量子力学习题集及解答.pdf

《量子力学习题集及解答.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学习题集及解答.pdf（142页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、量 子 力 学 习 题 集 及 解 答目 录 第 一 章 量 子 理 论 基 础.1第 二 章 波 函 数 和 薛 定 谓 方 程.5第 三 章 力 学 量 的 算 符 表 示.28第 四 章 表 象 理 论.48第 五 章 近 似 方 法.60第 六 章 碰 撞 理 论.94第 七 章 自 旋 和 角 动 量.102第 八 章 多 体 问 题.116第 九 章 相 对 论 波 动 方 程.1282第 一 章 量 子 理 论 基 础 1.设 电 子 为 电 势 差 卜 所 加 速，最 后 打 在 靶 上，若 电 子 的 动 能 转 化 为 一 个 光 子，求 当 这 光 子 相 应 的 光 波

2、 波 长 分 别 为 5000 A(可 见 光)，1A(x射 线)以 及 0.001 A(7射 线)时，加 速 电 子 所 需 的 电 势 差 是 多 少？解 电 子 在 电 势 差 丫 加 速 下，得 到 的 能 量 是 m i=e V 这 个 能 量 全 部 转 化 为 一 个 光 子 2的 能 量，即 m u2=eV=h v=2 Awhe 6.63x10-34 x3x1()8 1 24x1(/e/l 1.6 xl(r19-2当 4=5000 A 时，匕=2.48(伏)%=U 时 匕=124x1()4(伏)4,=0.001 时 匕=1.24 x 107(伏)2.利 用 普 朗 克 的 能

3、量 分 布 函 数 证 明 辐 射 的 总 能 量 和 绝 对 温 度 的 四 次 方 成 正 比，并 求 比 例 系 数。解 普 朗 克 公 式 为.8加 产 dv Pv、d v-公-3-;-h vr/-kTTV 7-1-c e-1单 位 体 积 辐 射 的 总 能 量 为 v3dv/打 _ 令，哈,则 其 中()4()()式 表 明，辐 射 的 总 能 量 U 和 绝 对 温 度 T 的 四 次 方 成 正 比。这 个 公 式 就 是 斯 忒 蕃 一 玻 耳 兹 曼 公 式。其 中。是 比 例 常 数，可 求 出 如 下：因 为=e-y(l-e-y)T=e-(1+e7+e-2y+-)ey-

4、13令 x=ny,上 式 成 为 x3exdx用 分 部 积 分 法 求 后 一 积 分，有 x3e-dx=一 J/上+3x2e-xdx=-3xVA|+3 2xe7dx=+6 L exdx=-6 K=6乂 因 无 穷 级 数 S-L上 因 此，比 例 常 数 8成 4 p y3dy _ 8 兀 然，I V。ev-l-ISIV7=7.56x 1(尸 尔 格/厘 米 3 度 43.求 与 下 列 各 粒 子 相 关 的 德 布 罗 意 波 长：(1)能 量 为 10()电 子 伏 的 自 由 电 子；(2)能 量 为().1电 子 伏 的 自 由 中 子；(3)能 量 为 0 电 子 伏，质 量

5、为 1克 的 质 点；(4)温 度 7=1攵 时，具 有 动 能 E=(%为 玻 耳 兹 曼 常 数)的 氮 原 子。2h 解 1 德 布 罗 意 公 式 为 A=-P因 为 上 述 粒 子 能 量 都 很 小，故 可 川 非 相 对 论 公 式 E上 2 代 入 德 布 罗 意 公 式 得 A=以 一(1)百=1()06=1.6、10一 1 尔 格，M=9x10-28 克 4=-7 h-一 一/663x1()，=1.23x10-8厘 米=1.23A72x9xlO-28xl.6xlO-104(2)G=0.1eV=1.6xl()T3尔 格，外=1 8 4 0 4=1840 x9x10-28克/.

6、4=0.92 A(3)4=8 卜 丫=1.6xl()T3尔 格，4=1 克 4=1.17x10-12A3 3(4)6=-A T=x l.38x10-16x1=2.()4x1()76尔 格，=4 x 1.6 6 xlO，克 2 2O/.A4=12.6 A4.利 用 玻 尔 索 末 菲 的 量 子 化 条 件 求：(1)一 维 谓 振 子 的 能 量；(2)在 均 匀 磁 场 中 作 圆 周 运 动 的 电 子 轨 道 的 可 能 半 径。解(1)方 法 一：量 子 化 条 件)pdqE=+/jorq22 22 2可 化 为(r+/2=1 J E)(笆 上 式 表 明，在 相 平 面 中，其 轨

7、迹 为 一 椭 圆。,-1 2Ea=2/JE，h=-这 个 椭 圆 的 面 积 为 J pdq=m b=兀 q 2语 故 E-nhv上 式 表 明，一 维 谐 振 子 的 能 量 是 量 子 化 的。方 法 二：一 维 谐 振 子 的 方 程 为 q+ar q-0其 解 为 q=A sin(o，+5)dq=Acocos(co t+8)dt而 p-/j q-A F W/COS(69 t+8)pdq=M%?cos2(co t-v S)dt=nh,一 维 谐 振 子 的 能 量 为 两 半 轴 分 别 为 2 兀 E E.=-=nhco V必 2#必 2-T=-=nh2 2v5而 E=-+-UCO2

8、q2=人 曹（丁+，+g 一 2A2 巾 23/+3）=2 A 2=nhv（2）设 磁 场 方 向 垂 直 于 电 子 运 动 方 向，电 子 受 到 的 洛 仑 兹 力 作 为 它 作 圆 周 运 动 的 向 心 力，于 是 有 e u2 H u=Ll c R故 eH这 时 因 为 没 有 考 虑 量 子 化，因 此 R 是 连 续 的。应 用 玻 耳 一 索 末 菲 量 子 化 条 件,pdq=nh这 时，我 们 把 电 子 作 圆 周 运 动 的 半 径 转 过 的 角 度。作 为 广 义 坐 标，则 对 应 的 广 义 动 量 为 角 动 量 一 新 却 力 句=网=加 Pdcp-（j

9、Rud（p=2碍 uR=2族 R?二 力 吟 声 一 他 V 2砍 H V eH其 中/?=2万 可 见 电 子 轨 道 的 可 能 半 径 是 不 连 续 的。讨 论：由 本 题 的 结 果 看 出，玻 尔 一 索 末 恭 轨 道 量 子 化 条 件 和 普 朗 克 能 量 量 子 化 的 要 求 是 一 致 的。求 解 本 题 的（1）时，利 用 方 法（一）在 计 算 上 比 方 法（二）简 单，但 方 法（一）只 在 比 较 简 单 的 情 况，例 如 能 直 接 看 出 相 空 间 等 能 面 的 形 状 时 才 能 应 用。而 方 法（二）虽 然 比 较 麻 烦，但 更 有 一 般

10、 性。本 题 所 得 的 谐 振 子 能 量，与 由 量 子 力 学 得 出 的 能 量 耳，=（+；）/，相 比 较，我 们 发 现 由 玻 尔 一 索 末 菲 量 子 化 条 件 不 能 得 出 零 点 能 品=g/?i，。但 能 级 间 的 间 隔 则 完 全 相 同。前 一 事 实 说 明 玻 尔 理 论 的 不 彻 底 性，它 是 经 典 力 学 加 上 量 子 化，它 所 得 出 的 结 果 与 由 微 观 世 界 所 遵 从 的 规 律 量 子 力 学 得 出 的 结 果 有 偏 离 就 不 足 为 奇 了，这 也 说 明 旧 量 子 论 必 须 由 量 子 力 学 来 代 替。

11、6第 二 章 波 函 数 和 薛 定 谓 议 程 1.一 维 运 动 的 粒 子 处 在(X)=1，当 xNO当 x 0,求:1=i/i/dx=A2x2e2；dx(1)粒 子 动 量 的 几 率 分 布 函 数；(2)粒 子 动 量 的 平 均 值。解 首 先 将 材 归 一 化，求 归-化 系 数 A。A=2严(2俨 2 当 X20(x)=40,当 x 0(1)动 量 的 几 率 分 布 函 数 是 i/r-(E t-p x)c(p)=(2徜)一 犷(x)e，dxJ-0 0注 意 到 中 的 时 间 只 起 参 数 作 用，对 几 率 分 布 无 影 响，因 此 可 有 1 广 i00 px

12、c(p,)=(2成)2 y/(x)e dx(A+p)x=A(2酒)2 xe h dxJo代 入 上 式 得 7(2)_ 223/pdp _ 才 方 3-co dp?宓 L(4 2+p 2/力 2)2 K-8卜 2方 2+口 2)2才 为 3 1 00=-(J1 22A2+p2-oo动 量 P 的 平 均 值=0 的 结 果 从 物 理 上 看 是 显 然 的，因 为 对 本 题 c(p)说 来，粒 子 动 量 是-p 和 是 p 的 几 率 是 相 同 的。讨 论：一 维 的 傅 里 叶 变 换 的 系 数 是-f L=而 不 是 L。V 2(2 徜)”2 傅 里 叶 变 换 式 中 的/可

13、看 成 参 变 量。因 此，当 原 来 坐 标 空 间 的 波 函 数 不 含 时 间 变 量 时，即 相 当 于 1=()的 情 况，变 换 式 的 形 式 保 持 不 变。不 难 证 明，若“(X)是 归 一 化 的，则 经 傅 里 叶 变 换 得 到 c(p)也 是 归 一 化 的。2.设 在，=()时，粒 子 的 状 态 为 2 1“(X)=A sin-kx+coskx求 粒 子 动 量 的 平 均 值 和 粒 子 动 能 的 平 均 值。解 方 法 一：根 据 态 迭 加 原 理 和 波 函 数 的 统 计 解 释。任 意 状 态 材(x)总 可 以 分 解 为 单 色 平 面 波

14、的 线 性 和，即“(幻=/。(P 下 二 6”，展 开 式 的 系 数|C(P)表 示 粒 子 的 动 量 为 p 时 的 J2成 几 率。知 道 了 几 率 分 布 函 数 后，就 可 按 照 一 斗(P)p,斗(P)广 求 平 均 值。(x)=A sin2 履+cos kx81 区 在，=0 时，动 量 有 一 定 值 的 函 数，即 单 色 德 布 罗 意 平 面 波 为 T-e 力，与（X）的 展 开 式 比 127th较 可 知，处 在（x）状 态 的 粒 子 动 量 可 以 取 Pi=2力 Z,2=2力 攵，23=，P4=hk,p5=-tik，。3=4 J砺，4=%=4 J通 粒

15、 子 动 量 的 平 均 值 为 2 4I.2(2方 k-2方 Z+4 X 0+力 攵 一 方 Z)_=a y _=_L6、-=0%|24-(l2+l2+22+l2+l2)16而 C C2 V 2，4A可 由 归 一 化 条 件 确 定 l=Z|c|2=(l+l+4+l+l)故 A=，=5/徜 1=力 iA?粒 子 动 能 的 平 均 值 为 妙=y=-J _（4力 2女 2+4力 2&2+0+力 2女 2+为 2女 2）比 16 2 5 方 2女 2=-O8=今 5&/p-2加)+6(p+2必)-26(p)5p hk)8p+hk)根 据 b 函 数 的 性 质，只 有 当 5 函 数 的 宗

16、 量 等 于 零 时，3 函 数 方 不 为 零，故 p 的 可 能 值 有 Pi=2M,p2=-2hk,P3=0,P4=hk,p5=-hk9而 C=a J2徜,病,c4=c5=则 有 万=0,A=及 T=h2k2.讨 论：由 于 单 色 德 布 罗 意 平 面 波 当 r f 8 时 不 趋 于 零，因 此 沙 的 归 一-化 积 分 是 发 散 的，故 采 用 动 量 几 率 分 布 的 概 念 来 求 归 一 化 系 数。本 题 的“（X）不 是 平 方 可 积 的 函 数，因 此 不 能 作 傅 氏 积 分 展 开，只 能 作 傅 氏 级 数 展 开,即 这 时 对 应 于 波 函 数

17、“（X）的 p 是 分 立 谱 而 不 是 连 续 谱，因 此 计 算 c（p）枳 分，得 到 b函 数。在 连 续 谱 3 函 数 还 未 熟 练 以 前，建 议 教 学 时 只 引 导 学 生 按 方 法 一 做，在 第 三 章 3 函 数 讲 授 后 再 用 3 函 数 做 一 遍，对 比 一 下，熟 悉 一 下 b 函 数 的 运 算。3.一 维 谐 振 子 处 在 的 状 态，求：（1）势 能 的 平 均 值 U=-F.2（2）动 量 的 儿 率 分 布 函 数；（3）动 能 的 平 均 值 7=2-2 解 I 先 检 验“（X）是 否 归 一 化。（文）是 归 一 化 的。10（2

18、）由 于（X）是 平 方 可 积 的，因 此 可 作 傅 氏 变 换 求 动 量 几 率 分 布 函 数/、19=百 1飞 2沛 8-pxt)e 力 dx由 此 得 出 结 论，对 于 处 在 基 态 的 谐 振 子 来 说，动 能 的 平 均 值 和 势 能 的 平 均 值 相 等。4.求 一 维 谐 振 子 处 在 第 一 激 发 态 时 几 率 最 大 的 位 置。解 I-维 谐 振 子 的 波 函 数 为 H(ax)=(-1)e02x2 d(ax)为 厄 密 多 项 式。对 于 第 一 激 发 态 1 1处 在 第 一 激 发 态 的 几 率 正 比 于 网 2=*2 产/欲 求 其

19、最 大 值，必 须 满 足（小 丁）=（）dx即 有 2xa-i-2a2x3eax=0i,讨 论：在 土,处 帆 一 有 极 值，这 是 由 于 一 维 谐 振 子 函 数 本 来 就 是 对 原 点 对 称 的 缘 故，这 从 物 理 是 很 清 楚 的，当 X=（）及 X f 8时，几 率 0,故 X 和 儿 率 的 关 系 大 致 如 图 示。的 波 上 看 假 如 过 渡 到 经 典 情 况，相 当 于 方-0,这 时 0。这 在 经 典 力 学 看 来 是 完 全 合 理 的，因 为 从 经 典 的 观 点 来 看,谐 振 子 处 在 原 点 几 率 最 大，因 为 处 在 原 点

20、能 量 最 低。5.设 氢 原 子 处 在 1”（r,6,。）=下 的 态，劭 为 玻 尔 半 径，求（1）r的 平 均 值；2（2）势 能-二 的 平 均 值;（3）动 量 几 率 分 布 函 数。解 先 检 验”是 否 归 一 化。n 噎 1-0 0L G 2rs i n 劭 力 统 2 m 上=r e a rdr sin 3d0堤 J。J。1200+40_2r/dr2 re旬-2r 2rCO 2 r8 H-I e dr=-e0 a0 J00=10这 表 明 咳 是 归 一 化 的。(1)r=f00*I rJ-co2r1(7)”J r sin d d 3 d(p4“3=(7)J o r)6

21、 8 2=r e%J。2r r 3 oZ,6 ao 30 d r-1 1=ana；4 2/-A(2)U r)=-=-r 2ra dr sin 0 d 0 d(p74/2r 八 2 dr Y-re。0000-2 R e2 8oo0这 个 结 果 和 旧 量 子 论 中,氢 原 子 的 电 子 沿 波 尔 半 径 所 规 定 的 轨 道 运 动 时 的 库 仑 能 一 致。(3)c(p)=1(2就 产 2 p-ri/e h d r选 用 球 坐 标，且 使 y 轴 与 力 的 方 向 致，则 有 p-r=prcQsOc(万)1(2的 产 1(2徜 产 sin O clO+y pcosprcosJ.

22、r2 sin 3d rd 3cl(pr2dr(2彷 产 2 向 sin例 夕 1 e其 中 令 a=J _+_Lpcos。，且 应 用 了 V e-a rr2dr=a0 h J。a3再 令 t-cos,dt=-sin 6 d 0,cosO0=1,co s)二 一 113则(2肪 产 _ 4帅 3加 0 7(方 2+瑞)24渐 _ 兀 松 币(h2+alp1)16.粒 子 在 势 能 为 M p当 尤 4 0(%)=0,当 0 x a%,当 x 2 a的 场 中 运 动，证 明 对 于 能 量 E q 0nII：内 9+加,=0dx2 2HI：f-俨 6=0ax其 中：女 2=%其 中：02=竺

23、 3-方 14它 们 的 解 分 别 为 甲 1 c,em+D,e-a r,%=。2 sin(Ax+b)匕=。305+03*边 界 条 件：当 x-8,%-()；则 R=0当 X+00,“3 0;则=0连 接 条 件(波 函 数 的 标 准 条 件)在 x=0 处，=2 eg。=。2sin5=q在 x=a 处，2=83 Q sin(ka+S)=。3的 在 x=0 处，ac.-ckcos3dx dx 1 2在 尤=a 处，色&.=也&r.。2攵 cos(ka+S)=0 优 一 向 dx dx 2 廿 在 上 面 四 个 式 子,由 第 一 和 第 三 式 可 得 a由 第 二 和 第 四 式 可

24、 得 tg(ka+3=k tgka+tg8而 tg(ka+3)=；上 一 1-tgka-tgok s万+火 故 tg ka=-t r-=-tg(r+S)-t g 80其 中 令=tg tB于 是 有 ka=n兀 一（T+B）15由 fg T=K 可 得 sinr=/卜 B 卜+，tik 2必 不 2必,.i hk.ka=n-sin,-sintik2必 讨 论：对 于 束 缚 态 的 问 题，我 们 总 是 先 按 不 同 的 要 求 写 出 薛 定 谓 方 程，求 出 解。然 后 再 利 用 边 界 条 件 和 波 函 数 的 标 准 条 件 定 解。这 种 方 法 具 有 一 般 性。把 I

25、、in两 区 域 的 解 写 成 指 数 形 式，是 因 为 能 够 利 用 边 界 条 件 把 两 个 任 何 常 数 的 问 题 变 为 只 有 一 个 任 意 常 数 的 问 题。而 在 区 域 n 中 没 有 边 界 条 件。又 因 所 要 求 的 结 果 具 反 三 角 函 数 的 形 式，因 此 把【I的 解 写 成 三 角 函 数 的 形 式。原 则 上，写 面 指 数 或 三 角 函 数 形 式 是 任 意 的，若 选 择 得 当，往 往 可 使 问 题 的 求 解 较 为 简 捷。7.粒 子 处 在 势 能 为 oo,当 x 2a+hU(x)=0,当 0 x a和 Q+b x

26、2a+bU。,当。x 0dx2 1 力 2器-M=0,a2=(t/0-E)0-+k2y/.=0,k?=迫 E。dx h其 解 分 别 为%=A sin kx+B、cos kxW?=A2em+B2e-m%=&sin女 无 一(2a+b)+B3coskx-(2a+b)边 界 条 件：当 x=0 时，%=0;B=0当 x=2a+b 时，8 3=；&=0于 是 165=4 sin kx匕=4 c 冰+B a e匕=4 sin kx-(2 a+b)连 接 条 件:当 x=a 时，W=W z，A sin ka=A2eaa+B2e-owdi/、_ di/2dx dxA coska=A2a eaa-B2aea

27、a当 x=a+Z?时，%=匕，A2ea(a+b)+B2ea(a+b)=-A3s in kadx dxA2a ea(a+b)-B2a e b)=A.k coska上 列 四 式 可 重 写 为 齐 次 方 程 式 为 下：sin-e-a aB2=0k cos ka-Ay-a e 3 4+aea aB2=0+sin h&+e a(a+b)B2=0侬 一+9 _ k cos ka.4-aeab)B2=0解 之 得 这 个 方 程 组 要 得 到 非 零 解，必 须 其 系 数 行 列 式 为 零,故 有 sin ka 0 Lkcos ka-a eaa0 aeaa=00a(a+b)sin ka-a(a

28、+b)0a eatt+b)-k co ska-a e-a s+切 ea b(a s in k a-k c o s k a)2-ea b(a sin ka+k coska)2=0它 与 k2=-E力 X2*(U 0-E)n三 式 决 定 粒 子 的 能 量。8.求 三 维 谐 振 子 的 能 级，并 讨 论 它 的 简 并 情 形。解 三 维 谐 振 子 的 哈 密 顿 为 H=1(我+汽+科)+y2+/)=宣,+方 32 2其 中 Hx-p+-/(y2x2x 2*2/V 1 人 2 1)2H、=Py2/217Hz1.2 1 2犷+严 2如 果 哈 密 顿 可 以 分 离 变 量，就 必 然 有

29、 E=EX+Ey+Ez及 甲=乙 匕%因 此 可 以 设 定 薛 定 四 方 程 方=的 解 为=,“（x）%2（y）%3（z）L&=E.i+E.2+Eg则 有（Hx+Hy+&）（x）外（y）*（Z）=（0+En2+金 川 k 2 6 3 A M“1（X）+%口“3 方 必 2（y）+W“W”再 必 3=（耳 n+耳 松+%）”两 边 均 除 以 沙 得：方/d（X）1 方 出“2（y）|向 批 3（Z）W.l（x）匕 2”）“3（Z）=纥）+纥 2（田+纥 3仁）要 上 式 两 边 相 等，必 须 今 x、y、z三 份 分 别 相 等，亦 即 故 有 方 M“（x）忆 i（x）=Enl(x)

30、同 必 2（y）忆 2。）=2除 5 方 W x)=E Q M/x)同/2（y）=E.2（y W“3（y）A Z 3（Z）=E,3（Z）6 3（Z）它 们 分 别 为 沿 X、y、Z 方 向 的 线 谐 振 子 方 程，它 们 的 能 量 分 别 为 n2|力 0，E“3(3+；hco=卜+;因 此 三 维 谐 振 子 的 能 量 为 3E=(勺+&+%+万)=N+g)力 其 中 N=+2+3+为 正 整 数。由 N 确 定 后，由 于，”2,3可 以 有 不 同 的 组 合，因 此 就 对 应 于 不 同 的 状 态，这 就 是 简 并。简 并 的 重 数 可 以 决 定 如 下：当 外=（

31、）时，4 可 取，1，N-1，故 4 有 N 个 可 能 值。当 1=1时,2可 取 0，1，N 2,2有 N 1个 可 能 值。18当=N-in寸，内 只 能 取，即 只 有 一 个 可 能 值。当 和 2都 确 定 后，由 于 N=%+&+3+的 限 制，%也 确 定 了，因 此 并 不 增 加 不 同 组 合 的 数 目。故 N确 定 以 后，2、”3的 可 能 组 合 数 目，即 简 并 重 数 为 N+(N-l)+(N-2)+-+l=；N(N+l)讨 论：若 哈 密 顿 本 身 可 以 分 离 变 量，总 可 以 有 E=纥+E,v+E：及 材=匕 匕 匕。这 个 结 论 是 具 有

32、 普 遍 性 的。只 要 注 意 到 我 们 在 证 明 这 个 结 论 时 并 没 有 涉 及 谐 振 子 的 哈 密 顿 的 具 体 形 式，就 能 够 看 出 这 一 点。以 上 讨 论 假 定 了 谐 振 子 在 三 个 方 向 的 频 率&相 同。一 般 地 说，各 方 向 的 频 率 是 可 以 不 同 的，对 此，我 们 也 可 以 用 完 全 类 似 的 方 法 来 讨 论。9.一 粒 子 在 三 维 势 场 匕=,5=0,-%-2 2a aoo,%-0,4 T2 2b hV.=0中 运 动，求 粒 子 的 能 量 和 波 函 数。解 我 们 先 来 证 明 一 个 一 般 的

33、 结 论：若 哈 密 顿 方 可 写 成 方，、方、,、方 一 之 和，即 人 人 人 人=%+4+”一 Z*则 方 所 对 应 的 本 征 能 量 为 E=Ex+Ey+E.波 函 数 为 W=其 中 乙、E、.、旦；Wx、匕.、匕 分 别 满 足 一 维 薛 定 丹 方 程 瓦 匕=纥 匕 方，妁=E v(2)Hzy/z=E:i/Z(3)1 9把 上 面 三 式 写 成 h d22 dx1h d-2 dyh d22 dz2+U(y)yy=E、wy+U(z)忆=E y(1)(2)(3)+U(x)Wx=E x即（1）z式 乘 心 匕；（2）式 乘 心 忆：（3）,式 乘 忆 匕：然 后 三 式

34、相 加 得 到:一 力?-V2+U（x）+U（y）+U 匕 匕 匕=（纥+E,+纥）外 匕 匕 Hi/-Ei/这 就 是 我 们 所 要 证 明 的 结 论。于 是 我 们 就 把 一 个 解 三 维 的 薛 定 谓 方 程 的 问 题 归 结 为 求 解 三 个 一 维 薛 定 丹 方 程 的 问 题。只 要 求 得 纥、约 和 纥 以 有 心、匕 和 匕，就 不 难 求 出 E 和“。对 于 x 方 向 的 薛 定 丹 方 程（1），相 当 于 求 解 一 维 无 限 深 势 阱 下 粒 子 的 能 量 和 波 函 数。利 用 教 材 10的 结 论，把（10-26）,（1027）和（10

35、-28）式 中 的 2a用。来 代 替，可 得 到 242力 2（是 整 数）2 fM、已 sin-x k|2,n偶 数 d）=1 a 2|o k l W/cos%w,是 奇 数/2）=y a 20 w*对 于 y方 向 的 薛 定 谭 方 程（2）,同 理 有 m27r弁 E、,二 兀（用 是 整 数）2 M20cos-y 是 奇 数 b 2对 于 z 方 向 的 薛 定 娉 方 程，由 于 U(z)=o,这 表 明 粒 子 在 Z 方 向 可 以 自 由 运 动，其 解 为 平 面 波 解，即 有 2旦=正 是 连 续 谱 z 2 1-(E,t-p.z)7 2而 兀 2 场 2(2 2 2

36、因 此 E=EX+EV+E.=-+-Px y z 2(a b)2/j材 则 有 下 列 几 种 可 能 吸 明 必 W 忆.a.b.“必 2 M%当|x|5,卜|1 _ 0 0 一 均 为 整 数。1,10.设 在 x=()附 近 运 动 的 粒 子 受 到 弹 性 力/=-丘 作 用，相 应 的 势 能 是 V(x)=：我 产，已 知 满 足 对 应 于 这 个 势 能 的 薛 定 源 方 程 的 波 函 数 是 收,(x)=(2.力 正)2 exp 一;、卜“(?)(力 2 Xi其 中=；“是 级 厄 密 多 项 式，当=0,1,2,3 时，1 2x 4x2 8x3 x/0=1;n1=；H

37、,=z 2；“3=i 12a a a a(1)试 由 薛 定 调 方 程 计 算 相 应 于 本 征 函 数 Wo,%，,忆 的 本 征 能 量 E。,用,E?,当，En；21(2)利 用 公 式 匚 铲 e-铲 m8 2 2 2 L 2 J求=0,1,2,3时 的 平 均 势 能 艰(3)求=0,1,2,3时 的 平 均 动 能。解(1)本 征 能 量 Eo,E i a E3,En由 定 态 薛 定 谓 方 程 决 定。(a)求&)：有+华 0=而-0=(a品)5c 2公 代 入 薛 定 娉 方 程 得 21 方-rx2+kx24 2E（）=-=-h c o 2必 2(b)鬻+寺,-白 2卜

38、=。_ 1 1%=（2。正）2fl2 ah2（3 门 1 方 2 2对/+/厂 5 询 了=-h（o2故 翳+*3 扣 卜=。”2=（84后）也=一 2%+（8。6）3”）dx a a22%=咚 华 一 士 巴+屈 T：J岁 一 咚(心 历 一 驾 二 dx a dx a a a a2 1 R 1 X、1 R _-=F 2 25e 5 匕+(8QV)2 2a a-3 8 a 廊 强 a ax2 1 4=V i-V i a a a(x2 5=-F%1。Jr_ h(x2 5 1*2-0 4 2+鬻+笔 一 如 匕=(48aV)笃 同 理 可 得%=(三 一 口 上 依 此 类 推 可 得：用=卜+

39、-(2)求 平 均 势 能 V(x)(a)=0 时，K)(x)=J/*Va22正(b)=1,h(x)=1V%，(c)n=2,匕(X)二 2a a a_!日 e 2J-(8 6/1 丁-2)1 h1 2 5.-T X=neo2 4 2/3=。8/12xa3 a)，:力 广 7*1-mo)2)正”韬 近 1+1 rw 2 4 2 0,2 k4-1lx=,i x e a dxa g 2 J-er。兀$a J ajka2 3&3.1=,=-=ha)=-Ei6 4 4 2公 2丫 公 8 a&2 J I/J232=f=f e a2 X2(4X4-4 a2x2+a4)dx4a Y/r 一 8=15k.a

40、2-3 kz a 2+I7ka0=5 n去 eo=11r8 4 8 4 2 2(d)n=3 V3(x)=二 的 一 领 由 2 K“不(2x 3a)xd xx2=e 6/2X4(4X2-12a2x2+9a4)dx6crN兀 J-0 0=35,k a2-1-5k,a 2 H%ka2=7n.o)=1 rE8 4 8 4 2 3(d)9 3/a2一 5+7卜 a-+63 V lx246而&2 4 2讨 论：通 过 本 题 可 以 看 到，只 要 已 知 本 征 波 函 数 和 体 系 的 哈 密 顿 算 符 的 形 式，要 求 体 系 对 应 于 这 些 本 征 函 数 的 本 征 能 量，只 需

41、代 入 薛 定 谓 方 程 通 过 微 分 运 算 求 出。因 此 解 薛 定 源 方 程 求 本 征 函 数 收 和 本 征 能 量 E 的 困 难，事 实 上 何 求 本 征 函 数 匕 一 旦 已 知 本 征 函 数，本 征 能 量 就 容 易 求 出 了。事 实 上，受 到 弹 性 力 作 用 的 体 系，相 当 于 一 维 谐 振 子，本 征 函 数 也 就 是 谐 振 子 的 本 征 函 数，这 只 须 取。=,就 可 看 出。因 此 算 山 的 能 量 自 然 就 是 谐 振 子 的 本 征 能 量 aE=(+()力/，这 和 我 们 直 接 运 算 得 出 的 结 果 一 致。

42、计 算 结 果 表 明，对 于 在 弹 性 力 作 用 的 体 系(一 维 谐 振 子)算 出 的 势 能 平 均 值 总 是 等 于 总 能 量 的 一 半，不 管 处 在 哪 个 能 级，都 有 相 同 的 结 论，即-1U=T=-E2这 从 物 理 上 看 显 然 是 非 常 合 理 的。11.粒 子 在 势 能 U(r)=乜,当 rN0,当 r aa的 捧 力 场 中 运 动，求 能 量 E U。/=0 的 情 况 下，粒 子 的 能 量 和 状 态。解 1 径 向 方 程 为 1 d _ 2 d。.、Z(Z+1)1.n k 丁”(r)+f-。()-(r)=0r dr dr J 7r

43、r j当/=0 时，方 程 简 化 为 整+2 华+害 E U(r)M=()ar r dr n在 处，波 函 数 为，则 有+-P+=0dr r ar n令 乙=立 2,贝|也=生 L _ 2r dr r dr rJVi _ 1 d2u 1 dul 1 du+2 _ 1 d2u 2 dul+2udr2 r dr1 r2 dr r dr r3 r dr2 r2 dr r3方 程 变 为 25在 处，令%)=。,则 有 r1 d2uA 2 di.2 2 1 du12 2 p u _ n即 有 r dr2 r2 dr r3 r r drdu 2 八 d r2 a%=3+2 Wo 匕）一 ur n r

44、其 中=冬(U-E)()n+夕 2 0=0dr其 中/2=丝 七 0力 解 卜.面 两 个 方 程 得 ar-ar=4 济+50一 勿，故=AJ+BJr rC Du)=C sin/Jr+D cos 优,必)=sin J3r+cos 0rr r边 界 条 件：当 一 oo时，为 有 限，故 A=0于 是=B r当 r f 0 时，必，为 有 限，故。=0C于 是)=sin/?rr连 接 条 件：当/=4 时，%(a)=Mj(a)于 是 Beaa=Csin(3a也=如，故 3-V=f f-s i n pa+2 c o s 仅 dr dr a)a a解 上 面 两 式 消 去 8 和 C得 Q A

45、sin 仅 Q Qa sm pa+sin pa=-p cos paa a故 得 fg优=_ 2a此 外，再 注 意 到 a2+p2=条“-初+*=坐 力 方 方 从 上 面 两 式 用 图 解 法 求 出。和,从 而 确 定 粒 子 的 能 量。由 B e=Csin 仅 26及 波 函 数 的 归 一 化 条 件 可 以 确 定 5 和 C,从 而 粒 子 状 态 的 波 函 数 B-当 厂 2。rC 包 3 当 r就 可 以 确 定。12.粒 子 在 半 径 为“，高 为 d 的 圆 筒 中 运 动，在 筒 内 的 势 能 为 零，在 筒 壁 和 筒 外 势 能 为 无 限 大,求 证：(1

46、)粒 子 的 波 函 数 是 WamAP，9,z)=Csin(=1,2,3,)(/n=0,1,2,-)其 中 p,%z是 柱 面 坐 标，为 机 阶 贝 塞 尔 函 数 的 第 t个 根。(2)粒 子 的 能 量 是 解 筒 外 势 能 为 无 限 大，故 伊=0粒 子 在 筒 内 运 动 的 薛 定 丹 方 程 用 圆 柱 坐 标 表 示 为：1 3 f d d2 d 八 J+3 而 一 制“一 犷 材=o用 分 离 变 量 法，设”(/7，s，z)=/(z)g(p,*)代 入 上 式，可 以 得 到 1 产 g,1 诙，1 g 1 5打，2吟 g j 明 2 pQp pd(p2 f(Z)d

47、z2 方 21 d?f=2/上 面 第 一 式 的 解 为/=44I1(以+6)，其 中 k 2=利 川 边 界 条 件：当 z=0 时，/(z)=o,.,.3=027当 z=d 时，/(z)=0,/.kd=n7r,n-1,2,3,因 而 片 哈 用，-)=,榔 z)再 令 g(p,p)=u(p)认(p)代 入 上 面 的 第 二 式，可 再 分 离 变 量 得 一、%=0v d(p 9o d-u du 2/工 工、2。cP+黄(E-EJp-B=0dp-dp L 这 第 一 式 的 解 为 1D(9)=Y=e。，m=0,l,2,兀 其 中 tn2-P现 在 令 卫(后 一 旦)=。2方 一 于

48、 是 第 二 式 改 写 为(2、“(/?)H/(/?)+2-勺(/?)=0P I P)这 是 一 个，阶 贝 塞 尔 方 程，其 解 为“(。)=B、J m(ap)+B?N m(ap)当 夕-0 时，诺 意 曼 函 数 N,“(0)f oo,故 与=()当 时，w(a)=0,故=0令 5?为，”阶 贝 塞 尔 函 数 的 第 r个 根，则 有 S,(m)a=a综 合 上 面 儿 个 式 子，得 到 粒 子 的 波 函 数 为 匕 皿(0，9，z)=Csin5=123,)(加=(),1,2,)其 中 C n由 归 一 化 条 件 决 定。粒 子 的 能 量 为 13.设 粒 子 在 一 维 无

49、 限 深 阱 中 运 动，如 果 粒 子 的 状 态 由 波 函 数 28(x)=-isinxcos2xyja a a描 写，求 粒 子 能 量 的 可 能 值 和 相 应 的 儿 率。解 一 给 无 限 深 势 阱 U(x)=oo,当 尢 0,当 0 X Q式 中。为 势 阱 宽 度。粒 子 具 有 一 定 能 量 的 状 态 为 本 征 态，它 满 足 本 征 方 程 Hi/=Ei/粒 子 在 阱 内 时 有 H2-P-=-h-2-d-2-2 2 dx2代 入 本 征 方 程 得 d2i/zI z-Ei/=0dx2 02+其 解 为 匕 二 2.njr sin x能 量 为 任 意 状 态

50、”（x），V aE=5njtaa、2可 视 为 一 系 列 本 征 态 的 线 性 迭 加，亦 即/（X）=%,（一 只 要 求 出 各 个,就 可 以 求 出 能 量 的 各 个 可 能 值 纥 及 相 应 的 几 率|C,f。方 法 一：本 题 的“（X）较 简 单，容 易 化 为 若 干 正 弦 函 数 的 迭 加 2 m 1、4.7t 2乃 4.m C O S n+夕（幻 2力 271故 G=2,I GIl2：=p 能 量 可 能 值 用 2jLiya291万 9 1|c3|=,能 量 可 能 值 4方 法 二：一 般 方 法 因 为 _ r/.、，.,_ 4V2 r.m 7 m.nm