解析几何教程+(廖华奎王宝富)+课后习题.pdf

《解析几何教程+(廖华奎王宝富)+课后习题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解析几何教程+(廖华奎王宝富)+课后习题.pdf（96页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 一 章 向 量 代 数 习 题 1.11.试 证 向 量 加 法 的 结 合 律，即 对 任 意 向 量 a,九 c 成 立(a+b)+c=a+(b+c).证 明：作 向 量 而=a,前=,而=，(如 下 图)，则(a+b)+c=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD,a+(b+c)=AB+(BC+CD)=AB+Bb=AD,故(a+b)+c=a+(b+c).2.设 a,),c两 两 不 共 线，试 证 顺 次 将 它 们 的 终 点 与 始 点 相 连 而 成 一 个 三 角 形 的 充 要 条 件 是 a+Z+c=O.证 明：必 要 性，设 a,b,c的 终 点 与 始 点 相 连 而

2、成 一 个 三 角 形 AA5C,则 a+b+c=Z+前+瓦=/+瓦=兀 5=0.充 分 性，作 向 量 无=a,前=方,而=。，由 于 0=。+6+，=4 3+3。+。=4。+。=4。,所 以 点 4 与。重 合，即 三 向 量 a,b,c的 终 点 与 始 点 相 连 构 成 一 个 三 角 形。3.试 证 三 角 形 的 三 中 线 可 以 构 成 一 个 三 角 形。证 明：设 三 角 形 A 43C三 边 A B,3C,C 4的 中 点 分 别 是(如 下 图)，并 且 记 a=AB,b=BC,c=CA,则 根 据 书 中 例 1.1.1,三 条 中 线 表 示 的 向 量 分 别

3、是 CD=-(c-b),A E=-(a-c),B F=-(b-a),2 2 2所 以，CD+AE+BF=-(c-b)+-(a-c)+-(b-a)=O 故 由 上 题 结 论 得 三 角 形 2 2 2的 三 中 线 CD,可 以 构 成 一 个 三 角 形。4.用 向 量 法 证 明 梯 形 两 腰 中 点 连 线 平 行 于 上、下 底 且 等 于 它 们 长 度 和 的 一 半。证 明：如 下 图，梯 形 4 B C 0 两 腰 中 点 分 别 为 E,尸，记 向 量 通=。，筋=，则 而=而 向 量 力 心 与 荏 共 线 且 同 向,所 以 存 在 实 数 2 0,使 得 DC=A,A

4、B,现 在 户 豆=8+a,正=b+4 a,由 于 E 是 5。的 中 点，所 以 施=5+而)=(。+“+2 6)=(1+；1)=工(1+4)4瓦 且 2 2 2 2阿 卜;(1+网=；(|祠+2 网)=；(|祠+|DC|).故 梯 形 两 腰 中 点 连 线 平 行 于 上、下 底 且 等 于 它 们 长 度 和 的 一 半。5.试 证 命 题 1.1.2o证 明：必 要 性，设 a,b,c共 面，如 果 其 中 有 两 个 是 共 线 的，比 如 是”,万，则 a,万 线 性 相 关，从 而 a,A,c线 性 相 关。现 在 设 a,A,c两 两 不 共 线，则 向 量 c 可 以 在

5、两 个 向 量。,5上 的 进 行 分 解，即 作 以 c 为 对 角 线，邻 边 平 行 于 a,万 的 平 行 四 边 形，则 存 在 实 数 九 使 得 c=Xa+p,b,因 而 a,Z,c线 性 相 关。充 分 性，设 a,b,c线 性 相 关,则 存 在 不 全 为 零 的 数 无”感,&，使 得 占 4+右 万+&，=0。不 妨 设 心，0,则 向 量 c 可 以 表 示 为 向 量 a,方 的 线 性 组 合，因 此 由 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 知 道 向 量 c平 行 于 由 向 量 a,方 决 定 的 平 面，故 a,c 共 面。6.设 A,5,C是

6、不 共 线 的 三 点，它 们 决 定 一 平 面 n,贝 晾 尸 在 n 上 的 充 要 条 件 是 存 在 唯 一 的 数 组(；1,/)使 得 OP=AOA+uOB+vOC,.i,(*)A+/+v=1,其 中，0 是 任 意 一 点。尸 在 A 45C内 的 充 要 条 件 是(*)与；12 0,2 0比 2 0 同 时 成 立。证 明：必 要 性，作 如 下 示 意 图，连 接 A P并 延 长 交 直 线 3 c 于 R。则 由 三 点 5,R,C 共 线，存 在 唯 一 的 数 组 A1,&使 得 砺=&1而+&2万，并 且&+&=1。由 三 点 4,P,R 共 线，存 在 唯 一

7、 的 数 组 乙 耳 使 得 而=1|况+6 砺，并 且 Z.+Z2=l O 于 是 OP=lidA+l1dR=lxdA+lJiidB+l1k1dC,设 2=Z,/z=v=l2k2,由 kk2,ZPZ2 的 唯 一 性 知 道 的 唯 一 性,则 OP=AOA+/1OB+vOC9 且 P+i=4+12kl+12k2=O充 分 性，由 已 知 条 件 有 OP=W A+juOB+vOC=W A+piOB+(1-2-)OC=2(0 4 OC)+(。8。)+。=A,CA+nCB+,得 到 CP=ACA+C B，因 而 向 量 次，而，而 共 面，即 尸 在 4,3,C 决 定 的 平 面 上。如 果

8、 P 在 A 43C内，则 P 在 线 段 AR内，R在 线 段 5 c 内，于 是 0W占，七，6 2 1，则 0 4 九,y 4 1。姆（*）成 立 且 0 4 丸，4，裂 4 1,贝 狗 丽=丸 瓦+而，这 说 明 点 尸 在 角 NAC3内。同 样 可 得 到 衣=4瓶+肥/，这 说 明 点 P 在 角 N A 4 c内。故 尸 在 A A 5 c内。7.在 AA5C中，点 0,E 分 别 在 边 5 C 与 C 4上，且 3 0=gBC,CE=g c 4,A O 与 B E交 于 R,试 证 RD=：AD,RE=：BE.证 明：作 如 下 示 意 图，由 三 点 b,R,E共 线，存

9、 在 化 使 得 丽=而+（1-口 面，由 三 点 A,R,O共 线，存 在/使 得 CR=lCA+（l-l）CD,由 于 BD=3BC,CE=g c A,有 丽=而，丽=痴，因 而 而=无 而+（I-A）=/瓦+（1/）而.由 于 2 1 4 1向 量 C4,CB不 共 线，所 以 左=（1 一。/=（1一 左），解 此 方 程 组 得 友=7,，=亍。由 一 4 一 3 _此 得 CR=CB+CE,7 7 4 3 4 4 ER=CR-CE=-C B+-C E-C E=-（C B-C E）=-E B.同 理 得 到 万 斤=L万 5。故 得 RO=1 AD,R E=-BE.7 7 78.用

10、向 量 法 证 明 AABC的 三 条 中 线 交 于 一 点 P,并 且 对 任 意 一 点。有 O P=(OA+O B+OC).证 明：设。,E,尸 分 别 是 边 AB,8C,CA的 中 点，则 交 于 一 点 P,连 接 ACP,CD o 由 A,P,E三 点 共 线，存 在 无 使 而=无 丽+(1 4)而=,瓦+(1 幻 而，2由 8,P/三 点 共 线，存 在/使 加 后+(1-1)而=1/而+(1-1)而，于 是 得 21 1 2 1 1 一-k=l-l,-l=l-k,解 得 k=l=-。从 而 有 CP=C8+C4,然 而 2 2 3 3 3_ _ _ _ _ 2 _ _丽=

11、一 而+出，故 而=一 而，即 C,P,O三 点 共 线，A 4 5 c的 三 条 中 线 交 于 一 点 2 2 3P。任 取 一 点 0,由 丽=4 而+1 瓦，得 I J O P-O C=-(d B-O C)+-(OA-OC),3 3 3 3于 是 丽=；(而+砺+反).9.用 向 量 法 证 明 四 面 体 A5CO的 对 棱 中 点 连 线 交 于 点 P,且 对 任 意 一 点。有 O P=1(19A+O B+O C+OD).证 明：设 四 面 体 A5CO的 棱 4 3,4。,4。的 中 点 分 别 是 3,。,0,棱 3。,。,。3 的 中 点 分 别 是 E,J F,G,如

12、下 图。则 对 棱 中 点 连 线 为 5 2,C G,0 E。ADDrC则 容 易 知 道 迹=白 3*=/芍，CD=-C D=E G,因 此 四 边 形 CDGE是 平 行 2 2四 边 形，CG,OE相 交 且 交 点 是 各 线 段 的 中 点。同 理 3尸,CG也 相 交 于 各 线 段 的 中 点，故 5F,CG,DE 交 于 一 点 P。由 以 上 结 论 知 道，对 任 意 一 点 0,由 P 是。E的 中 点，有 0=-(0+0)=-(-0+-0 1)+-0+-0 8),2 2 2 2 2 2即 而=；(弧+。5+说+OD).10.设 A(i=1,2,)是 正 边 形 的 顶

13、 点，0 是 它 的 中 心，试 证 力 西=0.1=1n 2jr 2允 证 明：设。=石 西，痴 E 边 形 绕 着 中 心 旋 转 插。一 方 面 向 量 a绕 点 0 旋 转 了 角 度 而 得 到 一 个 新 的 向 量/；另 一 方 面，正 边 形 绕 着 中 心 旋 转 包 后 与 原 正 边 形 重 合，因 而 n向 量 a 没 有 变 化。方 向 不 同 的 向 量 要 相 等 只 能 是 零 向 量，故 为 西=0.1=1证 法 2：由 于 A(i=l,2,)是 正 边 形 的 顶 点，0 是 它 的 中 心，所 以 OAi+O A=kOA(i=l,2,-,n),其 中 凡=

14、4 退=4。由 三 角 不 等 式 得 到|西+西=阳|西|可|+|西 口=2|西 二|(i=l,2,)，故 有 阳 2。所 以(西+可)=2力 西=A力 西，由 于|川 2,所 以 力 阂=0.=1=1 i=l i=l11.试 证：三 点 A,3,C共 线 的 充 要 条 件 是 存 在 不 全 为 零 的 实 数;使 得AOA+p,OB+vOC=0 且；l+v=O其 中，o 是 任 意 取 定 的 一 点。证 明：必 要 性，如 果 三 点 4,3,C 中 至 少 有 两 点 重 合，比 如 4,5 重 合，则 而 豆=0,所 以 结 论 成 立。如 果 A,8,C互 不 重 合，由 例

15、1.1.1知 道 三 点 A,B,C共 线 的 充 要 条 件 是 存 在 数 左 使 得 儿 函+(1-4)。石 一 近=0,令 4=%,=1 左 中=一 1,则;出 不 全 为 零，有 AOA+(1OB+vOC=0,4+v=A+(l-A)1=0。充 分 性，设；I西+砺+v反=0且;l+M+v=0,贝 I J4丽+如 一(丸+)诙=0,A(OA-OC)+ju(OB-OC)=ACA+pCB=0,由 于 4,产 不 全 为 零，以 及 点。的 任 意 性，可 知;不 全 为 零，否 则 v 也 为 零。所 以 不 妨 设 2*0,则 丽=-4 T 而，因 而 三 点 4,3,C共 线。习 题

16、1.21.给 定 直 角 坐 标 系，设 尸(x,y,z),求 P 分 别 关 于 xOy平 面，x 轴 与 原 点 的 对 称 点 的 坐 标。解：在 直 角 坐 标 系 下，点 P(x,y,z)关 于 xOy乎 面，x 轴 与 原 点 的 对 称 点 的 坐 标 分 别 是 2.设 平 行 四 边 形 4 B C 0的 对 角 线 交 于 点 P,设 万 法=9 万 瓦 丽=：瓦.在 仿 射 标 架 A;而，而 下，求 点 P,M,N 的 坐 标 以 及 向 量 赤 的 坐 标。解：作 如 下 示 意 图，因 为 P 是。B 中 点，所 以 衣=,荏+而.2 2A M=D M+A D=-D

17、 B+A D-(A B-A D)+A D=-A B+-AD.5 5 5 5彳 河=:衣=，(彳 万+而).故 在 仿 射 标 架 A;套 瓦 莅“下 点 P,M,N 的 坐 标 分 别 J 1 1 4、5 5、为 弓,5),!，?，(%*),=M D+D C+C N=-B D+A B-A C5 6=(A b-A B)+A B-(A B+Ai)=A B+AD,5 6 30 30所 以 向 量 该 在 仿 射 标 架 A；彳 瓦 叫 下 的 坐 标 为 啥,3.设 a=(1,5,2),5=(0,3,4),c=(2,3,1),求 下 列 向 量 的 坐 标：(1)2a b+c：(2)3a+2b+4c

18、解(1)2a-+c=2(1,5,2)-(0,-3,4)+(-2,3,-1)=(0,16,-1).(2)-3a+2b+4c=-3(1,5,2)+2(0,-3,4)+4(-2,3,-1)=(-11,-9,-2).4.判 断 下 列 各 组 的 三 个 向 量 a,A,c是 否 共 面？能 否 将 c 表 示 成 a,5 的 线 性 组 合？若 能 表 示，则 写 出 表 示 式。a=(5,2,1),=(-1,4,2),c=(-1,-1,5);(2)a-(6,4,2),=(9,6,3),c=(-3,6,3);(3)a=(1,2,3),b-(-2,-4,6),c=(1,0,5).解：(1)设 占 a+

19、勺 b+左 3c=0,即&(5,2,1)+k2(1,4,2)+/(-1,一 1,5)=0,则 有 5kt-k2 k3=0,2%+4 七 一 号=0,该 方 程 组 只 有 零 解 占=&=仁=0,所 以 三 向 量 不 共 面。k、+2k 2+5A：=0.(2)设 kla+k2b+k3c=0,即&(6,4,2)+七(一 9,6,3)+上 3(3,6,3)=0,则 有6k-9k2-3 卜 3=0,4kl+6k2+6k3=0,2kl+3k2+3k 3=0.该 方 程 组 等 价 于 3k2 一 43=0,2kl+3k2+3k 3=0.由 此 得 到 1 2k、=一 一 k,k2=一 一 心，只 要

20、 砥 不 为 零，匕,也 就 不 为 零，所 以 三 向 量 共 面。取 七=1，则 自=,七=2,所 以 c=！a+2 即 c 可 表 示 成 a,b的 线 性 组 合。2 3 2 3(3)设 k+k2b+k3c=即 kx(1,2,-3)+k2(-2,-4,6)+k3(1,0,5)=0,则 有 占-2A2+右=。，（,“2%一 软 2=0,该 方 程 组 等 价 kt 于 2k2）=0,方 程 组 有 非 零 解（2,1,0）,限 k=0-3%+6k z+5&=0.3三 向 量 共 面。由 于 勺 只 能 为 零，故 c 不 能 表 示 成 的 线 性 组 合。5.在 AA5C中，设 O,E

21、是 边 5。的 三 等 分 点，试 用 彳 万 和 衣 表 出 而 与 亚。6.设 在 一 平 面 n 上 取 一 个 仿 射 标 架。；4*2，口 上 三 点 耳.（七,以）1=1,2,3,共 线 当 占 J,1且 仅 当 x2 y2 1=0.X3%1证 明：三 点（天，必）,=1,2,3,共 线 当 且 仅 当 月 月 A R,即 玉 二 土=2二 左.展 与 一 片 y3 f开 得 X J2+*2%+*3%一*1%-X3y2-*2%=-再 Jl 1x2 y2 1=0 展 开 行 列 式 得 xry2+x2y3+x3j,-xxy3-x3y2-x2yl=0.故 命 题 成 y3 1立。7.在

22、 A 43C中，设 P,?,R 分 别 是 直 线 AB,3C,CA上 的 点，并 且 AP=AJPB,BQ=pQCCR=vRA.证 明 P,Q,R共 线 当 且 仅 当 44V=-1.证 明：作 如 下 示 意 图，Q由 于 P,Q,R分 别 是 直 线 A 3,3C,C 4上 的 定 比 分 点，所 以;建 仿 _ _ 0射 标 架 卜;彳 瓦/,由 于 AP=APB=A,(AB-AP),AP=PB=-A B；AR AC-RC=AC-vA R,AR=AC:1+vBQiQC=BC+CQ,QC=-BC,1+4AQ=AC+CQ=AC+-CB=AC+-(A B-A C)=-AB+-A C。1+ju

23、 1+M l+1+所 以 P,2,R 在 仿 射 标 架 A；N瓦 恁 下 的 坐 标 分 别 为 尸(/，(。(一，”-卜 刈。,一)。根 据 上 题 的 结 论，尸,2,R 共 线 当 且 仅 当 1+2 1+1+1+v二-1=0.展 开 行 列 式 即 得 到 沏 v=-l.1+1+0-11+v9.试 证 命 题 1.2.1 o证 明：取 定 标 架。*”出,4，设 向 量 Q=31，。2，。3)，=(4，2，3).(1)a+b=(a1el+a2e2+a3e3)+(biei+b2e2+b3e3)=(ax+&)G+(a2+b2)e2+(a3+b3)e3=(a+4，勺+%，+3)(2)a b

24、=(aiei+a2e2+a3e3)(bie1+b2e2+b3e3)=3 i-+(a2-b2)e2+(a3-b3)e=(%4,勺 一 2，。3 一 3)(3)Aa=+a2e2+3e3)=kayex+Aa2e2+2a3e3=(Aa,Aa2,2a3)。习 题 1.31.设+8+c=0,同=3,同=l,|c|=4,求 Q b+b c+c a o解：由 a+c=0,同=3,网=l,|c|=4,得 0=(a+)+c)(Q+办+c)=|a+时+,+2 3 b+b C+C Q)=9+1+16+2 3 b+b c+c a),所 以。+6 C+CQ=-13.2.已 知|a|=3，同=2,N Q b)=,求(3a+

25、2b)(2a 56)。6解：(34+28)(24 5/)=6同 2 10网 2 114 b=5 4-4 0-1 1 2 3cos-=14-3373.63.已 知 a+36与 7。一 5b垂 直，a 4b与 7 a-2 b垂 直，求 N 3,6)。解：因 为 a+3b与 7 5b垂 直，。一 4b与 7 a 26垂 直，所 以(a+3b)(7d-5/)=7|2-15|Z|2+16 6=0,|2+|-Z|2=2,+2时.当 a 与 力 不 共 线 时，说 明 此 等 式 的 几 何 意 义。证 明：+好+|a-b=(a+b)(a+b)+(a-b)(a-b)=|-+|Z|+2a Z+|a|+|i|-

26、2a b=2a+2|Z|2.当 a j b 不 共 线 时，此 等 式 的 几 何 意 义 是 以 a 与 8 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 两 条 对 角 线 的 平 方 和 等 于 四 边 的 平 方 和。5.下 列 等 式 是 否 正 确？说 明 理 由（习 惯 上 把 a a 记 为 a2）.(1)aa=a2;(2)a(b b)=ab2;(3)a(a b)=a2b;(4)(a b)2=a2b2;(5)(a b)c=a(b c);(6)c Q=c),c w O n a解(1)错 误，因 为 左 边 表 示 向 量，右 边 是 数。(2)正 确，因 为=从。(3)错 误，因 为

27、左 边 向 量 力)与。共 线，而 右 边 向 量 a?。与 力 共 线。(4)错 误，因 为(。力)2=4 2力 2。0/3,)工“2 2。(5)错 误，因 为 左 边 向 量(。加。与 c共 线，而 右 边 向 量 a(Ac)与 a 共 线。(6)错 误，因 为 c a=c b,c工 O=c(a5)=0=c与 a 力 垂 直。6.证 明：三 角 形 的 垂 直 平 分 线 交 于 一 点，且 交 点 到 三 顶 点 的 距 离 相 等。证 明：设 三 角 形 A 4 5 C 的 两 条 边 的 垂 直 平 分 线 交 于 一 点 O,D,E,F 为 4&5 C,C A 边 的 中 点,以。

28、为 始 点,为 B,5,C,0,E/终 点 的 向 量 记 为。，为 c,d,ej。1 1 1 _ _ _则 d=(a+),e=S+c),/=(c+a),A B=b a,BC=c b,CA=a c.2 2 2由 于。D,OE 是 A 3,3 C 的 垂 直 平 分 线，所 以 AB d=-(b2-a2)=0,BC e=-(c2-b2)=0,a2=c2=b2,由 此 得 到 2 2瓦/=c2)=o,说 明。尸 是 C 4 的 垂 直 平 分 线，即 三 角 形 的 垂 直 平 分 线 交 于 一 点,2且 交 点 到 三 顶 点 的 距 离 相 等。7.证 明：设,),c不 共 面，如 果 向

29、量，满 足 r a-O,r b=,r c=0,则 r=0。证 明：因 为 Q,，C 不 共 面，所 以 可 设，=xa+y+zc。则 r r=r(x 研 y)+zc)=x ra+yr b+zr。=0,故 r=0。8.用 几 何 方 法 证 明：若 a y 4，皿；，；。，。?，。都 是 实 数，则 有&；+6+c；+M+b；+c：+M+b：+c；N+。2-ba)2+(4+52-卜 b)2+(C+C2 H-C)2 等 号 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是 a,:bt:ct=a2:b2:c2=-=an:bn:cn且“1，2，”；仇,，2，)”；，1,，2,C“分 别 向 万。证 明：设 在

30、直 角 坐 标 系 下，向 量%=(%,.,q),i=1,2,.则 由 三 角 不 等 式 得 1%+4+%141ali+|4|+,，并 且 等 号 成 立 的 条 件 是 向 量,=(4，4,4)/=1,2,，同 向，将 坐 标 代 入 就 有 J a；+*+c；+M+b；+c；+.+亚+d+。；之 J(l+2*-b a j+(4+、2-*)2+(。1+。2-C)2 等 号 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是 外：4：C=勺：与：。2=%：2：且“1，。2，“；1，与，.，)；0 1，0”分 别 同 F。习 题 1.41.设。表 示 向 量。在 与 向 量 力。垂 直 的 平 面 上 的

31、 投 影，则 有 a x)=ax)。证 明：由 于 优 表 示 向 量。在 与 向 量 小 工 0 垂 直 的 平 面 上 的 投 影(如 下 图)，则 由 力 构 成 的 平 行 四 边 形 的 面 积 与 构 成 的 矩 形 的 面 积 相 等，a x Z s a x b的 方 向 相 同，因 而,a x b=afx b。2 证 明:(a x b)2=a2b2(a b)2 o证 明：(a x)2=a2b2 sin2 N(a,b),a2b2-(a b)2=a2b2-a2b2 co 3 Z(ayb)=a2b2 sin2 N(a,A)，故(a x力 产=a2b2 一(a b)2 o3.证 明：若

32、 a x b=c x d,a x c=x d j!ija-d 与 万 一 c 共 线。证 明：(a-d)x S-c)=a x b-a x c-d x 5+d x c=a x Z-c x d-a x c+Zxd=O,故 a d 与 c 共 线。4.证 明：3-b)x(a+b)=23x/),并 说 明 其 几 何 意 义。证 明：3-Z)x(a+Z)=axa+axZ-xa-Zxb=0+axZ+a x)-0=2(xZ).以 a g 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 对 角 线 构 成 的 平 行 四 边 形 的 面 积 等 于 a,b 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 面 积 的 2 倍

33、。5.在 直 角 坐 标 系 中，已 知”=(2,3,-1),6=(1,-2,3),求 与 a,b 都 垂 直，且 满 足 如 下 条 件 之 一 的 向 量 c：(1)c 为 单 位 向 量；(2)c d=1 0,其 中 d=(2,l-7).解：因 为 向 量 c 与 a,b都 垂 直，所 以 可 设 c=A a x 6,而 ei C2a x b=2 3-1=(7,-7,-7),axb=7y3.1-2 3(1)因 为 c 为 单 位 向 量，所 以|c|=l,即 神 x*l,|4|=品=志，故 C=(1,1,1)。忑(2)由 t Z=(2,l-7),c d=10,得 2(1 4-7+49)=

34、10,2=,于 是 286.用 向 量 法 证 明:b(1)三 角 形 的 正 弦 定 理 一 色 sin A sin 3 sinC(2)三 角 形 面 积 的 海 伦(Heron)公 式，式 中=幺 等 色，A 为 三 角 形 的 面 积，其 中。，c 为 三 角 形 三 边 的 长。证 明：(1)设 角 A,C 对 应 边 表 示 的 向 量 为。，8 c,由 向 量 外 积 的 模 的 几 何 意 义 知 道|ax/|=|ftxc|=|c x a|,于 是 同 上 sinC=|fe|c|sin A=|c|a|sinB 2 2 2a故 一 bsin A sin j?sinC(2)A2=a

35、x b f=-(a2b2-(a b)2)=-(a2b2-a V c o s2 Z(a,Z)4 4 41,，a+b 1,-c,1,1,=(a2b2-a2b2()2)=(a2b2 一 一(a2+b2-c2)2)4 lab 4 4=(4 a2b2-(a2+b2-c2)2)=(2ab-a2+b2-c2)(2 a b-a2-b2+c2)=(a+b)2-c2)(c2-(a 6)2)=(+b+c)(a+b c)(c+a-b)(c-a+b)16 16=p(p-a)(p-b)(p-c)o7.证 明 Jacobi 恒 等 式 ax(xc)+力 x(cxa)+cx(ax/)=0。证 明：由 双 重 外 积 公 式

36、ax(bxc)-bx(cxa)+cx(axb)=(a c)b(a b)c+(b a)c(b c)a+(c b)a-(c a)b=0 o8.设 a w 0,0尸=x，求 满 足 方 程 a x x=b 的 点 P 的 轨 迹。解：由 外 积 的 定 义 及 外 积 模 的 几 何 意 义，点 尸 的 轨 迹 在 与 力 垂 直 的 平 面 上，且 与 过 点。平 行 于 a 的 直 线 的 距 离 为 的 直 线，而 且 a,x,6 保 持 右 手 系。习 题 1.51.证 明：(ax)c=Sxc)a=(cxa)。证 明：如 果 a,。,c 共 面，贝 iJ(axZ)c=Sxc)a=(cxa)力

37、=0。如 果 不 共 面，则|(x力)c=(bxc)a|=|(cxa)b,。也 c,九 c,a,c,a,5符 合 相 同 的 右 手 或 左 手 规 贝|，因 而(axb)c9(bxc)a,(exa)力 有 相 同 的 符 号，(axb)c=(bxc)a=(cxa)b o2.证 明：a,b,c不 共 面 当 且 仅 当 a x x c,c x a 不 共 面。证 明：m(axb)x(bxc)(cxa)=(axb)cf)-(axb)bc(exa)=(axb)cp(cxa)=(ax)cb(cx)=(ax)cf,所 以(ax)c=0(axfe)x(Zxc)(cxa)=0 o故 a,力,c 不 共 面

38、 当 且 仅 当 ax力,xc,cxa不 共 面。3.在 右 手 直 角 坐 标 系 中，一 个 四 面 体 的 顶 点 为 4(1,2,0),笈(一 1,3,4),C(-l,-2-3),D(0-1,3)，求 它 的 体 积。解：因 为-2 1 4(AB,AC,AD)=-2-4-3=59,-1-3 3所 以 四 面 体 AB C D 的 体 积 VABCl)=1(AB,AC,AD)=y.4.证 明 Lagrange恒 等 式(axb)(cxd)=证 明:(axb)(cxd)=a bx(cxd)=a(b d)c-(b c)d=(a c)(b d)(a d)(b c)=b c b d5.证 明：(

39、a+8+c,c+Q)=2(a,8 c)。证 明：因 为(a,b,d+e)=(ax力)(d+e)=(axb)d+(axft)e=叫)+(a,b,e),所 以(a+0,)+c,c+a)=(a+),)+c,c)+(a+,5+c,a)=(a+仇 儿 c)+(a+,c,c)+(a,+c,a)+S,)+c,a)=(a+仇 仇 c)+(仇)+c,a)=(。,方,c)+(Ab,c)+S,5,a)+(Ac,a)=2(。也 c)。6.证 明：(。也 cxd)+S,c,axd)+(c,a,)xd)=0。证 明：左 边=(axb)xc d+(6xc)xa d+(cxa)xb d=(a c)b-(b c)a+(b a)

40、c-(c a)b+(c b)a(a b)c d=0 d=0=右 边。7.证 明：对 任 意 四 个 向 量 a,c,d 有 S,c,d)a+(c,a,d)A+(,d)c+S,a,c)d=0。证 明：因 为(b9c9d)a+(b9a9c)d=(b,c,d)a+(c,b,a)d=(xc)da+(cxb)a)d=(xc)da-(bxc a)d=(bxc)x(axd),同 理(c,a,d)b+(a,b,d)c=(a,d,c)b+(d,a,b)c=(a,d,c)b(a,d,b)c=(axd)x(bxc)所 以 S,c,d)a+(c,a,d)+(a,d)c+(,a,c)d=Sxc)x(axd)+(Qxd)

41、x(xc)=0。8.证 明：若 a 与 b 不 共 线，则。乂(。乂)与 乂(。*)不 共 线。证 明：因 为。与 万 不 共 线，所 以 ax 工 0.由 丁 口*3 又)*3 乂(*力)=0*(g乂 方)3*。)办 一*(又 方)b(a xb)=-ax(axb)(ax8)=(ax)xa b(axb)=(axb)(axb)(axb)=(axZ)2(ax)w0,因 而 x(ax)与 小 x(ax)不 共 线。9.已 知 a,都 是 非 零 实 数，向 量。，仇 c 的 混 合 积 3,8,c)=W，如 果 向 量，满 足 r a-a/b=/c=0,求 此 向 量 r。解：由 条 件 得 到 r

42、(夕 a-aA)=0,而 且 rc=0,因 此 可 设 r=4(a-a8)xc,现 在 两 边 分 别 与 a 作 内 积，则 有 a=r a-Xa(pa-ab)xc=-a2(a,fe,c)=-aapX，10.设 4,62,63不 共 面，证 明：任 一 向 量。可 以 表 示 成 a=-（3,。2,。3）。1+（。,）。2+3,4,4 至 3）。（，1，2，。3）证 明：因 为 不 共 面，所 以 任 一 向 量。可 以 表 示 成 a=XC+7。2+20。两 边 分 别 与 向 量 62X63,63 xe ei X 4 作 内 积，得 到(,e2,e3)=x(e,e2,e3),(a,e3,

43、e,)=j(e1,e2,e3),(a,e,e2)=z(epe2,eJ)因 而 a=(a,e2,e,)C+(4,63,e1)e2+(a,ei,e2)，3)(et,e2,e3)11.设 a,Z,c不 共 面，设 向 量 r 满 足 r a=a,r/=,r c=7,那 么 有 r=-(a b xc+fic x a+y a x b)。(a,b,c)证 明：因 为 a,),c 不 共 面，所 以 a x),Z x c,cx a不 共 面，从 而 可 设 r=x(Zxc)+j(c x a)+z(axZ),两 边 分 别 与 a,A,c 作 内 积，则 有 a=a r=xa(bxc),j3=b r=yb(c

44、 x a),/=c r=zc(a x b),于 是 r=-(a b x c+J3cxa+/a x b),(a,b,c)第 二 章 直 线 与 平 面 习 题 2.11.求 通 过 两 点 4(2,3,4)和 3(5,2,-1)的 直 线 方 程。解：直 线 的 方 向 向 量 为 通=（3 所 以 直 线 的 方 程 为 x-2 j-3 z-43=-12.在 给 定 的 仿 射 坐 标 系 中，求 下 列 平 面 的 普 通 方 程 和 参 数 方 程。过 点（一 1,2,0）,（-2,-1,4）,（3,1,-5）；（2）过 点（3,1 2）和 z 轴;（3）过 点（2,0,1）和（一 租 3

45、,4）,平 行 于 y 轴;（4）过 点（-1,-5,4）,平 行 于 平 面 3 x-2 y+5=0。解（I）平 面 的 方 位 向 量 为 匕=（一 1,一 3 4）,匕=（4 1,5），所 以 平 面 的 参 数 方 程 x=-l-2+4/z,j=2-3 2-/,z=44-5.平 面 的 普 通 方 程 为x+1 y-2 Z-1-3 4=0,即 19x+Uy+13z-3=0.4-1-5（2）平 面 的 方 位 向 量 为 匕=（3,1,2）,%=（0,0J），所 以 平 面 的 参 数 方 程 x=3+32,）=1+4,因 为 过 z轴，所 以 也 可 选 经 过 的 点 为（0,0,0

46、）,那 么 参 数 方 程 也 可 以 z=-2-2 A+x=3/1,写 为 y=丸，z=-22+平 面 的 普 通 方 程 为 x y z3 1 一 2=0,即 x 3y=0.0 0 1（3）平 面 的 方 位 向 量 为 匕=（一 为 3,5）,匕=（0,1,0），所 以 平 面 的 参 数 方 程 x=2 3A,j=32+/,z=-l+52.平 面 的 普 通 方 程 为 x-2 y z+1-3 3 5=0,即 5x+3z-7=0.0 1 0（4）平 面 的 方 位 向 量 平 行 于 平 面 3x 2y+5=0,方 位 向 量（X,y,Z）满 足 3 X-2 F=0,因 此 可 以 选

47、 为 匕=（2,3,0）,%=（0,0,1）。所 以 平 面 的 参 数 方 程 x=1+2A,y=5+34,z=4+4.平 面 的 普 通 方 程 为 x+1 y+5 z-42 3 0=0,即 3x 2y 7=0.0 0 13.在 直 角 坐 标 系 中，求 通 过 点(1,0,-2)并 与 平 面 口 1：21+7-2-2=0和 0 2：*7-2-3=0均 垂 直 的 平 面 方 程。解：平 面 口”风 的 法 向 量 分 别 是 丐=(2,1,-1),%=(1,一 1,一 1)，所 求 平 面 与 口”口 2均 垂 直，所 以 它 的 法 向 量 与 均 垂 直，因 此 n=n,xn2=

48、(2,1,-1)x(1,-1,-1)=(-2,1,-3),平 面 的 方 程 为 一 2(x 1)+y 3(z+2)=0,即 2x-y+3z+6=0.4.在 直 角 坐 标 系 中，求 经 过 点(3,-1,4),“2(1,0,-3),垂 直 于 平 面 2x+5y+z+l=0 的 平 面 方 程。解：设 平 面 的 法 向 量 为，则 它 与 冠 拓 垂 直，它 又 与 平 面 2x+5y+z+l=0 的 法 向 量(2,5,1),故=(一 2,1,-7)、(2,5,1)=12(3,-1,一 1).所 以 所 求 平 面 的 方 程 为 3(*_ 3)(y+1)(z-4)=0,即 3%y z

49、 6=0.5.在 直 角 坐 标 系 中，设 平 面 II的 方 程 为 Ax+3y+Cz+O=0,其 中 A 6 C 0 H O。设 此 平 面 与 三 坐 标 轴 分 别 交 于,求 三 角 形 的 面 积 和 四 面 体 0 M l M 2 M 3的 体 积。解：由 于 A 5 C D H 0,所 以 平 面 的 三 个 截 距 分 别 为 一 2,-2,-2。因 此 四 面 体 A B C2M3 的 体 积 为 V=1 2 3 6 A B C 6ABC三 角 形 弧，加 2,M 3 的 面 积 S=；|M 加 2 X MM3,而 M.1M2 x Af.Af,=（一,0）x（一,0）=D

50、2（-,2 1 3 A B A C BC CA AB所 以 S=D2 ylA2+B2+C22 ABC6.设 平 面 n:Ax+5y+Cz+。=0 与 连 接 两 点.(看,以,4)和 M2(x2,y2,z2)的 线 段 相 交 于 点 M，且 而；k=左 痂 心，证 明 k _ AX|+Byx+C zt+DAX2+By2+Cz2+D证 明：因 为,所 以 由 定 比 分 点 的 坐 标 公 式 得 到 点 拉 的 坐 标 X=X+k X y J+”Z=红 也，将 它 们 代 入 平 面 方 程 中 得 1+k,1+k 1+k4 kx?+B%+Q?.+c 幺+以 2.+0=0 整 理 即 得+k