2023年北京市朝阳区高三高考一模数学试卷含详解.pdf

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1、北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学2023.3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共 40分）一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A-卜 卜 ,集合8 =巾。,则（）A.（co,2 B,2,0）C.2,+oo）2 若q 0 b,则（）A a3 b3 B.例 C.3 设（1+x）=%+q x+a2%?+,+,若 4 =%，则=（）D.（0,2D.In（-/?）0A.5B.6C.7D.84.已知点A（-l,0）,8（1,0）.若直线丁 二辰2 上存在点P,使得

2、NAP3=90。，则实数人的取值范围是（）A.（-oo,-V 3 B.后+8）C.D.（-c o,-UA,+O O）5.已知函数/（x）=x 3+x,贝|J“X|+尤2=”是/（%）+/（工 2）=”的（）A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.过双曲线鼻 方=1（。0/0）的右焦点尸作一条渐近线的垂线，垂足为A.若 NAFO=2ZAO尸（。为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A.旦 B.毡 C.2 D.拽或22 3 37.在长方体ABC。-A中，A G 与平面4 B。相交于点M,则下列结论一定成立的是（）A.AM L B DC.A M=-M C

3、2 1B.1 BDD.MB=M D8.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数/(x)=s i n x+g s i n 2 x(x e R),则下列结论正确的是()A.的一个周期为兀B.a/(x)的最大值为5C./(X)的图象关于直线彳二兀对称D./(1)在区间 0,2K上有3个零点9.如图，圆M为,/BC的外接圆，A B=4，A C=6,N为边BC的中点，则()B.1 01 0.己知项数为&(%e N*)的等差数列 4 满足4C.1 31,一a4，D.2 6 .i an n-2,3,/).若%+。2+%=8,则&的最大值是()A.1 4

4、B.1 5C.1 6D.1 7第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.1 1.2若复数”币，则”1 2.函数 J (x)=3 的值域为y,x /2 b=m,s i n A-c o s A =0.(1)若加=8,贝！J c =(2)当机=(写出一个可能的值)时，满足条件的一A BC有两个.1 5.某军区红、蓝两方进行战斗演习，假 设 双 方 兵 力(战 斗 单 位 数)随 时 间 的 变 化 遵 循 兰 彻 斯 特 模 型:x(t)=Xo c o sh，其中正实数X0,又分别为红、蓝两方初始兵力，r为战斗时间；x(。,=%c o shy(f)分别为红、蓝两方f时

5、刻的兵力;正实数a,b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；c o sh x=_.t.-xe+e2和si n h x=土分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另2一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为r给出下列四个结论：若*0 乂且。=人，则 响 y(f)(O M Y T)；若X 0 E且则T =n沪；a NX。-%若肃X()一b，则红方获得战斗演习胜利；X)a 若 区 、口，则红方获得战斗演习胜利.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 6.如 图，在三棱柱A

6、BC-4 4 G中，A A J平面A B C,D,E分 别 为A C,AC的中点，AB=BC=后,AC=AA,=2.(1)求证：4。_1 _平面8。(2)求直线O E与平面A B E所成角的正弦值；(3)求点。到平面4B E的距离.1 7 .设函数/(x)=A si n 3 xc o syx+c o s2 3 r(A 0,口0),从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使得/(x)存在.(1)求函数/(x)的解析式;(2)求/(x)在 区 间0卷上的最大值和最小值.条件：/(x)f(-x)；条件：“X)的最大值为；条件：/(X)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为3.注：如果选择的条件不

7、符合要求，得 0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分.1 8.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干,为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了 50 0 名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生获奖情况相互独立.(1)分别从上述2 0 0 名男生和30 0 名女生中各随机抽取1 名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1 名，从该地区高一女生中随机抽取1 名，以X 表示这2 名学生

8、中获奖的人数，求 X 的分布列和数学期望E X;(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1 名，设抽到的学生获奖的概率为玲；从该地区高一男生中随机抽取1 名，设抽到的学生获奖的概率为P i；从该地区高一女生中随机抽取1 名，设抽到的学生获奖的概率为 2,试比较P。与 巧 运 的 大 小.(结 论 不 要 求 证 明)1 9 .已知函数J (x)=e 2 -3-l(a e R).(1)求/(x)的单调区间；(2)若 力 0对 x e(O,+。)恒成立，求。的取值范围；证明：若/(x)在区间(0,+。)上存在唯一零点,则/a-2.2 22 0 .己知椭圆E:亍+)-=1(0 。,则（）A.

9、（-co,-2 B.-2,0）C.-2,+00）【答案】C【分析】化简A=x|-2W xW 2,再由集合并集的运算即可得解.【详解】由题意 A=x|d 4 4 =x 2 x 0,所以 A u 3 =x 2 x 0j=x|xN 2-2,+a）.故选：C.2.若。0 力，则（）A.o Z3 B.网 C.0 h,.-.a3 0,&3 例不成立，故B错误；取。=11=2,则！0D.8【分析】先求出（1 +x）”展开式第r+1项，再由4=4列出方程，即可求出”的值.【详解】（1 +x）展开式第r+1项7；+i=C X，*=2 +3 =5 .故选：A.4 .已知点A（TO）,6（1,0）.若直线y =入一

10、2上存在点p,使得N A P 3 =9 0,则实数上的取值范围是（）A.卜8,一6C.-百,6【答案】DB.6+o o)D.(o o,DV,+C O)【分析】将问题化为直线丁=-2与圆f +2 =1有交点，注意直线所过定点（0,-2）与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k的范围.【详解】由题设，问题等价于过定点（0,-2）的直线y =2与圆f +V=i有交点,又（0,-2）在圆外，所以只需2J 1 +/2 0 g 0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A.若N A F O =2 N A O R （。为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A.B.C.22 3【答案】B【分析】由题意易得

11、所以N A O R =3 0 ，从而tan 3 0 =-=-,再 甘a 3【详解】解：在 用 A R 9中，因为N A F O =2 NA OF,所以4 4。口 =3 0，则 tan 3 0a 3所以w=RI=MW岑，故选：B7.在长方体A B C。-AB G A中，AR与平面A 3。相交于点”，A.A M BD B.4M 上 B DC.A M D.M B=M D【答案】cD.亚或23小卜卜百求解,则下列结论一定成立的是（）【分析】根据平面交线的性质可知AN A Ct=M ,又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对 于A B D可根据长方体说明不一定成立.【详解】如图，连接A C,8 D,交于

12、N,连接A G，A N,在长方体中，平面A CG4与平面4 8。的交线为A N,而 AC,u 平面 A CCA，且 AC,c 平面 4 3。=M ,所以M A N,又 A N I A C、,A N =；A C，所以故C正确.对于A,因为长方体中A C与8。不一定垂直，故推不出故A错误；对于B,因为长方体中4。与A B不一定相等，故推不出A M，8。，故B错误；对于D,由B知，不能推出A N与5。垂直，而4N是中线，所以推不出故D错误.故选：C8.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数/（x）=si nx+；si n2 x（xeR）,则下

13、列结论正确的是（）3A./（X）的一个周期为兀 B./（X）的最大值为C.“X）的图象关于直线=兀对称 D.“X）在区间 0,2可上有3个零点【答案】D【分析】A.代入周期的定义，即可判断；B.分别比较两个函数分别取得最大值的x值，即可判断;C.代入对称性的公式，即可求解；D.根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】A./(x+7 i)=si n(x +7 i)+-si n2(x+7 i)=-si nx+si n2 x/(x),故A错误;兀1元B.y=sin x,当 x=+2E,ZeZ 时，取得最大值 1,=sin l x,当 2x=+2 防t,攵 eZ 时，即2 2 2x=：+E,Z eZ

14、时，取得最大值所以两个函数不可能同时取得最大值，所以/(力 的最大值不是:，故B错误；C./(2兀一x)=sin(2兀一x)+gsin2(2兀一x)=-sinx-gsin2x#J(x),所以函数/(x)图象不关于直线X=TI对称，故C错误：D./(x)=sin%+g sin 2x=sin x+sin xcos x=0,即 sin x(l+cos x)=0,0,2K,即 sinx=0或cosx=-l,解得：x=0,兀,2兀，所以函数/(x)在区间 0,2可 上 有3个零点，故D正确.故选：D9.如图，圆M为.ABC的外接圆，AB=4,AC=6,N为边3 c的中点，则A N.A M=()B.10【

15、答案】CC.13D.26【分 析】由 三 角 形 中 线 性 质 可 知AN=(AB+AC),再 由 外 接 圆 圆 心 为 三 角 形 三 边 中 垂 线 交 点 可 知21 T 1AMcosZBAM=-A B,同理可得|AM|cos/CAM=|AC|,再由数量积运算即可得解.2 2【详解】N是BC中点,4N=g(AB+4C),M为.ABC的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，AM-AB=|AM|AB cos NBAM=-|AB|2=-x 42=8,2 21 ,同理可得AM-4C=|ACF=18,2：.A M AD =A M-(A B+A C)-A M A B +-A M A C -x S

16、 +-x lS-3.2 2 2 2 2故选：C1 0 .已知项数为&(Ae N*)的等差数列 4满足q=1,；4.1 4 4(=2,3,的最大值是()，&).若 q+%+。=8,则攵A.1 4【答案】BB.1 5C.1 6D.1 71 3【分析】通过条件4=1,(=2,3,%),得到 之一公二3，再利用条件%+%+4=8 得到 1 6 =2 4 +Z(&-l)d,进而得到不等关系：1 6 2 2%+以%-1)彳 工，从而得到女的最大值.3k 2【详解】由 q=l,；%一|/(=2,3,)，得到 l+(-2)d W 4 l+(-l)d ,即3+(3-2)4 2 0,3当”=2,3,左时，恒有3+

17、(3-2)d 2 0,即42-,3/-23所以dN-，3k 2由q+4+一+%=8,得到8 =左(4+4)Z 2 +(%-1)4 22所以 1 6 =2左+%(%1)2 2 2%+女伏1)-,1 k e N,Z N 2,3k 2整理得到：3女2一4 9女+3 2 W 0,所以 11 2.函 数 x）=3 的值域为3v,x l【答案】（,3）【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和x l的值域，再取并集即可.【详解】因为当为2 1时，b g i x。，3当x l时，3、所以函数/（x）=5 的值域为（,3）,3 r 1故答案为：（8,3）1 3 .经过抛物线f=4的焦点的直线与抛物线相

18、交于A,B两点，若|A B卜4,则一。4 8（0为坐标原点）的面积为.【答案】2【分析】求出焦点坐标，设直线46方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得。点到直线AB距离，进一步求出三角形面积.【详解】由题意知，抛物线-=4y的焦点尸（0,1）,设B（x2,y2）,直线A B：ykx+l,y-A x +1 -、联立方程 +1 =0,A =（2+4炉）2 4 =1 6攵4+1 63 20,X=4 y韦达定理得M +%=2+4 k=1，因为=|A F|+|f B|=y+必+2=2+4攵2+2 =4,所以左？=（）,即4=（）,所以直线A 3：y=l,所以点。到直线A B的距离为

19、|OF|=1,所以 S.A 8=T。凡|A B|=gx l x 4 =2.故答案为：21 4 .在 ABC中，a=4 /2 b-m,s i n Ac o s A =0.（1）若2 =8,贝!|c =；（2）当山=（写出一个可能的值）时，满足条件的,.A B C有两个.【答案】.472.6（答案不唯一）【分析】（I）求出A,再由余弦定理求解即可；（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出加的范围即可得解.【详解】（1）sinA-cosA =0,，tan4=l,0 A 即32=64+c?-16x，2解得c=4&.(2)因为A=/=4 TT所以当bsin a 匕时;方程有两解,即

20、4/m取帆=6即可满足条件（答案不唯一）故答案为：4A/2；6.15.某军区红、蓝两方进行战斗演习，假 设 双 方 兵 力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型:不=X。cosh f y/aht）-J 1）sinh f yfabt，其中正实数X 0,为分别为红、蓝两方初始兵力，/为战斗时间；y(r)=%coshX()sinhy（f）分别为红、蓝两方f时刻的兵力;正实数a,分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；coshx=TS和sinhx=分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另2一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为，给出下列四个结论：若

21、X。%且a=6,则若 X。力且 a=6,则 T=-In -y-；a X。-%若 常X。一b，则红方获得战斗演习胜利；-,则红方获得战斗演习胜利.其中所有正确结论的序号是【答案】【分析】对于根据已知条件利用作差法比较大小即可得出x(r)y(r)=e(Xo 4)0,所以正确；对于，/_ 1 _ L at _ -a t 1 IY _L V利用中结论可得蓝方兵力先为o,即 二乂。=0解得丁=111 正确；对于和，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间乙、芍，比较大小即可知错误，正确.【详解】对于，若X 0E且。=6,则 M =e(X U/、e+e e e由 X。为 可得 x(t

22、)-y(f)=ea,(X。一%)0,即正确；对于，当a=b时根据中的结论可知x(r)y(f),所以蓝方兵力先为0,ar,-az at _ -6?/即 y)=三4三二*。：。，化简可得e(Xo_K)=eT(Xo+%),x+丫 (x+Y Y即e2，=黄优，两边同时取对数可得2=In“0-丫0即勺 堂号卜挹第，所以战斗持续时长为他用所以正确；对于，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，设红方兵力为o时所用时间为4，蓝方兵力为o时所用时间为4，即 x(A)=X。cosh,可得e?而L%+X。同理可得e2a奶=-=-a员 0 x LX 0 +X,解得法:又因为x 0,%,a力 都为正实数

23、，所以可得员 口，红方获得战斗演习胜利;%V a所以可得错误，正确.故答案为：.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 6.如 图，在三棱柱ABC-A4G中，A d*1平 面A B C,D,E分 别 为A C,AG的中点，A B =B C =B，A C=A A j=2 .（1）求证：AC,平面反汨；（2）求直线O E与平面A 8 E所成角的正弦值;（3）求点。到平面A B E的距离.【答案】（1）证明见解析；手【分析】（1）根 据 线 面 垂 直 的 性 质 得 到AC,根据等腰三角形三线合一的性质得到AC/BO,然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用

24、空间向量的方法求线面角即可；（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【小 问1详解】在三棱柱中，D,E 为 A C ,4G的中点，。后441，；A4,，平面 ABC,，DE 1 平面 ABC,：AC u 平面 ABC,二 DE _Z AC,在三角形ABC中，A B =B C,。为AC中点，；.AC工80,:D Ec B D =D，D E,B D l 平面BOE，；A C,平面【小问2详解】如图，以。为原点，分别以DAO&OE为x,y,z轴建立空间直角坐标系,在直角三角形4?。中，A B =y5=(AC=1,如=2,D(0,0,0),(0,0,2),A(l,0,0),B(0,2,0),DE=

25、(0,0,2),AB=(-1,2,0),AE=(l,0,2),设平面阳的法向量为m=(x,y,z),A B-m =-x-2y=0.z、(),fy(),从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使得/(x)存在.(1)求函数/(x)的解析式;（2）求/（X）在 区 间0段 上的最大值和最小值.条件：f（K）=f（一 X）；条件：/（X）的最大值为1条件：/（X）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分.【答案】（1）选择条件，/（x）=si n（2 x+）+g3（2）最大值为一，最小值为0.2【分析】（1）由正弦函

26、数和余弦函数的奇偶性可排除条件，先利用辅助角公式化简/（x）,再根据正弦函数的图象和性质即可求解；（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.【小问1详解】若选择条件，A因为 x）=S i n 2 s+c os?cox由/（1）=（一1）可得4$抽2如二所以选择条件，由题意可得了（-）=A si n （-3）5 兀 兀设 （p 一,2 2A1由题意可得/（x）=ysi n 2（vx+-A其中c os0=/=,si n e =因 为 的 最 大 值 为 所 以，所以si n 0 =，（p=,2 6AA,所 以/(-x)=si n (-2 G x)+c os2-cox)=si n 2a

27、)x+c os2 cox,0对x eR恒成立，与A0,G0矛盾，c os(-(u r)+c os2(-6 9%)=-A si n 2 6 9%+c os2 cox,c 1 7 A2+1 ./c 1-C O S 2 6 9%+=-S i n (2 6 9 X 4-)4-，1 _A2+1 ,+1+=,解得 A=5/3，2 2 2r r t由/(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得5 =,所以丁=女=兀 解得口=1,2s所以/(x)=sin(2x+F)+g.【小问2详解】TT7 1由正弦函数的图象可得当xe 0,-时，2x+-e_ 2 _ 67 1 7兀6,6，时2 Y卜-1,12所以/(X)

28、在区间 o,J 上 的 最 大 值 为 最 小 值 为 0.1 8.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干,为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了 5 0 0 名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生2 0 01 01 51 5女生3 0 02 52 54 0假设所有学生的获奖情况相互独立.(1)分别从上述2 0 0 名男生和3 0 0 名女生中各随机抽取1 名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1 名，从该地区高一女生中随机抽取1 名，

29、以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望E X ;(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1 名，设抽到的学生获奖的概率为玲；从该地区高一男生中随机抽取1 名，设抽到的学生获奖的概率为P i；从该地区高一女生中随机抽取1 名，设抽到的学生获奖的概率为。2,试比较P。与 且 爰 的 大 小.(结论不要求证明)答案(1)-240(2)分布列见解析，期望EX=，2(3)n/+P 23，/2【分析】(1)直接计算概率P(A)C l（2）X的所有可能取值为0,1,2,求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出P o=1,巧年=；,比

30、较大小即可.【小 问1详解】设事件A为“分别从上述2 0 0名男生和3 0 0名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则尸=襄=击【小问2详解】随机变量X的所有可能取值为0,1,2.记事件8为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，事件。为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”.由题设知，事件8,。相互独立,且P（3）估计为1 0 +1 5 +1 52 0 0=(,P(C)估计为2 5 +2 5 +4 03 0 031 0所以 P(X =0)=P(BC)=P(B)P(C)=1）=函 口 初）=尸（8）尸 ）+尸（月）（0=3 1 1-总+1-乐得=*1 3 3P(X

31、 =2)=尸(8 C)=P(8)P(C)=x =一.5 1 0 5 0所以X的分布列为X012P2 85 01 95 035 028 1Q 3 1故 X 数学期望 E(X)=0 x +l x +2 x =-、)5 0 5 0 5 0 2【小问3详解】。丐 口，理由：根据频率估计概率得4 0 +9 0 1 3 5 2 1p（）=-=-,由（2）知 二一 5 0 0 5 0 2 0 0 1 251 3 I故 四+小=5 1 0 =1 =5 02 -2 -4-2 0 0则P 0 量1 9.己知函数/(x)=e 2 a Y-l(a c R).3二-2 1 0(1)求/(X)的单调区间；(2)若 x)0

32、对x e(O,+8)恒成立，求a的取值范围；证明：若/(x)在区间(0,+8)上存在唯一零点看,则 与 “一2.【答案】(1)答案见解析(2)a 0,结合导数的符号确定单调区间；(2)由/(x)=2 e 2*-a,讨论“2研究导数符号判断J G)单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；(3)根 据(2)结论及零点存在性确定”2时“X)在(，l n 3,+。)上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应2 2用分析法将问题转化 证/(a-2)0在“2上恒成立，即可证结论.【小 问1详解】由题设/(x)=2 e 2*-a,当。4 0时，/()(),则/*)在R上递增；当a 0时，令/0

33、)=0,则x =l n 3,2 2若x g l n g 则/，(x)g l n ,则/(x)(),f(x)在(g i n夕+e)上递增；综上，aWO时f(x)的递增区间为R,无递减区间；a 0时fM的递减区间为(-i l n-),递增区间为(I n 0,+oo).2 2 2 2【小问2详解】由 fx)=2e2x-a ,当a 2时，/。)0在(。,+)上恒成立，故/*)在(0,+0 0)上递增，则/(x)/(0)=0,满足要求；当a 2时，由(1)知：/(x)在(8,I n-)上递减，在(一I n ,+e)上递增，而一I n 0 ,2 2 2 2 2 2所以“X)在(O,；l n今上递减，在(；

34、l n号+8)上递增，要使/(力 0对X (O,M)恒成立，所以，只需了(1 1 1 0)=3 1 1 1色1 0,2 2 2 2 2令g(x)=x-x l n x-l 且工1,则 g (x)=-l n x 0,即g(x)递减,所以g(x)0不存在a 2；综上，a 0 ,故不可能有零点；a 2时，A x)在(0 4 I n且)上递减，在(L n ,+8)上递增，且/(0)=0,2 2 2 2所以(0 4 l n q)上/(x)0,无零点，即/(L l n )0,且x趋向于正无穷时了。)趋向正无穷，2 2 2 2I/7r所以，在(5 I n 5,+8)上存在唯一内,使/(x()=e 2&-依。-

35、1 =0 ,要证不 0在a 2上恒成立即可，令f =a-20,若/(f)=e 0,即在(0,+8)上递增，故p(f)p(0)=0,所以”)0,即以力在(0,+8)上递增,故以/)献0)=0,所以/(a -2)=e 2(-2)一 a(a -2)1 o 在 a 2 上恒成立，得证;故 与。恒成立即可.2 22 0.已知椭圆E:?+皂=1(0 4)经过点(、历,1).(1)求椭圆E的方程及离心率：(2)设椭圆E的左顶点为A,直线/：x =?y +l与E相交于M,N两点、,直线AM与直线x =4相交于点Q.问：直线N Q是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由.【答案】(1)

36、椭圆E的方程为三+匕=1,离心率为也.4 2 2(2)直线NQ过定点(2,0).【分析】根据椭圆经过点(JI 1)即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率；表示出直线 收 的 方 程 为=4(+2),即可求得点Q(4,黑)，再利用点斜式表示得直线NQ的方6乂 一%（西+2）,、程为y 1 2=,小口一）,即可求出NQ与X轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线NQ恒（4一%2）（%+2）过的定点.【小 问1详解】因为椭圆E:工+上=1（0 0,2 m设 M（%,%）,N（x2,y2）,则有 y +%=-一 厂1，%=-6+2直线A M的方程为y =-%（X+2）.X +2令x=4,解得丁

37、=色、，则。（4,色、），X1+2 石 +2-%所以直线NQ的斜率为k=%+2 =6乂-%（%+2）“Q 4-X2（4X2）（玉 +2）且“Q 士 0,6 y-y （匹+2）/、所以直线NQ的 方 程 为 广 必=（4=五+2）-）令y=0,则尤%（4一 2）（斗 +2）6。一场日+2）xj6 y +2）-%（4%2）（X +2）6 y%（芯+2）6）1 -4y 2（尤+2）=6（?%+D y -4y 2（m +3）6%（X +2）6%一%（加）1 +3）2 z|2股 力+6%-1 2必 _IO+6|、m22 m+2 J-1 8%一 殴 为+6凶-3必 _m 3、ml?+2,卜6（2 m、卜9

38、%1 8/n 1 8（/7 7 +2）_ y2?-9m 9（m2+2）%所以直线NQ过定点(2,0).【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于利用直线的点斜式方程求的点点。(4,驾)的 坐 标，再利用点斜式方X)+2程表示出直线NQ与x轴的交点横坐标，利用韦达定理等量代换求恒过定点.2 1.已知有穷数列A:4 M 2，MN(NCN*,N23)满足“受一=,N).给定正整数机，若存在正整数s,1s。，使 得 对 任 意 的0,1,2,都有4+k=。.，则称数列4是加一连续等项数列.(1)判断数列A:-l,1,0,1,0,1,-1是否为3-连续等项数列？是否为4连续等项数列？说明理由；(2)若项数

39、为N的任意数列A都是2-连续等项数列，求N的最小值；(3)若数列村：6吗,，斯 不是4一连续等项数列，而数列人：弓,，-,%，一1，数列4：%，/，-M v，。与数列1都是4连续等项数列，且%=0,求飙的值.【答案】(1)数列A是3-连续等项数列，不是4连续等项数列，理由见解析;(2)1 1 (3)0【分析】(1)根据新定义直接验证数列A:l,1,0,1,0,1,-1,可得结论；(2)先根据新定义证明N 2 1 1时，数列A一定是2连续等项数列，再验证 W 1 0时，A不是2 连续等项数列即可；(3)由4，4 4都是4 一连续等项数列可得4 =即一2，4+1 =沏-1，+2 =即，+3 =T，

40、=aN_2,aj+l=aN_x,aj+2=aN,aj+3=0,ak=aN_2,aM=aN_,ak+2=aN,ak+3=1 ,再 由 反 证 法 证 得min m =l,即可得出外,的值.【小 问1详解】数列A是3-连续等项数列，不是4-连续等项数列，理由如下：因为=%+*(%=0，1，2)，所以A是3连续等项数歹U.因为。1，。2，。3，。4 为 T，l，l；%,为，。4，。5 为 1，；。3，。4，。5，。6为，1，1；所以不存在正整数s/(swr),使 得%+*=。伏=0,1,2,3).所以A不是4连续等项数列.【小问2详解】设集合S=(x,y)|%e-l,0,l,y e-l,0,l,则S

41、 中的元素个数为3?=9.因为在数列A中4曰一 1,0,1因=1,2,.,N),所以(此用)e S(i =1,2,N 1).若 NN1 1,则 N-l 1 0 9.所以在(q ,。2)，(。2，。3 ),(。3，。4 )，诙)这N -1个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数s,r(s H Z)，使得q =a as+i=al+l.所以当项数N N 1 1时，数列A一定是2连续等项数列.若N =3,数列0,0不是2连续等项数列.若N =4,数列0,0,1,1不是2连续等项数列.若N=5,数列0,0,1,1,0不是2连续等项数列.若N =6,数列0,0,1,1,0,-1不是2连续等项数列

42、.若N =7,数列0,0,1,1,0,-1不是2连续等项数列.若N =8,数列0,0,1,1,0,1,1,7不是2连续等项数列.若N =9,数列0,0,1,1,0,-1,1,-1,-1不是2 连续等项数列.若N =1 0,数列0,0,1,1,0,-1,1,一1,一1,0不是2连续等项数列.所以N的最小值为1 1.【小问3详解】因为A 1,4与A 3都是4一连续等项数列，所以存在两两不等的正整数i,j,k(i,j,k ak+aN-ak+2 aN ak+3 =1下面用反证法证明min j,，,=1 .假设 mini,J,Z 1,因为 N-3，-,所以4-1，%-1，4-1，“N-3中至少有两个数相

43、等.不妨设4-i=aj-，则 at-=%，4=%，4+i=%+i，4+2=aj+2，所以A是4一连续等项数列，与题设矛盾.所以闺=1.所以=ai+2 _ aj+2 _ ak+2 =.【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据4,4与4都是4-连续等项 数 列 得 出 ,=aN_2,aM=aN_i,ai+2=aN,ai+3=-1 ,ai=aN_2,aj+i=aN_t,aj+2=aN,aj+3=0,ak=aN_2,ak+l=aN_x,aM=aN,ak+i=,利用反证法求mini,/,Z=l是关键点.