2023年吉林省长春二十二中中考数学一模试卷(含解析).pdf

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1、2023年吉林省长春二十二中中考数学一模试卷一、选 择 题（每题3 分，共 24分）1.下列各数中：-TT、衣、0,-3,最小的是（）A.-n B.,2,C.0 D.-32.一个64位的量子计算机的数据处理速度约是目前世界上最快的“太湖之光”超级计算机的 150000000000倍.其 中 数 据 15000000（X）00用科学记数法表示为（）A.0.15X 1012 B.1.5X 10 C.15X IO10 D.1.5X IO103.如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（）A.3a2-=3 B.(.a+b)2=a1+b2C.(-2x)3=-Sx3 D.X3+X3=2A65

2、.如图，沿 AB的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，从 AB上取一点 C,取NAC=136。，测得 C=500m,Q E L A E,点 A、C、E 在同一直线上，那C.500tan44D.3sin446.如图，作 RtZsABC,Z C=90,B C=2 A C;以 A 为圆心，AC长为半径画弧，交斜边AB于点。；以8 为圆心，以 长 为 半 径 画 弧，交BC于点E.若B C=f,则CE=（）A.9-3 7 5 B.3遥-6 C.3代-3 D.3代-17.如图，在菱形ABC。中，E 是对角线AC上的一点，过点E 作 ;4。，G I/A B,若AC=5cm,ZB=60,则

3、图中阴影部分的周长为（）A.15c机 B.2 0 cm C.28cm D.30 cm8.如图，在nABCO中，ABx 轴，点 8、D 在反比例函数y 上（k六 0）的图象上，若口A B C DX的面积是2 0,则k的 值 是（）二、填 空 题（每题3 分，共 18分）9.分解因式：2X2-4x-.10.已知关于x 的一元二次方程/-3 x+m=0 有两个实数根，则，的取值范围是.11.如图，五 边 形A B C D E是正五边形，过 点B作AB的垂线交CD于 点F,则N8FC12.如图，在扇形A8C中，N8AC=90,A B=2,若以点C 为圆心，CA为半径画弧，与言 交 于 点。，则图中阴影

4、部分的面积和是1 3 .如图，将 A B C 沿直线A。翻折，使点B与 AC边上的点E重合，若 A B=A =4,A C=6,则 D C.1 4 .如图，在平面直角坐标系中，点 A是抛物线y=o v 2+c 的顶点，点 B （0,2）是抛物线与y 轴的交点，直线BC平行于x轴，交抛物线于点C,。为 x 轴上任意一点，若 SMBC=3,SABCD=2,则点A的坐标为.三、解 答 题（本大题共10小题，共78分）1 5 .先化简，再求值：（3+1）.三 步,其中x=2.1 6 .今年是农历癸卯年，即兔年，如图，现有三张正面印有不同兔图案的不透明卡片A、8、C,卡片除正面图案不同外其余均相同.将三张

5、卡片正面向下洗匀，小希从中随机抽取一张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图或列表的方法，求小希两次抽出的卡片图案相同的概率.1 7.九年二班计划购买A、B两种相册作为毕业礼品，已知A种相册的单价比8种相册的单价 多 1 0 元，买 4册 A种相册与买5 册 B种相册的费用相同，求 A、8两种相册的单价分别是多少元？1 8 .图、图均是4X5 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.每个小正方形的边长均为1，点 A、B均在格点上.在图、图给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法.(1)在图中，以线段AB为腰画一个等腰直角 A B C；(2)在

6、图中，以线段A8为 边 画 一 个 四 边 形 使 其 是 中 心 对 称 图 形，但不是轴对称图形，并且其中一个内角为4 5 .图 图(1)如图，求证：A D B F；(2)如图，当 A、B、F三点在一条直线上时C E=1,D E=2,则四边形D 4FC的面积是.2 0.某校为培养学生的个性特长，准备组建四个兴趣小组.规定七年级每名学生至少参加1个兴趣小组，可以兼报多个兴趣小组.该校调查了七年级若干名学生的报名情况，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题:（1）本次共调查了 名学生；（2）在扇形统计图中，。部分所对应的扇形圆心角是 度；（3）补全条形统计图；（

7、4）若该校七年级有6 0 0名学生，估计报名参加2个兴趣小组的学生约有多少人?A：报名1个兴趣小组B：报片2个兴趣小组C报名3个兴趣小组D：报-4个兴趣小组2520151050A人数2 1.货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行.轿车出发2.4/7后休息,直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x（单位：），货车、轿车与甲地的距离为9（单位：km）,y2（单位：km）,图中的线段O A、折 线8 C D E分别表示，”与x之间的函数关系.（1）货车行驶的速度为 km/h.（2）求O E所在直线的函数解析式；（3）直接写出两车出发多长时间相距2 0 0妨?.2 2.【

8、问题情境】如图，在正方形A B C。中，E为 边 上 一 点（不与点3、C重合），垂直于A E的一条直线M N分别交A 3、A E、C D于点M、P、N.判断线段。M M B、E C之间的数量关系，并说明理由；【问题探究】在“问题情境”的基础上，如图，若垂足P恰好为A E的中点，连结8。,交 M N 于点,连结E。，并延长交边A。于点F.则N A E F的大小为度.图 图2 3 .如图，在A B C 中，Z B A C=9 0 ,AC=4,AB=8,A D 1 B C,动点 P 从点 A 出发，沿射线A。以每秒找个单位长度的速度运动，过点P作4 B的垂线交A B于点Q,以P。为边向上作矩形P

9、Q M N,点M在A B或A B的延长线上，P Q=2 Q M,当点。与点B重合时点P停止运动，设点P运动的时间为f (秒).(1)求8 c的长；(2)当B C平分矩形P Q M N的周长时，求f的值：(3)当点N在 A B C的直角边的垂直平分线上时，直接写出，的值；(4)如图，当点P在AO的延长线上时，M N、P Q分别交边B C于点E、F,当A P F D与图中某个三角形全等时，求f的值.2 4 .在平面直角坐标系中，已知抛物线、=f-2奴-“(”为常数).(1)若 点(2,-1)在抛物线上.求抛物线的表达式；当x为何值时y随x的增大而减小？(2)若x W 2”，当抛物线的最低点到x轴的

10、距离恰好是1时，求的值；(3)已知A(-l,1)、B(-l.2 a-y),连 结A 8.当抛物线与线段A B有交点时,该交点为P（点尸不与A、B 重合），将线段PB绕点P 顺时针旋转9 0 得到线段PM,以PM、PA为邻边构造矩形PM QA.当抛物线在矩形PMQA内 部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为日时，直接写出的值.参考答案一、选 择 题（每题3 分，共 24分）1 .下列各数中：-T T、&、0,-3,最小的是（）A.-n B.C.0 D.-3【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可.解：；-n -30 0

11、负实数，两个负实数绝对值大的反而小.2.一个6 4 位的量子计算机的数据处理速度约是目前世界上最快的“太湖之光”超级计算机的 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 倍.其 中 数 据 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 用科学记数法表示为（）A.0.1 5 X1 01 2 B.1.5 X1 0 C.1 5 X1 O1 0 D.1.5 X1 O1 0【分析】科学记数法的表示形式为。义1 0H的形式，其中n为 整 数.确 定n的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值2 1 0 时，是正整数；当原数的绝对值=136,测得 CD

12、=500,w,点 A、C、E 在同一直线上，那C.500tan44D.3sin44【分析】根据邻补角的定义求出NOCE=34,然后判断出（?是直角三角形，再根据三角函数的知识解答.解：VZDCE=180-/A C Z）=180-136=44,DEA.AE,.CCE是直角三角形,：.ZD=36-90=46,开挖点 E 离点。的距离=Qcos46=500sin44。m.故选：A.【点评】本题考查了邻补角的定义，三角函数的知识，熟记性质并判断出CCE是直角三角形是解题的关键.6.如图，作 RtaABC,NC=90,8 c=2AC；以 A 为圆心，A C 长为半径画弧，交斜边A B于点。；以B 为圆心

13、，以B D长为半径画弧，交B C于点E.若B C=6,则C E=（）A.9-3 遥 B.3代-6 C.3遥-3 D.3代-1【分析】根据题意勾股定理求出AB的长，由AQ=AC得出B。，再根据B E=B O,即可求出C E的长.解：-：BC=2AC,BC=6,；.AC=3,由勾股定理得A S=VAC2+BC2=VS2+62=3遥，：AC=AD,：.BD=AB-3,:BE=BD,:.CE=BC-B E=6 -（3遥-3）=9-3遥，故选：A.【点评】本题主要考查勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键.7.如 图，在菱形A8CO中，E 是对角线4。上的一点，过点E 作出GI/AB,若 AC=5

14、cm,ZB=60,则图中阴影部分的周长为（）GCHA.5cm B.20cm C.2Scm D.30cm【分析】由菱形的性质得A B=C B=4）=C，N 8=/O=6 0 ,则ABC、ZVIOC都是等边三角形，所以A B=CB=A O=CQ=A C=5a,再证明四边形BGEF、四边形QHE/都是平行四边形，贝|JGE=BF,EF=BG,EH=DI,IE=DH,即可求得 AF+EG=AF+BF=5C7W,EF+CG=BG+CG=5cm,EH+AI=DI+AI=5cm,IE+CH=DH+CH=5cm,所以图中阴影部分的周长为205!.解：.四边形 ABC。是菱形，AC=5cm,/B=6 0 ,：.

15、ABCB=AD=CD,NB=ND=60,.,.ABC.AOC都是等边三角形，.AB=CB=AD=CD=AC=5cm,FH/AD,BC/AD,GI/AB,CD/AB,：.FE/BG,EG/BF,IE/DH,EH/DI,四边形3G。、四边形QHE/都是平行四边形，：.GE=BF,EF=BG,EH=Dh IE=DH,：.AF+EG=AF+BF=5cm,EF+CG=BG+CG=5cm,EH+AI=DI+AI=5an,IE+CH=DH+CH=5cm,：.AF+EG+EF+CG-EH+AKIE+CH=5X4=20（cm）,图中阴影部分的周长为20ab故选：B.【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判

16、定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，证明ABC、ZVIOC都是等边三角形是解题的关键.1/,8.如图，在必8。中，A8x轴，点B、。在反比例函数y言（k卉0）的图象上，若nABCD的面积是2 0,则k 的值是（）A.10B.15C.20D.25【分析】连 接 0 B,根据平行四边形的性质得到ABC 的面积=/X DABC的面积=X20=10,A O=C O,于是得到结论.解：连接08,四边形A8C。是平行四边形，QABCO的面积是20,.ABC 的面积=2 X“ABC 的面积=X 2 O=10,AO=C。，2 2；ABx 轴，k=2SAOB=SiiABC 10,【点评】本题考查了反比例函数

17、系数的几何意义，平行四边形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键.二、填 空 题(每 题3分，共18分)9.分解因式：2JT-4x=2x(x-2).【分析】首先找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可.解：2/-4x=2x(x-2).故答案为：2x(x-2).【点评】此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键.10.已知关于x 的一元二次方程/T x+m n O 有两个实数根，则”的取值范围是.-4-【分析】根据判别式的意义得到A=(-3)2-4 X 1 XZ2 0,然后解关于，的不等式即可.解：根据题意，得 小=(-3)2-4X 1 X/nNO,Q解得mW弓

18、，故答案为:1 r t【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a+bx+c=O(g 0)的根与 =b2-4ac有如下关系：当()时，方程有两个不相等的实数根；当=()时，方程有两个相等的实数根；当A V 0时，方程无实数根.1 1.如图，五边形ABCQE是正五边形，过 点 2 作 A 3 的垂线交C于 点 F,则54 .【分析】先利用多边形的内角和公式求出正五边形中每一个角的度数，再根据垂直定义可得/ABF=90,从而可得/C B F=18,最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答.解：；五边形A8CDE是正五边形，.,.N C=/A B C=108,：FBLAB,：.ZABF=90,Z C

19、BF=ZABC-ZABF=18,A ZBFC=180-Z C-ZCBF=54,故答案为：54.【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键.1 2.如图，在扇形ABC中，ZBAC=90,A B=2,若以点C 为圆心，CA为半径画弧，与言交于点。，则图中阴影部分的面积和是【分析】连 接 A D,根据等边三角形的判定得出D 4 C 是等边三角形，根据等边三角形的性质得出N D 4C=N)C4=60,求出阴影部分的面积=扇形84。的面积，再根据扇形的面积公式求出扇形BAD的面积即可.:以 点C为圆心，C4为半径画弧，与BC交于点D，AB=2,：.AD=AC=CD2,.

20、4OC是等边三角形，.,.ZDCA=ZDAC=60,VZBAC=90,J.ZBADZBAC-ZDAC90-60=30,.阴影部分的面积=S8sle=迎 冗X 2：=%,360 3故答案为：【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积计算等知识点，能求出阴影部分的面积=扇形BAD的面积是解此题的关键.1 3.如图，将48C沿直线4。翻折，使点B与AC边上的点E重合，若A8=AO=4,AC=6,则 Q C=_ 2 一【分析】先由平角的性质及三角形内角和定理可得到NEC=NC4。，由相似三角形的判定定理可得到QCESA4C,根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可得到CD的长.解：由题可得，

21、AB=AD=AE=4,EC=AC-AE=2,：.ZB=NADB=ZADE=ZAED,：/ADE 中，ZDAE=180-ZADE-NAED=180-2ZADE,ZCDE=180-ZADB-ZAD=180-2 A ADE,：.ADAE=NCDE,又,:ZDCE=ZACD,:.A A C D A D C E,AEC=DL 即。G=ECXAC,D C A CD C=J 2*6=，故答案为：2百.【点评】本题考查的是图形的翻折变换，相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中己有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.1 4.如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线

22、丫=以2+加+。的顶点，点B (0,2)是抛物线与y轴的交点，直线2 C平行于x轴，交抛物线于点C,。为x轴上任意一点，若&A 8 C=3,S.BCD=2,则点 A 的坐标为(1,-1).【分析】根据8 C Z)的面积求得8 C,即可求得对称轴，根据A A B C的面积即可求得A的纵坐标，从而求得A的坐标.解：.点8 (0,2)是抛物线与y轴的交点，直线B C平行于x轴，交抛物线于点C,；.B、C关于对称轴对称，SBCD-B C*OB=2,B(2,0),：.B C=2,：.C(2,2),对 称 轴 为 直 线 工=号=1,VSABC=BC(2-y a)=3,力=-1,A (1,-1),故答案为

23、（1,-1）.【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积,求得三角形的高是解题的关键.三、解 答 题（本大题共10小题，共78分）1 5.先化简，再求值：（一1）.三 上，其中x=2.x-3 x-1【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x=2代入化简后的式子计算即可.解：（N-+1）,2 L2x-3 x-12+x-3 一（x+3）（x-3）x-3 x-1x-1 一（x+3）（x-3）x-3 x-1=x+3,当x=2时，原式=2+3=5.【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.1 6.今年是农历癸卯年，即兔年，如图

24、，现有三张正面印有不同兔图案的不透明卡片A、8、C,卡片除正面图案不同外其余均相同.将三张卡片正面向下洗匀，小希从中随机抽取一张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图或列表的方法，求小希两次抽出的卡片图案相同的概率.A B【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两次抽出的卡片图案相同情况数，然后根据概率公式即可得出答案.解：根据题意列表如下:ABCAAABACABABBBCBCA CBCCC共有9种等可能结果，其中两次抽出的卡片图案相同有3情况，小希同学两次抽出的卡片图案相同的概率为：=5.9 3【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题时要注意此题是放回试

25、验还是不放回试验.会列表和画树状图是解题的关键.1 7.九年二班计划购买A、8两种相册作为毕业礼品，已知A种相册的单价比B种相册的单价 多1 0元，买4册A种相册与买5册B种相册的费用相同，求A、B两种相册的单价分别是多少元？【分析】设A种相册的单价是x元，B种相册的单价是y元，根 据“A种相册的单价比B种相册的单价多1 0元，买4册A种相册与买5册B种相册的费用相同”，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论.解：设A种相册的单价是x元，B种相册的单价是y元，根据题意得：1 y,4x=5yA”但 fx=50解得：ly=40答:A种相册的单价是5 0元，B种相册的单价是4 0元.【点

26、评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.1 8 .图、图均是4 X 5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.每个小正方形的边长均为1,点A、8均在格点上.在图、图给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法.(1)在图中，以线段4 8为腰画一个等腰直角A B C；(2)在图中，以 线 段 为 边 画 一 个 四 边 形 使 其 是 中 心 对 称 图 形，但不是轴图 图【分析】(1)利用网格，取格点C,使4 B=8 C,且N A 8 C=9 0 即可.(2)作平行四边形A B M M 且满足对角线8 N与边A N垂直且相等即

27、可.解：(1)如图所示，等腰直角a A B C即为所求.(2)如图所示，四边形A B M N即为所求.图图【点评】本题考查作图-应用与设计作图、等腰直角三角形、中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握等腰直角三角形的性质、中心对称图形、轴对称图形是解答本题的关键.图 图(1)如图，求证：AD=BF-(2)如图，当A、B、F三点在一条直线上时C E=1,D E=2,则四边形D 4 F C的面积是 6【分析】(1)证明四边形B C C尸是平行四边形，进而可以解决问题；(2)首先证明C 8是R t Z A C尸斜边A尸的中线，再证明四边形4 8 C。是菱形，然后根据菱形和平行四边形的面积公式即可解决问题.

28、【解答】(1)证明：.,%=(7,平分N A O C,：.BDAC,：CFAC,：.BD/CF,：DC/BF,.四边形B D C F是平行四边形,；.BF=DC,：.AD=BF-,(2)解：-：DA=DC,DB 平分NAOC,：.BDAC,AE=CE,:BD/CF,：.AB=BF,；CFAC,：.CB是RtAACF斜边AF的中线，：.AB=BF=BC,；四边形BDCF是平行四边形，：.BF=DC,：.AB=CD,：DC/BF,四边形ABCD是平行四边形，：DA=DC,四边形ABC。是菱形，；.AC=2CE=2,BD=2DE=4,，菱形ABCD的面积=LC 8O=4,2二.BCD的面积=X菱形A

29、BC。的面积=2,V四边形BDCF是平行四边形，.8C尸的面积=28。的面积=2,四边形DAFC的面积=菱形ABCD的面积+BCF的面积=6.故答案为：6.【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2 0.某校为培养学生的个性特长，准备组建四个兴趣小组.规定七年级每名学生至少参加1个兴趣小组，可以兼报多个兴趣小组.该校调查了七年级若干名学生的报名情况，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题:(1)本次共调查了 5 0 名学生:(2)在扇形统计图中，。部

30、分所对应的扇形圆心角是 1 4.4 度:(3)补全条形统计图；(4)若该校七年级有600名学生，估计报名参加2 个兴趣小组的学生约有多少人？A人数A：报名1个兴趣小组B：报名2个兴趣小组C：报名3个兴趣小组D：报-I 个兴趣小组2520151050【分析】(1)由 c 类型人数及其所占百分比可得总人数;(2)用 360。乘以。类型人数所占比例即可：(3)根据四个类型人数之和等于总人数求出A 类型人数即可补全图形；(4)用总人数乘以样本中8 类型人数所占比例即可.解：(1)本次调查的学生总人数为10 20%=50(名)，故答案为：50；(2)在扇形统计图中，。部分所对应的扇形圆心角是360。、痣

31、=14.4,50故答案为：14.4；(3)A 类型人数为 50-(23+10+2)=15(名)，补全图形如下：9?(4)600X=276(人)，50答：估计报名参加2 个兴趣小组的学生约有276人.【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.2 1.货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行.轿车出发2.4/?后休息,直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x(单位：h),货车、轿车与甲地的距离为yi(单位：km),y2(单位：k m),图中的线段0A、折 线 8CDE分别表示,以与x 之间的函数关系.(1)货车行驶的速

32、度为 75 km/h,(2)求 O E所在直线的函数解析式；(3)直接写出两车出发多长时间相距200h.【分析】(1)观察图象，用点A 的纵坐标除以点A 的横坐标即可求得答案；(2)待定系数法求出0 4 的解析式，再根据点D的纵坐标为300求得其横坐标，即可得解；(3)轿车在休息前2.46行 驶 300切?，休息后按原速度行驶，可得轿车行驶后300切?需2.4/7,从而可得点E 的坐标，再结合点。的坐标，用待定系数法可求得答案；(4)先用待定系数法求出8 c 段的解析式，然后分两种情况列方程求解即可：当轿车休息前与货车相距2 0 0 km时；当轿车休息后与货车相距200km时.解：(1)由图象

33、可得，货车行驶的速度为：600+8=75(W/?),故答案为:75；(2)由题意可得OA所在直线为关于x 的正比例函数，设 直 线 的 解 析 式 为：y=px,将 A(8,6 0 0)代入得：600=8p,解得：p=7 5,；.y=75x；则 y=300 时，x=4,.点。的坐标为(4,3 0 0).轿车在休息前2.4/z行驶300hw,休息后按原速度行驶,.轿车行驶后300fan需 2.4/2.二点E 坐标为：(6.4,0).设线段。E 所在直线的函数表达式为 =依+6,将 点。(4,300),E(6.4,0)代入得:f4k+b=300I 6.4k+b=0解得k=-125lb=800二线段

34、OE所在直线的函数表达式为y=-125X+800；(3)设 8 c 段的函数解析式为y=?x+,将 8(0,600),C(2.4,3 0 0)代入得：n=600I 2.4m+n=300解得：卜=-125,ln=600；.y=-125x+600.当轿车休息前与货车相距200h时，有,-125x+600-75x=200,解得：x=2；当轿车休息后与货车相距200km时，有，75x-(-125x+800)=200,解得：x5.故答案为：2 或 5.【点评】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，数形结合、分类讨论并明确行程问题的基本数量关系，是解题的关键.2 2.【问题情境】如图，在正方形ABCC中，

35、E为边BC上 一 点(不与点8、C 重 合)，垂直于AE的 一 条 直 线 分 别 交 AB、A E,C于点M、P、N.判断线段。N、M B、E C之间的数量关系，并说明理由；【问题探究】在“问题情境”的基础上，如图，若垂足P 恰好为AE的中点，连结交 MN于点,连结E。，并延长交边AO于点尸.则/A E 尸的大小为度.【分析】【问题情境】证明四边形MBFN为平行四边形和aABE部BCF(ASA),则BE=CF,而 DN+NF+CF=BE+EC,DN+MB=EC；【问题探究】证明OH。是等腰直角三角形，得至AH=QI,在证明RtZxAHQRtAQ/E(H L),得到AQE是等腰直角三角形，即可

36、求解.解：【问题情境】线段OV、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB=EC；理由如下：,/四边形A8CZ)是正方形，：.ZABE=ZBCD=90a,AB=BC=CD,AB/CD,过点B作B尸 M N分别交AE、CD于点G、F,如图所示：四边形MBFN为平行四边形,:.NF=MB,：.BFVAE,：.ZBG=90,:.NCBF+NAEB=90,V ZBAE+ZAEB=90,ZCBF=ZBAE,在ABE和BCF中,ZB A E=ZC B F0,.,.抛物线开口向上，当x 0时，抛物线的最低点是顶点，-a2-a-1,解得或小一 夕1(舍 去)；当 aWO 时，|(2a)2-2a2 4-a|=l,解

37、得 a=l,.a=-1.综上：a=-1 或 a=二 1;2(3)V A (-L 1)、8(-1,2 a-),2.A B所在直线解析式为x=-1,将 4=-1 代入 =%2-2 o r-，得 y=l+m 点P坐 标 为(-1,1+。)，当点B在点A下方时，解得。V O,1 2,.PB=PM=l+a-(2 a-)=-a,2 2.,.点M横坐标为-1-3 -a)=a -与，2 2Q的横坐标为a-5，；.Q的 坐 标 为 -蓝，1),当点8在点A上方时，2 a-+a -1,解得4方当 心 方 抛物线经过点。时，将(a-今1)代入抛物线解析式得：1 =(-)2-2 a(a-)-小2 2解得=二1*22,

38、或=11-22(舍),2 2抛 物 线 与 直 线 交 点 为(”?，-a2-a+),2 2 4当 与 -1S;历时,抛物线与矩形交点最高点为点p(-1,1+a),最低点纵坐标为2 21,(1+a)-1=2 时，解得 a=2 (舍).2 2当点尸为最高点，抛物线与 Q 交点E 为最低点时,(l+a)-(,-a1-a+-)4 22解得a0,当V O 时，抛物线经过点。时，=-1-后,_2后 w vo时,抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1,最低点纵坐标为点尸纵坐2标 为 1+，2 Q当 1 -(1+。)=,时，a=-.最低点,-4-0+攀）为最高点，点 p 为（舍）或。2【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，旋转的性质等知识，利用数形结合以及分类的思想解决问题是解题的关键.