k(a)=A(a-份(a-C);f=A(h-a)(h-C)J；(b)=k28./(x)=limA T O O+a%_|_ b(x)=ax+hg(l+),x2x 19.(l)y=x2 sin2x,求 y(|A-0,1,28)y=(-x2 8!心),y,o)(o)28X 10!2x8!2 x J-4 5 X 28J丫 3Q)/a)=,求 严。)./(x)=.-+x5+-,/(0)=5!=120sinx/(x)=x1x w 02,求 八。);1)J(X)=l

36、2+=丁 求:M+/()=+Io dn v10.(l)y=cos-3x,求 力 一 I 6 cos(6x+-)y=2(1+cos 6。y=-(2)/(x)=(1 x)(l x2)(1 V),求 r，(x)L1/=(1-x)3(1+x)(l+x+x2),/,M=-6(1+x)(l+x 4-x2)+,/,H(1)=-36r5/F 求：/a).(x)=x4+x3+x2+x+1+-=/(x)=:!d X L(X 1)11.设/(x)=arctan x,证 明:/(w+,)(x)(l+x2)+2nxf(n)(x)+n(n-l)/1).(1+x2)/(X)=1,(1+X2)/(x)0,yey+/；x=0,

37、y=O,y(O)=g2.设 y=d+2 x+l,求 其 反 函 数 x=(y)的 导 数 也 y=l,x=0,华 1 11=。=声 2。=23.y=y(x)由 方 程 y3+3y=x 确 定，求 y(x).1 1r-3/+34.(cos0=(sin(p)d，求:.IncosOd(p-(ptn0d0=n sn(pd0-6cot(pd(p d(p dO5.+y=3,求 y*(1).1 一 dy yxy+yx In y 0八,小 口=5=2 7=-xlnx+y=-2(l+ln2)6.y=y(x)由 方 程 6冷=0 确 定，求 dyt=Q)2x=0,y=-1,eXydx+xdy)-dx+3y2dy=

38、0,dyx=)=dx7小)+小 U 可 导，求 今 dy 2.v-/(y)-)f V)dx f W+xfy)8.已 知 y=f e+x,而/是 由 方 程 y2+t2-x2=所 确 定 的 x,y 的 函 数，求：空.dxdy=(l+t)d d t+dx dy r+(l+f)xe x=0,y=0,y x)=Q=lim=0单 元 四：斜 率 与 切 线 I.求 对 数 螺 线：=在 点(e工)处 的 切 线 方 程.2x=e cos 0 小 彳、dy sin 0 4-cos 0y=esin J F 益 内 而=-l,x+y=e2 22.求 y=x?+ax与 y=x2+bx(b a 0)的 公 切

39、 线 方 程.a+b1y=kx+c2y=x+ax=x2+(a-k)x-c=0,x=2 乃；cos x=sec x、sin x=tan x直 交 cos x sec2 x=-1=x=(2+l)4.f(x)为 周 期 为 5 的 连 续 函 数，它 在 x=0 的 某 个 邻 域 内 满 足:/(1+sin x)-3/(l-sin x)=8x+o(x)其 中。(x)是 当 x-0 时 比 x 高 阶 的 无 穷 小 量，且/(x)在 工=1处 可 导，求 曲 线 y=/(x)在 点(6,/(6)处 的 切 线 方 程.lim/(l x)T(k i n x)=4/=8,mo sin x/(6)=/=

40、0;,尸(6)=广=2;2x y=12单 元 五：单 调 性 与 极 值 xln x-x1.设/(x)=(0-1x 0,x*1x=0 试 考 察:定 义 域 内 连 续 性;(2)单 调 性;(3)/(I)x=1(1)/(0+)=0,lim/(x)=-1,连 续;f(x)=4 0!递 减;=2.设/(x)为 已 知 的 连 续 函 数，令/=/(枕)dx,其 中 f O,s O,则/的 值：AA:依 赖 于 s,不 依 赖 于 f;8:依 赖 于 f,s和 x;C：依 赖 于，和 x,不 依 赖 于 s;。：依 赖 于，和 s.ln(l+x)_ 0 x-(l+x)l n(l+x)()x=0 连

41、 续!J U)x2(l+x),/(x)04.y=/(x)由：3 2+/-4+，=0 所 确 定，求 y=/(x)的 单 调 区 间.,4-6x z 2_ r2、y=1。5,(8,力,-,+0 0)1+3y 3 35./(x):a,b上 二 阶 可 导，且 fx)0,证 明/(x)=/一 在 他 力)内 递 增.x-a 尸 7 r一(X a)/(X)(X)/_ 尸(%)、0(x-a)x-a6.设/（x）在（8,+8）内 连 续,且/（）0,求 证:讽 工）=2-当 x 0 时 单 调 增 加.力 7.8.9.(x)=QlO|AlO.10三 数：.，*，.中 哪 个 最 大?e e e7T设 0

42、x y 010，人。0）=苫 则 上 与 上 的 大 小.tanx Xtanx x-sinxcosx 八/-,F=0(X Gx x cos-xtan ytanx设 可 导 函 数 x),g(x)大 于 零,a x b,且 尸(x)g(x)/(x)g(x)与 xA:f(x)g(b)f(b)g(x);B：f(x)g(a)f(a)g(x)C：/(x)g(x)/)g(b);D：/(x)g(x)/(a)g(a)10.考 察 y=（优+厅）的 单 调 性.优 小 bxi a In-+b In-V=(优+hxy x 履+,右，,、“+”o,x(a+b)y11.讨 论 函 数/(x)=x+2 c o s x

43、在 区 间(0,乃)内 的 单 调 性 与 极 值.fx)=l-2sinx,(0,)，o 6 6 o/max(令=2+6-Anin 学)=一 技 6 6 6 612.设 三 次 函 数)，=3+2+以+有 两 个 极 值 点 及 其 对 应 的 两 个 极 值 均 为 相 反 数,则 函 数 图 形 关 于 什 么 对 称?r 1y=3ax2+2hx+c=0,X)+x2-=0,b=0;y(%)+y(x2)=2d=0 奇 函 数 3a13.14.15.16.17./(x)满 足：/(x)+4/(L)=L 求/V)的 极 值 X X1 1 1-4 r2 1 4 1 4l f(x)=一 石(4x+?

44、/(x)=b，)=-”(-5)=行 9b求 y=加+(4/()的 极 值，X,2ax?b7Xc 防，“、c 2b c/、3%2ab2=0,X。=6,y(X。)=2 三。,y疝 n(X。)=F-/(X)在(-00,+00)上 连 续，1(x)=;3 1)-(2)：(X*I),求 驻 点 和 极 值 点.(1)3驻 点:x=0,-1,-2;极 小 值 点:x=0;极 大 值 点:x=-2,1J/(用 在 尤=。处 连 续，lim()=-1,问:x=a 是 什 么 点?f x-a,=0,(i)/x)x=e 5,x=0,/(x)=3+21n|x|单 元 六：单 调 性 应 用 1.设/。)=(1一 X

45、)，(为 自 然 数)/1)求 1 1/);(2)证 明：m axf(x)0)的 最 大 值.l+|x|1+|x-a|1 1(x)/(1-x)2+(l+a-x)2 0 x 0(1+6!X)(1+X)1 10 x 2 1+a af(-)=-4 f=2+2 2+a J4.设/0)连 续，K f(x)0,f(-x)=/(x),令 f(x)=|x-r|f(t)d t(-a x 0;(2)Fmin(0)=2 1力 力;/”“工,、2,/(x)=2x(l+/(x)2 2 1/(f)力=/(x)-x-l n 0;B:0;C:06.x 0,w N+,设/(x)=(t-t2)sm2 nt d t,证 明：/(x

46、)W-力(2+2)(2+3)/=x(l _ x)sh?X,八(1)=f Q _ 产)Sil?f力 W f Q _ 产)产 Wf 7.(1)证 明 方 程 In x=J l-cos 2 xd x在(0,+oo)内 有 且 仅 有 两 个 不 同 实 根.f=n x-+2 4 2,f=0 x=e,/(1)0,/(e)=2返，/(/)0 ex(2)考 察 kp+|xp-cosx=0 在(一 8,+8)内 根 的 个 数.=凶；+|/-馍 5%偶，0,自 单 调 异 号，g,+8)o：二 根 考 察 方 程：2/一 10+12=0 根 的 个 数./=2x5-10 x+12,/=10 x4-10=0,

47、x=1,/(-I)=20,/(I)=4(一 个 根)(4)考 察 方 程+一+=0 根 的 个 数.x 1 x 2 x 3/7+？/0元 二 0 为 唯 一 驻 点，/(0)=-l,/(土 乃)0TT T T(6)对 C 的 不 同 取 值，确 定 方 程 x-一 5m=。在(0,)内 根 的 个 数，并 加 以 证 明 2 2L/J(x)=X-sinx,f.=arccos-,fx=0c J min.J maxZ 7T Z C/min，C N 0：无 根；C=/minL根；九 nC()(2)在-1和 2 之 间 求 值 c,使 得 y=-x,y=2x,y=1+ex所 围 的 面 积 最 小.S

48、=(-I-),S=0=c=-2 2-c 1+c 2(3)过 点 P(4,9)引 直 线，若 它 在 两 个 坐 标 轴 上 截 矩 为 正，求 使 截 矩 之 和 最 小 的 直 线.r v 4 9 9 设:+2=I n 2+二=1,/=a+/?=a+-,/=0,a=10,b=15a b a b a-49.(1)P(8)是 孙=1上 定 点，Q(x,y)是 该 曲 线 另 一 分 支 上 的 动 点，求 线 段 P。长 度 最 短 8的 点 0 的 坐 标.=(x 8+(-)2(x 0),尸=0 n x=L 2(-,-2)x 8 2 2(2)设 曲 线 y=4 f 与 直 线 y=2x+1相

49、交 于 A,8 两 点，又 C 为 曲 线 弧 力 8 上 任 一 点，求 MJ5C 面 积 的 最 大 值.A(l,3),8(3,-5),AB=4技/?=|x+2x-4(-3%0)/=0 n y=a 2:a 2,d而 n=2 j a-l;a W 2,喜 汨=同 1 0.证 明 不 等 式：(l)-l n(l+-)-；ln(l+-)-l n l=-!-x-!-,(0-)+l n n n 1+g n n1-L en 1 _L J|(2)en-en+1 1)；en-en+l=/-,(-)n(九+1)+l n(3)x ln x x-l,(x 0)./=x l n x-x+l,/,=lnx=0,x=l

50、,/n 0,/(l)=0(4)(-+i)ln(l+x)l,(x 0)x 29 Yf/=ln(l+x)-,/-=0,/(0)=0(l+x)(2+x)(5)sin x+tan x 2 x,(0 x 0!,/(0)=0(6)1+x2 2A,(0 x l)./=2t-l-x2,/=2t(ln2)2-2/(x)0 11.证 明：当 x e(0,l)时，(l)(l+x)ln2(l+x)x2.n(l+x),F(x)=(川+“丁)()jJ l+x 2(l+%)Jl+x1,1 1 1 C 1 1(l+x)ln2(l+x)-x2 八(2)-1-.G=-=01In 2 ln(l+x)x 2 ln(l+x)x x_(